텐서 대수

수학에서 T(V) 또는 T^•(V)로 표시된 벡터 공간 V의 텐서 대수(tensor 대수)는 (모든 등급의) V에 있는 텐서들의 대수인데 곱셈이 텐서 곱이다. 알헤브라스에서 벡터 공간까지 망각적인 펑터에게 보조를 맡긴다는 의미에서 V에 대한 자유 대수다. 해당 보편적 속성의 의미에서 V를 포함하는 "가장 일반적인" 대수다(아래 참조).

많은 다른 알헤브라가 T(V)의 지수 알헤브라로 발생하기 때문에 텐서 대수학은 중요하다. 여기에는 외부 대수학, 대칭 대수학, 클리포드 알헤브라스, 웨일 대수학 및 범용 포위 알헤브라가 포함된다.

텐서 대수학에는 또한 두 개의 연골구조도 있는데, 하나는 단순한 연골구조로, 하나는 바이알지브라(bialgebra)가 되지 않고, 하나는 코프리 탄지브라(cofree colbgebra)의 개념으로 이어지고, 보다 복잡한 연골구조로 연장이 가능하며, 대척점을 주어 호프 대수구조를 만들 수 있다.

참고: 이 글에서 모든 알헤브라는 단성적이고 연상적인 것으로 가정한다. 단위는 코프로덕트를 정의하기 위해 명시적으로 요구된다.

건설

V를 필드 K 위에 있는 벡터 공간이 되게 하라. 음이 아닌 정수 k의 경우, V의 k번째 텐서 검정력은 V의 텐서 곱 자체인 k번째 텐서 곱으로 정의한다.

${\displaystyle T^{k}V=V^{\otimes k}=V\otimes V\otimes \cdots \otime V.}$

즉^k, TV는 오더 k의 V에 있는 모든 텐더로 구성되어 있다. 컨벤션 TV에 의해⁰ 지상 필드 K(자체 위에 1차원 벡터 공간으로서)가 된다.

그런 다음 k = 0,1,2, ...에^k 대한 TV의 직접 합으로 T(V)를 구축한다.

${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\\influs }{k}V=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otime V)\oplus \oplus \cdots.}$

T(V)의 곱셈은 표준 이형성에 의해 결정된다.

${\displaystyle T^{k}V\otimes T^{\ell}V\to{k+\ell}V}$

텐서 제품에 의해 주어지며, 이는 모든 T(V)로 선형성에 의해 확장된다. 이 곱셈 규칙은 텐서 대수 T(V)가 자연스럽게 등급별 대수라는 것을 의미하며, TV는^k 등급별 하위공간 역할을 한다. 이 등급은 음의 정수 k에 대해$$ 하위 영역 T ${\displaystyle {}^{}}$ V${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ 0 ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$ T$^{k}V=\{0\}}$을 추가하여 Z 등급으로 확장할 수 있다.

구조는 정류 링을 통해 모듈 M의 텐서 대수법에 대해 간단한 방법으로 일반화한다. R이 비주문 고리인 경우, R-R 바이모듈 M에 대한 시공을 계속 할 수 있다(반복된 텐서 제품은 형성할 수 없기 때문에 일반 R-모듈에는 효과가 없다).

부속물 및 보편적 재산

텐서 대수 T(V)는 벡터 공간 V에서 자유 대수라고도 불리며, 펑크토리얼(functorial)이다. 이것은 지도 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle T}$ $){\displaystyle V\mapsto T(V)}$가 K-벡터 공간의 범주에서 연관 대수 범주에 이르는 펑터를 형성하기 위한 선형 지도까지 확장되는$$ 것을 의미한다. 다른 자유 구조와 비슷하게, 펑터 T는 각각의 연관성 있는 K-알지브라를 그것의 기초 벡터 공간으로 보내는 망각적인 펑터(functor)에 인접해 있다.

명시적으로 텐서 대수학은 다음과 같은 보편적 특성을 만족시키며, 이는 V를 포함하는 가장 일반적인 대수라는 진술을 공식적으로 표현한다.

