순열군

수학에서 순열 그룹은 주어진 집합 M의 순열이고 그룹 연산이 G의 순열의 구성인 그룹 G이다(세트 M에서 그 자체로 비주사 함수로 생각됨). 집합 M의 모든 순열의 그룹은 M의 대칭 그룹이며, 흔히 Sym(M)으로 표기된다.^[1] 따라서 순열집단은 대칭집단의 하위집단을 의미한다. M = {1, 2, ..., n}인 경우 Sym(M)은 일반적으로 S로_n 표시되며, n자로 대칭 그룹이라고 할 수 있다.

케일리의 정리로는, 모든 집단은 어떤 순열 집단에 대해 이형성적이다.

순열 그룹의 요소가 집합의 요소를 허용하는 방식을 그 집합의 그룹 액션이라고 한다. 집단 작용은 대칭, 결합학 및 수학, 물리학, 화학의 많은 다른 분야 연구에 응용된다.

기본 특성 및 용어

대칭 집단의 부분군으로서, 일련의 순열들이 집단의 공리를 만족시키고 순열 집단이 되기 위해 필요한 모든 것은 순열 집단이 포함된 순열의 역순열인 신분 순열을 포함하고 순열의 구성 하에서 닫히는 것이다.^[2] 유한집단의 일반적 특성은 대칭집단의 유한한 비빈 부분집합이 집단운영에 따라 폐쇄되는 경우에만 다시 집단이 된다는 것을 의미한다.^[3]

유한 집합의 순열 그룹의 정도는 집합에 있는 원소의 수입니다. (모든 유형의) 그룹의 순서는 그룹의 요소(카디널리티) 수입니다. 라그랑주의 정리로는 n-요소가 대칭군 S의_n 순서이기 때문에 도 n의 유한 순열 그룹의 순서는 n!을 나누어야 한다.

표기법

순열은 한 세트의 편향이기 때문에 카우치의 2행 표기법으로 나타낼 수 있다.^[4] 이 표기법은 첫 번째 행에 M의 각 원소를 나열하고, 각 원소의 경우 두 번째 행에 있는 그 아래의 순열 아래에 그 이미지를 표시한다. $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma$}이$($가) 세트 $M{\displaystyle }$= {${\displaystyle {}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$, …${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ M$=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}}}}$의 순열인$$ 경우,

${\displaystyle \cdma ={\pmatrix}x_{1}x_{2}&\cdots &x_{3}&\cdma(x_{1})&\cdma(x_{3})&\cdma(x_{n}}}}})\end{pmatrix}.}$

예를 들어 집합 {1, 2, 3, 4, 5}의 특정 순열은 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle \pmatrix}{\pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{pmatrix};}$

즉 σ(1) = 2, σ(2) = 5, σ(3) = 4, σ(4) = 3, σ(5) = 1. M의 요소는 첫 번째 행의 어떤 특별한 순서로 나타날 필요가 없으므로 같은 순열도 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \pmatrix}{\pmatrix}3&2&5&1&4\\4&5&1&1&3\end{pmatrix}.}$

그래서, 개체 하나의 문자나 숫자, 쉼표와 공백으로 지적되어 있습니다. 또한 집합을 M){1,2,3,4}, M의 g(1)=2과 순열 g, g(2)cm부터 4, g(4))1과 g(3)지 3변경되지 것이다.)3(1,2,4)(3), 또는 좀 더 일반적으로(1,2,4)같이 쓸 통고될 예정이며 Permutations 또한 종종 주기적으로(순환 형태)[5] 쓰여진다.있다 조제하고, 우리는 (조제)와 같은 표기법을 가지고 있다. 위에 2행 표기법으로 쓰여진 $순열$은 ${\displaystyle =}$= (${\displaystyle 125)}$ (${\displaystyle 34}$ ${\displaystyle )}$. ${\displaystyle \sigma$= ($125)(34$)로 주기 표기될 것이다$.$

