환원군

대수구조 → 그룹 이론 집단 이론
기본 개념 부분군 정규 부분군 지수군 (세미-)직접 생산물 집단동형성 알맹이 이미지 직합 화환제품 소박한 유한한 무한의 연속의 승수의 첨가제의 순환의 아벨의 강하제의 무광의 해결할 수 있는 액션 집단 이론 용어집 그룹 이론 주제 목록
유한군 유한단순군 분류 순환의 교대로 거짓말형 산발적인 코치의 정리 라그랑주의 정리 실로우의 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스 군 슈르 승수 대칭군n S 클라인 4그룹 V 디헤드랄군n D 쿼터니온 그룹 Q 다사이클릭 그룹 Dicn
이산형 그룹 선반 정수(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 자유군 모듈 그룹 PSL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) SL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 산술군 격자 쌍곡군
위상학 및 눕기 그룹 솔레노이드 원 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 차이점형성 루프 무한 치수 리 그룹 오(∞) SU(수) Sp(()
대수군 선형대수군 환원군 아벨 품종 타원곡선
v t

수학에서 환원군은 한 분야에 걸친 선형 대수군의 일종이다.한 가지 정의는 완벽한 분야에 걸쳐 연결된 선형 대수 그룹 G가 되돌릴 수 없는 표현의 직접적인 합계인 유한한 커널을 가진 표현을 가지고 있다면 환원된다는 것이다.환원성 그룹에는 수학적에서 가장 중요한 그룹들 중 몇 가지가 있는데, 예를 들어, 변환성 매트릭스의 일반 선형 그룹 GL(n), 특수 직교 그룹 SO(n), 공통 그룹 Sp(2n) 등이 있다.간단한 대수 그룹과 (더 일반적으로) 반이행 대수 그룹은 축소된다.null

Claude Chevalley는 대수적으로 닫힌 어떤 분야에서도 환원 그룹의 분류가 동일하다는 것을 보여주었다.특히 단순 대수집단은 콤팩트한 리 그룹이나 복잡한 셈이 구현된 리 알헤브라의 이론에서와 같이 딘킨 도표에 의해 분류된다.임의의 영역에 걸친 환원 집단은 분류하기가 더 어렵지만, 실제 숫자 R이나 숫자 필드 등 많은 분야의 경우 분류가 잘 이해된다.유한단순집단의 분류에 따르면 대부분의 유한단순집단은 유한장 k에 대한 단순대수군 G의 k-rational points의 그룹 G(k)로 발생하거나, 또는 그 구조의 작은 변형으로 발생한다고 한다.null

환원성 집단은 다양한 맥락에서 풍부한 대표이론을 가지고 있다.첫째로, K-벡터 공간에 대한 G의 작용인 대수적 집단으로서의 필드 k에 대한 환원 그룹 G의 표현을 연구할 수 있다.그러나 또한 k가 유한장일 때 그룹 G(k)의 복잡한 표현이나, 실제 환원집단의 무한 차원 단일 표현 또는 아델릭 대수집단의 자동적 표현도 연구할 수 있다.환원 그룹의 구조 이론은 이 모든 영역에서 사용된다.null

정의들

필드 k에 대한 선형 대수 그룹은 일부 양의 정수 n에 대해 k에 대한 GL(n)의 부드러운 닫힌 부분군 구조로 정의된다.동등하게, k에 대한 선형 대수 그룹은 k에 대한 부드러운 아핀 그룹 체계다.

전능한 급진주의자와 함께

$대수적$으로 폐쇄된 필드 위에$$ 연결된 선형 대수 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ G$}$이(가) G ${\displaystyle G}$의 매끄럽게 연결된 모든 해결 가능한 정상 부분군이 사소한$$ 경우 semisimply라고 한다.보다 일반적으로 대수적으로 닫힌 장 위에$$ 연결된 선형 대수군 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 가장 매끄럽게 연결된 비전능적 정상 부분군이 사소한$$ 경우 환원이라고 한다.^[1]이 정상적인 부분군을 비전능적 급진파라고 하며 $R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$(${\displaystyle G}$) ${\displaystyle R_{u}(G)}$로 표기한다$.($일부 저자는 연결하기 위해 환원집단을 필요로 하지 않는다)임의의 필드 k에 대한$$ $그룹{\displaystyle }$G {\$displaystyle$$G_${\$overline{k}$의 기본 $변경{\displaystyle {}_{}}$ G ${\displaystyle k_{}}$가 반이행 또는 환원되는 경우 그룹$$G ${\$ G_${\overline{k}}$는${\displaystyle \stackrel{}{}}$k의 대수적 닫힘입니다(이는 그룹 내에서 환원 정의와 동일함).k가 완벽할 때 전도)^[2]승수 그룹 G와_m 같이 k에 대한 모든 토러스(torus)는 환원성이 있다.null

표현 이론과 함께

환원 그룹의 다른 동등한 정의는 연결된 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\$$}$이(가$) 대수적$ 폐쇄 ${\displaystyle k^{}}$에 대해 반이행으로 남아 있는 충실한 반이행 표현을 인정하는 것이다$.$^{[3]page 383}

단순 환원군

필드 k에 대한 선형 대수군 G는 반실행, 비실행성, 그리고 G에 대한 G의 모든 매끄러운 연결 정상 부분군이 G와 같거나 하찮으면 단순(또는 k-단순)이라고 불린다(일부 저자는 이 속성을 "거의 단순함"이라고 부른다.^[4]이는 단순 대수집단이 비경쟁적 중심을 가질 수 있다는 점에서 추상집단의 용어와는 약간 다르다(중심은 유한해야 함).예를 들어, 어떤 정수 n 최소 2와 어떤 필드 k에 대해 k에 대한 그룹 SL(n)은 단순하며, 그 중심은 통일의 n번째 뿌리의 그룹 구성표 μ이다_n.null

환원 집단의 중심적 이질화는 유한한 중심 부분군 체계가 있는 굴절성 동형성이다.한 분야를 넘나드는 모든 환원 집단은 토러스나 몇몇 단순한 집단의 산물로부터 중심적인 이질성을 인정한다.예를 들어, 어떤 필드 k에 대해서도,