${\displaystyle \mathrm{임의}}$의 선형 지도 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle V}$→ A ${\displaystyle f:$V에서 $연관$ 대수 A에 K에 대한 V$\to$ A$}$은(는) 다음 역학 도표에서 표시한 대로 T(V)에서 A에 이르는 대수 동형성으로 고유하게 확장될 수 있다.

여기서 i는 V를 T(V)에 표준적으로 포함하는 것이다. 다른 보편적 속성에 대해서는 텐서 대수 T(V)를 이 속성을 만족하는 고유 대수(특히, 그것은 고유한 이소모르프까지 고유하다)로 정의할 수 있지만, 이 정의는 이 속성을 만족하는 물체가 존재한다는 것을 증명할 필요가 있다.

위의 보편적 특성은 T가 K보다 벡터 공간 범주에서 K-알게브라 범주에 이르는 펑터임을 암시한다. 이는 K-벡터 공간 U와 W 사이의 선형 지도가 T(U)에서 T(W)까지 K-알지브라 동형상까지 고유하게 확장됨을 의미한다.

비확정 다항식

V가 유한 치수 n을 갖는 경우, 텐서 대수를 보는 또 다른 방법은 "n 비 커밋 변수에서 K를 초과하는 다항식의 대수"로 보는 것이다. 만약 우리가 V에 대한 기본 벡터를 취한다면, 그것들은 T(V)에서 비규격 변수(또는 불변수)가 되고, 연관성, 분배법, K-선형을 넘어서는 제약이 없다.

Note that the algebra of polynomials on V is not ${\displaystyle T(V)}$, but rather ${\displaystyle T(V^{*})}$: a (homogeneous) linear function on V is an element of ${\displaystyle V^{*},}$ for example coordinates ${\displaystyle x^{1},\dots ,x^{n}}$ on a vector space ar탐욕자는 벡터를 가져다가 스칼라(벡터의 주어진 좌표)를 내주듯이.

인용구

텐서 대수학의 일반성 때문에, 관심 있는 많은 다른 알헤브라는 텐서 대수로부터 시작하여 발전기에 일정한 관계를 부과함으로써, 즉 T(V)의 특정 지수 알헤브라를 건설함으로써 건설될 수 있다. 이것의 예로는 외부 대수학, 대칭 대수학, 클리포드 알헤브라스, 웨일 대수학, 범용 포락 알헤브라가 있다.

콜지브라

텐서 대수학에는 두 개의 서로 다른 결합형 구조물이 있다. 하나는 텐서 제품과 호환되기 때문에 바이알지브라까지 확장될 수 있으며, 대척수로는 홉프 대수 구조까지 확장될 수 있다. 다른 구조는 단순하지만 바이알지브라까지 확장할 수 없다. 첫 번째 구조물은 바로 아래에 개발된다. 두 번째 구조물은 아래쪽의 코프리스 탄지브라 섹션에 제시되어 있다.

아래에 제공된 개발은 텐서 기호 $\otimes {\displaystyle }$ ${\displaystyle \wedge}$ 대신$$ 웨지 기호 $\wedge {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ \wedge $}$을 사용하여 외부 대수에 동일하게 잘 적용할 수 있다$.$ 외부 대수의 요소를 허용할 때 표지도 추적해야 한다. 이 대응은 또한 바이알지브라 정의와 홉프 대수학의 정의를 통해서도 지속된다. 즉, 외부 대수학에도 홉프 대수 구조를 부여할 수 있다.

Similarly, the symmetric algebra can also be given the structure of a Hopf algebra, in exactly the same fashion, by replacing everywhere the tensor product ${\displaystyle \otimes }$ by the symmetrized tensor product ${\displaystyle \otimes _{\mathrm {Sym} }}$, i.e. that product where ${\displaystyle v{\otimes }_{\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}}w=w{\otimes }_{\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}}}$${\displaystyle v\otimes _{\mathrm {Sym} }w=w\otimes _{\mathrm {Sym} }v.}$

각 경우에 이는 교대 제품 product${\displaystyle \wedge }$과 대칭 제품${\displaystyle {}_{}}$product ${\displaystyle {\mathrm{Sym}}_{}}$ ${\$이(가) 바이알지브라와 호프 대수 정의에 필요한 일관성 조건을 준수하기$$ 때문에 가능하다. 이는 아래 방법으로 명시적으로 확인할 수 있다. 이러한 일관성 조건을 준수하는 제품이 있을 때마다 구조가 철저하다. 그러한 제품이 지수를 나타내는 한, 지수를 나타내는 공간은 홉프 대수 구조를 계승한다.