순열 구성-그룹 제품

두 순열의 곱은 함수로써 그 구성으로 정의되기 때문에 $so{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \pi }$ { {$$\$displaystyle \sigma \$${\displaystyle \mathrm{cdot}}$ $\pi }$ 집합의 요소 x를 $maps{\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$)${\displaystyle \sigma (\pi (x)}}}$에 매핑하는 함수$$$.$ 가장 오른쪽 순열이 먼저 인수에 적용된다.s가 씌어 있다.^[6][7] 어떤 저자들은 가장 왼쪽 요소가 먼저 작용하는 것을 선호하지만, 그 끝 순열은 그들의 주장 오른쪽에 쓰여져야 하며, 종종 위첨자로써, 따라서 $요소{\displaystyle }$ x ${\displaystyle$x}에$$ 작용하는 순열 $\sigma {\displaystyle }${\$displaystyle$ $x^{\sigma$$}$가 이미지$$ x ${\$$}$가 된다. 이 관습과 함께. $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\sigma }^{}}$ ${\displaystyle {\cdot }^{}{\pi }^{}}$ =${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\sigma }^{}{}^{}}$) ${\displaystyle {\pi }^{}}$ { { { { { { $\$ $\}\}\}\}\}\}\}\}.$^[8] 그러나 곱셈은^[10] 다른 규칙을 제공한다. 이 협약은 일반적으로 순열집단 문헌에 사용되지만, 이 글은 가장 오른쪽 순열이 먼저 적용되는 규약을 사용한다.

두 개의 반대편성의 구성은 항상 또 다른 편견을 주기 때문에, 두 개의 순열의 산물은 다시 순열이다. 2행 표기법에서 2행의 곱은 2행(맨 왼쪽) 순열의 첫 번째(맨 오른쪽) 순열의 두 번째 행과 동일하게 배열하여 구한다. 그 다음 제품은 수정된 두 번째 순열의 첫 번째 순열의 첫 번째 행으로 기록될 수 있다. 예를 들어, 순열로 볼 때

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}1&3&4&5\\\2&4&5\\nd{pmatrix}\quad{\text{\} 및 }}}\quad Q={\begin}1&3&4&5\5\end{pmatrix},}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

QP 제품:

${\displaystyle QP={\begin{pmatrix}1&, 2&, 3&, 4&, 5\\5&, 4&, 3&, 2&, 1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&, 2&, 3&, 4&, 5\\2&, 4&, 1&, 3&, 5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&, 4&, 1&, 3&, 5\\4&, 2&, 5&, 3&, 1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&, 2&, 3&, 4&, 5\\2&, 4&, 1&, 3&, 5\end{pmatrix}}={)begin{pmatrix}1&, 2&, 3&, 4&, 5\\4&, 2&, 5&, 3&, 1\end{pmatrix}}.}$

순열의 구성은, 그것들이 순환 형태로 쓰여졌을 때, 두 개의 순열(왼쪽에 두 번째 순열로 쓰여진 것)을 나란히 한 다음, 원하는 경우 분리 주기 형태로 단순화함으로써 얻어진다. 따라서 반복 표기법으로 위의 제품은 다음과 같이 제공될 것이다.

$[\displaystyle Q\cdot P=(15)](24)\cdot(1243)=(1453)=(1435).}$

함수 구성은 연관성이 있으므로 순열에서의 제품 동작도 연관성이 있다: (${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \cdot }$=${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= = ${\displaystyle =}$ = = =${\displaystyle }$= ($($ ) {\$displaystyle (\sigma \cdot \pi \cdot$ \$cdma \cdot \rho$ $)\}.$ 따라서 2개 이상의 순열의 제품은 일반적으로 표현 그룹에 괄호를 추가하지 않고 작성된다. 또한 대개 곱셈을 나타내기 위해 점이나 다른 부호 없이 작성된다(이전의 예시 점들은 강조하기 위해 추가되었으므로 단순히 ${\displaystyle \sigma }$ { ${$ \$sigma \pi \rho$}).$$

중립 요소 및 역

세트의 모든 요소를 자신에게 매핑하는 아이덴티티 순열화는 이 제품의 중립적인 요소다. 2행 표기법에서 정체는

${\displaystyle {\pmatrix}1&2&3&\cdots &n\1&3&\cdots &n\end{pmatrix}.}$

주기적 표기법에서 e = (1)(2)(3)...(n)은 관습에 의해서도 단지 (1) 또는 심지어 ()로 표시된다.^[11]

