절대 갈루아군

수학에서 필드 K의 절대 갈루아 그룹 G는_K K^sep over K의 갈루아 그룹이며, 여기서 K는^sep K의 분리 가능한 폐쇄 그룹이다.또는 K를 고정하는 것은 K의 대수적 폐쇄의 모든 자동화의 그룹이다.절대 갈루아 집단은 내적 오토모프리즘까지 잘 규정되어 있다.그것은 확실한 집단이다.

(K가 완벽한 분야일 때 K는^sep K의 대수적 폐쇄 K와^alg 같다.여기에는 특성 0의 K 또는 유한한 K의 경우 등이 포함된다.)

예

• 대수적으로 폐쇄된 분야의 절대 갈루아 집단은 하찮은 것이다.
• 실수의 절대 갈루아 그룹은 C가 R과 [C:R] = 2의 분리 가능한 닫힘이기 때문에 두 원소(복잡한 결합과 ID 맵)의 순환 그룹이다.
• 유한장 K의 절대 갈루아 그룹은 그룹에 이형성적이다.

${\displaystyle {\hatsbf {Z}}}}}}=\varprojlim \mathbf {Z} /n\mathbf {Z}}$

(표기법에 대해서는 역 한계를 참조하십시오.)

프로베니우스 자동형성 Fr은 G_K.의 정식(위상학) 발생기(Fr(x) = k의^alg 모든 x에 대해 x를^q 호출하며, 여기서 q는 K의 원소 수)이다.

• 계수가 복잡한 합리적 기능 분야의 절대 갈루아 그룹은 자유롭다(확실한 그룹으로서).이 결과는 Adrien Douady 덕분이며 리만의 존재 정리에 그 기원을 두고 있다.^[1]
• 보다 일반적으로 C는 대수적으로 닫힌 장으로 하고 x 변수는 변수로 한다.그러면 K = C(x)의 절대 갈루아 그룹은 C의 카디널리티와 같은 등급이 없다.이 결과는 데이비드 하바터와 플로리안 팝 덕분이며, 후에 댄 하란과 모셰 자르덴에 의해서도 대수법을 사용하여 증명되었다.^[2][3][4]
• K는 p-adic 숫자 Q의_p 유한한 확장자가 되도록 한다.p ≠ 2의 경우 절대 갈루아 그룹은 [K:Q_p] + 3 원소에 의해 생성되며 발전기와 관계에 의한 명시적인 설명을 가지고 있다.우웨 잔센과 케이 윙버그의 결과다.^[5][6]사례 p = 2에서는 일부 결과가 알려져 있지만 Q에₂ 대한 구조는 알려져 있지 않다.^[7]
• 절대 갈루아 집단이 결정된 또 다른 경우는 대수적 숫자 분야의 가장 큰 실제 하위 분야다.^[8]

문제

• 이성적인 숫자의 절대 갈루아 집단에 대한 직접적인 설명은 알려져 있지 않다.이 경우 절대 갈루아 집단은 그로텐디크(표면 위의 맵스)의 데신 덴팡트(desin d'enfants)에 대해 충실한 작용을 하여 대수적 수장의 갈루아 이론을 "보기"할 수 있다는 것이 벨리의 정리로부터 따르게 된다.
• K를 합리적인 숫자의 최대 아벨 연장이 되게 하라.그러자 샤파레비치의 추측에 따르면 K의 절대 갈루아 집단은 자유가 있는 집단이라고 단언한다.^[9]

몇 가지 일반적인 결과

• 모든 무수한 집단은 어떤 갈루아 확장자의 갈루아 집단으로 발생하지만, 모든 무수한 집단이 절대적으로 갈루아 집단으로 발생하는 것은 아니다.^[10]예를 들어 아르틴-슈레이어 정리는 유일한 유한 절대 갈루아 집단은 사소한 것이거나 순서 2 중 하나이며, 이는 두 개의 이형성 계급에 불과하다고 주장한다.
• 모든 투사적인 무수한 집단은 사이비 대수학적으로 폐쇄된 분야의 절대적 갈루아 집단으로 실현될 수 있다.이 결과는 알렉산더 루보츠키와 루반 덴 드리스 덕분이다.^[11]

참조

원천

• Douady, Adrien (1964), "Détermination d'un groupe de Galois", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 258: 5305–5308, MR 0162796
• Fried, Michael D.; Jarden, Moshe (2008), Field arithmetic, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge, vol. 11 (3rd ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-77269-9, Zbl 1145.12001
• Haran, Dan; Jarden, Moshe (2000), "The absolute Galois group of C(x)", Pacific Journal of Mathematics, 196 (2): 445–459, doi:10.2140/pjm.2000.196.445, MR 1800587
• Harbater, David (1995), "Fundamental groups and embedding problems in characteristic p", Recent developments in the inverse Galois problem (Seattle, WA, 1993), Contemporary Mathematics, vol. 186, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, pp. 353–369, MR 1352282
• Jannsen, Uwe; Wingberg, Kay (1982), "Die Struktur der absoluten Galoisgruppe ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-adischer Zahlkörper", Inventiones Mathematicae, 70: 71–78, Bibcode:1982InMat..70...71J, doi:10.1007/bf01393199
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 323, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196, Zbl 0948.11001
• Pop, Florian (1995), "Étale Galois covers of affine smooth curves. The geometric case of a conjecture of Shafarevich. On Abhyankar's conjecture", Inventiones Mathematicae, 120 (3): 555–578, Bibcode:1995InMat.120..555P, doi:10.1007/bf01241142, MR 1334484