범주이론의 언어에서 K-벡터 공간의 범주에서 K-관련 알헤브라의 범주에 이르는 functor T가 있다고 한다. 그러나 외부 알헤브라의 범주에 벡터 공간을 차지하는 펑터 Ⅱ와 대칭 알헤브라의 벡터 공간을 차지하는 펑터 시미(Symym은 벡터 공간을 대칭 알헤브라의 범주에 포함시킨다. T에서 이것들 각각에 이르는 자연 지도가 있다. 인용문이 홉프 대수 구조를 보존하고 있는지 검증하는 것은 지도가 정말 자연스럽다는 것을 확인하는 것과 같다.

코프로덕트

합금선은 합금 또는 대각선 연산자를 정의하여 얻음

${\displaystyle \Delta :TV\to TV\boxtimes TV}$

여기서 T ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle TV}$는 괄호 폭발을 피하기$$ 위해 $T{\displaystyle }$ (${\displaystyle V}$ ) ${\displaystyle T(V)}$의 단축형으로 사용된다. $⊠{\displaystyle }$ ${\displaystyle \boxtimes }$ 기호는$$ 합금자의 정의에 필요한 "외부" 텐서 제품을 나타내는 데 사용된다. 이미 텐서 대수에서 곱셈을 나타내기 위해 사용되고 있는 "내부" 텐서 제품${{\displaystyle\otimes$$}$과(와) 구별하기 위해 사용되고 있다(이 문제에 대한 자세한 설명은 아래 섹션 곱셈 참조). 이 두 기호 사이의 혼동을 피하기 위해 대부분의 텍스트는 $\otimes {\displaystyle }$ ${\displaystyle \otimes }$을(를) 일반 점으로$$ 대체하거나 심지어 맥락에서 암시한다는 이해로 완전히 삭제한다. 그러면${\displaystyle }$then ${\$$displaystyle \otimes }$ 기호$$ 대신 $\otimes {\displaystyle }$ {\$displaystyle \boxtimes }$ 기호를$$ 사용할 수 있다. 이것은 아래에서 행하지 않으며, 각각의 적절한 위치를 보여주기 위해 두 개의 기호를 독립적이고 명시적으로 사용한다. 결과는 좀 더 장황하지만 이해하기 쉬워야 한다.

연산자 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }$의 정의는 단계별로 가장 쉽게 구축되며$$, 처음에는 $원소{\displaystyle }$ v ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v\in V\subset TV}$에 정의한 다음$$ 이를 전체 대수학으로 동형적으로 확장하여 만든다. 그 다음 공동 유도체에 적합한 선택을 한다.

${\displaystyle \Delta :v\mapsto v\boxtime 1+1\boxtime v}$

그리고

$1\displaystyle \Delta :1\mapsto 1\boxtime 1}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \in }$ K${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ 0 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \subset }$ T ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 1\in K=T^{0}V\subset TV}$는 필드 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle$K}의 단위임$.$ 선형성 측면에서 볼 때, 분명히 한 가지는 다음과 같다.