반대는 역행(逆行)이 있기 때문에 순열도 마찬가지며, do의 역행⁻¹(逆行)은 다시 순열이다. 명시적으로 whenever(x)=y는 언제나 σ⁻¹(y)=x도 있다. 2행 표기법에서는 두 행을 서로 바꾸어 역을 구할 수 있다(그리고 첫 번째 행이 주어진 순서로 되기를 원하는 경우 열을 정렬). 예를 들어.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}2&5&4&3&1\\1&2&3&4&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\5&1&4&3&2\end{pmatrix}}.}$

단일 주기의 역순을 얻기 위해 우리는 그 원소의 순서를 거꾸로 한다. 그러므로,

$[\displaystyle (125)^{-1}=(521)=(iii)]}$

주기 산물의 역수를 구하려면 먼저 주기 순서를 거꾸로 한 다음 위와 같이 각 주기의 역순을 취한다. 그러므로,

${\displaystyle [(125)(34)]^{-1}=(34)^{-1}(125)^{-1}=(521)=(34)(1975)}$

연관 제품, ID 요소, 그리고 그 모든 요소들에 대한 역점을 갖는 것은 M의 모든 순열의 집합을 하나의 그룹, Sym(M), 즉 순열 그룹으로 만든다.

예

집합 M = {1, 2, 3, 4의 순열에 대해 다음과 같은 집합₁ G를 고려하십시오.

• e = (1)(2)(3)(4) = (1)
  • 이것이 바로 정체성, 각 요소를 고치는 사소한 순열이다.
• a = (1 2)(3)(4) = (1 2)
  • 이 순열은 1과 2를 교환하고 3과 4를 수정한다.
• b = (1)(2)(3 4) = (3) 4)
  • 아까처럼 3번과 4번을 주고받고 다른 것도 고치고.
• ab = (1 2)(3 4)
  • 앞의 두 개의 구성인 이 순열은 1과 2를 동시에 교환하고, 3과 4를 동시에 교환한다.

g는₁ aa = bb = e, ba = ab, 그리고 abab = e이기 때문에 그룹을 형성한다. 이 순열 그룹은 클라인 그룹 V에₄ 추상적인 그룹으로서 이형성적이다.

다른 예로서 사각형의 대칭 그룹을 고려한다. 사각형의 꼭지점에 1, 2, 3 및 4(왼쪽 상단 모서리에 1로 시작하는 사각형의 시계 반대 방향) 라벨을 붙이십시오. 대칭은 정점의 영상에 의해 결정되며, 이는 순열로 설명될 수 있다. 정사각형의 중심에 대한 90°(시계 반대 방향) 회전은 순열(1234)으로 설명된다. 180° 회전과 270° 회전은 각각 (13)(24)와 (1432)에 의해 주어진다. 중심을 통과하는 수평선에 대한 반사는 (12)(34)에 의해 주어지며, 그에 상응하는 수직선반사는 (14)(23)이다. 1,3 대각선에 대한 반사는 (24)이고, 2,4 대각선에 대한 반사는 (13)이다. 유일하게 남아있는 대칭은 정체성 (1)(2)(3)(4)이다. 이 순열 집단은 추상적으로 순서 8의 이음집단으로 알려져 있다.

그룹 작업

위의 정사각형 대칭군 예에서 순열은 대칭군에서 유도하는 정사각형의 정점의 움직임을 "설명"한다. 이러한 그룹 요소들이 정사각형의 정점 집합에서 "작동"하고 있다고 말하는 것이 일반적이다. 이 아이디어는 집단 행동을 공식적으로 정의함으로써 정확하게 만들어질 수 있다.^[12]

G는 그룹이 되고 M은 비어있지 않은 세트로 하자. M에 대한 G의 작용은 다음과 같은 함수 f: G × M → M이다.

• f(1, x) = x, M의 모든 x에 대해(1은 그룹 G의 ID(중립) 요소임)
• f(g, f(h, x) = f(gh, x), 모든 g,h(G), 모든 x(M)에 대해.

이 마지막 조건은 그 행동이 G에서 Sym(M)으로 그룹 동형성을 유도한다는 말로도 표현할 수 있다.^[12] 그러한 모든 동형성을 M에서 G의 (permutation) 표현이라고 한다.