${\displaystyle GL(n)\cong (G_{m}\time SL(n)/\mu _{n}.}$

한 분야에 걸친 환원 집단의 정의가 대수학적 폐쇄로의 통로를 포함하는 것은 약간 어색하다.완벽한 필드 k의 경우, 그것은 피할 수 있다: G의 모든 매끄럽게 연결된 모든 전능하지 않은 정상 k-subgroup이 사소한 경우에만 선형 대수 그룹 G over k를 환원한다.임의 필드의 경우 후자의 속성은 의사 감소 그룹을 정의하는데, 이는 다소 일반적이다.null

분할 축소 그룹

필드 k에 대한 환원 그룹 G가 k에 대한 분할 최대 토러스 T를 포함하는 경우$($, K에 있는 분할 토러스 {\$displaystyle$ {\$overline$ {k$$$}}$으로 기본 변경이 $G{\displaystyle {}_{\stackrel{}{}k}}$의 ${\$를 분할이라고 한다.$$G의 모든 k-tori 중에서 T가 최대인 G의 split torus라고 하는 것과 맞먹는다.^[5]이러한 종류의 그룹은 그들의 분류를 루트 데이터라고 불리는 결합 데이터를 통해 설명할 수 있기 때문에 유용하다.null

예

GL과_n SL_n

환원 그룹의 기본적인 예는 일반 선형 그룹 ${\displaystyle {}_{}}$ n ${\$}이다$.$GL}$_{n}$ 필드 k에 대한 반전 n × n 행렬, 자연수$$ n.특히 곱셈군 G는_m 그룹 GL(1)이므로, k-Rational 포인트의_m 그룹 G(k)는 k 언더 곱셈군 nonzero 원소의 그룹 k*이다.또 다른 환원 그룹은 필드 k 위에 있는 특수 선형 그룹 SL(n)이며, 결정 인자 1이 있는 행렬의 하위 그룹이다.사실 SL(n)은 n 최소 2를 위한 단순 대수군이다.null

O(n), SO(n) 및 Sp(n)

중요한 단순 집단은 필드 k에 대한 동정적 집단 Sp(2n)로 벡터 공간²ⁿ k에 비디제너레이션 교번 이선형 형태를 보존하는 GL(2n)의 부분군이다.마찬가지로 직교 그룹 O(q)는 필드 k 위에 있는 벡터 공간에 비분수 2차 형태 q를 보존하는 일반 선형 그룹의 부분군이다.대수 그룹 O(q)는 두 개의 연결된 구성요소를 가지고 있으며, 그 ID 구성요소 SO(q)는 사실상 최소 3차원 n의 q에 대해 단순하다. (특성 2와 n 홀수의 k에 대해, 그룹 구성표 O(q)는 실제로 연결되어 있지만 k에 대해 매끄럽지 않다.단순 그룹 SO(q)는 항상 k에 걸쳐 O(q)의 최대 매끄러운 연결 부분군으로 정의할 수 있다.k가 대수적으로 닫힐 때, 같은 차원의 (비분열) 2차적 형태는 이형성이므로, 이 집단을 SO(n)라고 부르는 것이 타당하다.일반 필드 k의 경우, 서로 다른 2차적 형태의 치수 n은 모두 $대수학적{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 폐쇄 k$'{\$에 대한 기저 변화는 동일하지만, 비 이형성 단순 그룹 SO(q)를 k에 걸쳐 산출할 수 있다$.$

토리

그룹 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$과(와)의 제품을 대수형 토리라고 한다.${\displaystyle {\text{GL}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\${\text$}$에 포함되기 때문에 이러한 그룹은 축소 그룹의 예다.$GL}_{n}}$는 대각선을 통과하며$$, 이 표현에서 볼 때 그들의 전능하지 않은 급진성은 사소한 것이다.예를 들어 ${\displaystyle {\text{GL}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaystyle \mathb {G} _{m}\time \mathb {G} _{m}}}}$에 포함된$$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle {\text}$지도에서$$ $GL}_{2}}:$

${\displaystyle (a_{1},a_{2})\mapsto {\bmatrix}a_{1}{1}&0\\\0&a_{2}\end{bmatrix}}}}$

비예시

• 어떤 전능하지 않은 집단은 그 전능하지 않은 급진파 그 자체이기 때문에 환원되지 않는다.여기에는 가법 그룹 $G{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$가 포함된다$.$
• ${\displaystyle {\text{GL}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 $Borel$ ${\displaystyle {그룹}_{}}$ B$${\$displaystyle B_{n}$$GL}_{n}}$은(는) 대각선 상에$$ $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}$이(가) 있는 삼각형 상단 행렬의$$ 비독점적 급진 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$n}을$($를) 가지고$$ 있다.이것은 전지전능하지 않은 비감소 집단의 예다.

연관 환원군

비전능적 $급진적{\displaystyle {}_{}}$ R ${\displaystyle u{}_{}}$( G${\displaystyle }$) ${\displaystyle R_{u}(G)}$의 정규성은 지수 $그룹{\displaystyle }$ G${\displaystyle /R{}_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle G/R_{u}(G)$가 환원적이라는$$ 것을 암시한다는$$ 점에 유의한다.예를 들어,

${\displaystyle B_{n}/(R_{u}(B_{n}))\cong \prod _{i=1}^{n}\mathb {G} _{m}}}}$

환원 그룹의 기타 특성화

콤팩트하게 연결된 모든 Lie 그룹은 복합환원 대수군인 복합화를 가지고 있다.실제로 이 구조는 콤팩트하게 연결된 리 그룹과 복잡한 환원 그룹 사이에 1대 1의 일치성을 부여하는데, 이는 이형성에 이른다.복합화 G를 가진 소형 Lie 그룹 K의 경우, K에서 복합 환원 그룹 G(C)로 포함시키는 것은 G(C)의 고전적 위상에 관한 호모토피 동등성이다.예를 들어, 단일 군집 U(n)에서 GL(n,C)까지를 포함하는 것은 호모토피 동등성이다.null

특성 0의 영역에 걸친 환원 그룹 G의 경우, G의 모든 유한 치수 표현(대수군으로서)은 완전히 환원할 수 있다. 즉, 그것들은 환원할 수 없는 표현들의 직접적인 합이다.^[6]그것이 "감소"라는 이름의 근원이다.단, 양성 특성(토리와는 별개)의 환원 그룹에 대해서는 완전 환원성이 실패한다는 점에 유의하십시오.좀 더 자세히 설명하자면, 필드 k 위에 유한한 유형의 아핀 그룹 체계 G는 그것의 유한한 차원 표현이 완전히 축소 가능한 경우 선형 환원성이라고 불린다.특성 0의 k의 경우 G의 식별 성분 G가^o 환원되는 경우에만 G가 선형 환원된다.^[7]그러나 특성 p>0의 k에 대해서는 G가^o 승법형이고 G/G가^o p에 오더 프라임을 갖는 경우에만 G가 선형적으로 환원된다는 것을 보여주었다.^[8]

뿌리.

