세미라티체

수학에서 조인-세밀라티체(또는 상위 반밀라티체)는 비어 있지 않은 유한 부분 집합에 대한 조인(최소 상한)이 있는 부분 순서 집합이다.일반적으로, meet-semilatice(또는 하위 세미라티스)는 비어 있지 않은 유한 부분 집합에 대한 일치(또는 최대 하한)가 있는 부분 순서 집합이다.모든 조인-세밀라티스는 역순의 만남-세밀라티치(meet-semilatic)이며 그 반대의 경우도 마찬가지다.

반일률도 대수적으로 정의할 수 있다: 결합과 만남은 연관성, 교감성, 특이점 이항 연산이며, 그러한 연산은 어느 두 요소에 대한 연산의 결과가 이것에 관한 원소의 최소 상한(또는 최대 하한)이 되도록 부분 순서(및 각각의 역순)를 유도한다.부분 순서

격자는 동일한 부분 순서에 대한 미팅과 조인-세밀라티스의 부분 순서 집합이다.대수적으로 격자는 해당 흡수 법칙에 의해 연계된 두 개의 연관성 있는 역행성 idempotent 이진 연산을 가진 집합이다.

주문-이론적 정의

2진수 관계 by에 의해 부분적으로 순서가 정해진 S 세트는 다음과 같은 경우 meet-semilattice이다.

S의 모든 원소 x와 y에 대해 집합 {x, y} 중 가장 큰 하한이 존재한다.

집합 {x, y} 중 가장 큰 하한을 x와 y의 만남이라고 하며 x ∧ y로 표시한다.

"가장 큰 하한"을 "가장 낮은 상한"으로 대체하면 조인-세밀라티스의 이중 개념이 된다.{x, y}의 최소 상한은 x와 y의 조인이라고 하며 x ∨ y로 표시된다.Meet and join은 S의 이진 연산이다.단순한 유도 논거는 정의에 따라 가능한 모든 쌍끌이적 우월(infima)의 존재는 모든 비어 있지 않은 유한 우월(infima)의 존재를 함축하고 있음을 보여준다.

조인-세밀라티스는 빈 집합의 조인인 최소 요소를 가진 경우 경계된다.한 달에 한 번 만나는 것은 가장 큰 요소인 빈 세트의 만남이 있는 경우에 한정된다.

다른 속성은 가정할 수 있다. 이 주제에 대해 더 많은 논의를 위해서는 순서 이론의 완전성에 관한 기사를 참조하라.이 글에서는 또한 개념의 범주 이론적 조사에 대한 특별한 관심의 접근인 관련 poset들 사이의 적절한 Galois 연결의 존재 측면에서 위의 정의를 어떻게 다시 정의할 수 있는지에 대해 논의한다.

대수적 정의

meet-semilattice는 2진법 operation $\langle S,\land \rangle$ S , $\langle S,\land \rangle$ $\langle S,\land \rangle$ ⟩ {\ $displaystyle \langle$ S $,\land$ \angle }로 구성된 대수 $\langle S,\land \rangle$ 구조로, S의 $\langle S,\land \rangle$ 모든 멤버 x, y, z에 대해 다음과 같은 정체성이 유지된다.

연관성: x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z
동시성: x ∧ y = y ∧ x
공차: x ∧ x = x

S의 모든 x에 대해 x ∧ 1 = x가 x인 ID 요소 1을 포함하는 경우 meet-semilattice $\langle S,\land \rangle$ , $\langle S,\land \rangle$ ∧ $\langle S,\land \rangle$ $\langle S,\land \angle$ 이(가) 경계된다 $\langle S,\land \rangle$ .

join이라고 불리는 기호 ∨이 방금 주어진 정의에서 ∧을 대체하면 그 구조를 join-semilattice라고 한다.어떤 사람은 수술의 특정한 기호 선택에 대해 양면적일 수 있으며, 단순히 반일율만을 말할 수 있다.

반일점(semilattice)은 상호 교환적인, idempotent sem그룹이다. 즉, 상호 교환 밴드다.경계가 있는 반밀라티스는 특전성 정류자 단면체다.

미팅-세밀래티스에는 x order y = x 때마다 x ≤ y를 설정하여 부분 순서를 유도하고, 조인-세밀래티스의 경우 x ∨ y = y마다 x ≤ y를 설정하여 순서를 유도한다.경계된 만남-세밀라티스에서, 정체성 1은 S의 가장 큰 요소다. 마찬가지로 조인 반밀라티스의 정체성 요소는 최소 요소다.

