콤팩트 그룹

수학에서 콤팩트(위상학) 그룹은 토폴로지가 콤팩트한 위상학 그룹이다(그룹의 요소를 운용할 때 그 결과도 그룹 내에 있다). 콤팩트 그룹은 이산 토폴로지를 가진 유한집단의 자연 일반화로서 상당한 유행을 이어가는 특성을 가지고 있다. 콤팩트 그룹은 집단 행동과 대표 이론과 관련하여 잘 이해된 이론을 가지고 있다.

다음에서 우리는 모든 그룹이 하우스도르프 공간이라고 가정할 것이다.

컴팩트 거짓말 그룹

거짓말 집단은 위상학 집단의 한 부류를 형성하며, 콤팩트한 거짓말 집단은 특히 잘 발달된 이론을 가지고 있다. 컴팩트한 Lie 그룹의 기본 예는 다음과^[1] 같다.

• 원 그룹 T와 토러스 그룹 Tⁿ,
• 직교 그룹 O(n), 특수 직교 그룹 SO(n) 및 그 포함 스핀 그룹 스핀(n)
• 유니터리 그룹 U(n)와 특수 유니터리 그룹 SU(n),
• G₂, F₄, E₆, E₇, E₈, E, 그리고 예외적인 Lie 그룹의 콤팩트한 형태들

콤팩트 리 그룹의 분류 정리는 최대 유한한 확장 및 유한한 적용범위가 이 예(이미 일부 중복성을 포함하고 있음)의 리스트를 배출한다고 명시하고 있다. 이 분류는 다음 항에 더 자세히 설명되어 있다.

분류

컴팩트한 Lie 그룹 G가 있으면, 연결된 ID 컴포넌트 G를₀ 가져갈 수 있다. 지수군 G/G는₀ G가 작기 때문에 유한해야 하는 성분 group₀(G)의 그룹이다. 따라서 우리는 한정된 확장을 가지고 있다.

${\displaystyle 1\to G_{0}\to G\to \pi _{0}(G)\to 1.}$

한편, 커넥티드 컴팩트 리 그룹에 대해서는 다음과 같은 결과가 있다.^[2]

정리: 모든 연결된 컴팩트 리 그룹은 단순하게 연결된 컴팩트 리 그룹과 토러스 제품의 유한한 중심 서브그룹의 몫이다.

따라서, 접속 컴팩트 리 그룹의 분류는 원칙적으로 그 중심에 관한 정보와 함께 간단히 접속된 컴팩트 리 그룹에 대한 지식으로 축소될 수 있다.(센터 관련 정보는 기본 그룹 및 센터 관련 아래 절을 참조)

마지막으로, 모든 콤팩트하고, 연결되고, 단순하게 연결된 Lie 그룹 K는 콤팩트하고, 연결되고, 단순하게 연결된 단순 Lie 그룹 K의_i 제품이며, 각각은 다음 중 정확히 한 가지에 이형화되어 있다.

• 콤팩트한 공감대 그룹 Sp${\displaystyle }$ic (${\displaystyle n}$ )${\displaystyle }$, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \operatorname {Sp}(n),\,n\geq 1}$
• 특수 단일 그룹 ${\displaystyle \mathrm{SU}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (n}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \operatorname {SU}(n),\,n\geq 3}$
• 스핀 그룹 ${\displaystyle \mathrm{스핀}((n}$) , ${\displaystyle \mathrm{n}}$ ${\displaystyle \ge }$ 7 ${\displaystyle \operatorname {Spin}(n),\,n\geq$7}

또는₂ G, F₄, E₆, E₇, E₈ 5개의 예외 그룹 중 하나. n에 대한 제한은 n의 작은 가치에 대한 다양한 가족들 사이의 특별한 이질성을 피하기 위한 것이다. 이들 그룹 각각에 대해 센터는 명시적으로 알려져 있다. 이 분류는 관련 루트 시스템(고정 최대치 토러스)을 통해 이루어지며, 이는 Dynkin 다이어그램에 의해 분류된다.

