거짓말의 그룹

대수구조 → 그룹 이론 집단 이론
기본 개념 부분군 정규 부분군 지수군 (세미-)직접 생산물 집단동형성 알맹이 이미지 직합 화환제품 소박한 유한한 무한의 연속의 승수의 첨가제의 순환의 아벨의 강하제의 무광의 해결할 수 있는 액션 집단 이론 용어집 그룹 이론 주제 목록
유한군 유한단순군 분류 순환의 교대로 거짓말형 산발적인 코치의 정리 라그랑주의 정리 실로우의 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스 군 슈르 승수 대칭군n S 클라인 4그룹 V 디헤드랄군n D 쿼터니온 그룹 Q 다사이클릭 그룹 Dicn
이산형 그룹 선반 정수(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 자유군 모듈 그룹 PSL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) SL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 산술군 격자 쌍곡군
위상학 및 눕기 그룹 솔레노이드 원 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 차이점형성 루프 무한 치수 리 그룹 오(∞) SU(수) Sp(()
대수군 선형대수군 환원군 아벨 품종 타원곡선
v t

수학에서, 특히 집단 이론에서, Lie type의 어군집단은 보통 유한한 분야에서 값을 갖는 환원 선형 대수집단의 이성적 지점집단과 밀접한 관련이 있는 유한집단을 가리킨다.Lie type의 어군집단은 널리 받아들여지는 정밀한 정의를 가지고 있지 않지만,^[1] Lie type의 유한한 단순집단의 중요한 집합은 정밀한 정의를 가지고 있으며, 유한단순집단의 분류에서 대부분의 집단을 구성하고 있다.null

"Lie type의 그룹"이라는 명칭은 (무한) Lie 그룹과의 긴밀한 관계에서 비롯된 것으로, 콤팩트한 Lie 그룹은 실수의 분야에 걸쳐 환원 선형 대수 그룹의 합리적 점으로 볼 수 있기 때문이다.Dieudonné(1971)와 Carter(1989)는 Lie 타입의 그룹에 대한 표준 참고서다.null

클래식 그룹

이 문제에 대한 초기 접근방식은 요르단(1870년)이 유한한 분야와 다른 분야에 걸쳐 이른바 고전파의 정의와 상세한 연구였다.이 그룹들은 L. E. Dickson과 Jean Dieudonné에 의해 연구되었다.에밀 아르틴은 우연의 일치 사례를 분류하기 위해 그러한 집단의 순서를 조사했다.null

고전적인 그룹은 대략적으로 말하면, 특별한 선형, 직교, 동시적 또는 단일적 그룹이다.파생된 부분군이나 중심 인용구를 취함으로써 이러한 부분군에는 몇 가지 작은 변형이 있으며, 후자는 투영적인 선형 그룹을 산출한다.그것들은 실제 숫자에 걸쳐 구성되는 것과 거의 같은 방식으로 유한한 필드(또는 다른 필드)에 걸쳐 구성될 수 있다.그들은 체발리와 스타인버그 그룹의 시리즈 A_n, B_n, C_n, D_n,² A_n, D에_n 해당한다.null

체벌리 집단

체벌리 집단은 유한한 분야에 걸친 리 집단으로 생각할 수 있다.이 이론은 대수집단의 이론, 그리고 체벌리 그룹 개념을 분리하여 리 알헤브라에 대한 체벌리(1955)의 저작에 의해 명확히 되었다.체발리는 모든 복잡한 간단한 리 알헤브라스(또는 그들의 보편적인 포위 알헤브라스)에 대해 체발리 기초(유한 분야에 걸쳐 있는 일종의 일체형 형태)를 구축했는데, 이 기초는 정수에 걸쳐 대응하는 대수학 그룹을 정의하는 데 사용할 수 있다.특히 그는 어떤 한정된 분야에서든 가치관을 가지고 그들의 논점을 취할 수 있었다.리알헤브라스 A_n, B_n, C, D에게_nn 이것은 잘 알려진 고전 그룹들을 주었지만, 그의 건축은 또한 예외적인 리알헤브라스₆ E, E₇₈, E₄, F, G와₂ 연관된 그룹들을 주었다.G형₂(Dickson groups라고도 불림)의 것은 이미 딕슨(1905)에 의해 건설되었고, E형₆(1901)은 딕슨에 의해 건설되었다.null

