대칭군

대수구조 → 군론 군론
기본 개념 서브그룹 정규 부분군 몫군 (반쪽-)다이렉트 프로덕트 군 동형사상 커널 이미지 직접 합계 화환 제품 간단하죠. 유한한 인피니트 계속되는 곱셈의 첨가물 순환의 아벨리안 이면체 무효 해결 가능한 액션. 군론 용어집 그룹 이론 토픽 목록
유한군 유한단순군분류 순환의 번갈아 거짓말형 산발적인 코시의 정리 라그랑주 정리 시로우 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스군 슈어 승수 대칭군n S 클라인 4족 V 이면체군n D 사분위수 Q 쌍환기n Dic
개별 그룹 격자 ${\displaystyle \mathbb{}}$($$Z \$displaystyle \mathbb {Z$$$) 자유 그룹 모듈러 그룹 PSL(2,$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ \$style \mathbb {Z$ 표시$)$ SL(2,$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ \$displaystyle \mathbb {Z$ 산술군 격자 쌍곡선 군
토폴로지 그룹 및 Lie 그룹 솔레노이드 원형 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수 직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) 심플렉틱 Sp(n) G2 에프4 E6. E7. E8. 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 미분 동형 고리 무한 차원 리 군 O()) SU()) Sp())
대수군 선형 대수군 환원군 아벨 변종 타원 곡선
v t

추상 대수학에서, 모든 집합에 대해 정의된 대칭군은 집합에서 그 집합으로 가는 모든 분사가 요소인 군이며, 그 군 연산은 함수의 구성이다.특히 n개의$${\$displaystyle$ n$}$개의$$$$ $기호$에 대해 정의된 유한 $대칭군{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ S ${\displaystyle {}_{}}$n \$displaystyle$$\mathrm {S}$ _${n}$은$n개$의 ^[1]기호에 대해 수행할 수 있는 순열로 구성됩니다.이러한 치환 연산은${\displaystyle }$n$!\displaystyle$ n$!($n\$displaystyle$$$n$)$이므로 대칭 $그룹{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ S $n\$ \mathrm ${S}_$${n}$의$$순서($요소$ 수)는 n$!$displaystyle n$!\}$입니다.

대칭군은 무한 집합에 정의될 수 있지만, 이 기사는 유한 대칭군에 초점을 맞추고 있다: 응용 프로그램, 요소, 공역 클래스, 유한한 표현, 부분군, 자기 형태 그룹, 그리고 표현 이론.이 문서의 나머지 부분에서 "대칭군"은 유한 집합의 대칭군을 의미합니다.

대칭군은 갈로아 이론, 불변 이론, 리 군의 표현 이론, 조합론 등 수학의 다양한 분야에서 중요하다.케일리의 정리는 모든 $그룹{\displaystyle }$G({$displaystyle$G})는$$ (기초 $집합$인$)$ G({$displaystyle$ G$\})$ 위의 대칭 그룹의 부분군과 동형이라는 것이다.

정의 및 첫 번째 속성

유한 $집합{\displaystyle }$ X$({displaystyle$X})의$$ 대칭군은 X$({displaystyle$X})부터 X$({displaystyle$X})까지의$$ 모든 요소가 바이젝트 함수이며, 그룹 연산이 함수 ^[1]구성 함수인 그룹이다.유한 집합의 경우, "변환"과 "비사적 함수"는 동일한 연산, 즉 재배열을 참조합니다.$각도{\displaystyle }$n의 대칭 그룹({$displaystyle$n$$})은 ${\displaystyle \mathrm{집합}}$ X $=$ {${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$2,${\displaystyle \dots ,}$ n$$}({$displaystyle$ X=\{$1,$ 2$,\ldots,n$의 대칭 그룹입니다.

집합 X{X\displaystyle}의 대칭 군 SX{\displaystyle \mathrm{S}_{X}}, SX{\displaystyle{\mathfrak{S}}_{X}},Σ X{\displaystyle \Sigma_{X}}, X!{X\displaystyle!}, 그리고 Sym ⁡(X){\displaystyle \operatorname{Sym}(X)}.[1]는 등 여러가지 표시됩니다. 한다면${\displaystyle }$${\displaystyle X_{}}$$(\displaystyle$ X$)$는 ${\displaystyle \mathrm{세트}}$ $\{{\displaystyle 1,}$2,${\displaystyle \dots ,}$ n$}({displaystyle$$$\$1,$2$,$ $\ldots, n\})$입니다.이름은 S $(\$ \$mathrm {S$$}_$${n$ $S{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$$$$(\$$displaystyle \mathfrak {S$}) 또는$$S$(\$displaystyle \$displaystyle \{$n})로 단축할 수 있습니다.$$를 클릭합니다.^[1]

무한 집합의 대칭 그룹은 유한 집합의 대칭 그룹과 상당히 다르게 동작하며, (Scott 1987, Ch. 11), (Dixon & Mortimer 1996, Ch. 8) 및 (Cameron 1999)에서 논의된다.

