분할장

추상 대수학에서, 한 필드에 계수가 있는 다항식의 분할 장은 다항식이 선형 인자로 분할되거나 분해되는 해당 필드의 최소 필드 확장이다.

정의

필드 K에 대한 다항식 p(X)의 분할 필드는 p 요인을 선형 인자로 하는 K의 필드 확장 L이다.

${\displaystyle p(X)=c\prod _{i=1}^{\deg(p)}(X-a_{i})}$

$여기$서 c ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle c\in K}$ 및 $각$ i ${\displaystyle i}$에 대해${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle a_{}}$)${\displaystyle L}$[$$ ${\displaystyle ]}$ {\$displaystyle$ ($X-a_{i})\in L[X]}$이(가) 있으며, 이 경우_i 루트가_i K를 통해 L을 생성하지 않아도 된다. 그러면 확장 L은 p가 갈라지는 K에 대한 최소도의 확장이다. 그러한 분열장이 존재하며 이등형성에까지 고유한 것임을 알 수 있다. 그 이소모르피즘에 있어서의 자유의 양은 p의 갈루아 집단(우리가 분리할 수 있다고 가정할 경우)으로 알려져 있다.

특성.

K에 대한 다항식 p(X) 집합의 분할 영역인 확장 L을 K의 정규 확장이라고 한다.

K를 포함하는 대수적으로 닫힌 필드 A를 주어, p의 뿌리에 의해 생성되는 K와 A 사이에 p의 고유한 분할장 L이 있다. K가 복잡한 숫자의 하위 분야라면 존재는 즉시다. 한편, 일반적으로 대수적 폐쇄의 존재는 분열장 결과로부터 '한계에 패스'하는 것으로 증명되는 경우가 많으므로, 순환 추론을 피하기 위해서는 독립적인 증거가 필요하다.

K의 분리 가능한 확장 K ′으로 볼 때 K ois의 갈루아 폐쇄 L은 분할장의 일종이며, 또한 K ′을 최소로 포함하는 K containing의 갈루아 확장도 분명한 의미로 볼 수 있다. 이러한 갈루아 폐쇄는 K의 원소 a의 K에 대한 최소 다항식인 K에 대한 모든 다항식 p에 대한 분할 필드를 포함해야 한다.

분할 필드 구성

동기

다항식의 뿌리를 찾는 것은 고대 그리스 시대부터 중요한 문제였다. 그러나 실제 숫자인 x² + 1 over R과 같은 일부 다항식에는 뿌리가 없다. 그러한 다항식의 분할장을 구성함으로써 새로운 분야에서 다항식의 뿌리를 찾을 수 있다.

건설

F를 필드로 하고 p(X)는 n 도 F[X]의 다항 링에서 다항식으로 한다. The general process for constructing K, the splitting field of p(X) over F, is to construct a chain of fields ${\displaystyle F=K_{0}\subset K_{1}\subset \cdots \subset K_{r-1}\subset K_{r}=K}$ such that K_i is an extension of K_i−1 containing a new root of p(X). p(X)는 최대 n 루트를 가지기 때문에 구조에는 최대 n 루트의 연장이 필요할 것이다. K를_i 시공하기 위한 단계는 다음과 같다.

• K에_i 대한 p(${\displaystyle X}$)를 f $1{\displaystyle {}_{}}$( X${\displaystyle }$) f ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cdots }$ ${\displaystyle {}_{}}$k ( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle f_{1}(X)f_{2}(X)\cdots f_{k}(X)}$에 인수한다$.$
• 비선형 수정 불가능한 요인 f(X) = f_i(X)를 선택하십시오.
• K의_i 필드 확장자 K를_i+1 지수 고리_i+1 K = K_i[X] / (f(X)로 구성한다. 여기서 (F(X)는 f(X)가 생성하는 K_i[X]에서 이상을 나타낸다.
• p(X) 요인이 완전히 될 때까지 K에_i+1 대해 이 과정을 반복한다.