콤팩트하고 단순하게 연결된 Lie 그룹의 분류는 복잡한 semisimple Lie Algebras의 분류와 동일하다. 실제로 K가 단순하게 연결된 콤팩트 리 그룹이라면 K의 리 대수학 복잡화는 반실행이다. 반대로, 모든 복잡한 반실행 Lie 대수에는 콤팩트하고 단순하게 연결된 Lie 그룹의 Lie 대수학과 콤팩트한 실제 형태의 이형형이 있다.

최대 토리 및 루트 시스템

커넥티드 컴팩트 리 그룹 K의 연구에서 핵심 아이디어는 최대 토러스 개념으로, S ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$ S$^{1}$의 여러 사본에 이형화된 K의 부분군 T에 해당하며, 이$$ 유형의 어떤 큰 부분군에도 포함되지 않는다. A basic example is the case ${\displaystyle K=\operatorname {SU} (n)}$, in which case we may take ${\displaystyle T}$ to be the group of diagonal elements in ${\displaystyle K}$. A basic result is the torus theorem which states that every element of ${\displaystyle K}$ belongs to a maximal torus and tha모든 maximal tori는 결합이다.

콤팩트한 그룹에서 맥심 토러스(maximal torus)는 복잡한 반실행 리 대수학에서 카르탄 아발지브라와 유사한 역할을 한다. subalgebra)와 유사한 역할을 한다. 특히 최대 토러스 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T\subset K}$를 선택하면$$ 반실행 리알헤브라스(Lie Algebras)에 대해 가지고 있는 것과 유사한 루트 시스템과 Weyl 그룹을 정의할 수 있다.^[3] 그런 다음 이러한 구조는 연결된 컴팩트 그룹의 분류(위에서 설명됨)와 고정된 그러한 그룹의 대표이론(아래 설명됨)에서 모두 필수적인 역할을 한다.

단순하게 연결된 컴팩트 그룹의 분류에 나타나는 단순 컴팩트 그룹과 관련된 루트 시스템은 다음과 같다.^[4]

• 특수 단일 그룹 ${\displaystyle \mathrm{SU}}$ ${\displaystyle (n}$) ${\displaystyle \operatorname {SU}(n)}$은(는) 루트 $시스템{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$에 해당한다$$.
• 홀수 스핀 그룹 ${\displaystyle \mathrm{스핀}}$ ${\displaystyle (\mathrm{2n}}$+ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \operatorname {Spin}(2n+1)$은 루트 시스템 ${\displaystyle {Bn}_{}}$ ${\$에 해당한다$$.
• 콤팩트한 공감대 그룹 ${\displaystyle \mathrm{Sp}}$ ${\displaystyle (n}$) ${\displaystyle \operatorname {Sp}(n)}$은(는) 루트 시스템 $C{\displaystyle {}_{}}$ {${\displaystyle n_{}}$ ${\$에 해당한다$$.
• 짝수 스핀 그룹 ${\displaystyle \mathrm{스핀}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{2n}}$ )$${\$displaystyle \operatorname {Spin}(2n)$은 루트 $시스템{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Dn}_{}}${\$displaystyle D_{n}$에 해당한다.
• 예외적으로 컴팩트한 Lie 그룹은 5개의 예외적인 루트₂ 시스템 G₄, F₆, E, E₇ 또는 E에₈ 해당한다.

기본 그룹 및 중심

연결된 콤팩트한 리 그룹이 단순히 연결되어 있는지, 연결되어 있지 않다면 그 기본 그룹을 결정하는 것이 중요하다. 컴팩트 리 그룹의 경우, 기본 그룹을 계산하는 두 가지 기본 접근법이 있다. The first approach applies to the classical compact groups ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$, ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$, ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$, and ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$ and proceeds by induction on ${\displaystyle n$$\}.$ 두 번째 접근법은 루트 시스템을 사용하여 연결된 모든 컴팩트 리 그룹에 적용된다.

