갈루아 이론

수학에서 원래 에바리스테 갈루아가 도입한 갈루아 이론은 장 이론과 집단 이론의 연관성을 제공한다. 갈루아 이론의 기본 정리인 이 연결은 필드 이론의 특정 문제를 집단 이론으로 축소할 수 있게 하여, 이를 보다 간단하고 이해하기 쉽게 한다.

갈루아는 다항식의 뿌리를 연구하는 과목을 소개했다. 이를 통해 그는 급진자가 풀 수 있는 다항식 방정식을 그 뿌리의 순열 집단의 성질 측면에서 특징 지을 수 있었다. 즉, 그 뿌리가 정수, n번째 뿌리, 그리고 4개의 기본 산술 연산을 포함하는 공식으로 표현될 수 있다면, 급진자가 풀 수 있다. 이것은 아벨-루피니 정리를 광범위하게 일반화하는데, 적어도 5도의 일반 다항식은 급진주의자에 의해 해결될 수 없다고 주장한다.

갈루아 이론은 고대의 두 문제가 서술된 대로 해결될 수 없다는 것을 보여주는 것(입방체를 두르고 각도를 세로로 구분함)과 구성 가능한 일반 다각형의 특징을 나타내는 것(이 특성화는 이전에 가우스가 부여한 것이지만, 이 특성화라는 모든 알려진 증거) 등 고전적인 문제를 해결하기 위해 사용되어 왔다.n은 완전하다. Galois 이론 필요)

갈루아의 작품은 죽은 지 14년 만에 조셉 리우빌에 의해 출판되었다. 그 이론은 수학자들 사이에서 널리 알려지고 잘 이해되기까지 더 오랜 시간이 걸렸다.

갈루아 이론은 갈루아 연결과 그로텐디크의 갈루아 이론으로 일반화되었다.

고전적 문제에 대한 적용

갈루아 이론의 탄생과 발전은 19세기 초까지 주요 공개 수학 문제 중 하나였던 다음과 같은 문제에서 비롯되었다.

통상적인 대수 연산(추가, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈)과 활성산소(제곱근, 입방근 등)의 응용만을 사용하여 다항식의 계수에 있어 5도(또는 그 이상)의 다항식의 근에 대한 공식이 존재하는가?

아벨-루피니 정리는 그러한 공식이 존재할 수 없는 다항식 방정식이 있다는 것을 증명하는 백범례를 제공한다. 갈루아의 이론은 왜 학위 4 이하의 모든 방정식을 포함한 어떤 방정식을 위와 같은 방법으로 푸는 것이 가능한지, 그리고 왜 대부분의 학위 5 이상의 방정식에서는 불가능한지를 설명함으로써 이 질문에 대한 훨씬 더 완전한 답을 제공한다. 나아가 개념적으로 명확하고 쉽게 알고리즘으로 표현되는 특정 방정식을 해결할 수 있는지를 판단하는 수단을 제공한다.

갈루아의 이론은 또한 나침반과 직선구조의 문제에 관한 질문에 대한 명확한 통찰력을 준다. 이 방법으로 구성할 수 있는 길이의 비율에 대한 우아한 특성을 제공한다. 이를 이용하면 기하학의 고전적인 문제에 대해 비교적 쉽게 대답할 수 있게 된다.

1. 어떤 일반 다각형이 구성 가능한가?^[1]
2. 왜 나침반과 직선자를 사용하여 모든 각도를 추적할 수 없는가?^[1]
3. 왜 같은 방법으로 큐브를 두 배로 증가시킬 수 없는가?

역사

프리 히스토리

갈루아의 이론은 대칭함수의 연구에서 비롯되었다. 단항 다항식의 계수는 뿌리에 있는 기본 대칭 다항식의 (서명까지)이다. 예를 들어 (x – a)(x – b) = x² – (a + b)x + ab. 여기서 1, a + b 및 ab은 두 변수에서 도 0, 1, 2의 기본 다항식이다.