지분구축에 사용된 불분명한 요소 f_i(X)는 임의로 선택할 수 있다. 요인의 서로 다른 선택이 다른 하위 필드 시퀀스로 이어질 수 있지만, 결과 분할 필드는 이형성이 될 것이다.

f(X)는 수정할 수 없기 때문에 (f(X)는 K_i[X]의 최대 이상이고, K_i[X]/(f(X)는 사실상 필드다. 더욱이 $\pi {\displaystyle }$: ${\displaystyle \mathrm{Ki}{}_{}}$[ X ${\displaystyle ]}$→ ${\displaystyle \mathrm{Ki}{}_{}}$[ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle ]}$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle F}$)${\displaystyle \pi :K_{i}[X]\to K_{i}[X]/(f(X)}}}}$를 그 지수에 자연스럽게 투영하게 하면 그 다음이다.

${\displaystyle f(\pi (X)=\pi(f(X)=f(X)=\\bmod{\}}f(X)=0}$

그래서 π(X)는 f(X)와 p(X)의 루트다.

단일 확장${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {Ki}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$: K ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle [K_{i+1}:$$K_{i}]}$은(는) 수정할 수 없는 인자 f(X)의 정도와 같다. 확장자 [K : F]의 정도는${\displaystyle }$[${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$: ${\displaystyle K_{}}$ r${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \cdots }$[ ${\displaystyle {K\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$[ K ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$: ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [K_{r:1$}:K_{r-1}]\$cdots [K_{2}:$00]에 의해 주어진다.$K_{1}] [K_{1}:$$F]}$이고 기껏해야 n!

필드_i K[X]/(f(X))

위에서 언급한 바와 같이, 지수 링_i+1 K = K_i[X]/(f(X)는 f(X)가 다시 해석할 수 없을 때의 필드다. 그것의 요소는 형식이다.

${\displaystyle c_{n-1}\properties ^{n-1}+c_{n-2}\properties ^{n-2}\cdots +c_{1}\c_{0}}$

여기서 c는_j K와_i α = α(X)에 있다. (만약_i+1i K를 K에 대한 벡터 공간으로 간주한다면, 0 j j n n-1에 대한 힘 α는^j 기초를 형성한다.)

K의_i+1 원소는 n보다 작은 α의 다항식으로 간주할 수 있다. K의_i+1 덧셈은 다항식 덧셈 규칙에 의해 주어지고 곱셈은 다항식 곱셈모듈로 f(X)에 의해 주어진다. 즉, K의_i+1 g(α)와 h(α)의 경우 그들의 제품은 g(α)h(α) = r(α)이며, 여기서 r(X)는 K_i[X]에서 f(X)로 나눈 g(X)의 나머지이다.

나머지 r(X)은 다항식의 긴 분할을 통해 계산할 수 있지만, r(α) = g(α)h(α)를 직접 계산하는 데 사용할 수 있는 간단한 감소 규칙도 있다. 먼저 하자

${\displaystyle f(X)=X^{n}+b_{n-1}X^{n-1}+\cdots +b_{1}X+b_{0}.}$

다항식은 한 분야를 넘어 일반성을 잃지 않고 f(X)를 모닉으로 가져갈 수 있다. 이제 α는 f(X)의 뿌리여서

${\displaystyle \cHB_{n1}=-(b_{n-1}\cdots ^{n-1}+\cdots +b_{0}).}$

제품 g(α)h(α)의 용어가 m n n인 경우 다음과^m 같이 줄일 수 있다.

${\displaystyle \alpha ^{n}\alpha ^{m-n}=-\left(b_{n-1}\alpha ^{n-1}+\cdots +b_{1}\alpha +b_{0}\right)\alpha ^{m-n}=-\left(b_{n-1}\alpha ^{m-1}+\cdots +b_{1}\alpha$$^{m-n+1}+b_{0}\properties ^{m-n}\right)}$.