커넥티드 컴팩트 리 그룹의 중심을 아는 것도 중요하다. 고전 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 중심은 쉽게 "수동으로" 계산할 수 있으며$$, 대부분의 경우 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에 있는 정체성의 뿌리가 무엇이든 간단히 구성된다$.($그룹 SO(2)는 예외다. 대부분의 요소가 정체성의 뿌리가 아님에도 중심은 전체 그룹이다.) 따라서 예를 들어, ${\displaystyle \mathrm{SU}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$의 중심은 ID를 곱한 통일성의 n번째 루트로$$ 구성되며, 순서는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyn}$의 순환 그룹이다$.$

일반적으로 중심은 최대토루스(maximal torus)에 대한 뿌리 격자(root lattice)와 지수 지도(expective map)의 커널(kernel)의 용어로 표현할 수 있다.^[5] 예를 들어, 일반적인 방법은 예외적인 루트 시스템 $G{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}}에 해당하는 단순하게 연결된 컴팩트 그룹에 사소한 중심이 있음을$$ 보여준다. 따라서 콤팩트 $G{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 스타일 $G_{2$}} 그룹은 단순하게 연결되고 중앙이 없는 매우 적은 수의 간단한 컴팩트 그룹 중 하나이다.(다른 그룹은 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 스타일 $F_{4}$와 E$$ ${\displaystyle {8\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 스타일 $E_{8}).$

추가 예

Lie 그룹이 아니고 다지관의 구조를 가지고 있지 않은 그룹들 중에서, 예로는 p-adic 정수의 첨가 그룹 Z와_p 그것으로부터의 구조를 들 수 있다. 사실 어느 무수한 집단이든 콤팩트한 집단이다. 이는 갈루아 집단이 콤팩트 그룹이라는 뜻으로, 무한도의 경우 대수확장 이론의 기본적 사실인 것이다.

폰트랴긴 이중성은 콤팩트한 교감 그룹의 예를 많이 제공한다. 이것들은 아벨리아 이산 그룹들과 이중성을 이룬다.

하르 측정치

콤팩트 그룹들은 모두 좌우 번역에 의해 불변하게 ^[6]될 하르 측정치를 가지고 있다(계량함수는 양의 실체에 대한 연속적인⁺ 동형성이어야 한다(R, × 등). 다시 말해, 이러한 집단은 단조롭다. 하르 측정은 원의 dθ/2π과 유사하게 확률 측정으로 쉽게 정규화된다.

그러한 하르 측정은 많은 경우에 계산하기 쉽다. 예를 들어 직교 그룹의 경우 아돌프 후르비츠에게 알려져 있었고, 리 그룹의 경우는 언제나 불변 미분형 형태로 주어질 수 있다. 확실한 경우 유한 지수의 하위 그룹이 많으며, 코셋의 하르 측정치는 지수의 역수가 될 것이다. 그러므로 통합은 종종 매우 직접적으로 계산될 수 있으며, 사실은 수 이론에 지속적으로 적용된다.

If ${\displaystyle K}$ is a compact group and ${\displaystyle m}$ is the associated Haar measure, the Peter–Weyl theorem provides a decomposition of ${\displaystyle L^{2}(K,dm)}$ as an orthogonal direct sum of finite-dimensional subspaces of matrix entries for the irreducible representations of ${\di$$splaystyle K}$.

표현 이론

콤팩트 그룹(필수적으로 리 그룹과 연결되지 않은 그룹)의 표현 이론은 피터-와일 정리에 의해 성립되었다.^[7] 헤르만 바일은 이어서 최대의 토러스 이론에 기초하여 콤팩트하게 연결된 리 그룹들의 상세한 성격 이론을 들려주었다.^[8] 그 결과로 나온 Weyl 캐릭터 공식은 20세기 수학의 영향력 있는 결과들 중 하나이다. Peter-Weyl 정리와 Weyl 문자 공식의 조합은 Weyl을 연결된 콤팩트한 Lie 그룹의 표현에 대한 완전한 분류로 이끌었다. 이 이론은 다음 절에서 설명된다.