이것은 16세기 프랑스의 수학자 프랑수아 비에트가 비에트의 공식에서 처음으로 양적인 진짜 뿌리의 경우를 위해 공식화했다. 18세기 영국 수학자 찰스 허튼의 견해에 따르면,^[2] 뿌리에 관한 다항식의 계수표현(양극적 뿌리에 관한 것만이 아니라)은 17세기 프랑스 수학자 앨버트 지라르에 의해 처음 이해되었다. 허튼은 다음과 같이 쓰고 있다.

...[기라르드]는 근과 그 생산물의 합으로부터 힘의 계수 형성에 대한 일반적 교리를 가장 먼저 이해한 사람이었다. 그는 어떤 방정식의 근원의 힘을 합하는 법칙을 처음으로 발견한 사람이었다.

이러한 맥락에서 판별은 뿌리의 성질을 반영하는 뿌리의 대칭함수로서, 다항식이 다중 뿌리를 갖는 경우에는 0이고, 모든 뿌리가 실재하고 구별되는 경우에는 2항과 입방 다항식이 양성이며, 구별되는 복합 결합 roo의 쌍이 있는 경우에는 음성이 된다.ts. 판별 참조:디테일을 위한 뿌리의 특성.

이 입방식은 15~16세기 이탈리아의 수학자 Scipioneel Ferro에 의해 처음 부분적으로 해결되었다. 그는 그러나 그의 결과를 발표하지 않았다. 이 방법은 단지 하나의 입방정식을 풀었을 뿐이다. 그 후 1535년 니콜로 폰타나 타르타글리아(Niccolovered Fontana Tartaglia)에 의해 독립적으로 재발견되었는데, 그는 게롤라모 카르다노(Gerolamo Cardano)와 함께 이 솔루션을 출판하지 말 것을 요구하였다. 그리고 나서 Cardano는 유사한 주장을 사용하여 이 문제를 다른 수많은 사례로 확대했다. 자세한 내용은 Cardano의 방법을 참조하십시오. 델 페로의 작품이 발견된 후 그는 타르타글리아의 방법이 더 이상 비밀이 아니라고 느꼈고, 따라서 1545년 아르스 마그나에 해결책을 발표했다.^[3] 그의 제자인 로도비코 페라리는 4분위 다항식을 풀었고 그의 해결책도 아르스 마그나에 포함되었다. 그러나 카르다노는 이 책에서 입방정식의 해법에 대한 "일반 공식"을 제공하지 않았는데, 이는 그가 마음대로 복잡한 숫자도, 일반적인 입방정식을 설명할 수 있는 대수 표기법도 없었기 때문이다. 현대식 표기법과 복잡한 숫자의 이점으로 이 책의 공식은 일반적인 경우에 통용되지만, 카르다노는 이것을 알지 못했다. 모든 형태의 입방정식을 풀기 위해 복잡한 숫자로 작업하는 방법을 겨우 이해한 사람은 라파엘 봄벨리였다.

한 단계 더 나아가 1770년 프랑스-이탈리아 수학자 조셉 루이스 라그랑의 프랑스-이탈리아 수학자 조셉 루이스 라그랑이의 논문 '레플리온스 sur la résolution algébrique des ecquations'에서 그는 카다노와 페라리의 큐빅과 쿼티컬에 대한 솔루션을 뿌리의 순열로 고찰하여 분석했다.낮은 수준의 생략, 해결책에 대한 통일된 이해를 제공하고 집단 이론과 갈루아의 이론의 토대를 마련한다. 그러나 결정적으로 그는 순열의 구성을 고려하지 않았다. 라그랑주의 방법은 분해자가 더 높은 정도를 가졌기 때문에 5중방정식 이상으로 확장되지 않았다.

이 5중주는 1799년 파올로 러피니에 의해 급진주의자에 의해 일반적인 해결책이 없다는 것이 거의 증명되었는데, 그의 핵심 통찰력은 단 하나의 순열체만이 아니라 순열체를 사용하는 것이었다. 그의 해법에는 1824년 증거를 발표한 노르웨이의 수학자 닐스 헨릭 아벨의 연구까지 패치가 이루어지지 않아 아벨-루피니 정리가 성립될 때까지 카우치가 대수롭지 않다고 여기는 간극이 들어 있었다.

