소규모 그룹 목록

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수학에서 다음 목록은 군 동형사상에 이르는 유한한 군들을 포함한다.

카운트

n = 1, 2, …의 경우, 순서 n의 비동형 그룹의 수는 다음과 같다.

1, 1, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 14, 1, 5, 5, ... (OEIS의 시퀀스 A000001)

라벨이 붙은 그룹에 대해서는, OEIS: A034383 를 참조해 주세요.

용어집

각 그룹은 소그룹 라이브러리에 의해 G로_oⁱ 명명됩니다.여기서 o는 그룹의 순서이고 i는 그 순서 내의 그룹의 인덱스입니다.

공통 그룹 이름:

• Z_n: n차 순환군(C표기도 사용되며_n, Z/nZ의 가법군과 동형이다).
• Dih_n: 순서 2n의 이면체군(종종 D 또는_2n D 표기가_n 사용됨)
  • K₄: Z × Z₂ 및 Dih와₂ 같은₂ 순서 4의 클라인 4군.
• S_n: n개의 원소의 n! 순열을 포함하는 n도의 대칭 그룹.
• A_n: n개 원소의 짝수 순열을 포함하는 n개 차수의 교대 그룹이며, n = 0, 1에 대한 순서 1이고, 그렇지 않으면 n!/2에 대한 순서입니다.
• Dic_n 또는_4n Q: 순서 4n의 쌍환식 그룹.
  • Q₈: 오더 8의 4분의 1 그룹, 또한₂ Dic.

표기법_n Z와_n Dih는 3차원_n C와_n D의 점 그룹이 동일한 표기법을 가지고 있지 않다는 장점이 있습니다.이 두 그룹보다 더 많은 아이소메트리 그룹이 있으며, 동일한 추상 그룹 유형을 가지고 있다.

G × H 표기법은 두 그룹의 직접 산물을 나타내며ⁿ, G는 n배의 직접 산물을 나타낸다.G h H는 H가 G에 작용하는 반직접 산물을 의미하며, 이는 또한 G에 대한 H의 작용 선택에 따라 달라질 수 있다.

아벨리안과 단순군이 기재되어 있다.(순서 n < 60의 경우, 단순군은 정확히 순환군_n Z, 소수 n의 경우)등호("=")는 동형성을 나타낸다.

주기 그래프의 ID 요소는 검은색 원으로 표시됩니다.사이클 그래프가 그룹을 일의로 나타내지 않는 가장 낮은 순서는 16입니다.

하위 그룹 목록에는 하위 그룹과 그룹 자체는 나열되지 않습니다.여러 개의 동형 부분군이 있는 경우, 이러한 부분군의 수는 괄호 안에 표시됩니다.

각 괄호 <relations>는 그룹의 프레젠테이션을 나타냅니다.

작은 아벨 군 목록

유한 아벨군은 순환군 또는 그 직접적 산물이다. 아벨 군을 참조하라.n = 1, 2, ... 차수의 비동형 아벨 군의 수는 다음과 같다.

1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 2, 1, 2, 2, ... (OEIS의 시퀀스 A000688)

레이블이 지정된 아벨 그룹은 OEIS: A034382를 참조하십시오.

