디비전 링

대수학에서는 스큐장이라고도 불리는 사단고리는 분할이 가능한 고리다.구체적으로는 0이 아닌 모든 원소 a가 a = a = 1^–1.와^–1 같이 일반적으로 a를^–1 나타내는 역수를 갖는 논제로 링이다^[1]. 따라서 분할은 a / b = b로^–1 정의할 수 있지만, b^–1 ≠ b를^–1 가질 수 있기 때문에 이 표기법은 일반적으로 피한다.

디비전 링은 일반적으로 비전향 링이다.분야인 경우에만, '분할 링'이라는 용어가 거의 사용되지 않는 경우, 분할 링이라는 용어는 분할 링이 분할 링이 분할 링이 분할 링이 분할 링이 분할 링이 분할 링이 분할 링이 분할 링이 분할 링이 분할 링이라는 증명에 있는 특성을 제외하고는 분할 링이라는 용어가 거의 사용되지 않는 경우, 분할 때 분할 수 있다.예를 들어 웨더번의 작은 정리는 모든 유한분할 고리가 역행적이고 따라서 유한한 장이라고 단언한다.null

역사적으로 분할반지는 때때로 필드라고 일컬어지는 반면, 필드는 "계속적인 필드"^[5]라고 불렸다.프랑스어 등 일부 언어에서는 "필드"("corps")에 해당하는 단어를 통용적 경우와 비통용적 경우 모두에 사용하며, 두 경우의 구분은 "corps commutatif"(통용적 필드) 또는 "corps gauche"(스큐적 필드)와 같은 자격요건을 추가하여 이루어진다.null

모든 디비전 링은 간단하다.즉, 그들은 제로 이상과 그 자체 외에 양면적인 이상을 가지고 있지 않다.null

대수구조
그룹다운 그룹 세미그룹 / 모노이드 랙 앤 퀀들 Quas그룹과 루프 아벨 군 마그마 거짓말군 집단 이론
반지 같은 울리다 Rng 세미닝 근링 정류 링 통합 도메인 밭 디비전 링 리 링 링 이론
격자 모양의 격자 세미라티체 보완 격자 총순번 헤이팅 대수 부울 대수 선반 지도 격자 이론
모듈형 모듈 연산자와 그룹화 벡터 공간 선형대수학
대수적 유사 대수학 연상적 비연관적 구성 대수 리 대수 등급이 매겨진 바이알게브라 호프 대수
v t

장과 선형대수와의 관계

모든 분야는 분할 링이다. 더 흥미로운 예는 비확정 분할 링이다.가장 잘 알려진 예는 쿼터니온 H의 링이다. 쿼터니온의 구성에서 실제 계수 대신 합리적인 계수만 허용하면 또 다른 디비전 링을 얻는다.일반적으로 R이 링이고 S가 R보다 단순한 모듈이라면, 슈르의 보조정리법에 의해 S의 내형성 링은 디비전 링이다.^[6] 모든 디비전 링은 어떤 단순한 모듈에서 이러한 방식으로 발생한다.null

필드 위의 벡터 공간 대신 분할 링 D를 통한 모듈에 대해 선형 대수학의 많은 부분이 공식화될 수 있으며, 여전히 정확하다.그렇게 하는 것은 오른쪽과 왼쪽 모듈을 고려하고 있는지 여부를 명시해야 하며, 공식에서 왼쪽과 오른쪽을 적절히 구별하는 데 약간의 주의가 필요하다.좌표에서 작업할 때, 유한 치수 오른쪽 모듈의 요소는 스칼라로 오른쪽을 곱할 수 있는 컬럼 벡터로, 왼쪽은 행렬(선형 맵을 나타냄)으로 나타낼 수 있다. 유한 치수 왼쪽 모듈의 원소는 스칼라로 곱할 수 있는 행 벡터를 사용해야 한다.행렬을 따라우측 모듈의 이중은 좌측 모듈이며, 그 반대의 경우도 마찬가지다.규칙(AB)^T = BA가^TT 유효하게 유지되려면 행렬의 전치(transpose)는 반대편 분할 링 D를^op 통해 행렬로 보아야 한다.null

디비전 링 위에 있는 모든 모듈은 무료다. 즉, 그것은 기초를 가지고 있고, 모듈의 모든 베이스는 동일한 수의 요소를 가지고 있다.분할 링 위에 있는 유한차원 모듈 사이의 선형 지도는 행렬로 설명할 수 있다; 정의에 의한 선형 지도는 스칼라 곱셈으로 벡터 반대편에 스칼라로 적음으로써 가장 편리하게 표기된다.가우스 제거 알고리즘은 적용 가능한 상태로 남아 있다.행렬의 열 순위는 열에서 생성된 오른쪽 모듈의 치수, 행 순위는 행에서 생성된 왼쪽 모듈의 치수다. 벡터 스페이스 케이스와 동일한 증거를 사용하여 이러한 순위가 동일하다는 것을 보여주고 행렬의 순위를 정의할 수 있다.null