Weyl의 작품과 Cartan의 정리가 결합되어 콤팩트 그룹 G의 전체 대표 이론에 대한 조사를 한다. 즉 Peter-Weyl 정리에 의해 G의 불가해한 단일적 표현 finite은 (유한 치수의) 단일적 그룹에 속하며, 이미지는 콤팩트함에 의해 단일적 그룹의 폐쇄적인 하위 그룹이 될 것이다. 카르탄의 정리에는 임(任) 자체가 단일군에서 리 하위군임에 틀림없다고 되어 있다. G 자체가 거짓말 그룹이 아니라면 ρ에 커널이 있어야 한다. 더 나아가서는 G를 콤팩트한 Lie 그룹의 역 한계로 식별하는 유한한 차원 단일 표현 kernel의 낟알에 대해 역계를 형성할 수 있다. 여기서 한계에서 G의 충실한 표현이 발견된다는 사실은 피터-와일 정리의 또 다른 결과물이다.

콤팩트 집단의 대표이론에서 알 수 없는 부분은, 대충 말하면, 유한 집단의 복잡한 표현에 다시 던져지는 것이다. 이 이론은 다소 상세하지만 질적으로 잘 이해된다.

연결된 컴팩트 리 그룹의 표현 이론

회전군 SO(3), 특수 단일군단 SU(2), 특수 단일군단 SU(3)의 표현처럼 콤팩트한 리군 대표이론의 어떤 간단한 예를 수작업으로 해결할 수 있다. 우리는 여기서 일반적인 이론에 초점을 맞춘다. 반실행 Lie 대수학의 표현에 대한 병렬 이론도 참조한다.

이 섹션 전체에 걸쳐, 우리는 K에 연결된 컴팩트 Lie 그룹 K와 최대 Torus T를 고정한다.

T의 표현 이론

T는 상응적이므로, 슈르의 보조정리기는 T의 각 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$은(는) 1차원임을 알려준다.

${\displaystyle \rho :T\rightarrow GL(1;\mathb {C} )=\mathb {C} ^{*}.}$

또한 T는 소형이기 때문에 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$은(는) 실제로 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$에 매핑해야 한다$$$.$

이러한 표현을 구체적으로 설명하기 위해 $t{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$를 T의 Lie 대수학으로$$ 하고 h ${\displaystyle h}$ T ${\displaystyle h\in$ T$}$로 $표기$한다.

${\displaystyle h=e^{H},\quad H\in {\mathfrak {t}.}$

이러한$$ 좌표에서 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho}$은(는) 형식을 갖는다.

$\displaystyle \rho (e^{H}}=e^{i\lambda (H)}}}}$

$t{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 일부 선형 기능 ${\displaystyle$\ \$da }$에 대해$.$

자, 지수 지도 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ e ${\displaystyle H^{}}$ ${\$ e$^{$$H}}}$이(가) 주입되지 않으며$$, 그러한 선형 기능 ${\displaystyle \lambda$}이$($가) S ${\$ S$^{1}$에 T의 잘 정의된 지도를 생성하는 것은$$ 아니다$.$ $그$보다는 ${{\displaystystyle \Gamma}}$이 지수 맵의 커널을$$ 나타내도록 하자.

${\displaystyle \Gamma =\왼쪽\{H\in {\mathfrak {t}\mid e^{2\pi H}=\operatorname {Id} \right\}}}$

여기서 ${\displaystyle \mathrm{ID}}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} }$은(는) T의 ID 요소(다른 곳에서 그러한 요인을 피하기 위해$$ 지수 지도를 2 ${\displaystyle ³}$ ${\displaystyle 2\pi }$만큼 스케일링한다.) 그런 다음 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$이(가) 잘 정의된 맵 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$을$($를) 제공하려면$$ $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaysty \lambda }$이(가) 충족되어야 한다$$.