환원 대수집단의 분류는 복잡한 반실현 리 알헤브라스 또는 콤팩트 리 그룹의 이론에서와 같이 관련 루트 체계의 관점에서 이루어진다.환원군에게는 뿌리가 나타나는 방법이 여기에 있다.null

G를 필드 k에 대한 분할 환원 그룹이 되게 하고, T를 G에 있는 분할 최대 토루스(Split maximal torus)로 한다. 따라서 T는 일부 n에 대해 (G_m)ⁿ에 대해 이형성이며, n은 G의 순위라고 불린다. T의 모든 표현은 (대수군으로서) 1차원 표현에 대한 직접적인 합이다.^[9]G에 대한 가중치는 T의 1차원 표현 또는 동등하게 동형성 T → G의_m 이형성 등급을 의미한다.가중치는 표현 산물의 텐서 아래 X(T) 그룹을 형성하며, X(Tⁿ)는 정수 Z의 n개 복사본의 곱에 이형성을 가진다.null

부선 표현은 Lie $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$ g ${\${\$mathfak$ {$g}$에 대한 G의 결합에 의한 작용이다$.$ G의 뿌리는 g ${\$에 대한 T ⊂ G의 작용에서 발생하는 0이 아닌 가중치를 의미한다$.$각 루트에 해당하는$$ $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 하위공간은 1차원이며, T가 고정하는$$ g ${\$ {$g}$의 하위공간은 정확히 T의 Lie 대수 $t{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이다.^[10]따라서 G의 Lie 대수학(Lie 대수학)은 t {\$displaystyle$ {\mathfrak${t}}$로 분해되며, roots의 φ에 의해 지수화된 1차원 서브스페이스와 함께 다음과$$ 같이 분해된다$.$

${\displaystyle {\mathfrak{g}={\mathfrak {t}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi}{\mathfrak {g}{\alpha }}}}$

예를 들어 G가 그룹 GL(n)일 때, 그 Lie 대수 g ${\displaystyle l}$(${\displaystyle n}$) ${\displaystyle {{\mathfrak{g}l}(n)}$은 k에 걸친 모든 n × n 행렬의 벡터 공간이다$$.T를 G의 대각 행렬의 부분군이 되게 한다.그런 다음 루트 공간 분해는 대각 행렬의 직접 합으로$$ ${\displaystyle g}$l (${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}${\$displaystyle {{\mathfrak{g}l}(n)}$을 표시하고 비대각 위치(i, j)에 의해 지수화된 1차원 서브스페이스를 표현한다.중량 격자 X(T) ≅ Z의ⁿ 표준기준에 대해₁ L,...,L를_n 쓰고, 뿌리는 1부터 n까지의 모든 i ≠ j에 대한_i L - L 원소다_j.

반실행 집단의 뿌리는 뿌리 체계를 형성한다; 이것은 완전히 분류될 수 있는 결합 구조다.더 일반적으로, 환원 그룹의 뿌리는 약간의 변화인 뿌리 기준점을 형성한다.^[11]환원 그룹 G의 Weyl 그룹은 토러스 W = N_G(T)/T에 의한 최대 토러스 정규제의 지수 집단을 의미한다.Weyl 그룹은 사실 반사에 의해 생성된 유한한 그룹이다.예를 들어, 그룹 GL(n) (또는 SL(n))의 경우 Weyl 그룹은 대칭 그룹 S이다_n.

주어진 최대 토루스(maximal torus)를 포함하는 보렐 하위집단이 상당히 많으며, 그것들은 Weyl 그룹에 의해 간단히 변형적으로 순열된다(동작에 의해 작용한다).^[12]보렐 부분군을 선택하면 φ이⁺ φ과⁺ -φ의 분리 결합이라는 속성으로 positive⁺ ⊂의 양근 집합이 결정된다.명시적으로 B의 Lie 대수학은 T의 Lie 대수학과 양의 뿌리 공간의 직접적인 합이다.

${\displaystyle {\mathfrak{b}={\mathfrak{t}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi^}{+}}{\mathfrak {g}{\alpha}}}}$

예를 들어, B가 GL(n)에서 상위 삼각형 행렬의 보렐 부분군인 경우, ${\displaystyle 이}$는 g l${\displaystyle }$($){\displaystyle {{\mathfrak{$$b}})$에서 상위 삼각 $행렬$의 하위$$ 공간 b ${\$mathfrak${$$g}l}(n$의 명백한 분해다.양근은 1 - i < j ≤ n에 대한_i L - L이다_j.

단순근은 다른 두 개의 양근의 합이 아닌 양의 근을 의미한다.간단한 뿌리 집합에 대해 Δ를 쓰시오.단순근의 수 r은 G의 정류자 부분군의 순위(G를 semisimulation rang)로 불리는 G의 semisimulation ranglass(G를 semisimulation하면 간단히 G의 순위)와 같다.예를 들어 GL(n) (또는 SL(n))의 단순 루트는 1_i ≤ i ≤ n - 1의 L - L이다_i+1.

루트 시스템은 해당 Dynkin 다이어그램에 의해 분류되는데, 이는 유한 그래프(일부 에지가 지시되거나 여러 개임)이다.Dynkin 도표의 정점 집합은 단순한 뿌리의 집합이다.요컨대 Dynkin 도표는 중량 격자의 Weyl 그룹 내변성 내측 제품과 관련하여 단순한 뿌리와 그 상대적 길이 사이의 각도를 설명한다.연결된 Dynkin 다이어그램(단순 그룹에 대응)은 아래 그림과 같다.null

필드 k에 대한 분할 환원 그룹 G의 경우, 중요한 점은 루트 α가 G의 리 대수 1차원 아공간뿐만 아니라, 루트 서브그룹 U라고_α 불리는 주어진 리 대수학으로 G의 첨가 그룹 G의_a 복사본을 결정한다는 것이다.루트 부분군은 T에 의해 정규화되고 주어진 리 대수학(Lie 대수학)이 있는 G에서 첨가된 그룹의 고유한 사본이다.^[10]전체 그룹 G는 T와 뿌리 부분군에 의해 (대수군으로서) 생성되며, 보렐 부분군 B는 T와 양의 뿌리 부분군에 의해 생성된다.사실, 분할 반이행 그룹 G는 루트 하위그룹에 의해서만 생성된다.null