$n개$의$$\$displaystyle$n 요소$$ 집합의 대칭 그룹에는 n$!\displaystyle$ n$!($^[2]$n\displaystyle$n의 계승)의 순서가 있습니다.이 값은$$n\$displaystyle$ n이$$2보다$$ $작거나{\displaystyle }$ 같은 경우에만 ^[3]아벨리안입니다.n ${\displaystyle =}$ {\$displaystyle$n=${\displaystyle 0}$$}$ $및$ n ${\displaystyle =}$ 1$${$displaystyle$ n$=1}($빈 집합 및 싱글톤 집합)의 경우 대칭 그룹은 일반적입니다($순서{\displaystyle \mathrm{}}$0 ! $=$ 1 $=$1 {$displaystyle$ 0!=$1$!=1}).$$그리고 Abel–Ruffini 정리는 n을에 대한 것을 보여 주는 증거의 경우에만 n4{\displaystyle n\leq 4}≤. 이것은 필수적인 부분이다. 4{\displaystyle n>, 4}이 있다면 정도 n{n\displaystyle}의 급진 주의자들에 풀 수 있는 것은 아니다 다항식, 그것은 해결책 표현할 수 없다는 이 단체 Sn해결될 수 있다.pe에 의해다항식 계수에 대한 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 및 루트 추출의 유한한 수의 연산을 변형합니다.

적용들

크기 n의 집합 위의 대칭군은 n도의 일반 다항식의 갈로아 군이며 갈로아 이론에서 중요한 역할을 한다.불변성 이론에서 대칭군은 다변수 함수의 변수에 작용하며, 불변성으로 남은 함수는 소위 대칭 함수이다.리 군의 표현 이론에서 대칭군의 표현 이론은 슈어 펑터의 사상을 통해 기본적인 역할을 한다.

콕서터 그룹 이론에서 대칭 그룹은 A형_n 콕서터 그룹이며 일반 선형 그룹의 와일 그룹으로 발생한다.조합론에서 대칭군, 그 요소(변환) 및 그 표현은 영 테이블로, 플라스틱 모노이드 및 브루하 차수와 관련된 풍부한 문제의 근원을 제공합니다.대칭 그룹의 하위 그룹은 치환 그룹이라고 불리며, 그룹 동작, 동질 공간, 그리고 히그만-심스 그룹과 히그만-심스 그래프와 같은 그래프의 자기 형태 그룹을 이해하는 데 중요하기 때문에 널리 연구된다.

그룹 속성 및 특수 요소

집합 X의 대칭 그룹의 원소는 X의 순열입니다.

곱셈

대칭군에서의 군 연산은 함수 구성이며, 기호 θ 또는 단순히 순열의 구성만으로 표시됩니다."f of g"로 발음되는 순열 f µ g의 구성 f µ g는 X의 요소 x를 f(g(x)에 매핑한다.구체적으로 다음과 같이 하자(표기에 대한 설명은 순열 참조).

${\displaystyle f=(1\3)(4\5)=pmatrix}1&2&3&5\3&1&4\end{pmatrix}}$

$({displaystyle g=(1\2\5)(3\4)=pmatrix}1&2&3&5&1&end{pmatrix}).}$

f after g를 적용하면 1에서2로, 2에서5로, 2에서4로, 3에서4로, 5로, 그 다음에 다시 매핑됩니다.그래서 f와 g를 합성하면

$({displaystyle fg=f\displaystyle g=(1\2\4)(3\5)=syslog {pmatrix}1&2&3&5&1&3\end{pmatrix})}$

길이가 L = k · m인 사이클은 k번째 거듭제곱을 취하면 길이 m의 k 사이클로 분해됩니다. 예를 들어 (k = 2, m = 3)

${{displaystyle(1~2~3~4~5~6)^2}=(1~3~5)(2~4~6)}$

그룹 공리의 검증

집합 X 위의 대칭 그룹이 실제로 그룹인지 확인하려면 닫힘, 연관성, 동일성 및 ^[4]역의 그룹 공리를 검증해야 합니다.

1. 주어진 집합 X의 순열 집합에서 함수 구성 작업이 닫힙니다.
2. 함수 구성은 항상 연관성이 있습니다.
3. X의 각 요소를 할당하는 사소한 분사는 그룹의 아이덴티티로 기능합니다.
4. 모든 분사는 그 작용을 되돌리는 역함수를 가지고 있기 때문에 대칭군의 각 요소에는 역함수인 역함수도 있습니다.

전환, 부호 및 교대 그룹

전치는 두 요소를 교환하고 다른 모든 요소를 고정하는 치환입니다. 예를 들어 (1)은 전치입니다.모든 치환은 전이의 산물로 쓸 수 있다. 예를 들어 위에서 치환 g는 g = (1 2) (2 5) (3 4)로 쓸 수 있다.g는 홀수 전이의 곱으로 쓸 수 있기 때문에 홀수 순열이라고 불리는 반면 f는 짝수 순열이다.

전이의 산물로서의 치환의 표현은 고유하지 않지만, 주어진 치환을 표현하기 위해 필요한 치환의 수는 항상 짝수이거나 항상 홀수입니다.치환의 이 패리티의 불변성에 대한 몇 가지 짧은 증거가 있다.