$\displaystyle \lambda (H)\in \mathb {Z},\quad H\in \Gamma ,}$

여기서 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$는) 정수의 집합이다$$.^[9] 이 조건을 만족하는$$ 선형 기능 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$을(를) 분석적 통합 요소라고 한다. 이 통합성 조건은 반실행 리 알헤브라의 설정에서 필수 요소의 개념과 관련되지만 동일하지는 않다.^[10]

예를 들어, T는 단지 절대값 $1$의 $S{\displaystyle {}^{}}$ 1 ${\$$displaystyle S^{$1} $그룹$ e ${\displaystyle {\mathrm{\theta <img\; alt="S^\{1\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/60796c8d0c03cf575637d3202463b214d9635880"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:2.576ex;\; height:2.676ex;"\; papago-attr-id="336">}}^{}}$ {\$displaystyle$e^{$i\$teta $}$에 불과하다고 가정하자. 리 대수(Lie 대수)는 순전히 상상의 $수인{\displaystyle }$ H${\displaystyle }$= ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \theta }$,${\displaystyle \theta \mathbb{}}$ R${\displaystyle }$, ${\displaystyle H=i\theta ,\,\theta \in \mathb {R} ,}$의 집합이며$$, (scaled) 지수 맵의 커널은 ${\displaystyle n}$ ${\displaystystylee in}$ $형식$의 $숫자$ 집합이다$.$ $선형$ 함수 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$은(는${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mathrm{일부}}$ $정수{\displaystyle }$ k ${\displaystyle$ $\lambda(i\theta )=k\theta$ $}$ 형식인 경우에만 그러한 모든 숫자에 정수 값을 취한다$$$.$ 이 경우 T의 불가해한 표현은 1차원이며 형식이다.

$\\displaystyle \rho(e^{i\theta }}=e^{ik\theta }},\quad k\in \mathb {Z}}}$

K의 표현 이론

이제 $we{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma$}이$($가) K의 유한 차원($C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 이상)$$을$$ 나타내는 것으로 한다. 그런 다음 $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma }$을(를) T로 제한하는 것을 고려한다. $restriction{\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle \Sigma }$이(가$)$ 1차원이 아닌$$ 한 이 제한은 수정할 수 없다. 그럼에도 불구하고, 제한은 T의 수정 불가능한 표현들의 직접적인 합으로 분해된다. (참고, T의 수정 불가능한 표현은 두 번 이상 발생할 수 있다.) 이제 T의 각 수정 불가능한 표현은 앞의 항에서와 같이$$ 선형 기능 $functional{\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$에 의해 설명된다. If a given ${\displaystyle \lambda }$ occurs at least once in the decomposition of the restriction of ${\displaystyle \Sigma }$ to T, we call ${\displaystyle \lambda }$ a weight of ${\displaystyle \Sigma }$. The strategy of the representation theory of K is to classify the irreducible representations in terms of the역기

우리는 이제 정리를 공식화하는 데 필요한 구조를 간략하게 기술하고 있다; 더 자세한 것은 표현 이론의 가중치에 관한 글에서 찾을 수 있다. K에 대한 뿌리 시스템의 개념이 필요하다(주어진 최대 토러스 T에 상대적). 이 루트 시스템 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle t\mathfrak{}}$ ${\$의 구조는 복잡한 semisimple Lie Algebras의 구조와 매우 유사하다$$. 특히 가중치는 K의 복잡한 Lie 대수에서 T의 조정 작용을 위한 0이 아닌 가중치들이다. .[11]우리는 그때 R에 대한 기본 Δ{\Delta\displaystyle}을 선택하는 것을 제외하면 R의 요소}}t{\displaystyle{\mathfrak{t}로 확장되지 않을 수 있는 뿌리의 시스템 R그리고 우리가 λ{\lambda\displaystyle}가 우세한 적분 요소 만약λ(α)≥ 0{\displaystyle \lambda(\와 같이 말한다 뿌리 시스템의 모든 일반적 특성을 가지고 있습니다.탁월한 것$\alpha {\displaystyle \mathrm{}}$${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle \alpha \in \Delta }$에 대한 $ha )\geq$ 0$\}$ $마지막$으로, Δ ${\\displaystyle \Delta }$의 원소들을 음수가 아닌$$ 계수로 선형 결합하여 표현할 수 있는 경우 하나의 무게가 다른 가중치보다 높다고 한다.

그 후 K의 불가해한 유한차원 표현은 가장 높은 무게의 정리에 의해 분류되는데,^[12] 이는 반실행 리 대수학의 표현을 분류하는 유사 정리 분류와 밀접한 관련이 있다. 결과는 다음과 같다.