차수 31까지의 모든 아벨 군 목록

주문	아이디[a]	Goi	그룹.	중요하지 않은 고유 부분군	사이클 그래프	특성.
1	1	G11	Z1 = S1 = A2	–		사소하다.순환.번갈아 가며.대칭.초급.
2	2	G21	Z2 = S2 = D2	–		심플하고 대칭이야순환.초급. (가장 작은 비사소한 그룹)
3	3	G31	Z3 = A3	–		간단해, 번갈아 가며.순환.초등.
4	4	G41	Z41 = Dic	Z2		순환.
	5	G42	Z22 = K4 = D4	Z2(3)		초등.제품(클레인 4인조).가장 작은 비순환 그룹).
5	6	G51	Z5	–		간단해, 순환적이야초등.
6	8	G62	Z6 = Z3 × Z2[1]	Z3, Z2		주기적, 제품
7	9	G71	Z7	–		간단해, 순환적이야초등.
8	10	G81	Z8	Z4, Z2		순환.
	11	G82	Z4 × Z2	Z22, Z4(22), Z(3)		제품.
	14	G85	Z23	Z222(7), Z(7)		제품.초. (비동일성 요소는 Fano 평면의 점, Z × Z2 하위2 그룹은 선에 해당합니다.)
9	15	G91	Z9	Z3		순환.
	16	G92	Z32	Z3(4)		초등.제품.
10	18	G102	Z10 = Z5 × Z2	Z5, Z2		주기적, 제품
11	19	G111	Z11	–		간단해, 순환적이야초등.
12	21	G122	Z12 = Z4 × Z3	Z6, Z4, Z3, Z, Z2		주기적, 제품
	24	G125	Z6 × Z2 = Z3 × Z22	Z6(3), Z3, Z2(3), Z22		제품.
13	25	G131	Z13	–		간단해, 순환적이야초등.
14	27	G142	Z14 = Z7 × Z2	Z7, Z2		주기적, 제품
15	28	G151	Z15 = Z5 × Z3	Z5, Z3		주기적, 제품
16	29	G161	Z16	Z8, Z4, Z2		순환.
	30	G162	Z42	Z2(3), Z4(6), Z22, Z4 × Z2(3)		제품.
	33	G165	Z8 × Z2	Z2(3), Z4(2), Z224, Z8(2), Z × Z2		제품.
	38	G1610	Z4 × Z22	Z2(7), Z4(4), Z22(7), Z23, Z4 × Z2(6)		제품.
	42	G1614	Z24 = K42	Z2(1522), Z(35), Z23(15)		제품.초등.
17	43	G171	Z17	–		간단해, 순환적이야초등.
18	45	G182	Z18 = Z9 × Z2	Z9, Z6, Z3, Z, Z2		주기적, 제품
	48	G185	Z6 × Z3 = Z32 × Z2	Z2, Z3(4), Z6(4), Z32		제품.
19	49	G191	Z19	–		간단해, 순환적이야초등.
20	51	G202	Z20 = Z5 × Z4	Z10, Z5, Z4, Z, Z2		주기적, 제품
	54	G205	Z10 × Z2 = Z5 × Z22	Z2(3), K4, Z5, Z10(3)		제품.
21	56	G212	Z21 = Z7 × Z3	Z7, Z3		주기적, 제품
22	58	G222	Z22 = Z11 × Z2	Z11, Z2		주기적, 제품
23	59	G231	Z23	–		간단해, 순환적이야초등.
24	61	G242	Z24 = Z8 × Z3	Z12, Z8, Z6, Z4, Z3, Z, Z2		주기적, 제품
	68	G249	Z12 × Z2 = Z6 × Z4 = Z4 × Z3 × Z2	Z12, Z6, Z4, Z3, Z, Z2		제품.
	74	G2415	Z6 × Z22 = Z3 × Z23	Z6, Z3, Z2		제품.
25	75	G251	Z25	Z5		순환.
	76	G252	Z52	Z5		제품.초등.
26	78	G262	Z26 = Z13 × Z2	Z13, Z2		주기적, 제품
27	79	G271	Z27	Z9, Z3		순환.
	80	G272	Z9 × Z3	Z9, Z3		제품.
	83	G275	Z33	Z3		제품.초등.
28	85	G282	Z28 = Z7 × Z4	Z14, Z7, Z4, Z, Z2		주기적, 제품
	87	G284	Z14 × Z2 = Z7 × Z22	Z14, Z7, Z4, Z, Z2		제품.
29	88	G291	Z29	–		간단해, 순환적이야초등.
30	92	G304	Z30 = Z15 × Z2 = Z10 × Z3 = Z6 × Z5 = Z5 × Z3 × Z2	Z15, Z10, Z6, Z5, Z3, Z, Z2		주기적, 제품
31	93	G311	Z31	–		간단해, 순환적이야초등.

소규모 비벨리아 그룹 목록

비벨리안 그룹의 수는 순서대로 카운트됩니다(OEIS의 시퀀스 A060689).그러나 많은 주문에는 비-벨리안 그룹이 없습니다.비벨리안 그룹이 존재하는 순서는 다음과 같습니다.

6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 46, 48, 50, ...(OEIS의 시퀀스 A060652)