반면 루피니와 아벨은 그 장군 quintic 해결되지 않을 것, 어떤 특정한 quintics, x5-1=0와 같은 정확한 표준에 의해 주어진 이상 5차의 다항식 풀 수 있거나Évariste 갈루아, 한국이 다항식 굶고 있다는 것이었습니다 equi 풀 수 있는 것을 보여 주는 것에 의해 주어지지 않았다는 판명될 수 있을 것 해결될 수 있다.v그 뿌리의 순열 그룹(현대에 있어서 갈루아 그룹)이 어떤 구조를 가지고 있는지 아닌지에 대해 현대적인 관점에서 보면 해결 가능한 그룹인지 아닌지에 대해 알 수 있다. 이 그룹은 4도 이하의 다항식에서는 항상 해결 가능했지만 5도 이상의 다항식에서는 항상 해결 가능하지 않았다. 그래서 더 높은 도에서는 일반적인 해결책이 없다.

갈루아의 글

1830년 갈루아(18세)는 파리의 과학 아카데미에 급진주의자에 의한 해결 이론에 관한 회고록을 제출했다. 갈루아의 논문은 결국 1831년 너무 스케치적이고 계수 대신 방정식의 뿌리에 관한 조건을 준 것으로 거부당했다. 갈루아는 그 후 1832년 결투로 사망했고, 그의 논문 "메무아르 수르 레스 조건 de résolubilité des équations par radicau"^[4]는 조셉 리우빌에 의해 1846년까지 발표되지 않았다. 이 출판물에 앞서, 리우빌은 1843년 7월 4일 그가 한 연설에서 갈루아의 결과를 아카데미에 발표했다.^[5] 알란 클라크에 따르면 갈루아의 캐릭터화는 "아벨과 러피니의 작품을 극적으로 대체한다"^[6]고 한다.

여파

갈루아의 이론은 동시대 사람들이 이해하기 힘들기로 악명 높았고, 특히 그것을 확장시킬 수 있는 수준까지 그러했다. 예를 들어, 1846년 논평에서, 리우빌은 갈루아의 방법의 집단 이데올로기적 핵심을 완전히 놓쳤다.^[7] 리우빌의 강연에 일부 참석했던 조셉 알프레드 세레트는 1866년(제3판) 교과서인 쿠르스달제브르 수페리에에 갈루아의 이론을 포함시켰다. 세레트의 제자 카밀 조던은 1870년 저서 '특징에 데스 대체'와 '에쿼터스 알제브리크'에 비친 이해도가 훨씬 높았다. 프랑스 밖에서는 갈루아의 이론이 더 오랫동안 불명확하게 남아 있었다. 영국에서 케일리는 그 깊이를 파악하지 못했고 영국의 인기 대수학 교과서는 세기가 바뀐 지 한참이 지나도록 갈루아의 이론조차 언급하지 않았다. 독일에서는 크로네커의 글이 아벨의 결과에 더 초점을 맞췄다. 데데킨드는 갈루아의 이론에 대해서는 거의 쓰지 않았으나, 1858년 괴팅겐에서 강연하여 매우 훌륭한 이해를 보여주었다.^[8] 요르단의 '특징'에 바탕을 둔 1880년대 유겐 네토의 저서들은 하인리히 마틴 베버의 1895년 대수 교과서가 그랬던 것처럼 갈루아 이론을 독일과 미국의 더 넓은 청중들이 접할 수 있게 만들었다.^[9]

순열 그룹 접근법

다항식을 부여하면, 뿌리의 일부가 다양한 대수 방정식으로 연결되어 있는 것일 수도 있다. 예를 들어, A와 B와 같은 두 개의 뿌리에 대해 A² + 5B³ = 7이 될 수 있다. 갈루아 이론의 중심 사상은 뿌리가 만족하는 대수 방정식이 뿌리가 순화된 후에도 여전히 충족되도록 뿌리의 순열(또는 재배열)을 고려하는 것이다. 원래 이 이론은 계수가 이성적인 숫자인 대수 방정식을 위해 개발되었다. 어떤 분야에서든 계수가 있는 방정식까지 자연스럽게 확장되지만, 이는 아래의 간단한 예에서는 고려하지 않을 것이다.