포물선 부분군

필드 k에 대한 분할 환원 그룹 G의 경우, G의 주어진 보렐 부분군 B를 포함하는 G의 매끄러운 연결 부분군은 단순 루트의 Δ(또는 동등하게, Dynkin 다이어그램의 정점 집합의 하위 세트)의 하위 세트와 일대일 일치한다.r을 Δ의 순서로 하자, 반실행 등급인 G. G의 모든 포물선 부분군은 G(k)의 일부 요소에 의해 B를 포함하는 부분군에 결합된다.그 결과 G over k에 포물선 부분군의 결합 등급이 정확히 2개^r 있다.^[13]분명히, Δ의 주어진 부분 집합 S에 해당하는 포물선 부분군은 S에서 α에 대한 루트 부분군_−α U와 함께 B에 의해 생성된 그룹이다.예를 들어, 위의 보렐 부분군 B를 포함하는 GL(n)의 포물선 부분군은 대각선을 따라 주어진 사각형 집합 아래에 0개의 항목이 있는 변환 불가능한 행렬의 그룹이다.

${\displaystyle \left\{\\\bmatrix}*&*&*&*&*\*&*\0&#0&*\nd{bmatrix}\right\}}$

정의상, 필드 k에 대한 환원군 G의 포물선 부분군 P는 k에 대해 지수 품종 G/P가 적절하거나 k에 대해 동등하게 투영될 수 있는 부드러운 k-부분군이다.따라서 포물선 부분군의 분류는 G에 대한 투영성 균질 품종의 분류에 해당한다(완만한 스태빌라이저 그룹 포함, 특성 0의 k에 대한 제한 없음).GL(n)의 경우, 이는 플래그 다양성, 주어진 치수 a₁, ...,a의_i 선형 서브스페이스의 파라메트리징 시퀀스 n:

${\displaystyle 0\subset S_{a_{1}}\subset \cdots \subset S_{a_{i}\subset V.}$

직교군 또는 동일체군의 경우 투사성 동질성 품종은 주어진 2차 형태 또는 동일체 형태와 관련하여 등방성 플래그 다양성과 유사한 설명을 가지고 있다.보렐 부분군 B가 있는 환원 그룹 G의 경우 G/B를 G의 플래그 버라이어티 또는 플래그 매니폴드라고 부른다.

분할 환원군 분류

체발리는 1958년에 어떤 대수학적으로 폐쇄된 분야에 대한 환원 집단은 뿌리 데이터에 의해 이형성까지 분류된다는 것을 보여주었다.^[14]특히 대수적으로 폐쇄된 분야에 걸친 반이행 집단은 Dynkin 도표에 의해 중심 이등분까지 분류되며, 단순 집단은 연결된 도표에 해당한다.따라서 A_n, B_n, C_n, D_n, E₆, E₇, E, F₈, G의 단순한₄₂ 집단이 있다. 이 결과는 1880년대와 1890년대에 빌헬름 킬링과 에일리 카르탄에 의해 콤팩트한 거짓말 집단이나 복잡한 반실현 리알헤브라의 분류와 본질적으로 동일하다.특히 단순 대수집단의 치수, 중심, 기타 특성은 단순 거짓말집단의 리스트에서 읽을 수 있다.환원군 분류가 특징과 무관하다는 점이 눈에 띈다.비교를 위해, 특징 0보다 긍정적인 특성을 가진 단순한 리알헤브라가 더 많다.null

G형과₂ E형의₆ 예외적인 그룹 G는 L. E. 딕슨이 적어도 추상적인 그룹 G(k)의 형태로 일찍이 구성했었다.예를 들어, G₂ 그룹은 k에 대한 옥톤수 대수의 자동형 그룹이다.이와는 대조적으로, 긍정적인 특성 분야를 둘러싼 F₄, E, E₇ 타입의₈ 체발리 그룹은 완전히 새로운 그룹이었다.null

더 일반적으로, 분할 환원 그룹의 분류는 어떤 분야에서도 동일하다.^[15]semisimple group을 a semisimple group에서 g에 이르는 모든 중심 이등성이 이등형인 경우, 필드 k에 대한 semism group을 간단히 연결한다고 부른다. (복잡한 숫자에 대한 G semisplement의 경우, 이러한 의미에서의 단순하게 연결된 것은 고전적 위상에서 G(C)가 간단히 연결되는 것과 같다.Chevalley의 분류는 어떤 필드 k에 걸쳐, 주어진 Dynkin 다이어그램과 함께 독특하게 연결된 분할 semisimple 그룹 G가 있고, 연결된 다이어그램에 해당하는 단순 그룹이 있다고 한다.다른 극단에서는 반실행 집단의 중심이 사소한 경우 조정형이다.주어진 Dynkin 다이어그램을 가진 k에 대한 분할 semisimple 그룹은 정확히 G/A 그룹이다. 여기서 G는 단순하게 연결된 그룹이고 A는 G의 중심에 있는 k-subgroup 체계다.

예를 들어, "클래식" Dynkin 다이어그램에 해당하는 필드 k를 통해 단순하게 연결된 분할 단순 그룹은 다음과 같다.

• A_n: SL(n+1) 이상 k;
• B_n: 치수 2n+1의 2차 형태에 연결된 회전 그룹 스핀(2n+1)(Witt index n)과 k(예: 폼)

${\displaystyle q(x_{1},\ldots,x_{2n+1}=x_{1}x_{2}+x_{3}}x_{4}+\cdots +x_{2n-1}x_{2n}+x_{2n+1}^{2};}$

• C_n: k 이상의 공감 그룹 Sp(2n);
• D_n: Witt 지수 n과 함께 k에 대한 치수 2n의 2차 형태와 연관된 스핀 그룹 Spin(2n)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle q(x_{1},\ldots,x_{2n}=x_{1}x_{2}+x_{3}}x_{4}+\cdots +x_{2n-1}x_{2n}.}$

필드 k 위에 있는 분할 환원 그룹 G의 외부 자동형 집단은 G의 루트 기준점의 자동형 집단에 이형성이 있다. 더욱이 G의 자동형 집단은 반간접적 생산물로 다음과 같이 분리된다.