두 정의 간의 연결

순서 이론적 meet-semilattice ≤S, ≤⟩은 2진법 연산 ∧을 발생시켜 sS, ⟩⟩은 대수적 meet-semilattice이다.반대로, meet-semilattice ⟨S, ∧⟩는 다음과 같은 방법으로 부분적으로 S를 명령하는 이진관계 ≤을 발생시킨다: 모든 원소의 경우, x = x ∧ y인 경우, x ≤ y.

이러한 방식으로 도입된 관계 ≤은 2진법 ∧을 회복할 수 있는 부분적인 순서를 정의한다.반대로 대수적으로 정의된 반일률 attS, ∧⟩에 의해 유도된 순서는 ≤에 의해 유도된 순서와 일치한다.

따라서 어떤 정의가 특정 목적에 더 편리한지에 따라 두 정의를 서로 바꾸어 사용할 수 있다.이와 유사한 결론은 조인-세밀리와 이중 주문 for에 적용된다.

예

반일률표는 다른 주문 구조를 구성하기 위해 또는 다른 완전성 속성과 함께 사용된다.

격자는 합숙과 회합이다.흡수 법칙을 통한 이 두 반밀도의 상호작용은 격자와 반밀도를 진정으로 구별하는 것이다.
유도 부분 순서 하에서 대수 격자의 콤팩트 원소는 경계 결합-세밀라티스를 형성한다.
유한한 반일격은 유도에 의해 제한된다.
완전히 주문된 세트는 분배 격자인데, 따라서 특히 만남-세밀라티스와 결합-세밀라티스가 있다. 즉, 두 개의 구별되는 요소는 그들의 만남과 결합인 더 크고 작은 요소를 갖는다.
- 잘 정돈된 세트는 전체적으로 최소한의 요소를 가지기 때문에 경계된 결합-세밀라티스가 된다.
  - 자연수 $\mathbb {N}$ ${\$ 은(는) 통상적인 순서 order과 함께 경계 결합-세밀라티스로, 비록 가장 큰 요소는 없지만 최소 원소 0을 가지고 있다. 그것들은 가장 작은 무한정 잘 정렬된 집합이다.
Ω $\leq \omega$ 의 키 $\leq \omega$ 인 단일 루트 트리(최소 요소로 단일 루트를 포함)는 $\leq \omega$ (일반적으로 바인딩되지 않은) 미팅-세밀라티체입니다.예를 들어, 접두사 순서에 따라 정렬된 일부 알파벳에 대한 유한한 단어 집합을 생각해 보십시오.최소요소(빈말)를 가지고 있는데, 이것은 만남작전의 전멸요소지만, 가장 큰(식별성) 요소는 없다.
스콧 도메인은 만남-세밀라티즈다.
어떤 세트 L의 멤버십은 세트 확장성의 본질을 포착하기 때문에 베이스 세트 L로 세미라티스의 모델로 삼을 수 있다.a∧b는 a∈L과 b∈L을 나타내도록 한다.두 세트가 한 세트 또는 두 세트에서만 다름:

구성원이 나열된 순서
한 명 이상의 구성원의 다중성,

사실 같은 세트야∧의 동시성과 연상성은 보장 (1), 특전성, (2)를 보장한다.이 반일격은 L에 대한 자유격이다.한 세트는 그 자체의 멤버가 아니기 때문에 L에 의해 제한되지 않는다.

고전적인 확장적 단순론은 조인-세밀라티스를 정의하고 조인-읽기를 이진 융합으로 정의한다.이 반일격은 세계 개인에 의해 위와 경계를 이룬다.
S가 설정된 경우 S의 $\xi$ 파티션 $\xi$ $\xi$ 은(는) 조인-세밀래티스(join-semilattice)이다.사실, 부분 순서ξ≤ η{\displaystyle \xi \leq \eta}만약∀ Q∈ η에 의해, ∃ 주어진다 P∈ ξ{\displaystyle \forall Q\in \eta P\in ,\exists \xi}가 Q⊂ P{\displaystyle Q\subset P}과 조인의 두 파티션은 누구에 의해서ξ ∨ η){P∩ Q∣ P∈ ξ&Q∈ η}{\displaystyle \xi \vee\eta =\{P\cap Q\mi.P진동계 측 $\in \xi \&\ Q\in \eta$ $\xi \vee \eta =\{P\cap Q\mid P\in \xi \ \&\ Q\in \eta \}$ 이 세미라티스는 경계로 되어 있으며 $\{S\}$ 최소 요소는 싱글톤 파티션 { $\{S\}$ ${\displaystyle$ \{ $S\}}$ 이다 $\{S\}$

반매틱스 형태론

위의 반일율의 대수적 정의는 두 반일율 사이의 형태론의 개념을 제시한다.(S, ∨)와 (T, ∨)의 두 개의 조인-세밀라티스를 감안할 때, (조인) 반밀라티스의 동형성은 함수 f: S → T이다.

f(x ∨ y) = f(x) ∨ f(y).