${\displaystyle \Delta(k)=k(1\boxtimes 1)=k\boxtimes 1=1\boxtimes k}$

모든 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle k\in K.}$ 이 정의가 collgebra의 공리를 만족하는지 확인하는 것은$$ 직진이다. 즉,

${\displaystyle(\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \Delta )\circle \Delta =(\Delta \boxtimes \boxtimes \mathrm {id} _{TV}\circur \Delta }}}$

여기서 $i{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ d ${\displaystyle V_{}}$: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mapsto }$ x ${\displaystyle \mathrm {id} _{TV:x\mapsto x}$는 T ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle TV}$의 ID 맵이다$.$ 실제로,

${\displaystyle (\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \Delta )\circircle \Delta )(v)=v\boxtimes 1+1\boxtime v\boxtimes 1+1\boxtimes 1\bxtimes v}$

다른 쪽도 마찬가지야 At this point, one could invoke a lemma, and say that ${\displaystyle \Delta }$ extends trivially, by linearity, to all of ${\displaystyle TV}$, because ${\displaystyle TV}$ is a free object and ${\displaystyle V}$ is a generator of the free algebra, and ${\displaystyle \Delta }$ is a homomorphism. 그러나 명시적 표현을 제공하는 것은 통찰력이 있다. 따라서 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ 2 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle v\otimes w\in T^{2}V$에 대해서는 (정의상) 동형성을 갖는다.

$\displaystyle \Delta :v\otimes w\mapsto \Delta (v)\otimes \Delta (w)}$

확장하는 것은, 한 사람이

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (v\otimes w)&=(v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\otimes (w\boxtimes 1+1\boxtimes w)\\&=(v\otimes w)\boxtimes 1+v\boxtimes w+w\boxtimes v+1\boxtimes (v\otimes w)\end{aligned}}}$

위의 확장에서는 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle 1\otimes$ v$}$을(를) 쓸 필요가 없다. 이는 대수학에서 그저 평범한 오래된 스칼라 곱셈일 뿐이기 때문이다$$. 즉, $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \otimes }$ v${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$⋅ ${\displaystyle v}$= ${\displaystyle v.}$ ${\displaystyle$ 1\$ot v=1\cdot$ v$=v.}$

위의 연장은 대수 등급을 유지한다. 그것은

${\displaystyle \Delta :T^{2}V\to \bigoplus _{k=0}^{2}}T^{k}V\boxtimes T^{(2-k)}V}$

이러한 방식으로 계속하면, 순서 m의 동질적 요소에 작용하는 코프로덕트에 대한 명시적 표현을 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{m})&=\Delta (v_{1})\otimes \cdots \otimes \Delta (v_{m})\\&=\sum _{p=0}^{m}\left(v_{0}\otimes \cdots \otimes v_{p}\right)\;\omega \;\left(v_{p+1}\otimes \cdots \otimes v_{m}\right)\\&=\sum _{p=0}^{m}\;\sum _{\sigma \in \mathrm {Sh} (p,m-p+1)}\;\left(v_{\sigma (0)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (p)}\right)\boxtimes \left(v_{\sigma (p+1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (m)}\right)\end{aligned}}}$

여기서 sha는 sha로 나타나야 하는 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega$} 기호는$$ 셔플 제품을 의미한다. 이는 모든 (p + 1, m - p)-슈플을 인수하는 두 번째 합계에서 표현된다. 위의 내용은 필드 요소 1을 추적하기 위해 공칭적 트릭으로 작성된다. ${\displaystyle {트릭}_{}}$은 ${\displaystyle \mathrm{v}}$ 0$$=${\displaystyle {}_{}}$1 {\$displaystyle v_{0$}=1$}$를 쓰는 것이며$,$ 이는 슈플을 통한 합이 확장되는 동안 여러 위치로 섞인다. 셔플은 코-알지브라(co-algebra)의 첫 번째 공리에서 직접 따온 것이다: $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$ 원소의 상대적 순서는 리플 셔플(riffle shuffle)에 보존된다: 리플 셔플은 순서만 두 개의 순서, 즉 왼쪽과 오른쪽 순서로 나눌 뿐이다. 아무나 주어지는 셔플 오비시

${\displaystyle \cdots <\cdma (p)\p)\dmbox{ and }}\cdma (p+1)<\cdots <\cdma (m)}$

이전과 같이 대수 등급은 다음과 같이 유지된다.