${\displaystyle \operatorname {Aut}(G)\cong \operatorname {Out}(G)\ltimes(G/Z)(k),}$

여기서 Z는 G의 중심이다.^[16]split semismemismize over a field, g의 외부 자동형성 그룹에는 G의 Dynkin 다이어그램의 자동형 그룹이라는 간단한 설명이 있다.

환원적 그룹 구성

A group scheme G over a scheme S is called reductive if the morphism G → S is smooth and affine, and every geometric fiber ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$ is reductive. (For a point p in S, the corresponding geometric fiber means the base change of G to an algebraic closure ${\displaystyle {\overline {k}}}$ of the p.의 잔여 필드)체발리의 연구를 확장하면서 미셸 드마주어와 그로텐디크는 어떤 비빈 계책 S에 대한 분할 환원 집단 체계는 뿌리 데이터에 의해 분류된다는 것을 보여주었다.^[17]이 진술은 Z에 대한 그룹 체계로서 Chevalley 집단의 존재를 포함하며, 체계 S에 대한 모든 분할 환원 집단은 Z에서 S로 Chevalley 집단의 기저 변화에 이형성이 있다고 말한다.

실제 환원군

대수적 그룹이 아닌 Lie 그룹의 맥락에서, 실제 환원적 그룹은 (자리스키 위상에) 정체성 성분이 환원되는 선형 대수적 그룹 L over R과, 커널이 유한하고 이미지가 L(R)에 열려 있는 동형성 G → L(R)이 있는 Lie 그룹 G이다.또한 조정표현 Ad(G)의 영상이 Int(g_C) = Ad(L⁰(C)) (G가 연결된 경우 자동으로)에 포함되어 있다고 가정하는 것이 표준이다.^[18]null

특히 연결된 모든 반실행 리 그룹(그들의 리 대수학이 반실행이라는 의미)은 환원적이다.또한, Lie 그룹 R은 GL(1,R) ≅ R*의 아이덴티티 성분으로 볼 수 있기 때문에 이러한 의미에서 환원적이다.실제 환원 집단을 분류하는 문제는 주로 단순한 거짓말 집단을 분류하는 것으로 줄어든다.이것들은 사타케 도표에 의해 분류된다. 또는 간단한 Lie 그룹 목록(한정된 커버링까지)을 참조할 수 있다.null

허용 가능한 표현과 단일 표현에 대한 유용한 이론은 이 일반성의 실제 환원 집단을 위해 개발되었다.이 정의와 환원 대수집단의 정의 사이의 주요한 차이점은 R에 대한 대수집단의 G가 대수집단으로 연결될 수 있는 반면, Lie그룹 G(R)는 연결되지 않은 반면, 단순히 연결된 집단의 경우에도 마찬가지로 대수집단으로 연결될 수 있다는 사실과 관계가 있다.null

예를 들어, 투영 선형 그룹 PGL(2)은 어떤 분야에서도 대수 그룹으로 연결되지만, 실제 지점 그룹 PGL(2,R)에는 두 개의 연결된 구성요소가 있다.PGL(2,R)의 아이덴티티 성분(PSL(2,R)이라고도 함)은 대수군으로 볼 수 없는 실제 환원군이다.마찬가지로 SL(2)은 단순히 어떤 분야에 걸쳐 대수적 집단으로 연결되어 있지만, Lie 그룹 SL(2,R)은 정수 Z에 대한 근본적인 집단이 이형성을 가지며, 따라서 SL(2,R)은 비종교적 커버 공간을 가진다.정의에 따르면, 모든 유한한 SL(2,R) 커버링 (화생성 그룹 등)은 실제 환원 그룹이다.한편, SL(2,R)의 유니버설 커버는 그 리 대수, 즉 반실행 리 대수, 아벨리안 리 대수학의 산물임에도 불구하고 실제 환원 집단은 아니다.null

연결된 실질 환원 그룹 G의 경우, 최대 콤팩트 부분군 K에 의한 G의 지수 다지관 G/K는 비 컴팩트 유형의 대칭 공간이다.사실, 모든 비 컴팩트 유형의 대칭 공간은 이런 방식으로 발생한다.이것들은 비양성 단면 곡률을 가진 다지관의 리만 기하학에서 중심적인 예들이다.예를 들어 SL(2,R)/SO(2)는 쌍곡면이고, SL(2,C)/SU(2)는 쌍곡 3공간이다.null

이산 평가(p-adic number Q 등)와_p 관련하여 완료된 필드 k에 대한 환원 그룹 G의 경우 G의 부속 건물 X는 대칭 공간의 역할을 한다.즉, X는 G(k)의 작용이 있는 단순 복합체로서, G(k)는 X에 CAT(0) 지표를 보존하고 있는데, 이는 비양성 곡률의 지표와 유사하다.아핀 건물의 치수는 G의 k-랭크다.예를 들어, SL(2,Q_p)의 건물은 나무다.null

환원군 표현

필드 k에 대한 분할 환원 그룹 G의 경우, G(대수군으로서)의 불가역적 표현은 지배적인 가중치에 의해 파라메트리되며, 이는 R에서ⁿ 볼록콘(Weyl chamber)과 중량 격자 X(T) zⁿ Z의 교차점으로 정의된다.특히 이 파라메트리제이션은 k의 특성과는 무관하다.자세한 내용은 분할된 최대 토루스와 보렐 하위그룹 T ⊂ B ⊂ G를 수정한다. 그 다음 B는 매끄럽게 연결된 비만능 하위그룹 U를 가진 T의 반간접적 제품이다.k에 대한 G의 표현 V에서 가장 높은 중량 벡터를 정의하여 B가 그 자체로 확장된 선을 매핑한다.그 다음 B는 그 지수의 그룹 T를 통해 중량 격자 X(T)의 어떤 요소에 의해 그 선에 작용한다.Chevalley는 G의 모든 불가해한 표현은 스칼라까지의 고유한 최고 중량 벡터를 가지고 있다는 것을 보여주었다; 그에 상응하는 "최고 중량" λ이 지배적이다; 그리고 모든 지배적인 무게 λ은 이소모르피즘에 이르는 G의 고유 불가해한 표현 L(λ)^[19]의 최고 중량이다.null