따라서 f는 각 반밀러티와 연관된 두 개의 세미그룹에 대한 동형상일 뿐이다.만약 S와 T가 모두 최소 원소 0을 포함한다면, f는 또한 단일 동형성이어야 한다. 즉, 우리는 추가로 다음을 요구한다.

f(0) = 0.

순서-이론적 공식에서, 이러한 조건들은 조인-세밀라티스의 동형성이 2진 결합과 최소 원소가 있는 경우 보존하는 함수라고만 명시한다.분명한 이중 ∧을 ∨으로, 0을 1로 대체하는 것은 조인-세밀래티스 동형성의 정의를 그 일치-세밀래티스 등가로 바꾼다.

모든 반밀성 동형성은 관련 순서 관계에 대해 반드시 단조롭다는 점에 유의한다.자세한 내용은 제한의 항목 보존을 참조하십시오.

대수 격자와 동등함

There is a well-known equivalence between the category ${\mathcal {S}}$ of join-semilattices with zero with $(\vee ,0)$ -homomorphisms and the category ${\mathcal {A}}$ of algebraic lattices with compactness-preserving complete join-homomorphisms, as follows.With a join-semilattice $S$ with zero, we associate its ideal lattice $\operatorname {Id} \ S$ . With a $(\vee ,0)$ -homomorphism $f\colon S\to T$ of $(\vee ,0)$ -semilattices, we associate the map $\operatorname {Id} \ f\colon \operatorname {Id} \ S\to \operatorname {Id} \ T$ $\operatorname {Id} \ f\colon \operatorname {Id} \ S\to \operatorname {Id} \ T$ , that with any ideal $I$ of $S$ associates the ideal of $T$ generated by $f(I)$ .This defines a functor $\operatorname {Id} \colon {\mathcal {S}}\to {\mathcal {A}}$ . Conversely, with every algebraic lattice $A$ we associate the $(\vee ,0)$ -semilattice $K(A)$ of all compact elements of ${\display$ $style A}$ , and with every compactness-preserving complete join-homomorphism $f\colon A\to B$ between algebraic lattices we associate the restriction $K(f)\colon K(A)\to K(B)$ . This defines a functor ${\displaystyle K\colon {\mathcal {A}}\to {\m$ $atscal {S$ 쌍 $(\operatorname {Id} ,K)$ , $(\operatorname {Id} ,K)$ ) ${\displaystyle(\operatorname {Id},K)$ 은 S ${\$ 과 ${\mathcal {S}}$ ( ${\mathcal {A}}$ ) ${\$ 사이의 범주 동등성을 정의한다 $(\operatorname {Id},K)$ ${\mathcal {A}}$

분배 반일율

놀랍게도, 분배성은 관습적으로 두 개의 이항 연산의 상호작용을 요구하지만, 반일률에 적용되는 "분산성"의 개념이 있다.이 개념은 단지 하나의 조작을 필요로 하며, 선반들에 대한 분배성 조건을 일반화한다.조인-세밀라티스는 모든 a, b, x에 대해 x = a' b'와 b' b'가 존재한다면 분배적이다. 분배-세밀라티스는 dolly 정의된다.이러한 정의는 이진수가 존재하는 분배 결합-세밀라티스가 분배 격자라는 사실에 의해 정당화된다.항목 분배성(주문 이론)을 참조하십시오.

결합-세밀라티스는 (포용되고 있는) 이상 격자가 분배인 경우에만 분배된다.

전체 반월표

오늘날, "완전한 반감"이라는 용어는 일반적으로 받아들여지는 의미가 없으며, 서로 모순되는 다양한 정의가 존재한다.모든 무한 결합 또는 모든 무한 결합의 존재를 요구하기 위해 완전성을 취한다면, 유한한 결합뿐만 아니라 어떤 경우든, 이것은 즉시 사실 완전 격자인 부분적인 순서로 이어진다.가능한 모든 무한 결합의 존재가 가능한 모든 무한 만남의 존재를 수반하는 이유(그리고 그 반대)는 엔트리 완성도(오더 이론)를 참고한다.