As an example of the reduction rule, take K_i = Q[X], the ring of polynomials with rational coefficients, and take f(X) = X⁷ − 2. Let ${\displaystyle g(\alpha )=\alpha ^{5}+\alpha ^{2}}$ and h(α) = α³ +1 be two elements of Q[X]/(X⁷ − 2). f(X)가 주는 감량 규칙은 α⁷ = 2이므로

${\displaystyle g(\alpha )h(\alpha )=\left(\alpha ^{5}+\alpha ^{2}\right)\left(\alpha ^{3}+1\right)=\alpha ^{8}+2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}=\left(\alpha ^{7}\right)\alpha +2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}=2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}+2\alpha .}$

예

복잡한 숫자

다항식 링 R[x] 및 수정할 수 없는 다항식² x + 1을 고려하십시오. 지수 링 R[x] / (x² + 1)은 합치² x ≡ -1에 의해 주어진다. 결과적으로 R[x] / (x² + 1)의 요소(또는 동등성 등급)는 a + bx 형태로, a와 b는 R에 속한다. 이를 보려면 x² ≡ -1 이후 x³ ≡ -x, x⁴ ≡ 1, x⁵ ≡ x 등을 따르므로, 예를 들어 p + qx + rx² + sx³ p + ≡ (-x) = (p - r) + s ((-x) = (p - r) + (q - s)⋅x.

덧셈과 곱셈 연산은 우선 일반적인 다항식 덧셈과 곱셈을 사용하되, 모듈로² x + 1을 줄여서, 즉 x² ≡ -1, x³ ≡ -x, x⁴ ≡ 1, x⁵ ≡ x 등을 사용함으로써 주어진다. 따라서 다음과 같다.

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}x)+(a_{2}+b_{2}x)=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2}x,}$

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}x)(a_{2}+b_{2}x)=a_{1}a_{2}+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})x+(b_{1}b_{2})x^{2}\equiv (a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})x\,.}$

만약 우리가 (a,b)와 + bx를 식별한다면, 우리는 덧셈과 곱셈이 다음에 의해 주어지는 것을 볼 수 있다.

${\displaystyle (a_{1},b_{1}+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1},{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1},b_{1},cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}).}$

우리는 필드로서, 지수 R[x] / (x² + 1)이 복합수인 C와 이형성이 있다고 주장한다. 일반 콤플렉스 번호는 a + bi 형식이며, 여기서 a와 b는 실수, i = -1이다². 덧셈과 곱셈은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}i)+(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}+a_{2})+i(b_{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}i)\cdot (a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+i(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{1})+i.}$

만약 우리가 (a,b)와 + bi를 식별한다면, 우리는 덧셈과 곱셈이 다음에 의해 주어지는 것을 볼 수 있다.

${\displaystyle (a_{1},b_{1}+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1},{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1},b_{1},cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}).}$

앞의 계산은 덧셈과 곱셈이 R[x] / (x² + 1)과 C에서 같은 방식으로 작용한다는 것을 보여준다. 실제로, 우리는 + bx → + bi가 주는 R[x]/(x² + 1)와 C 사이의 지도가 덧셈과 곱셈에 관한 동형상임을 알 수 있다. 또한 지도 a + bx → a + bi는 주입식이고 굴절성이며, 즉 + bx → a + bi는 이형성(異形性)이라는 것을 의미한다. R[x] / (x² + 1) ≅ C를 따른다.

1847년, Cauchy는 복잡한 숫자를 정의하기 위해 이 접근법을 사용했다.^[1]

큐빅 예제

K를 합리적인 숫자 필드 Q와 p(x) = x - 2가³ 되도록 한다. p의 각 루트는 1 입방체 뿌리의 2배와 같다. 그러므로 우리가 통일의 큐브 뿌리를 다음과 같이 나타낸다면.

${\displaystyle \omega _{1}=1,\,}$

${\displaystyle \omega_{2}=-{\frac {1}{1}{2}}+{\frac {\sqrt{3}}i,}$

${\displaystyle \omega_{3}=-{\frac {1}{1}{2}}-{\frac {\sqrt{3}{2}}i.}$

p의 두 개의 뚜렷한 뿌리를 포함하는 모든 장은 통일의 두 개의 뚜렷한 입방근 사이의 몫을 포함할 것이다. 그러한 인수는 Ω₂ $또는{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$3 =${\displaystyle 1}$ / ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$2$\}\}.$ p의 분할장 L은 Ω뿐만₂ 아니라 2의 실제 큐브 루트를 포함할 것이다. 반대로 이러한 원소를 포함하는 Q의 모든 확장은 p의 모든 루트를 포함한다. 그러므로,