이러한 순열은 함께 순열 그룹을 형성하는데, 다항식의 갈루아 그룹이라고도 하며, 이는 다음 예에서 명시적으로 설명된다.

이차 방정식

2차 방정식 고려

${\displaystyle x^{2}-4x+1=0.}$

이차 공식을 사용함으로써 두 근이 서로 다른 것을 발견하게 된다.

${\displaystyle {\reasoned}A&=2+{\sqrt{3},\\B&=2-{\sqrt {3}.\end{정렬}}}$

A와 B가 만족하는 대수 방정식의 예는 다음과 같다.

${\displaystyle A+B=4,}$

그리고

$(\displaystyle AB=1)}$

마지막 두 방정식 중 하나에서 A와 B를 교환하면 우리는 또 다른 참된 진술을 얻게 된다. 예를 들어 A + B = 4 등식은 B + A = 4가 된다. 모든 계수가 합리적이도록 A와 B 사이의 가능한 모든 대수적 관계를 유지하는 것이 더 일반적으로 사실이다. 즉, 그러한 관계에서 A와 B를 스와핑하는 것은 또 다른 진정한 관계를 산출한다. 이는 대칭 다항식 이론에서 비롯되는데, 이 경우 이항 정리와 관련된 공식 조작으로 대체될 수도 있다.

A와 B가 A와 B를 교환할 때 참으로 남아 있지 않는 대수 방정식 A - B - 2√3 = 0에 의해 연관되어 있다고 이의를 제기할 수 있다. 단, 이 관계는 합리적이지 않은 계수 -2√3을 가지고 있기 때문에 여기서는 고려하지 않는다.

다항식 x² - 4x + 1의 갈루아 그룹은 A와 B를 건드리지 않고 그대로 두는 신분 순열과 A와 B를 교환하는 전이 순열이라는 두 가지 순열로 구성된다고 결론짓는다. 순서 2의 주기적인 그룹이며, 따라서 Z/2Z에 이형성이 있다.

유사한 토론이 2차 다항식 도끼² + bx + c에 적용된다. 여기서 a, b 및 c는 합리적인 숫자다.

• 다항식이 x² - 4x + 4 = (x - 2) ²또는 x² - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1)와 같이 합리적인 뿌리를 가지고 있다면 갈루아 그룹은 사소한 것이다. 즉, 신분 순열만 포함한다. 이 예제에서 A = 2와 B = 1이면 A와 B가 교환될 때 A - B = 1은 더 이상 참이 아니다.
• 만약 그것이 x² - 2와 같이 두 개의 비합리적인 뿌리를 가지고 있다면, 갈루아 집단은 위의 예와 같이 두 개의 순열을 포함한다.

사분방정식

다항식 고려

${\displaystyle x^{4}-10x^{2}+1,}$

라고도 쓸 수 있다.

${\displaystyle \left(x^{2}-5\right)^{2}-24.}$

우리는 이 다항식의 갈루아 집단에 대해 다시 한 번 합리적인 수의 분야에 대해 설명하고자 한다. 다항식에는 네 가지 루트가 있다.

${\displaystyle {\reasoned}A&={\sqrt{2}}+{\sqrt{3}},\\B&={\sqrt{3},\\\sqrt{2}}-{\sqrt{3},\\\d&={\sqrt{\sqrt{}}}}}}}.\end{정렬}}}$

이 네 가지 뿌리를 허용하는 24가지 방법이 있지만, 이 순열들이 모두 갈루아 집단의 멤버인 것은 아니다. 갈루아 집단의 구성원은 A, B, C, D를 포함하는 합리적 계수를 가진 대수 방정식을 보존해야 한다.

이러한 방정식 중에서 다음이 있다.