사실 그 반대의 경우도 사실이며 이는 모듈 범주를 통해 분할 링의 특성을 나타내는데, 이는 모든 R-모듈이 무료일 경우에만 분할 링이다.^[7]null

디비전 링의 중심은 서로 상응하므로 밭이다.^[8]그러므로 모든 디비전 링은 그 중심에 있는 디비전 대수다.분할 고리는 중심부에 걸쳐 유한 차원인지 무한 차원인지에 따라 대략적으로 분류할 수 있다.전자는 중심적으로 유한하고 후자는 중심적으로 무한하다고 한다.물론 모든 분야가 그 중심에 걸쳐 일차원적이다.해밀턴 쿼터니온의 링은 그 중심에 4차원 대수학을 형성하는데, 이것은 실제 숫자와 이형이다.null

예

• 위에서 언급한 바와 같이, 모든 분야는 분할 링이다.
• 쿼터니온은 비협조적인 디비전 링을 형성한다.
• a, b, c, d가 실수의 고정된 하위 필드에 속하도록 쿼터니온 a + bi + cj + dk의 하위 집합은 비확정 분할 링이다.이 하위 영역이 합리적인 숫자의 분야일 때, 이것은 합리적인 쿼터니온의 분열 고리일 것이다.
• Let ${\displaystyle \sigma :\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ be an automorphism of the field ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Let ${\displaystyle \mathbb {C} ((z,\sigma ))}$ denote the ring of formal Laurent series with complex coefficients, wherein multiplication is defined as follows: instead of simply allowing coefficients to commute directly with the indeterminate ${\displaystyle z}$, for ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$, define ${\displaystyle z^{i}\alpha :=\sigma ^{i}(\alpha )z^{i}}$ for each index ${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$. If ${\$디스플레이 $스타일 \sigma }$은(는) 복잡한 숫자의 비삼각적 자동모형(예: 결합)이며$$, Laurent 시리즈의 결과 링은 꼬치 Laurent 시리즈 링으로 알려진 엄밀히 비확정적인 분할 링이다.^[9] 만약 σ = id이면 형식 시리즈의 표준 곱셈이 특징이다.이 개념은 $비독점적{\displaystyle }$ F ${\displaystyle F}$ -자동형성$$ $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$을(를) 통해 Laurent 시리즈의 $링$에 일반화될 수 있다$.$

주요 이론들

웨더번의 작은 정리:모든 유한분할고리는 상호작용이므로 유한한 장이다.(에른스트 위트가 간단한 증거를 제시했다)null

프로베니우스 정리:실재에 대한 유일한 유한차원 연관성 분열 알헤브라는 실재자체, 복잡한 수, 그리고 쿼터니온이다.null

관련 개념

나눗셈 링은 예전 용어로 "필드"라고 불렸다.많은 언어에서, "몸"을 의미하는 단어는 분절반지에 사용되며, 어떤 언어에서는 분절반지를 지정하거나, 다른 언어에서는 특별히 분절반지를 지정한다(현재 우리가 영어로 필드라고 부르는 것).보다 완벽한 비교는 필드에 관한 글에서 찾을 수 있다.null

"스큐 필드"라는 명칭은 흥미로운 의미적 특징을 가지고 있다: 수식어(여기서 "스큐")는 기본 용어(여기서 "필드")의 범위를 넓힌다.따라서 필드는 특정 유형의 스큐 필드로, 모든 스큐 필드가 필드인 것은 아니다.null

여기서 논의한 분열반지와 알헤브라는 연관성 있는 곱셈을 가지고 있다고 가정하지만, 팔괘와 같은 비연관성 분열 알헤브라도 관심의 대상이다.null

근거리장은 두 가지 분배법 중 하나만을 가지고 있다는 점을 제외하고는 분할고리와 유사한 대수적 구조다.null

메모들

참고 항목

• 화의 정체

참조

• Lam, Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 131 (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-95183-0. Zbl 0980.16001.

추가 읽기

• Cohn, P.M. (1995). Skew fields. Theory of general division rings. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 57. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-43217-0. Zbl 0840.16001.

외부 링크

• 행성수학에서의 웨더번 정리 증명
• Grillet's Abstract Algebra, 섹션 VIII.5의 자유 모듈을 통한 분할 링 특성화.null