스타인버그 그룹

체발리의 건설은 알려진 모든 고전 그룹에게 주어지지 않았다: 그것은 단일 군집단과 비 분할 직교 집단을 생략했다.슈타인베르크(1959)는 이러한 집단과 두 명의 새로운 가족 D₄, E를₆ 주는 체발리의 건축의 수정을 발견했는데, 그 중 두 번째는 티츠(1958)에 의해 다른 관점에서 거의 동시에 발견되었다.이 시공은 일반 선형군으로부터 통상적인 단일군 구성을 일반화한다.null

단일 집단은 다음과 같이 발생한다: 복잡한 숫자에 걸친 일반 선형 집단은 Dynkin 도표 A를_n 거꾸로 하여 주어진 도표 자동성(전치 변위를 역행하는 것에 해당함)과 복잡한 결합을 통해 주어지는 필드 자동성을 가지고 있다.단일 집단은 이 두 자동화의 결과물의 고정점 그룹이다.null

같은 방법으로, 많은 체발리 집단은 Dynkin 도표의 자동화에 의해 유도된 도표 자동화와 유한장의 자동화에 의해 유도된 자기장 자동화를 가진다.단일체 사례와 유사하게 스타인버그는 도표와 필드 자동형성의 제품의 고정점을 취함으로써 집단 가족을 구성했다.null

이에 따라 다음과 같은 결과가 나왔다.

• A의_n 순서 2 자동형성으로부터 단일_n 그룹 A.
• D의_n 순서 2 자동모형으로부터 추가 직교군 D_n;
• 순서 2의 자동형상₆ E로부터 새로운 시리즈₆ E;
• 새로운₄ 시리즈 D₄, 순서 3의 오토모프리즘에서 나온 D.

복잡한 숫자들은 순서 3의 자동형성이 없기 때문에 D형의₄ 집단은 실제보다 아날로그적인 것이 없다.^{[clarification needed]}D₄ 다이어그램의 대칭도 3중성을 발생시킨다.null

스즈키-리 그룹

스즈키(1960)는 첫눈에 알려진 대수군과는 무관해 보이는 새로운 무한 계열의 그룹을 발견했다.리(1960년, 1961년)는 대수의₂ 그룹 B가 특성 2에서 "초대" 자동형성을 가지고 있다는 것을 알고 있었는데, 그 특징은 프로베니우스 자동형성(Probenius automorphism)이었다.그는 특성 2의 유한한 분야도 프로베니우스 지도인 자동형성을 가지고 있다면, 스타인버그의 건축의 아날로그가 스즈키 그룹에게 주었다는 것을 발견했다.그러한 자동형성을 가진 분야는 순서 2의²ⁿ⁺¹ 분야로, 대응하는 그룹은 스즈키 그룹이다.

²B₂(2²ⁿ⁺¹) = Suz(2²ⁿ⁺¹)

(엄밀히 말하면, 그룹 Suz(2)는 단순하지 않기 때문에 스즈키 그룹으로 집계되지 않는다: 순서 20의 프로베니우스 그룹이다.)리이는 비슷한 두 가족을 찾을 수 있었다.

²F₄(2²ⁿ⁺¹)

그리고

²G₂(3²ⁿ⁺¹)

F와₄ G가₂ 특성 2와 3에 여분의 자동화를 가지고 있다는 사실을 이용하여 단순 집단의. (확실히, 특성 p 1은 다이어그램에서 다이어그램 자동화를 취할 때 다중성 p의 결합에 있는 화살표를 무시할 수 있다.)F형의₄ 가장 작은 그룹 F₄(2)는 단순하지 않지만, Tits 그룹(수학자 Jacques Tits의 이름을 딴 이름)이라고 불리는 지수 2의 단순한 하위 그룹을 가지고 있다.G형₂ 중 가장 작은 그룹₂ G(3)는 단순하지 않지만 지수 3의 단순 정규 부분군인 이소모르픽을 A(8₁)에 가진다.유한단순집단의 분류에 있어서, 리족집단은

²G₂(3²ⁿ⁺¹)

분명히 밝히기 가장 어려운 구조를 가진 사람들이다.이들 집단은 최초의 근대적 산발적 집단을 발견하는 데도 역할을 했다.그들은 q = 3에ⁿ 대해 Z/2Z × PSL(2, q) 형식의 비자발적 중앙집중기를 가지고 있으며, Z/2Z × PSL(2, 5) 얀코가 산발적인 그룹 J를₁ 발견했다.