모든 순열 그룹에 대해 (g, x) → g(x)를 보내는 작용을 M에 대한 G의 자연 작용이라고 한다. 달리 명시되지 않는 한 이는 가정된 조치다.^[12] 정사각형의 대칭군 예에서 정점 집합에 대한 집단의 작용은 자연 작용이다. 그러나 이 그룹은 또한 정사각형의 4개의 삼각형 집합에 대한₁ 동작을 유도한다: t = 234₂, t = 134₃, t = 124₄, t = 123. 또한₁ d = 13과 d₂ = 24의 두 대각선에도 작용한다.

전이적 작용

그룹 G의 집합을 M에 대한 작용, 매 두 요소 s, M의 t동안, 어떤 그룹 요소 g가 g(s))정확 Equivalently, MG.[13] 예들의 행동 위 아래 단일 궤도를 구성하는 집합,{1,2,3,4}의 순열의 그룹{e(12),(34),(12)(34)}가지지 않다(어떤 집단도 eleme은 전이할 것으로 알려졌다.nt지akes 1 ~ 3) 그러나 정점에 있는 정사각형의 대칭 그룹은 전이적이다.

원시적 작용

비어 있지 않은 유한한 집합 M에서 전이적으로 작용하는 순열 그룹 G는 G의 작용에 의해 보존되는 M의 일부 비종속 집합 파티션이 있는 경우 임피직이며, 여기서 "비종속"은 파티션이 싱글톤 집합이나 한 부분만을 가진 파티션으로 되어 있지 않다는 것을 의미한다. 그렇지 않으면 G가 전이적이지만 M의 비전위적인 파티션을 보존하지 않는 경우 G 그룹은 원시적이다.

예를 들어 사각형의 대칭 집단은 정점에 원시적이다. 정점에 1, 2, 3, 4의 번호를 주기적 순서로 매겨지면 모든 그룹 요소에 의해 정반대의 쌍으로 분할된 {{1, 3, 2, 4가 보존된다. 반면에, 세트 M에 있는 완전한 대칭 그룹은 항상 충동적이다.

케이리의 정리

어떤 그룹 G도 그 자신(세트 M으로 생각되는 그룹의 요소)에 대해 여러 가지 방법으로 행동할 수 있다. 특히 그룹 내에서는 (왼쪽) 곱셈이 주는 규칙적인 동작이 있다. 즉, 모든 g에 대해 f(g, x) = gx이고 G의 경우 x이다. 각 고정 g에 대해 f_g(x) = gx 함수는 G에 대한 편향이며 따라서 G의 원소 집합의 순열이다. G의 각 원소는 이러한 방식으로 순열로 생각할 수 있고 따라서 G는 순열 그룹에 대해 이형성이 있다. 이것이 Cayley의 정리 내용이다.

예를 들어 위에 지정된 {1, 2, 3, 4} 세트에 대해 그룹 G가₁ 작용한다고 가정해 보십시오. 이 그룹의 원소를 e, a, b, c = ab = ba로 표시하도록 한다. Cayley의 정리에 기술된 G₁ 그 자체에 대한 작용은 다음과 같은 순열 표현을 한다.

f_e ↦ (e)(a)(b)(c)

f_a ↦ (ea)(bc)

f_b ↦ (eb)(ac)

f_c ↦ (ec)(ab).

순열 집단의 이형성

만일 G와 H가 각각 작용 f와₁ f를₂ 가진 X와 Y 세트의 두 순열 그룹이라면, 우리는 G와 H가 순열 이형(또는 순열 그룹과 같은 이형체)이며, 그러한 주관적 지도 λ : X → Y와 그룹 이형체 ψ : G → H가 존재한다면 순열 이형체라고 말한다.

λ(f₁(g, x) = g의 모든 g에 대한 f(g₂), X의 모든 g에 대한 λ(^[14]x)

X = Y인 경우 이는 Sym(X)의 부분군으로 결합되는 G와 H와 동일하다.^[15] G = H와 ψ이 ID 맵인 특별한 경우는 그룹의 등가 작용의 개념을 낳는다.^[16]

위에서 주어진 사각형의 대칭의 예에서 {1,2,3,4} 집합의 자연 작용은 삼각형의 작용과 동일하다. 세트 사이의 편향 λ은 i ↦ t에_i 의해 주어진다. 위의 그룹 G의₁ 자연 작용과 그 자신에게 작용하는 작용(좌측 곱셈을 통한)은 자연 작용이 고정된 포인트를 가지고 있고, 두 번째 작용은 그렇지 않기 때문에 동등하지 않다.