1. 모든 돌이킬 수 없는 표현은 가장 높은 무게를 가지고 있다.
2. 최고 중량은 항상 지배적이고 분석적으로 통합된 요소로서,
3. 동일한 중량을 갖는 두 개의 되돌릴 수 없는 표현은 이형성이며,
4. 모든 지배적이고 분석적으로 통합된 요소는 수정 불가능한 표현 중 가장 높은 가중치로 발생한다.

K의 표현을 위한 가장 높은 무게의 정리는 한 가지 주목할 만한 예외를 제외하고 반이행 리 알헤브라의 경우와 거의 동일하다. 적분 원소의 개념은 다르다. $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma }$의 가중치$$weights$$ {\$displaystyle \lambda }$은(는) 이전 항에서 설명한 의미에 분석적으로 통합되어 있다$$. 모든 분석적으로 적분된 요소는 Lie 대수적 의미에서는 필수적이지만, 그 반대는 아니다.^[13] (이 현상은 일반적으로 리 대수 $k{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 모든 표현이 K 그룹의 표현에서 나온 것은$$ 아니라는 것을 반영한다.) 반면 K가 단순히 연결된다면 그룹 감각에서 가능한 최고 체중의 집합은 리 대수 감각에서 가능한 최고 체중의 집합과 동일하다.^[14]

웨일 문자 공식

If ${\displaystyle \Pi :K\to \operatorname {GL} (V)}$ is representation of K, we define the character of ${\displaystyle \Pi }$ to be the function ${\displaystyle \mathrm {X} :K\to \mathbb {C} }$ given by

${\displaystyle X}$(${\displaystyle }$x )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{트레이스}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{\pi }}$ ( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathrm {X}(x)=\operatorname {trace}(\Pi$ ($x)),\quad x\in K}$.

이 함수는 K의 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 및 $y$ ${\displaystyle y}$에 대한$$ 클래스 함수$,$ 즉 $xyx^{-1}=\mathrm {X})(y)$로 쉽게 볼 수 있다. 따라서 $X{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$은(는) T에 대한 제한에 의해 결정된다$$.

등장인물에 대한 연구는 콤팩트 집단의 대표이론의 중요한 부분이다. Peter-Weyl 정리의 핵심인 한 가지 결정적인 결과는 K의 정사각형 통합형 클래스 기능 집합에 대해 문자가 정형화된 기초를 형성한다는 것이다. 두 번째 핵심 결과는 Weyl 문자 공식으로, 문자에 대한 명시적 공식, 즉 표현상의 가장 높은 가중치 측면에서 T에 대한 제한 공식을 제공한다.

반실행 리알헤브라의 밀접하게 연관된 표현 이론에서, Weyl 문자 공식은 표현이 분류된 후에 확립된 추가 결과물이다. 그러나 컴팩트 그룹 케이스에 대한 Weyl의 분석에서 Weyl 문자 공식은 사실 분류 자체에서 결정적인 부분이다. 구체적으로, K의 표현에 대한 Weyl의 분석에서, 모든 지배적이고 분석적으로 적분된 원소가 실제로 어떤 표현에서 가장 높은 무게라는 것을 보여주는 정리의 가장 어려운 부분은 베르마 모듈을 이용한 일반적인 리 대수 구조와는 전혀 다른 방식으로 증명된다. Weyl의 접근방식에서 이 구성은 Peter-Weyl 정리 및 Weyl 문자 공식의 분석적 증거에 기초한다.^[15] 궁극적으로 K에 대한 불가해한 표현은 K에 대한 지속적 기능의 공간 안에서 실현된다.

SU(2) 케이스

우리는 이제 콤팩트 그룹 SU(2)의 경우를 고려한다. 표현은 흔히 리 대수적 관점에서 고려되지만, 여기서는 집단적 관점에서 고찰한다. 우리는 그 형태의 행렬의 집합으로 최대 토리스를 택한다.