스즈키 그룹은 질서가 3으로 분리되지 않는 유일한 유한 비아벨리안 단순 집단이다.그들은 주문^2(2n+1) 2^2(2n+1)(2+1)를⁽²ⁿ⁺¹⁾ 가지고 있다.null

유한단순군과의 관계

리 유형의 유한 집단은 수학에서 순환, 대칭, 교대 그룹 이후에 고려된 첫 번째 집단 중 하나였으며, 원시 유한 분야 위에 투영 특수 선형 집단은 1830년대에 에바리스테 갈루아가 건설한 PSL(2, p)이었다.리타입의 유한집단에 대한 체계적 탐구는 투사적 특수 선형집단 PSL(2, q)이 q ≠ 2, 3에 대해 단순하다는 카밀레 조던의 정리로부터 시작되었다.이 정리는 더 높은 차원의 투영 그룹에 일반화되며 유한한 단순 그룹의 중요한 무한 패밀리 PSL(n, q)을 제공한다.다른 고전 그룹들은 20세기 초에 레오나드 딕슨에 의해 연구되었다.1950년대에 Claude Chevalley는 적절한 개혁 후에, 반이행 Lie 집단에 대한 많은 이론들이 임의의 분야 k에 대한 대수학 집단의 유사성을 인정하여, 현재 Chevalley 집단이라고 불리는 것의 건설로 이어진다는 것을 깨달았다.더구나 콤팩트한 심플한 리 그룹의 경우처럼 해당 그룹은 추상적인 그룹(Tits simple organization)으로서 거의 단순한 것으로 나타났다.다른 유한 단순 집단(예를 들어 마티외 집단)이 존재한다는 것은 19세기부터 알려져 있었지만, 점차 거의 모든 유한 단순 집단이 주기적, 교대적 집단과 함께 체발리 건설의 적절한 확장에 의해 설명될 수 있다는 믿음이 형성되었다.더욱이 산발적인 집단인 예외는 리 유형의 유한집단과 많은 성질을 공유하고 있으며, 특히 티츠라는 의미에서 그 기하학을 기반으로 하여 구성되고 특성화할 수 있다.null

그 믿음은 이제 하나의 정리, 즉 유한한 단순 집단의 분류가 되었다.유한단순군목록의 검사 결과 유한단위에 걸친 Lie형군은 순환군, 교번군, Tits군, 산발적인 26개 단순군 이외의 모든 유한단순군을 포함하고 있는 것으로 나타났다.null

Lie 유형의 소그룹

일반적으로 단순하게 연결된 단순 대수집단의 내형성과 연관된 유한집단은 단순집단의 보편적인 중심연장이므로 완벽하고 사소한 슈르 승수를 가진다.그러나 위의 가족에서 가장 작은 그룹 중 일부는 완벽하지 않거나 "예상"보다 큰 슈르 승수를 가지고 있다.null

그룹이 완벽하지 않은 경우:

• A₁(2) = SL(2, 2) 순서 6의 해결 가능(3개 점의 대칭 그룹)
• A₁(3) = SL(2, 3) 순서 24의 해결 가능(4개 지점의 교대 그룹의 이중 커버)
• ²A₂(4) 해결 가능
• B₂(2) 완벽하지는 않지만 6개 지점의 대칭 그룹에 이형성을 가지므로 파생된 하위 그룹은 지수 2를 가지며 순서가 360이다.
• ²B₂(2) = 수즈(2) 순서 20의 해결 가능(프로베니우스 그룹)
• ²F₄(2) 완벽하지는 않지만, 파생된 그룹은 지수 2를 가지고 있으며 단순한 Tits 그룹이다.
• G₂(2) 완벽하지는 않지만, 파생된 그룹은 지수 2가 있고 순서가 6048이다.
• ²G₂(3) 완벽하지는 않지만, 파생된 그룹은 지수 3을 가지고 있고 단순한 순서 504의 그룹이다.