${\displaystyle \Delta :T^{m}V\to \bigoplus _{k=0}^{m}}T^{k}V\boxtimes T^{(m-k)}V}$

상담

${\displaystyle \mathrm{상담}}ϵ{\displaystyle }$ : ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$→ K ${\displaystyle \epsilon$:$TV\to K}$은(는) 필드 구성요소를 대수에서 돌출시켜 주어진다. This can be written as ${\displaystyle \epsilon :v\mapsto 0}$ for ${\displaystyle v\in V}$ and ${\displaystyle \epsilon :k\mapsto k}$ for ${\displaystyle k\in K=T^{0}V}$. By homomorphism under the tensor product ${\displaystyle \otimes }$, this extends to

$\displaystyle \epsilon :x\mapsto 0}$

모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ 1 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ V ${\displaystyle \oplus }$ {\$displaystyle x\in$ T$^{1}V\oplus$ T$^{2}V\oplus$ \$cdots }$에 대해 이 상담이 병합에 필요한 공리를 충족하는지 확인하는 것은$$ 직진 사항이다.

${\displaystyle(\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )\circule \boxtimes \epsilon {id} =(\epsilon \boxtimes \mathrm {id})\circircule \Delta .}$

이 작업을 명시적으로 수행하면

${\displaystyle {\begin{aligned}((\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )\circ \Delta )(x)&=(\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )(1\boxtimes x+x\boxtimes 1)\\&=1\boxtimes \epsilon (x)+x\boxtimes \epsilon (1)\\&=0+x\boxtimes 1\\&\cong x\end{aligned}}}$

여기서 마지막 단계에서는 카운티의 정의 공리에 적합한 이형성 T $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \cong }$ T ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle TV\boxtimes K\cong$ TV$\}$을(를$)$ 사용했다.

바이알게브라

바이알지브라는 곱셈과 곱셈을 모두 정의하며, 양립할 것을 요구한다.

곱하기

곱셈은 연산자에 의해 주어진다.

$\displaystyle \vola :TV\boxtimes TV\to TV}$

이 경우 "내부" 텐서 제품으로 이미 제공되었다. 그것은

$\displaystyle \boxtimes y\mapsto x\otimes y}$

즉, ${\displaystyle \nabla (x}$⊠ ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle y.}$ ${\displaystyle \nabla(x\boxtime$ y$)=x\otimes$ y$.}$$$ 위와 같이 $\{{\displaystyle }$ ${\displaystyle \boxtimes$} 기호를$$ 사용해야 하는 이유를 명확히 해야 한다:${\displaystyle }${ ${\displaystyle \otimes$}은$$(는) 실제로 $\nabla {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \nabla$과(와) 같았고 여기서 논설적인 졸음이 완전한 혼란을 초래했다. 이를 강화하기 위해 텐서 대수의$$ 텐서 제품${\displaystyle }$product ${\displaystyle\otimes }$은(는) 대수 정의에 사용되는$$ 곱셈${\displaystyle \mathrm{}}${ ${\displaystyle \nabla }$에 해당하는 반면 텐서 제품 product${\displaystyle \bxtimes$}은$$ 합금어의 콤멀티제 정의에 필요한 것이다. 이 두 개의 텐서 제품은 같은 것이 아니에요!

구성 단위

대수 단위

$\displaystyle \eta :K\to TV}$

그냥 임베딩일 뿐이니까

$\displaystyle \eta :k\mapsto k}$

장치가 텐서 제품 $⊗{\displaystyle \otimes$}과(와) 호환된다는 것은 "trivial"이며$$, 벡터 공간의 텐서 제품에 대한 표준 정의의 일부일 뿐이다. 즉, ${\displaystyle \mathrm{필드}}$ 요소 k와 $임의$의 x ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle x\\notimes$ $x=kx}$에 대한$$ k ${\displaystyle \otimes }$ x${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{kx}}$$}$의 경우, 보다 장황하게, 연관 대수학의 공리는 두 개의 동형성(또는 통근 도표)을 필요로 한다.