${\displaystyle {\pmatrix}e^{i\theta }&0\\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}.}$

T의 표현에 관한 섹션에서 설명한 예에 따르면, 분석적 적분 원소는 정수로 라벨을 표시하여 지배적이고 분석적으로 적분된 원소는 음이 $아닌{\displaystyle }$ 정수 m ${\displaystyle m}$이다$.$ 일반적인 이론은 우리에게 $각각$의 m ${\displaystyle m}$에 대해$,$ 가장 높은 무게 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$을(를) 가진 SU(2)의 독특한 수정 불가능한 표현이 있다는 것을 말해준다$.$

주어진 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$에 해당하는 표현에 대한 많은 정보가 그 문자로 암호화되어 있다$$. 자, Weyl 문자 공식에 따르면, 이 경우, 캐릭터는

${\displaystyle \mathrm {X} \좌측({\begin{pmatrix}e^{i\0\\e^{-i\theta }\end{pmatrix}\우측)={\frac {\sin(m+1)\ta )}{\sin(\ta )}.}$

우리는 또한 그 문자를 다음과 같이 지수 합으로 쓸 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)=e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots e^{-i(m-2)\theta }+e^{-im\theta }.}$

(위 표현에 유한 기하계열의 합계에 대한 공식을 사용하고 단순화하면 초기 표현식을 얻는다.)

이 마지막 표현식과 표현 가중치 측면에서 캐릭터에 대한 표준 공식에서 우리는 표현 가중치가 다음과 같은 것을 읽을 수 있다.

${\displaystyle m,m-2,\ldots,-(m-2),-m,}$

각 가중치는 지수 지수 1에 나타나는 정수이고, 곱은 지수 계수다. $각각{\displaystyle }$ 다중성 ${\displaystyle 1}$을 갖는 m${\displaystyle }$+ 1 ${\displaystyle$ m$+1}$의 가중치가 있으므로 표현 치수는 m${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle m+1}$이다$.$ 따라서 우리는 보통 리 대수 계산에서 얻는 표현에 관한 많은 정보를 되찾는다.

증거의 개요

우리는 이제 헤르만 바일의 원론적인 주장에 따라 가장 높은 무게의 정리에 대한 증거를 개략적으로 설명한다. 우리는 $계속$해서 K ${\displaystyle K}$을(를) 연결된 콤팩트 Lie $그룹$과$$T {\$displaystyle$ T$}$을(를)$$K {\$displaystyle K}$의 고정된$$ 최대치 토러스(maximal torus)로$$ 한다$.$ 우리는 모든 지배적이고 분석적으로 통합된 요소가 일부(완료 차원) 불분명한 일부의 가장 높은 중량임을 보여주면서 정리의 가장 어려운 부분에 초점을 맞춘다.아티온^[16]

증명 도구는 다음과 같다.

• 토러스 정리.
• Weyl 적분 공식.
• 클래스 기능에 대한 Peter-Weyl 정리. 이 정리에서는 복구할 수 없는 표현들의 $문자들$이 K$${\$displaystyle K}$에 있는 사각 통합 클래스 기능의 공간에 대해 정형화된 기초를 형성한다고 명시한다$.$

이 도구들을 손에 들고 우리는 증빙을 진행한다. 논쟁의 첫 번째 주요 단계는 Weyl 캐릭터 공식을 증명하는 것이다. 공식에 따르면 $\pi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Pi$}이$$(가) 가장 무거운 $weight{\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda$ $\}$을(를) 가진 수정 불가능한 표현일 경우, $\pi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Pi}$의 문자 X ${\$으)가 다음을$$ 만족한다고 한다.

${\displaystyle \mathrm {X}(e^{H}={\frac {\sum _{w\in W}\det(w)^{i\langle w\cdot (\lambda +\rho )}}{{w\in W}\det(w)^{i\langle w\cdot \rho,H\rangle }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

$T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 Lie 대수학에서$$ 모든 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$에 대해$.$ 여기서 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$은 양의 뿌리의 절반이다. (표기법은 "실제 가중치"의 관례를 사용하며, 이 관용에는 지수에서$$ 명시적 $요소$인 i ${\displaystyle i}$가 필요하다.) 캐릭터의 공식에 대한 Weyl의 증거는 본질적으로 분석적이며 $캐릭터$의 ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 2$${\$displaystyle L^{2$}} 표준이$$ 1이라는 사실에 달려있다. 구체적으로, 분자에 추가 항이 있다면, Weyl 적분 공식은 문자의 규범이 1보다 커지도록 강제할 것이다.