${\displaystyle {\reasoned}AB&=-1\AC&=1\\A+D&=0\end{aigned}}$

따라서 φ이 갈루아 집단에 속하는 순열이라면 다음과 같이 해야 한다.

${\displaystyle {\begin}\varphi(B)&={\frac {-1}{\barphi(A)},\\varphi(C)&={\frac {1}{\barphi(A)},\barphi(D)&=-\varphi(A).\end{정렬}}}$

이는 순열이 A의 이미지에 의해 잘 정의되고 갈루아 집단은 다음과 같은 4가지 요소를 가지고 있음을 암시한다.

(A, B, C, D) → (A, B, C, D)

(A, B, C, D) → (B, A, D, C)

(A, B, C, D) → (C, D, A, B)

(A, B, C, D) → (D, C, B, A)

이는 갈루아 집단이 클라인 4그룹과 이형체라는 것을 암시한다.

필드 이론에 의한 현대적 접근법

현대적 접근법에서는 필드 익스텐션 L/K("L over K"를 읽음)로 시작하여 K를 고정하는 L의 자동화 그룹을 조사한다. 자세한 설명과 예는 Galois 그룹에 대한 기사를 참조하십시오.

두 접근법 사이의 연결점은 다음과 같다. 해당 다항식의 계수는 베이스 필드 K에서 선택해야 한다. 상단 필드 L은 해당 다항식의 루트를 베이스 필드에 결합하여 얻은 필드여야 한다. 위에서 설명한 대로 대수 방정식을 존중하는 뿌리의 순열은 L/K의 자동형성을 발생시키며, 그 반대의 경우도 마찬가지다.

위의 첫 번째 예에서는 Q(√3)/Q 확장자를 연구하고 있었는데, 여기서 Q(√3)는 합리적 숫자의 분야, Q(33)는 33을 붙여서 Q에서 얻은 분야다. 두 번째 예에서는 확장 Q(A,B,C,D)/Q를 공부하고 있었다.

현대적 접근방식은 순열집단 접근방식에 비해 몇 가지 장점이 있다.

• 그것은 갈루아 이론의 근본적인 정리에 대한 훨씬 더 간단한 진술을 허용한다.
• Q 이외의 기초분야의 사용은 수학의 많은 분야에서 결정적이다. 예를 들어 대수적 수 이론에서는 숫자장, 유한장 또는 국소장을 베이스장으로 하여 갈루아 이론을 하는 경우가 많다.
• 무한 확장을 더 쉽게 공부할 수 있게 해준다. 다시 한 번 이것은 대수적 수 이론에서 중요한데, 예를 들어 K가 Q의 대수적 폐쇄인 K/Q의 갈루아 그룹으로 정의된 Q의 절대 갈루아 집단을 종종 논한다.
• 그것은 분리할 수 없는 연장을 고려할 수 있다. 산술은 항상 특성 0에서 발생한다고 암묵적으로 가정하였지만, 숫자 이론과 대수 기하학에서 비제로 특성은 빈번하게 발생하기 때문에 이 문제는 고전적 틀에서는 발생하지 않는다.
• 다항식의 뿌리를 쫓는 것에 대한 다소 인위적인 의존을 제거한다. 즉, 서로 다른 다항식들은 동일한 확장장을 산출할 수 있으며, 현대적 접근방식은 이러한 다항식들 사이의 연결을 인식한다.

활성산소별 해결 가능한 그룹 및 솔루션

집단 이론에서 해결 가능한 집단의 개념은 다항체가 급진적으로 해결 가능한지 여부를 결정할 수 있게 한다. 다항체가 해결가능성의 속성을 가지고 있는지에 따라 말이다. 본질적으로 각 필드 확장자 L/K는 갈루아 그룹의 구성 시리즈에 있는 인자 그룹에 해당한다. 구성 시리즈의 요인 그룹이 순서 n의 순환이고, 해당 필드 확장자 L/K에서 필드 K가 이미 원시적인 n번째 통합 루트를 포함하고 있다면, 그것은 급진적인 확장이고 L의 요소는 K의 일부 요소의 n번째 루트를 사용하여 표현할 수 있다.