주어진 가장 높은 무게로 설명할 수 없는 표현을 설명하는 문제는 남아있다.특성 0의 k에 대해서는 본질적으로 완전한 해답이 있다.지배적인 중량 λ의 경우, 슈르 모듈 ∇(λ)을 λ과 연관된 플래그 다지관 G/B의 G 등가선 번들 섹션의 k-벡터 공간으로 정의한다. 이것은 G를 나타낸다.특성 0의 k에 대해, 보렐-윌 정리에 따르면, 불가해한 표현 L(λ)은 슈르 모듈 ∇(λ)에 대해 이형체라고 한다.더욱이, Weyl 문자 공식은 이 표현의 특징(특히 차원)을 제공한다.null

양성 특성인 필드 k에 대한 분할 환원 그룹 G의 경우 상황은 훨씬 더 미묘하다. 왜냐하면 G의 표현은 일반적으로 비확산물의 직접적인 합이 아니기 때문이다.지배적인 중량 λ의 경우, ir(λ)은 슈르 모듈 ∇(λ)의 고유한 단순 하위 모듈(소절)이지만, 슈르 모듈과 같을 필요는 없다.슈르 모듈의 치수 및 특성은 조지 켐프(George Kempf)가 Weyl 문자 공식(특징 0)에 의해 부여한다.^[20]이러한 표현을 분석하기 위해 큰 이론체가 개발되었지만, 수정 불가능한 표현 L(()의 치수와 문자는 일반적으로 알려져 있지 않다.한 가지 중요한 결과는 henning Andersen, Jens Jantzen, Wolfgang Soergel (그 경우 Lusztig의 추측을 증명함)에 의해 k의 특성 p가 G의 Coxeter 수보다 훨씬 클 때 L(()의 치수와 성격을 알 수 있다는 것이다.p large에 대한 그들의 성격 공식은 조합적으로 복잡한 Kazhdan-Lusztig 다항식을 기초로 한다.^[21]어떤 prime p에 대해서도, 사이먼 리치와 조디 윌리엄슨은 p-Kazhdan-Lusztig 다항식이라는 관점에서 환원집단의 불가해한 문자를 추측했는데, 이 문자는 훨씬 더 복잡하지만 적어도 계산이 가능하다.^[22]null

비분할 환원 그룹

위에서 논의한 바와 같이, 분할 환원 집단의 분류는 어떤 분야에서도 동일하다.이와는 대조적으로, 임의 환원 그룹의 분류는 베이스 필드에 따라 어려울 수 있다.고전 그룹 중 몇 가지 예는 다음과 같다.

• 필드 k에 대한 모든 비감발성 2차 형태 q는 환원 그룹 G = SO(q)를 결정한다.$여기$서 G는 G ${\displaystyle k_{}}$의${\$이(가) 대수적 $폐쇄{\displaystyle \stackrel{}{}}$ k${\$에 대해 SO(n)와 이형성이므로$$ 치수 n이 최소 3인 경우 단순하다$.$ G의 k-랭크는 q의 Witt 지수(k에 대한 최대 치수)와 같다.^[23]따라서 단순 그룹 G는 q가 가능한 최대 Witt 지수를 갖는 경우에만 k에 대해 분할된다. $\lfloor {\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle \rfloor }$ ${\displaystyle \lllloor n/2\rfloor$ $\}.$
• 모든 중심 단순 대수 A over k 는 단위 A* 그룹에서 감소된 표준의 커널인 G = SL(1,A)을 결정한다(k over k over 대수 그룹).A의 정도는 k-벡터 공간으로서의 A 치수의 제곱근을 의미한다.여기 G은 간단하다 만약 A학위와 최소한 2, 이후 Gk({\displaystyle G_{\overline{k}}}은 동형에 SL(n)에 k({\displaystyle{\overline{k}}}. 만약 A지수 r(A는 매트릭스에 동형다는 것을 의미하며 algebra Mn/r(D)에 대한 분열 algebra D의 정도 r에 k=, 다음 k-rank의 G은(n/r)− 1.[24]그래서t.그는 sim플레인 그룹 G는 A가 k에 대한 행렬 대수인 경우에만 k에 대해 분할된다.

결과적으로, k보다 환원군을 분류하는 문제는 기본적으로 모든 2차 형태를 k보다 분류하거나 모든 중심 단순 알헤브라를 k보다 분류하는 문제를 포함한다.이러한 문제들은 k가 대수적으로 닫히기 쉽고, 숫자 분야와 같은 일부 다른 분야에서도 이해되지만 임의 분야에서는 개방형 문제가 많다.null

필드 k에 대한 환원 그룹은 k-랭크가 0보다 크면(즉, 비종속 분할 토러스 포함) 등방성 그룹이고, 그 밖의 경우 등방성 그룹이라고 한다.필드 k를 통한 반이행 그룹 G의 경우, 다음 조건은 동일하다.

• G는 등방성(즉, G는 k에 대한 승수 그룹 G의_m 복사본을 포함한다);
• G에는 G와 같지 않은 k에 대한 포물선 부분군이 포함되어 있다.
• G는 가법군 G over_a k의 사본을 포함한다.

k 퍼펙트라고 하면 G(k)가 1 이외의 전능적 요소를 포함하고 있다고도 말할 수 있다.^[25]

특성 0의 국소 필드 k(예: 실제 숫자) 위에 연결된 선형 대수 그룹 G의 경우 G(k)는 G가 환원성 및 비등방성인 경우에만 고전적 위상(k의 위상에 기초함)^[26]에서 콤팩트하다.예: R 위의 직교 그룹 SO(p,q)는 실제 순위 Min(p,q)을 가지므로 p 또는 q가 0인 경우에만 등방성이다.^[23]null

필드 k에 대한 환원 그룹 G는 k에 대한 보렐 하위 그룹을 포함하는 경우 준분할이라고 한다.분할 환원 집단은 준분할이다.G가 k에 대한 준분할인 경우 G의 보렐 하위그룹 2개는 G(k)의 일부 요소에 의해 결합된다.^[27]예: R에 대한 직교군 SO(p,q)는 p-q ≤ 1인 경우에만 분할되며, p-q ≤ 2인 경우에만 준분할이다.^[23]

추상 그룹으로서의 세미 구현 그룹 구조

필드 k에 대해 간단히 연결된 분할 semisimple 그룹 G에 대해 로버트 스타인버그는 추상 그룹 G(k)^[28]를 명시적으로 발표했다.G(뿌리 부분군)의 뿌리에 의해 지수화된 kin의 첨가제 그룹의 복사본에 의해 생성되며, G의 Dynkin 다이어그램에 의해 결정된다.