주문 31까지의 모든 비벨리아 그룹 목록

주문	아이디[a]	Goi	그룹.	중요하지 않은 고유 부분군	사이클 그래프	특성.
6	7	G61	D6 = S3 = Z3 ⋊ Z2	Z3, Z2(3)		이면체군, Dih3, 가장 작은 비벨군, 대칭군, 프로베니우스군.
8	12	G83	D8.	Z4, Z22(22), Z(5)		이면체군, 디4엑스트라 스페셜 그룹.전혀 효과가 없다.
	13	G84	질문8	Z42(3), Z		사분위수 그룹, 해밀턴 그룹(모든 부분군은 아벨리안이 아닌 정규 부분군임).정규 부분군 H의 경우 몫군 G/H가 G. Extraspecial 그룹의 부분군과 동형일 필요는 없다는 것을 나타내는 가장 작은 그룹 G.Dic2,[2] 이진 이면체군 <2,2,2>.[3] Nilpotent.
10	17	G101	D10.	Z5, Z2(5)		이면체군, 디5, 프로베니우스군
12	20	G121	Q12 = Z3 z4 Z	Z26, Z3, Z4(3), Z		다이사이클릭군3 Dic, 이면체군 <3,2,2>[3]
	22	G123	A4 = K4 z3 Z = (Z2 × Z2) z3 Z	Z22, Z3(42), Z(3)		교대 그룹순서 6의 부분군은 없지만 6은 순서를 나눕니다.프로베니우스 그룹 키랄 사면체 대칭(T)
	23	G124	D12 = D6 × Z2	Z6, D6(2), Z22(3), Z3, Z2(7)		2면체군, Dih6, 제품.
14	26	G141	D14.	Z7, Z2(7)		이면체군, 디7, 프로베니우스군
열여섯[4] 살	31	G163	G4,4 = K4 z4 Z	E8, Z4 × Z2(2), Z4(4), K4(6), Z2(6)		Pauli 그룹과 동일한 수의 요소를 가지고 있습니다.전혀 효과가 없다.
	32	G164	Z4 † Z4			원소의 제곱은 부분군을 형성하지 않습니다.Q × Z와2 같은8 수의 모든 오더를 가진 요소를 가집니다.전혀 효과가 없다.
	34	G166	Z8 † Z2			아벨 군과8 Q × Z도2 모듈러이기 때문에 오해의 소지가 있지만, 때로는 16차 모듈러 군이라고 불린다.전혀 효과가 없다.
	35	G167	D16.	Z8, D8(2), Z22(4), Z4, Z2(9)		이면체군, 디8전혀 효과가 없다.
	36	G168	QD16			준이면체 군 16차입니다.전혀 효과가 없다.
	37	G169	질문16			일반화 사분위기, 다이사이클릭기4 Dic, 이진 이면체기, <4,2,2>.[3] Nilpotent.
	39	G1611	D8 × Z2	D8(4), Z4 × Z2, Z23(2), Z(13), Z4(2), Z222(11)		제품.전혀 효과가 없다.
	40	G1612	Q8 × Z2			해밀턴, 제품.전혀 효과가 없다.
	41	G1613	(Z4 × Z2) z2 Z			Pauli 행렬에 의해 생성된 Pauli 그룹입니다.전혀 효과가 없다.
18	44	G181	D18.	Z9, D6(3), Z3, Z2(9)		이면체군, 디9, 프로베니우스군
	46	G183	ZzZ36 = D6×Z3 = S3×Z3	Z32, D6, Z6(3), Z3(4), Z2(3)		제품.
	47	G184	(Z3×Z3)z2 Z	Z32, D6(12), Z3(4), Z2(9)		프로베니우스 그룹
20	50	G201	질문20			다이사이클릭 그룹5 Dic, 바이너리 이면체 그룹 <5, 2, 2>.[3]
	52	G203	Z5 † Z4			프로베니우스 그룹
	53	G204	D20 = D10 × Z2			2면체군, Dih10, 제품.
21	55	G211	Z7 † Z3	Z7, Z3(7)		홀수 차수의 최소 비벨 그룹입니다.프로베니우스 그룹
22	57	G221	D22.	Z11, Z2(11)		이면체군 Dih11, 프로베니우스군.
24	60	G241	Z3 † Z8	Z12, Z8(3), Z6, Z4, Z3, Z, Z2		S의 중앙3 확장
	62	G243	SL(2,3) = Q8 µ3 Z			2진수 사면체군, 2T = <3,3,[3]2>
	63	G244	Q24 = Z3 ⋊Q8			다이사이클릭군6 Dic, 바이너리 이면체, <6, 2, 2>.[3]
	64	G245	D6 × Z4 = S3 × Z4			제품.
	65	G246	D24.			이면체군, 디12
	66	G247	Q12 × Z2 = Z2 × (Z3 z4 Z)			제품.
	67	G248	(Z6 × Z2) z2 Z = Z3 di4 Dih			이면체 그룹의 이중 덮개.
	69	G2410	D8 × Z3			제품.전혀 효과가 없다.
	70	G2411	Q8 × Z3			제품.전혀 효과가 없다.
	71	G2412	S4.	28개의 적절한 비사소 부분군, 9개의 부분군, 동형 부분군, 즉 S3, S, A3, D가2 포함됩니다48.[5]		대칭군일반 Sylow 서브그룹이 없습니다.키랄 팔면체 대칭(O), 아키랄 사면체 대칭(Td)
	72	G2413	A4 × Z2			제품.사면체 대칭(Th)
	73	G2414	D12 × Z2			제품.
26	77	G261	D26.			이면체군, 디13, 프로베니우스군
27	81	G273	Z32 † Z3			사소하지 않은 모든 요소는 차수가 3입니다.엑스트라 스페셜 그룹.전혀 효과가 없다.
	82	G274	Z9 † Z3			엑스트라 스페셜 그룹.전혀 효과가 없다.
28	84	G281	Z7 † Z4			다이사이클릭 그룹7 Dic, 바이너리 이면체 그룹 <7, 2, 2>.[3]
	86	G283	D28 = D14 × Z2			2면체군, Dih14, 제품.
30	89	G301	Z5 × D6			제품.
	90	G302	D10 × Z3			제품.
	91	G303	D30.			이면체군, 디15, 프로베니우스군