${\displaystyle \nabla \circle (\eta \boxtimes \mathrm {id} _{TV}=\eta \cdot \mathrm {id} _{TV}}}}}}}}.$

$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle ⊠}$ ${\displaystyle T}$ V ${\displaystyle K\boxtimes TV$에, ${\displaystyle \mathrm{그리고}}$ T${\displaystyle V}$ {$$K {\$displaystyle TV\boxtimes$K}에 대칭적으로 다음과 같이 표시된다$.$

${\displaystyle \nabla \cdot \eta} _{TV}\boximes \eta )=\mathrm {id} _{TV}\cdot \eta}$

이 방정식의 오른쪽을 스칼라 제품으로 이해해야 한다.

호환성.

단위와 카운슬링, 곱셈과 곱셈 모두 호환성 조건을 충족해야 한다. 는 것은 직설적이다.

${\displaystyle \epsilon \circle \eta =\mathrm {id} _{K}.}$

마찬가지로, 이 단위는 다음과 같은 조합과 호환된다.

$\displaystyle \Delta \circ \eta =\eta \boxtimes \eta \eta \eta }$

위의 내용은 이형성 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle ⊠}$ K ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle K}$ { K ${\displaystyle$ K$\boxtimes$ K$\cong$ K$}$를 사용하여 작업해야$$ 하며, 이것이 없으면 선형성을 상실한다. 구성 요소별,

$[\delta \circ \eta )(k)=\Delta(k)=k(1\boxtimes 1)\cong k}$

오른쪽 측면의 이소모르퍼시즘을 이용하여

곱셈과 상담은 양립할 수 있다.

${\displaystyle(\epsilon \circla \boxla )(x\boxtimes y)=\epsilon(x\otimes y)=0}$

x 또는 y가 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 요소가 아닐 때마다$,$ 그리고 그렇지 않으면 필드에 scar 곱셈이 있다: k ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {k\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ k ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ .${\displaystyle k_{1}\otimes k_{2}=k_{$1}$k_{2}.}$ 검증하기 가장 어려운 것은$$ 곱셈과 곱셈의 호환성이다.

${\displaystyle \Delta \circ \nabla =(\nabla \boxtimes \nabla )\circ(\mathrm {id}\boxtimes \boxtimes \Delta \Delta )}$

여기서 $\tau {\displaystyle (x}$⊠ y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle ⊠}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \tau(x\boxtimes y)=y\boxtimes$ x$}$ 요소 교환$$ 호환성 조건은 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ T ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V\subset TV}$에서만 검증하면 된다$.$ 완전한 호환성은 $모든{\displaystyle }$ T ${\displaystyle V}$.${\displaystyle TV$.}검증은 장황하지만 직선적이다$.$ 최종$$ 결과를 제외하고 여기에 제공되지는 않는다.

${\displaystyle(\Delta \circ \nabla )(v\boxtimes w)=\Delta(v\otimes w)}$

$v{\displaystyle }$, ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle v,w\in V}$의 경우 위의 병합 섹션에 명시적인$$ 식이 제공되었다.

호프 대수

호프 대수학은 바이알게브라 공리에 대척점을 더한다. $k$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle K}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ $(\displaystyle k\$in K$=T^{0}V}$의 대척점 $S{\displaystyle }$ ${\$displaystyle $S}$은(는) 다음을 통해 제공된다$$.

$[\displaystyle S(k)=k}$

이것은 때때로 "반식성"이라고 불린다. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \in }$ V${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle v\in V=T^{1}V}$의 대척점은

$(\displaystyle S(v)=-v}$

$및{\displaystyle }$ 다음 시간$$ 기준 v ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle v\otimes w\in T^{2}V}$에서

${\displaystyle S(v\otimes w)=S(w)\otimes S(v)=w\otimes v}$

이것은 동형적으로 까지 확장된다.

${\displaystyle {\begin{1}S(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{m}&=S(v_{m})\otimes S(v_{1})\&=(-1)^{m_{m}\otimes \otimotimes v_{1}\end{1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

호환성.

곱셈과 곱셈과 곱셈과 대척점에 대한 호환성은 다음을 요구한다.