그룹이 완벽하지만 Schur 승수가 예상보다 큰 경우:

• A₁(4) 슈르 승수는 Z/2Z가 추가로 있으므로 단순 그룹의 슈르 승수는 1이 아니라 2가 순서다.
• A₁(9) 슈르 승수는 Z/3Z가 추가로 있으므로 단순 그룹의 슈르 승수는 2가 아니라 6이 순서다.
• A₂(2) 슈르 승수는 Z/2Z를 추가로 가지므로 단순 그룹의 슈르 승수는 1이 아닌 순서 2를 가진다.
• A₂(4) 슈르 승수는 Z/4Z × Z/4Z가 추가로 있으므로 단순 그룹의 슈르 승수는 3이 아니라 48이 순서다.
• A₃(2) 슈르 승수는 Z/2Z를 추가로 가지므로 단순 그룹의 슈르 승수는 1이 아닌 순서 2를 가진다.
• B₃(2) = C₃(2) 슈르 승수는 Z/2Z가 추가로 있으므로 단순 그룹의 슈르 승수는 1이 아니라 순서 2가 된다.
• B₃(3) 슈르 승수는 Z/3Z가 추가로 있으므로 단순 그룹의 슈르 승수는 2가 아니라 6이 순서다.
• D₄(2) 슈르 승수는 Z/2Z × Z/2Z가 추가로 있으므로 단순 그룹의 슈르 승수는 1이 아니라 4가 순서다.
• F₄(2) 슈르 승수는 Z/2Z를 추가로 가지므로 단순 그룹의 슈르 승수는 1이 아닌 순서 2를 갖는다.
• G₂(3) 슈르 승수는 Z/3Z가 추가로 있으므로 단순 그룹의 슈르 승수는 1이 아닌 3이 순서다.
• G₂(4) 슈르 승수는 Z/2Z가 추가로 있으므로 단순 그룹의 슈르 승수는 1이 아니라 2가 순서다.
• ²A₃(4) 슈르 승수는 Z/2Z가 추가로 있으므로 단순 그룹의 슈르 승수는 1이 아니라 2가 순서다.
• ²A₃(9) 슈르 승수는 Z/3Z × Z/3Z를 추가로 가지므로 단순 그룹의 슈르 승수는 4가 아니라 36이 된다.
• ²A₅(4) 슈르 승수는 Z/2Z × Z/2Z가 추가로 있으므로 단순 그룹의 슈르 승수는 3이 아닌 12가 순서다.
• ²E₆(4) 슈르 승수는 여분의 Z/2Z × Z/2Z를 가지므로 단순 그룹의 슈르 승수는 3이 아닌 12가 된다.
• ²B₂(8) 슈르 승수는 여분의 Z/2Z × Z/2Z를 가지므로 단순 그룹의 슈르 승수는 1이 아니라 순서 4가 된다.

다양한 Lie type의 작은 그룹들(그리고 교대 그룹들) 사이에 "우발적인" 이형식의 수가 놀랄 만큼 많다.예를 들어 SL(2, 4), PSL(2, 5), 5개 지점의 교대 그룹은 모두 이형이다.null

이러한 예외의 전체 목록은 유한 단순 그룹 목록을 참조하십시오.이러한 특별한 특성들 중 많은 것들이 특정한 산발적인 단순 집단과 관련이 있다.null

교대 그룹은 때때로 한 요소와 함께 필드 위에 있는 Lie 타입의 그룹인 것처럼 행동한다.작은 교대 그룹들 중 일부는 또한 예외적인 특성을 가지고 있다.교대 그룹은 보통 순서가 2인 외부 자동형 집단을 가지지만, 6개 지점의 교대 집단은 순서가 4인 외부 자동형 집단을 가진다.교번 그룹은 보통 순서 2의 슈르 승수를 가지지만, 6점이나 7점에 있는 그룹은 순서 6의 슈르 승수를 가진다.