${\displaystyle L=\mathbf {Q} \left({\sqrt[{3}]{2}},\omega _{2}\right)=\left\{\left.a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{2}}^{2}+d\omega _{2}+e{\sqrt[{3}]{2}}\omega _{2}+f{\sqrt[{3}]{2}}^{2}\omega _{2}\right a,b,c,d,e,f\in \mathbf {Q} \right\}}$

Note that applying the construction process outlined in the previous section to this example, one begins with ${\displaystyle K_{0}=\mathbf {Q} }$ and constructs the field ${\displaystyle K_{1}=\mathbf {Q} [X]/(X^{3}-2)}$. 이 필드는 분할 필드가 아니라 하나의 루트를 포함한다. 그러나 다항식 $Y{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle$ Y$^{3}-2}$은(는)$$K 1 {\$displaystyle$ K_${1$}에 대해 다시 설명할 수 없으며$$, 사실상$$ 다음과 같다.

${\displaystyle Y^{3}-2=(Y-X)(Y^{2}+XY+X^{2}).}$

Note that ${\displaystyle X}$ is not an indeterminate, and is in fact an element of ${\displaystyle K_{1}}$. Now, continuing the process, we obtain ${\displaystyle K_{2}=K_{1}[Y]/(Y^{2}+XY+X^{2})}$ which is indeed the splitting field and is spanned by the ${\displaystyle \mathbf{Q}}$${\displaystyle \mathbf {Q} }$-basis ${\displaystyle \{1,X,X^{2},Y,XY,X^{2}Y\}}$. Notice that if we compare this with ${\displaystyle L}$ from above we can identify ${\displaystyle X={\sqrt[{3}]{2}}}$ and ${\displaystyle Y=\omega _{2}}$.

기타 예

• x^q - x - x over_p F의 분할 장은 q = p에ⁿ 대한 고유한 유한 필드 F이다_q.^[2] 때때로 이 필드는 GF(q)로 표시된다.

• x² + 1 대 F의₇ 분할 장은 F이다₄₉. 다항식은 F에₇ 뿌리를 두지 않는다. 즉, -1은 1(모드 4)과 같지 않기 때문에 거기서 제곱이 아니다.^[3]

• x²² - 1 대 F의₇ 분할 필드는 x - 1 = (x + 1)(x - 1) 인자가 이미 선형 인자로 되어 있기 때문에 F이다₇.

• f(x) = x³ + x + 1의 분할 필드를 F에₂ 대해 계산한다. f(x)가 F에₂ 뿌리를 두지 않았음을 쉽게 확인할 수 있으므로 f(x)는 F₂[x]에서 다시 풀 수 없다. f₂₂[x]/(f(x)에 r = x + (x)를 넣고 f(r)[x]에 x(r)를 넣고 x(x³) + 1 = (x + r)(x + r)(x² + 도끼 + b)를 f₂(x)에 넣는다. 특성은 두 가지이므로 + for -를 쓸 수 있다는 점에 유의하십시오. 계수의 비교를 보면 a = r과 b = 1² + r을 알 수 있다. F₂(r)의 요소는 c + dr + er로² 나열할 수 있으며, 여기서 c, d, e는 F로₂ 표시된다. There are eight elements: 0, 1, r, 1 + r, r², 1 + r², r + r² and 1 + r + r². Substituting these in x² + rx + 1 + r² we reach (r²)² + r(r²) + 1 + r² = r⁴ + r³ + 1 + r² = 0, therefore x³ + x + 1 = (x + r)(x + r²)(x + (r + r²)) for r in F₂[x]/(f(x)); E = F₂(r) is a splitting field of x³ + x + 1 over F₂.

메모들

참조

• Dummit, David S, 그리고 Foote, Richard M. (1999년). 추상 대수학 (제2판) 뉴욕: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-36857-1
• "Splitting field of a polynomial", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Splitting field". MathWorld.