다음으로 ${\$는 문자 공식의 오른쪽에 있는 함수를 나타내도록$$ 한다. We show that even if ${\displaystyle \lambda }$ is not known to be the highest weight of a representation, ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ is a well-defined, Weyl-invariant function on ${\displaystyle T}$, which therefore extends to a class function on ${\displaystyle K}$. Then using the Weyl integral formula, $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda}$이(가) 지배적이고 분석적으로 통합된 요소 집합에 걸쳐 있으므로$$ ${\$} 함수 φ{\lambda }는 클래스 기능의 정형화된 계열을 형성한다는$$ 것을 보여줄 수 있다. 우리는 현재 그러한 모든 ${\displaystyle \lambda }$이(가) 표현에서 가장 높은 가중치라는$$ 것을 알지 못한다는 것을 강조하지만, 그럼에도 불구하고 문자 공식의 우측에 있는 표현은 ${\displaystyle {functions}_{}}$ ${{\$ $\}\}\}$의 함수를 정확히 정의하고 있으며, 이러한 함수는 정형이다.

이제 결론이 나온다. 모든 $\phi {\displaystyle }$ integral{\$displaystyle \Phi$$$_{\$lambda }$— {\$displaystyle \lambda }$ —은$$ 지배적이고 분석적으로 통합된 요소들을 포함하는 세트는 정사각형 통합 클래스 기능의 공간에 정형 세트를 형성한다. 그러나 Weyl 문자 공식에 의해, ${\displaystyle {\lambda }_{}}${\$displaystyle \Phi_{\lambda$ $\}$s의 부분집합을 이루게 된다. 그리고 Peter-Weyl 정리에 의해, 불가해한 표현들의 문자들은 정사각형 통합형 계급 기능의 공간에 대한 정형화된 기초를 형성한다. 표현에서 가장 높은 가중치가 아닌 일부$$ $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda$}이(가) 있었다면 해당 ${\displaystyle {\phi }_{}}$ ${\$은 표현 특성이 아닐 것이다$$. 따라서 문자는$$$\phi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$s 집합의 적절한 하위 집합이 될 것이다. 그러나 우리는 불가능한 상황을 맞게 된다: 정형근거(정형근거(정형근거)는 엄격히 더 큰 정형근거 집합에 ${\displaystyle {포함}_{}}$될 것이다$({\$ _${\lambda$$}$s). 따라서 모든 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$은(는) 실제로 표현에서 가장 높은 가중치가 되어야 한다$$.

이중성

그 대표론에서 콤팩트한 집단을 회복시키는 주제는 타나카-크레인의 이중성의 주제인데, 지금은 종종 탄나키아의 범주론에서 다시 언급된다.

컴팩트 그룹에서 비컴팩트 그룹으로

컴팩트 그룹 이론이 비 컴팩트 그룹에 미치는 영향은 웨일이 그의 유닛화 속임수에서 공식화한 것이다. 일반적인 반실현 Lie 그룹 안에는 최대 콤팩트 서브그룹이 있으며, 주로 하리쉬-찬드라에 의해 개발된 그러한 그룹들의 대표이론은 그러한 서브그룹에 대한 표현의 제한과, 또한 Weyl의 성격 이론의 모델을 집중적으로 이용한다.

참고 항목

• 피터-와일 정리
• 막시말토루스
• 루트 시스템
• 로컬 컴팩트 그룹
• p-migration 그룹
• 프로트로스
• 리알헤브라의 유한차원 표현 분류
• 반실현 리알헤브라스 대표이론의 가중치

참조

참고 문헌 목록

• Bröcker, Theodor; tom Dieck, Tammo (1985), Representations of Compact Lie Groups, Graduate Texts in Mathematics, 98, Springer
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Hofmann, Karl H.; Morris, Sidney A. (1998), The structure of compact groups, Berlin: de Gruyter, ISBN 3-11-015268-1