구성 계열의 모든 요소 그룹이 주기적인 경우, 갈루아 그룹을 해결 가능한 그룹이라고 하며, 해당 분야의 모든 요소는 반복적으로 베이스 필드(보통 Q)에서 뿌리, 제품, 원소 합계를 취함으로써 찾을 수 있다.

어느 갈루아 이론의 위대한 승리의 증거는 모든 n>4, 학위 n의 급진 주의자들에(이 독립적으로, 닐스 헨리크 아벨에 의해 몇년 전에 비슷한 방법을 사용하고 Abel–Ruffini 정리 증명되었다) 풀 수 있는 것은 아니다 다항식, 그리고 특정 다항식은 시험을 위한 체계적인 방법이 존재한다. sol과격파에게 유리한 아벨-루피니 정리는 n > 4의 대칭군 S가_n 단순하고 비순환적이며 정상적인 부분군, 즉 교번군 A를_n 포함하고 있다는 사실에서 비롯된다.

해결 불가능한 5분위수 예제

Van der Waerden은^[10] 다항식 f(x) = x⁵ - x - 1을 인용한다. 이성적인 뿌리 정리로는 이것은 이성적인 영이 없다. 둘 다 선형 요인 2나 3을 가지고 있지 않다.

f(x) modulo 2의 갈루아 그룹은 순서 2와 3의 다항식(x² + x + 1)(x³ + x + 1)에² f(x) modulo 2 인자가 있기 때문에 순서 6의 순환이다.

f(x) modulo 3은 선형 또는 2차 인자가 없으므로, 수정할 수 없다. 따라서 그것의 modulo 3 Galois 그룹은 순서 5의 요소를 포함한다.

갈루아 그룹 모둘로 프라임(Prime)은 갈루아 그룹의 하위 그룹에게 이성보다 이형성이 있는 것으로 알려져^[11] 있다. 순서 6과 5의 요소를 가진 5개 객체에 대한 순열 그룹은 대칭 그룹₅ S여야 하며, 따라서 f(x)의 갈루아 그룹이다. 이것은 해결 불가능한 5중 다항식의 가장 간단한 예 중 하나이다. 세르게 랑에 따르면 에밀 아르틴은 이 예를 좋아했다.^[12]

역 갈루아 문제

역 갈루아 문제는 주어진 갈루아 집단을 가진 자기장 확장을 찾는 것이다.

그라운드 필드도 특정하지 않는 한 문제는 그리 어렵지 않으며, 모든 유한 집단은 갈루아 집단으로 발생한다. 이를 보여주기 위해 다음과 같이 진행할 수 있다. 필드 K와 유한 그룹 G를 선택한다. 케일리의 정리에는 G가 G의 원소에 대칭군 S의 서브그룹(이형성까지)이라고 되어 있다. G의 각 원소 α에 대해 인디테터미네이트 {x_α}을(를) 선택하고 K에 결합하여 F = K({x_α}) 필드를 가져오십시오. F에는 {x_α}에 있는 대칭적 이성 함수의 필드 L이 포함되어 있다. F/L의 갈루아 그룹은 에밀 아르틴의 기본적인 결과에 의해 S이다. G는 S의 작용 제한에 의해 F에 작용한다. 이 작용의 고정된 장이 M이라면, 갈루아 이론의 근본적인 정리에 의해 F/M의 갈루아 집단은 G이다.

한편, 모든 유한집단이 합리적인 수의 필드 Q의 필드 확장자의 갈루아 그룹인지 여부는 개방적인 문제다. 이고르 샤파레비치는 모든 해결 가능한 유한 집단이 Q의 어느 정도 확장된 갈루아 집단이라는 것을 증명했다. 다양한 사람들이 선택된 비아벨리안 단순 집단의 역 갈루아 문제를 해결했다. 해결책의 존재는 26개의 산발적인 단순 그룹 중 한 개(마티외 그룹₂₃ M)를 제외한 모든 그룹에 대해 나타났다. 갈루아 그룹이 몬스터 그룹인 적분 계수를 가진 다항식도 있다.