표기 문제

리 유형의 유한 집단에 대한 표준 표기법은 없으며, 문헌에는 이들을 위한 수 십 개의 양립불가능하고 혼란스러운 표기 체계가 들어 있다.null

• 단순군 PSL(n, q)은 대수군 PSL(n)의 F 값 점의_q 군 PSL(n, F_q)과 일반적으로 같지 않다.문제는 SL(n) → PSL(n)과 같은 대수집단의 추체지도가 반드시 일부(비대수적으로 폐쇄된) 분야에서 값을 갖는 해당집단의 추체지도를 유도하는 것은 아니라는 점이다.유한한 분야에서 값을 갖는 다른 대수집단의 점에도 비슷한 문제가 있다.
• A형의_n−1 그룹은 때때로 PSL(n, q) (프로젝티브 특수 선형 그룹) 또는 L(n, q)으로 표시된다.
• C형의_n 그룹은 때때로 Sp(2n, q) (공감적 그룹) 또는 Sp(n, q)에 의해 표시된다.
• D형_n("직교" 그룹)의 그룹에 대한 표기법은 특히 혼란스럽다.사용되는 일부 기호는 O(n, q), O(n⁻, q), PSO(n, q), Ω_n(q)이지만, 이러한 기호가 명시적으로 지정되지 않고는 어떤 그룹에 대응하는지 정확히 말할 수 없을 정도로 많은 규약이 있다.문제의 근원은 단순 그룹이 직교 그룹 O도 아니고 투영 특수 직교 그룹 PSO도 아니고,^[2] 따라서 고전적인 표기법을 가지고 있지 않은 PSO의 하위 그룹이라는 것이다.특히 고약한 함정은 ATLAS와 같은 일부 저자들이 직교 그룹이 아닌 해당 단순 그룹에 O(n, q)를 사용하는 것이다.표기 Ω, PΩ은 Jean Dieudonné에 의해 도입되었는데, 그의 정의는 n ≤ 4에 대해 단순하지 않기 때문에 n 5 5에 동의하지만 하위 차원은 아니다.^[2]
• 스타인버그 그룹의 경우, 일부 저자는 다른 저자들이 A_n(q)로 나타내는 그룹을 위해 A_n(q²) 등을 쓴다.문제는 순서 q와² 그 고정된 q의 두 분야가 연관되어 있고, 사람들은 표기법에 포함되어야 할 다른 생각을 가지고 있다는 것이다."²A_nn(q²)" 규약은 더 논리적이고 일관성이 있지만,² "A(q) 규약은 훨씬 일반적이며 대수집단의 규약에 가깝다.
• 저자들은 A_n(q)와 같은 그룹이 단순 대수군에서 값을 갖는 점의 집합인지 아니면 단순하게 연결된 대수군인지에 따라 다르다.예를 들어 A_n(q)는 특수 선형 그룹 SL(n+1, q) 또는 투영 특수 선형 그룹 PSL(n+1, q)을 의미할 수 있다.따라서 A(4₂)는 저자에 따라 4개의 다른 그룹 중 하나일 수 있다.

참고 항목

• Deligne-Lusztig 이론(Lie 타입의 유한집단의 표현 이론)
• 모듈러 리 대수

메모들

참조

• Carter, Roger W. (1989) [1972], Simple groups of Lie type, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50683-6, MR 0407163
• Chevalley, Claude (1955), "Sur certains groupes simples", The Tohoku Mathematical Journal, Second Series, 7 (1–2): 14–66, doi:10.2748/tmj/1178245104, ISSN 0040-8735, MR 0073602
• Dickson, Leonard Eugene (1901b), "Theory of Linear Groups in An Arbitrary Field", Transactions of the American Mathematical Society, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2 (4): 363–394, doi:10.1090/S0002-9947-1901-1500573-3, ISSN 0002-9947, JSTOR 1986251, Reprinted in volume II of his collected papers
• Dickson, Leonard Eugene (1901), "A class of groups in an arbitrary realm connected with the configuration of the 27 lines on a cubic surface", The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, 33: 145–173, Reprinted in volume 5 of his collected works
• Dickson, L. E. (1905), "A new system of simple groups", Math. Ann., 60: 137–150, doi:10.1007/BF01447497, S2CID 179178145 레오나드 E.딕슨은 G형₂ 집단을 보고했다.
• Dieudonné, Jean A. (1971) [1955], La géométrie des groupes classiques (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-05391-2, MR 0310083
• Jordan, Camille (1870), Traité des substitutions et des équations algébriques, Paris: Gauthier-Villars
• Ree, Rimhak (1960), "A family of simple groups associated with the simple Lie algebra of type (G₂)", Bulletin of the American Mathematical Society, 66 (6): 508–510, doi:10.1090/S0002-9904-1960-10523-X, ISSN 0002-9904, MR 0125155
• Ree, Rimhak (1961), "A family of simple groups associated with the simple Lie algebra of type (F₄)", Bulletin of the American Mathematical Society, 67: 115–116, doi:10.1090/S0002-9904-1961-10527-2, ISSN 0002-9904, MR 0125155
• Steinberg, Robert (1959), "Variations on a theme of Chevalley", Pacific Journal of Mathematics, 9 (3): 875–891, doi:10.2140/pjm.1959.9.875, ISSN 0030-8730, MR 0109191
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• Tits, Jacques (1958), Les "formes réelles" des groupes de type E₆, Séminaire Bourbaki; 10e année: 1957/1958. Textes des conférences; Exposés 152 à 168; 2e èd. corrigée, Exposé 162, vol. 15, Paris: Secrétariat math'ematique, MR 0106247