완벽한 필드 k에 대해 간단히 연결된 분할 semisimple 그룹 G에 대해, 스타인버그도 추상 그룹 G(k)의 자동형 그룹을 결정했다.모든 자동형성은 내적 자동형성, 대각선 자동형성(최소형 토루스${\displaystyle \stackrel{}{(}}$k's)의 적절한 $'''{\overline{k}}$ 포인트에$$ 의한 결합을 의미), 그래프 자동형성(Dynkin 다이어그램의 자동형성에 대응함), 필드 자동형성(필드 k의 자동형성에서 비롯됨)의 산물이다.^[29]null

k-단순 대수군 G의 경우, Tits의 단순성 정리는 추상군 G(k)가 가벼운 가정 하에 단순성에 가깝다고 말한다.즉, G가 k보다 등방성이며, 필드 k에 최소한 4개의 원소가 있다고 가정한다.G(k)⁺는 G에 포함된 첨가 그룹 G의_a k-points에 의해 생성된 추상 그룹 G(k)의 하위 그룹이다. (G가 k에 대해 등방성이라는 가정에 의해 그룹 G(k)⁺는 비교가 되지 않고, 심지어 자리스키 조밀도(k가 무한하다면 G)는 G에서 생성된다.)그러면 그 중심에 의한 G(k)⁺의 지수 집단은 (추상 집단으로서) 단순하다.^[30]그 증거는 자크 티츠의 BN-페어 기계를 사용한다.null

순서 2 또는 3의 필드에 대한 예외는 잘 이해된다.k = F의₂ 경우, Tits의 단순성 정리는 타입 A₁, B 또는₂ G의₂ G가 분할되어 있거나₂ 타입 A의 비분할(즉, 단일성)인 경우를 제외하고 유효하다.k = F의₃ 경우, 타입₁ A의 G를 제외하고 정리가 유지된다.^[31]null

k-단순 그룹 G의 경우 그룹 G(k) 전체를 이해하기 위해 Whitehead 그룹 W(k,G)=G(k)/G(k)를 고려할 수 있다.⁺단순하게 연결된 G와 준분할에게 화이트헤드 그룹은 사소하며, 따라서 그룹 G(k) 전체가 그 중심인 단순 모듈로 되어 있다.^[32]더 일반적으로, 크네세르-Tits 문제는 Whitehead 그룹이 사소한 등방성 k-simple 그룹인지 묻는다.알려진 모든 예에서 W(k,G)는 아벨리안이다.null

비등방성 k-단순군 G의 경우 추상군 G(k)는 단순성과 거리가 멀 수 있다.예를 들어, D를 p-adic 필드 k의 중심에 있는 분할 대수학으로 하자.D over k의 치수가 유한하고 1보다 크다고 가정하자.그 다음 G = SL(1,D)은 비등방성 k-단순군이다.위에서 언급했듯이 G(k)는 고전적 위상에서는 콤팩트하다.또한 완전히 단절되어 있기 때문에 G(k)는 확실한 그룹(그러나 유한하지는 않다)이다.그 결과 G(k)는 유한지수의 정규 부분군을 무한히 많이 포함하고 있다.^[33]null

격자 및 산술 그룹

G를 이성적인 숫자 Q에 대한 선형 대수집단이 되게 하라.그런 다음 G는 아핀 그룹 체계 G over Z로 확장될 수 있으며, 이것이 추상 그룹 G(Z)를 결정한다.산술집단은 G(Z)와 동등한 G(Q)의 모든 부분군을 의미한다. (G(Q)의 부분군의 산술성은 Z 구조의 선택과 무관하다.)예를 들어, SL(n,Z)은 SL(n,Q)의 산술 부분군이다.null

리 그룹 G의 경우, G의 격자는 다지관 G/NO가 유한 부피(G-invariant 측정치에 대하여)를 갖는 이산형 부분군 γ을 의미한다.예를 들어, 이산형 부분군 γ은 G/γ이 작을 경우 격자형이다.특히 마굴리스 산술성 정리는 다음과 같이 말하고 있다: 실제 등급이 적어도 2인 단순 Lie 그룹 G의 경우 G의 모든 격자는 산술 그룹이다.null

Dynkin 다이어그램의 Galois 액션

분할할 필요가 없는 환원성 집단을 분류하는 데 있어서, 한 단계는 이등방성 집단의 경우 문제를 감소시키는 Tits 지수다.이 감소는 대수학에서 몇 가지 기본적인 이론들을 일반화한다.예를 들어, 위트의 분해 정리는 한 분야에 걸쳐 비퇴행성 이차형 형태는 그것의 비등방성적 커널과 함께 그것의 위트 지수에 의해 이차형성까지 결정된다고 말한다.마찬가지로, 아르틴-웨더번 정리에서는 한 분야를 넘어 중앙 단순 알헤브라의 분류를 분할 알헤브라의 경우로 줄인다.이러한 결과를 일반화하면서, Tits는 필드 k에 대한 환원 집단이 관련 비등방성 반이 구현 k 그룹인 비등방성 커널과 함께 그것의 Tits 지수에 의해 이등화까지 결정된다는 것을 보여주었다.null

필드 k에 대한 환원 그룹 G의 경우 절대 갈루아 그룹 Gal(k_s/$k)$은 G의 "절대" Dynkin 다이어그램, 즉 분리 가능한 폐쇄 k에_s 대한 G의 Dynkin 다이어그램(대수학적 폐쇄 $k$에 $대한$ G의 Dynkin 다이어그램)에 대해 (계속) 작용한다$.$G의 Tits 지수는 G의_ks 루트 기준점, Dynkin 다이어그램의 Galois 작용, Dynkin 다이어그램의 정점의 Galois-invariant 하위 집합으로 구성된다.전통적으로 Tits 지수는 주어진 부분집합에서 갈루아 궤도를 돌면서 그려진다.null

이 용어에 준분할집단의 완전한 분류가 있다.즉, Dynkin 다이어그램에 있는 필드 k의 절대 갈루아 그룹의 각 동작에 대해, 주어진 동작과 함께 k에 걸쳐 있는 고유한 단순하게 연결된 semism 구현 준분할 그룹 H가 있다.(준분할 그룹의 경우, Dynkin 다이어그램의 모든 갈루아 궤도를 동그라미로 한다.)더욱이, 주어진 작용과 함께 간단히 연결된 다른 반실행 그룹 G over k는 준분할 그룹 H의 내부 형태로서, G는 갈루아 코호몰로지 세트¹ H(k, H/Z)의 요소와 연관된 그룹이며, 여기서 Z는 H의 중심이다.즉, G는 다음 절에서 논의한 바와 같이 k에 대한 일부 H/Z-tors와 연관된 H의 트위스트다.null