소순서 그룹 분류

소수 전력 차수ⁿ p의 그룹은 다음과 같다.

• 순서 p: 유일한 그룹은 순환입니다.
• 순서² p: 두 개의 그룹만 있습니다. 둘 다 아벨리안입니다.
• 순서³ p: 3개의 아벨 군과 2개의 비벨 군이 있습니다.비벨기 중 하나는 순서 p의 주기적 그룹에 의한 순서² p의 정규 주기적 부분군의 반직접 곱이다.다른 하나는 p = 2의 사분위기와 p > 2의 지수 p 그룹이다.
• 순서⁴ p: 분류가 복잡하여 p의 지수가 높아질수록 더욱 어려워집니다.

대부분의 소순서 그룹은 순서를 나누는 일부 소수 p에 대해 정규 p-완성 N을 갖는 Sylow p 부분군 P를 가지므로 가능한 소수 p, p-그룹 P, 그룹 N 및 N에 대한 P의 작용으로 분류할 수 있습니다.어떤 의미에서는 이러한 그룹의 분류가 p-groups 분류로 감소한다.정상적인 p-completion이 없는 소규모 그룹에는 다음과 같은 것이 있습니다.

• 주문 24:대칭군₄ S
• 차수 48: 이항 팔면체 군 및₄ S₂ × Z
• 순서 60: 교대 그룹₅ A.

얼마나 많은 비동형 그룹이 있는지 알려지지 않은 가장 작은 순서는 2048 = ^[6]2이다¹¹.

소규모 그룹 라이브러리

GAP 컴퓨터 대수 시스템은 "Small Groups 라이브러리"라고 불리는 패키지를 포함하고 있으며, 이 라이브러리는 소순서 그룹의 설명에 대한 액세스를 제공합니다.그룹은 동형사상까지 나열되어 있습니다.현재 라이브러리에는 다음 ^[7]그룹이 포함되어 있습니다.

• 순서 1024(423164062 그룹, 순서^[9] 1024의 추가 49487365422 비동형 2개의 그룹이 있기 때문에 1024의 그룹은 생략해야 함)를 제외한 최대^[8] 2000개의 순서.
• 최대 50000개(395개 703개 그룹)의 세제곱수.
• 정사각형 자유 질서의 것
• 최대 6 및 p p prime에 대한 p 차수ⁿ.
• p = 3, 5, 7, 11(907⁷ 489 그룹)에 대한 p차수
• q가ⁿ 2, 3⁶, 5⁵, 7을⁴ 나누고⁸ p가 q와 다른 임의의 소수인 경우ⁿ pq의 차수.
• 순서가 최대 3개의 소수(반드시 구별되는 것은 아니다)로 분해되는 사람들.

이 문서에는 사용 가능한 그룹에 대한 컴퓨터 판독 가능한 형식으로 명시적인 설명이 포함되어 있습니다.

Small Groups 라이브러리에 정보가 없는 최소 순서는 1024입니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 유한단순군분류
• 구성 시리즈
• 유한 단순 그룹 목록
• 지정된 순서의 그룹 수
• 작은 라틴 사각형과 준군
• 시로우 정리

메모들

레퍼런스

• 표 1, Nonabelian 그룹 주문 <32Coxeter, H. S. M. & Moser, W. O. J. (1980). Generators and Relations for Discrete Groups. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.>
• Hall, Jr., Marshall; Senior, James K. (1964). "The Groups of Order 2ⁿ (n ≤ 6)". Macmillan. MR 0168631. A catalog of the 340 groups of order dividing 64 with tables of defining relations, constants, and lattice of subgroups of each group. {{cite journal}}:Cite 저널 요구 사항 journal=(도움말)CS1 유지보수: 포스트스크립트(링크)

외부 링크

• 그룹 속성 Wiki의 특정 그룹
• 지정된 순서의 그룹
• Besche, H. U.; Eick, B.; O'Brien, E. "small group library". Archived from the original on 2012-03-05.
• GroupNames 데이터베이스