그럼에도 불구하고, 때때로 문헌은 완전한 결합 또는 만남-세밀러티스를 완전한 선반으로 만든다.이 경우 "완전성"은 동형성의 범위에 대한 제한을 의미한다.구체적으로는 완전한 조인-세밀라티시즘은 모든 결합을 보존할 것을 요구하지만, 완전성 성질을 위해 우리가 찾는 상황과는 반대로, 이것은 모든 결합을 보존할 것을 요구하지 않는다.반면에, 우리는 모든 그러한 지도들이 어떤 갈루아 연결의 하위 연결점이라고 결론 내릴 수 있다.그에 상응하는 (고유한) 상부 조정은 완전한 만남-세밀리티의 동형식이 될 것이다.이것은 각각 모든 만남 또는 결합을 보존하는 형태론과 함께 완전한 모든 반밀도의 범주들 사이에 많은 유용한 범주형 이중성을 야기한다.

"완전한 만남-세밀라티체"의 또 다른 용어는 경계된 완전한 cpo를 가리킨다.이런 의미에서 완전한 만남-세밀라티는 반드시 완전한 격자일 필요는 없는 "가장 완전한" 만남-세밀라티스일 것이다.실제로 완전한 만남-세밀라티스는 모든 비빈 만남(완전하게 경계된 것과 다름)과 모든 지시된 결합을 가지고 있다.그러한 구조물이 또한 가장 큰 요소(빈 집합의 충족)를 가지고 있다면, 그것은 또한 완전한 격자가 된다.따라서 완전한 반일격은 "상단이 부족할 가능성이 있는 완전한 격자"로 판명된다.이 정의는 특히 도메인 이론에 관심이 있는데, 여기서 경계된 대수학 cpos는 스콧 도메인으로 연구된다.그래서 스콧 도메인은 대수학 반밀도(semilatic semilats)라고 불려왔다.

준항목에 대한 카디널리티 제한의 완전성 개념은 문헌에서 거의 고려되지 않았다.^[1]^[2]

자유 반월표

이 절은 범주 이론에 대한 지식을 전제로 한다.다양한 상황에서 자유로운 반밀착이 존재한다.예를 들어, 조인-세밀러티(및 그 동음이의어) 범주에서 세트(및 함수) 범주에 이르는 망각적인 펑터(functor)는 왼쪽 부선을 허용한다.따라서 세트 S에 대한 자유 조인-세밀라티체 F(S)는 부분집합에 의해 정렬된 S의 모든 비어 있지 않은 유한 서브셋의 컬렉션을 취함으로써 구성된다.분명히 S는 S의 어떤 요소도 싱글톤 세트 {s}에 가져가는 매핑 e에 의해 F(S)에 내장될 수 있다.그러면 S에서 조인-세밀라티스 T(더 정식적으로, T의 기본 집합)에 이르는 모든 함수 f는 조인-세밀라티스 F(S)와 T 사이에 고유한 동형성 f'를 유도하며, f = f' o e.명시적으로 f'는 f' (A) = $\vee$ $\ve$ {f(s)s in A}에 주어진다.이제 f'의 분명한 고유성은 요구되는 결합을 얻기에 충분하다. 즉, functor F의 형태론 부분은 일반적인 고려사항에서 도출될 수 있다(부정칭 functor 참조).무료 미팅-세밀라티스의 경우, 반대의 서브셋 포함을 주문으로 사용하여 이중적이다.하단이 있는 조인-세밀리의 경우 위의 하위 집합 집합 집합에 빈 집합을 추가하면 된다.

또한 반밀도표는 다른 범주 내에서 자유 객체의 생성자 역할을 하는 경우가 많다.특히 프레임과 프레임-동형성의 범주, 그리고 분배 격자와 격자-동형성의 범주에서 망각적인 펑커들은 모두 왼쪽 부호를 가진다.

참고 항목

지시 집합, 조인 세밀라티스의 일반화
주문 항목 목록
세미닝

메모들

^ E. G. Manes, 대수학 이론, 수학 제26권, 1976년 스프링어, 페이지 57
^ Planetmath.org에 반월표를 작성하다.

참조

Davey, B. A.; Priestley, H. A. (2002). Introduction to Lattices and Order (second ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-78451-4.
Vickers, Steven (1989). Topology via Logic. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36062-5.

격자 이론의 표준 치료법이 반일격자를 정의한 다음 더 이상 말하지 않는 경우가 많다.항목 순서 이론 및 격자 이론의 참조를 참조하십시오.더욱이, 세미그룹에 대한 것과 비교할 수 있는 크기의 반일률에 대한 문헌은 없다.

외부 링크

Jipsen의 대수 구조 페이지:반일율.

[1] E. G. Manes, 대수학 이론, 수학 제26권, 1976년 스프링어, 페이지 57

[2] Planetmath.org에 반월표를 작성하다.

[1]

[2]

권한통제
국립도서관	프랑스. (데이터) 미국
기타	주제용어의 면면적용

Search