$\displaystyle \nabla \circle (S\boximes \mathrm {id})\circle \eta =\eta \circla \eccircla =\nabla \curcircla \Delta }$

$이$는 K${\displaystyle k}$ K$${\$displaystyle k\in$K$\}$에서 구성 요소를 확인할 수 있도록 직진하는 것이다.

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta )(k)&=(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} ))(1\boxtimes k)\\&=\nabla (1\boxtimes k)\\&=1\otimes k\\&=k\end{aligned}}}$

마찬가지로, $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v\in V}$에서$:$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta )(v)&=(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} ))(v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\\&=\nabla (-v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\\&=-v\otimes 1+1\otimes v\\&=-v+v\\&=0\end{aligned}}}$

그것을 상기하다.

${\displaystyle(\eta \eta \epsilon )=\eta(k)=k}$

그리고 저것

${\displaystyle(\eta \circ \epsilon )=\eta (0)=0}$

$K{\displaystyle }$. ${\displaystyle K.}$에 없는 모든$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x\in$ TV$}$에 대해

같은 방식으로 진행할 수 있다. 동형성(homomorphism)에 의해, T ${\displaystyle {}^{}}$ V ${\displaystyle T^{2}V}$의 호환성 조건부터 시작하여$$ 인덕션에 의해 항정신대가 적절한 취소 신호를 셔플에 삽입하는지 검증한다.

코프리 코콤완성 합금기

텐서 대수에서 위에 주어진 것 보다 더 간단한 다른 결합체를 정의할 수 있다. 그것은 에 의해 주어진다.

${\displaystyle \Delta(v_{1}\otes \otes \otes v_{k}):=\sum _{j=0}^{k}(v_{0})\otimes \times v_{j}\boxtimes(v_{j+1}\otimes \otimes \otimes \otimes v_{k+1}}}}}$

여기서는 전과 마찬가지로 논설 트릭 ${\displaystyle {v\mathrm{}}_{}}$ $0{\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle v_{0}=v_{k+1}=1\$${\displaystyle \mathrm{in}}$ K$}($${\displaystyle \mathrm{v}}$⊗ 1${\displaystyle }$= ${\displaystyle v\otimes 1=v})$를 사소한 방법으로$$ 사용한다.$$

이 합금물은 합금자를 낳는다. T(V^∗)에서 대수구조에 이중인 결합형을 설명하고 있는데, 여기서 V는^∗ 선형 지도 V → F의 이중 벡터 공간을 나타낸다. 텐서 대수가 자유 대수인 것과 마찬가지로 해당 결합을 cocomble co-free라고 한다. 보통 제품과 함께 이것은 양지브라(bialgebra)가 아니다. ${\displaystyle {vi}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$= ${\displaystyle (,}$ ${\displaystyle i}$ , j$$) ${\displaystyle {}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$+ j$$+ v ${\displaystyle i_{}}$ + j + j + j + {$}\cdot v_{j}=(i,$${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{j}{}}$$)v_{$$i+j$에 대한 이항계수를 나타내는 ($,j$)는 바이알게브라로 변환할 수 있다$.$ 이 바이알게브라는 분열된 힘 홉프 대수학으로 알려져 있다.

이것과 다른 연골 사이의 차이는 $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ V ${\displaystyle T^{2}V}$ 용기에서$$ 가장 쉽게 볼 수 있다. 자, 한 사람이 그것을 가지고 있다.

${\displaystyle \Delta(v\otime w)=1\boxtimes(v\otimes w)+v\boxtime w+(v\otime w)\boxtimes 1}$

$v{\displaystyle }$, ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v,w\in V$의 경우, 이전과 비교하여 뒤틀린 용어가 분명히 누락되어 있다.

참고 항목

• 브레이드 벡터 공간
• 브레이드 호프 대수
• 단면체 범주
• 다중선 대수
• 스타니스와프 렘의 사랑과 텐서 대수
• 포크 스페이스

참조

• Bourbaki, Nicolas (1989). Algebra I. Chapters 1-3. Elements of Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 3-540-64243-9. (제3장 §5 참조)

• Serge Lang (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (3rd ed.), Springer Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4