예: q는 n ≥ 5로 2가 아닌 특성 k의 필드 위에 짝수 치수 2n의 비감소 2차원이 되도록 한다(이러한 제한은 피할 수 있다).G를 단순 그룹 SO(q) over k가 되도록 하자.G의 절대 다인킨 도표는 D형이며_n, 따라서 그 자동형 집단은 순서 2로 D_n 도표의 두 "다리"를 전환한다.Dynkin 도표에서 절대적 K 갈루아 그룹의 작용은 서명된 판별 d in k*/(k*)²가 사소한 경우에만 사소한 것이다.If d is nontrivial, then it is encoded in the Galois action on the Dynkin diagram: the index-2 subgroup of the Galois group that acts as the identity is ${\displaystyle \operatorname {Gal} (k_{s}/k({\sqrt {d}}))\subset \operatorname {Gal} (k_{s}/k)}$.그룹 G는 가능한 최대값인 Witt 지수 n을 가진 경우에만 분할되고, 그룹 G는 최소한 n - 1을 가진 q가 있는 경우에만 준분할된다.^[23]

토르소와 하세 원리

A torsor for an affine group scheme G over a field k means an affine scheme X over k with an action of G such that ${\displaystyle X_{\overline {k}}}$ is isomorphic to ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$ with the action of ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$ on itself by left translation.torsor는 k의 fppf 위상에 관하여 k에 대한 주요 G번들 또는 g가 k에 대해 매끄러운 경우 etale 위상에 관해서도 볼 수 있다.K보다 G-tors의 뾰족한 이형성계급은 갈루아 코호몰로지(Galois cohomology)의 언어로 H¹(k,G)라고 불린다.null

토르는 k에 대해 주어진 대수 객체 Y의 형태를 분류하려고 할 때마다 발생하며, 이는 k의 대수학적 폐쇄에 대해 Y에 대해 이형성이 되는 객체 X를 의미한다.즉, 그러한 형태(최대 이형성)는 집합 H¹(k,Aut(Y))와 일대일 일치한다.예를 들어, (비분해) 2차원의 n over k는 H¹(k,O(n)로 분류하고, n over k의 중앙 단순 알헤브라는 H¹(k,PGL(n)로 분류한다.또한 주어진 대수군 G(G의 "트위스트"라고도 함)의 k-폼은 H¹(k,Aut(G)로 분류된다.이러한 문제들은 특히 환원 그룹 G에 대한 G-tors의 체계적 연구에 동기를 부여한다.

가능하면 G-tors를 아벨계수군 M, H^a(k,M)로 갈루아 코호몰로지 값을 취하는 불변성분인 코호몰로지 인바리어스를 사용하여 분류하기를 희망한다.이러한 방향에서 스타인버그는 세레의 "컨jecture I"를 증명했다: 최대 1, H¹(k,G) = ^[34]1. (한정된 장의 경우는 일찍이 랭의 정리로서 알려져 있었다.)예를 들어, 유한한 분야에 걸친 모든 환원 집단은 준분할이라는 것을 따른다.null

Serre의 추측 II는 공생학적 차원 분야를 통해 단순하게 연결된 반실행 그룹 G에 대해 최대 2에서¹ H(k,G) = 1. 이 추측은 완전히 가상의 숫자 필드(공생학적 차원 2)로 알려져 있다.보다 일반적으로, 어떤 숫자 필드 k에 대해서도 마틴 크네서, 귄터 하더스트 및 블라디미르 체르노우소프(1989)는 하세 원리를 증명했다: 간단히 연결된 semisimple 그룹 G over k에 대해, 지도는

${\displaystyle H^{1}(k,G)\to \prod _{v}H^{1}(k_{v}G)}$

비굴하다^[35]여기서 v는 k의 모든 장소에 걸쳐 실행되며, k는_v 해당 지역 필드(아마도 R 또는 C)이다.더욱이 뾰족한 집합 H¹(k_v,G)는 모든 비아키미드 지역 필드 k에_v 대해 사소한 것이므로, k 물질의 실제 장소에만 해당된다.긍정적인 특성의 글로벌 필드 k에 대한 유사한 결과는 Harder(1975)에 의해 더 일찍 증명되었다. 간단히 연결된 모든 semisimple 그룹 G over k에 대해 H¹(^[36]k,G)는 사소한 것이다(k는 실제 장소가 없기 때문에).null

숫자 필드 k에 비해 약간 다른 조정 그룹 G의 경우, Hasse 원칙은 보다 약한 형태로 유지된다: 자연 지도.

${\displaystyle H^{1}(k,G)\to \prod _{v}H^{1}(k_{v}G)}$

주입하는 ^[37]거야G = PGL(n)의 경우, 이것은 숫자 분야에 대한 중앙 단순 대수학(central simple 대수학)은 국소 불변수에 의해 결정된다고 말하면서 알버트-브라워-하세-노에더(Albert-Brauer-Hasse-Noeter)의 정리에 해당한다.null

Hasse 원칙에 기초하여, 숫자 분야보다 semisimple 그룹의 분류는 잘 이해된다.예를 들어, E의₈ 3가지 실제 형태에 해당하는 예외 그룹 E의₈ Q-폼은 정확히 3개가 있다.

참고 항목

• Lie형 집단은 유한한 분야에 걸쳐 단순한 대수적 집단으로 구성된 유한단순 집단을 말한다.
• 일반화 국기 품종, 브루하트 분해, 슈베르트 품종, 슈베르트 미적분학
• 슈르 대수학, 델리그-루지그 이론
• 실제 형태(거짓 이론)
• 다마가와 숫자에 대한 웨일의 추측
• Langlands 분류, Langlands 이중 그룹, Langlands 프로그램, 기하학적 Langlands 프로그램
• 특수 그룹, 필수 치수
• 기하불변성 이론, 루나의 슬라이스 정리, 하부스의 정리
• 대수집단의 급진파

메모들

참조

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외부 링크

• Demazure, M.; Grothendieck, A., Gille, P.; Polo, P. (eds.), Schémas en groupes (SGA 3), II: Groupes de type multiplicatif, et structure des schémas en groupes généraux 1970년 원본의 수정판 및 주석판.