분리할 수 없는 확장

특히 갈루아 이론의 근본적인 정리를 포함하여 위에서 언급한 형식에서 이론은 특히 분리 가능한 갈루아 확장만을 고려한다. 일반 필드 확장은 분리 가능한 필드 확장에 이어 순수하게 분리할 수 없는 필드 확장에 따라 분할할 수 있다. 순수하게 불가분의 확장자 F / K에 대해서는, 갈루아 집단이 파생의 벡터 공간 D ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {}_{}}$ K (${\displaystyle F_{}}$ ${\displaystyle {}_{}F}$) ${\displaystyle Der_{K}(F,F$ 즉 라이프니즈 규칙을 만족하는 F의 K-선형 내형성(K-선형 내형)으로 대체되는 갈루아 이론이 있다. In this correspondence, an intermediate field E is assigned ${\displaystyle Der_{E}(F,F)\subset Der_{K}(F,F)}$. Conversely, a subspace ${\displaystyle V\subset Der_{K}(F,F)}$ satisfying appropriate further conditions is mapped to ${\displaystyle \{x\in F,f(x)=0\mathrm{\forall }f\in V}$${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{x\in F,f(x)=0\\ forall f\\\$f\$in V$ $가정{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle F^{}}$ p${\displaystyle {}^{}k}$ K$${\$displaystyle$ F$^{p}\subset$ K}, 제이콥슨(1944)은 이것이 일대일 서신을 확립한다는 것을 보여주었다. 제이콥슨이 부과한 조건은 브랜트너 & 월드론(2020년)에 의해 파생 대수 기하학의 개념을 이용한 통신문을 제공함으로써 제거되었다.

참고 항목

• Galois 그룹(더 많은 예시)
• 갈루아 이론의 기본 정리
• 미분 방정식의 갈루아 이론을 위한 미분 갈루아 이론
• 갈루아 이론의 광대한 일반화를 위한 그로텐디크의 갈루아 이론
• 위상학 갈루아 이론

메모들

참조

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• Bewersdorff, Jörg (2006). Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective. The Student Mathematical Library. Vol. 35. American Mathematical Society. doi:10.1090/stml/035. ISBN 0-8218-3817-2.
• Brantner, Lukas; Waldron, Joe (2020), Purely Inseparable Galois theory I: The Fundamental Theorem, arXiv:2010.15707
• Cardano, Gerolamo (1545). Artis Magnæ (PDF) (in Latin).
• Edwards, Harold M. (1984). Galois Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90980-X. (갈루아의 원서, 광범위한 배경과 논평이 있는)
• Funkhouser, H. Gray (1930). "A short account of the history of symmetric functions of roots of equations". American Mathematical Monthly. 37 (7): 357–365. doi:10.2307/2299273. JSTOR 2299273.
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• Jacobson, Nathan (1944), "Galois theory of purely inseparable fields of exponent one", Amer. J. Math., 66: 645–648, doi:10.2307/2371772, JSTOR 2371772
• Jacobson, Nathan (1985). Basic Algebra I (2nd ed.). W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1480-9. (4장에서는 갈루아 이론에 대한 현장-이론적 접근법을 소개한다.)
• Janelidze, G.; Borceux, Francis (2001). Galois Theories. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-80309-0. (이 책은 독자에게 그로텐디크의 갈루아 이론과 몇 가지 일반론을 소개하여 갈루아 조로이드로 이어진다.)
• Lang, Serge (1994). Algebraic Number Theory. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94225-4.
• Postnikov, M. M. (2004). Foundations of Galois Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-43518-0.
• Rotman, Joseph (1998). Galois Theory (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-98541-7.
• Völklein, Helmut (1996). Groups as Galois groups: an introduction. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56280-5.
• van der Waerden, Bartel Leendert (1931). Moderne Algebra (in German). Berlin: Springer.. 영어번역(2차 개정판): ("알제브라"라는 제목으로 스프링거가 영어로 재출판함).

외부 링크

• 위키트리올에서 갈루아 이론의 사전적 정의
• 위키미디어 커먼즈 갈루아 이론 관련 매체