과두형 집단

그룹 G가 세트 S에 작용하는 경우, 그 작용은 S의 카르테시안 제품 S로ⁿ 자연스럽게 확장될 수 있으며, S의 원소의 n-tuple로 구성된다: n-tuple (s₁, ..., s_n)에 대한 요소 g의 작용은 다음과 같다.

g(s₁, ..., s_n) = (g(s₁), ..., g(s_n)).

그룹 G는 S에ⁿ 대한 작용이 모든 양의 정수 n에 대해 미세하게 많은 궤도를 가지고 있다면 과점형이라고 한다(^[17][18]S가 유한하면 이것은 자동이기 때문에 S가 무한할 때 일반적으로 이 용어는 관심의 대상이 된다).

과두형 그룹에 대한 관심은 부분적으로 모델 이론에 대한 그들의 적용에 기초한다. 예를 들어, 범주형 이론에서 자동화를 고려할 때 말이다.^[19]

역사

집단에 대한 연구는 원래 순열 집단에 대한 이해에서 비롯되었다.^[20] 순열은 1770년 라그랑주에 의해 다항식의 대수적 해법에 관한 연구로 집중적으로 연구되었다. 이 주제는 번창했고 19세기 중반에는 카밀 조던이 1870년 그의 저서 '특징에 데스 대체' 에 데스 에콰이어스 알제브리크'에서 성문화한 잘 발달된 순열 집단의 이론이 존재했다. 요르단의 책은 결국 1832년 에바리스테 갈루아가 남긴 논문들을 바탕으로 한 것이었다.

케일리가 추상집단의 개념을 소개했을 때, 이것이 알려진 순열집단(현대의 것과 다른 정의를 가지고 있는)보다 더 큰 개체집합인지 아닌지는 즉시 명확하지 않았다. 케이리는 이어서 두 가지 개념이 케이리의 정리에서도 동등하다는 것을 증명했다.^[21]

순열 그룹에 관한 몇 개의 장을 포함하고 있는 또 다른 고전적인 텍스트는 번사이드의 1911년 유한 질서의 그룹 이론이다.^[22] 20세기 전반은 집단이론 연구의 단초기였으나 1950년대에 H에 의해 순열집단에 대한 관심이 되살아났다. 1964년 독일어 강의노트가 유한순열그룹으로 재인쇄된 비엘란트.^[23]

참고 항목

• 2-변환군
• 순위 3위 순열 그룹
• 마티외 그룹

메모들

참조

• Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice-Hall, ISBN 0-13-004763-5
• Cameron, Peter J. (1994), Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms, Cambridge University Press, ISBN 0-521-45761-0
• Dixon, John D.; Mortimer, Brian (1996), Permutation Groups, Graduate Texts in Mathematics 163), Springer-Verlag, ISBN 0-387-94599-7
• Rotman, Joseph J. (2006), A First Course in Abstract Algebra with Applications (3rd ed.), Pearson Prentice-Hall, ISBN 0-13-186267-7

추가 읽기

• 아코스 세레스. 순열 그룹 알고리즘. 케임브리지 대학 수학 152세 케임브리지 대학 출판부, 2003.
• 메낙시 바타차르지, 듀발트 맥퍼슨, 뢰그발두르 G. 뮐러, 피터 M. 노이만. 무한 순열 그룹에 대한 참고 사항. 수학 강의 노트 1698번. 1998년 스프링거-베를라크.
• 피터 J. 카메론 순열 그룹. LMS 학생 텍스트 45. 케임브리지 대학 출판부, 1999.
• 피터 J. 카메론 과점형 순열 그룹. 케임브리지 대학 출판부, 1990.

외부 링크

• "Permutation group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 알렉산더 헐프케. GAP 데이터 라이브러리 "전환 순열 그룹".