두 짝수 순열의 곱은 짝수이고, 두 짝수 순열의 곱은 짝수이고, 다른 모든 곱은 홀수입니다.따라서 치환 부호를 정의할 수 있습니다.

${\displaystyle \operatorname {sgn} f=cases {case} + 1, & {\text {if}} fcasmbox { is even}, & {\text {if}} fcasmbox { id }}.\end {case}}$

이 정의에 따르면

$\displaystyle \operatorname {sgn} \colon \mathrm {S} _{n} \rightarrow \ {+1,-1\} \ }$

는 군 동형사상입니다(+1, –1}은 곱셈 중인 군이며 +1은 e, 중성 원소입니다).이 동형사상의 커널, 즉 모든 짝수 순열의 집합을 교대군 A라고_n 한다.이것은 S의 정규_n 부분군이며, n 2 2의 경우 n!/2개의 원소를 가진다.그룹_n S는 A와 단일 전이를 통해 생성된 모든 부분군의_n 반직접 곱입니다.

또한 모든 치환은 인접한 전이, 즉 형상의 전이(a+1)의 산물로서 쓸 수 있다.예를 들어 위로부터의 치환 g는 g = (4 5) (3 4) (4) (4) (4) (1 2) (2 3) (3 4) (4) (4) (4) 로도 쓸 수 있다.정렬 알고리즘 버블 정렬은 이 사실을 적용한 것입니다.인접 전이의 산물로서의 치환의 표현도 고유하지 않다.

사이클

길이 k의 사이클은 x, f(x), f²(x), ..., f^k(x) = x만이 f에 의해 이동되는 {1, ..., n}에 요소 x가 존재하는 치환 f이다. k = 1일 경우 요소 x 자체도 이동되지 않으므로 k ≤ 2가 필요하다.정의되는 치환h

$({displaystyle h=pmatrix}1&2&3&5\displaystyle{pmatrix})$

는 길이 3의 사이클로, h(1) = 4, h(4) = 3 및 h(3) = 1이므로 2와 5는 변경되지 않습니다.이러한 사이클을 (1.43)로 나타내지만, 다른 지점에서 시작하는 것으로 (4.3 1) 또는 (3.14)로 동일하게 쓸 수 있습니다.사이클의 순서는 그 길이와 같습니다.길이가 2인 사이클은 트랜스포지션입니다.두 사이클이 요소의 분리된 하위 집합을 가지고 있는 경우 두 사이클은 분리됩니다.분리 사이클은 통근합니다. 예를 들어, S에는₆ (4 1 3)(2 5 6) = (2 5 6)(4 1 3)이 있습니다.S의 모든_n 원소는 분리 주기의 곱으로 쓸 수 있다. 이 표현은 요인의 순서에 따라 고유하며 시작점을 선택함으로써 각 개별 주기를 표현할 때 존재하는 자유도이다.

사이클은 다음과 같은 결합 속성을 임의의 치환 ${\$ {\$displaystyle \sigma$으로 받아들입니다.이 속성은 종종 생성자와 관계를 얻기 위해 사용됩니다.

$(\displaystyle\dots\pmatrix\displaystyle\dots\end{pmatrix}\displaystyle\dots{pmatrix}\displaystyle\dots{pmatrix})$

특수 요소

대칭 그룹의 특정 요소 {1, 2, ..., n}은(이는 유한한 전체 순서 집합의 대칭 그룹으로 일반화할 수 있지만 순서가 없는 집합의 대칭 그룹으로는 일반화할 수 없습니다).

순서의 역방향 순열은 다음 항목에 의해 지정됩니다.

$({displaystyle {pmatrix} 1&\cdots &\n-1&\cdots &\end {pmatrix})}$

이것은 브루하 차수에 관한 유일한 최대 요소이며 인접한 전이(i+1)와 1 µi µn - 1로 구성된 집합 생성에 관한 대칭 그룹에서 가장 긴 요소이다.

이것은 혁신으로$,{\displaystyle }$ 「$」({displaystyle\lfloor n$/2$\rfloor})($비인접) 트랜지션으로 구성됩니다.

${\displaystyle (1,n) (2,n-1)\cdots, {\text{ 또는 }}\sum _{k=1}^{n-1}k=subfrac {n(n-1)}{2}}{\text{인접전송:}}}}$

${\displaystyle (n,n-1,n-2)\cdots (2,1)(n-1,n-2)(n-2,n-3)\cdots,}$

그래서 다음과 같은 징후가 있습니다.

${\displaystyle \mathrm {sgn}(\rho _{n})=pair1}^{\lfloor n/2\pair1}=pair{n(n-1)/2}=pair{case}+1&n\equiv 0,1pmod {4}}\pmod {4}{case}}}}}{case }$

즉, n의 4진수입니다.

S에서_2n 퍼펙트 셔플은 세트를 두 줄로 나누어 인터리브하는 순열입니다.기호도${\displaystyle (-1{}^n}$n / ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$。{ $displaystyle$(-$1)^{\lfloor n$/2$\rfloor }$ 입니다.

n개의 원소에 대한 역수와 2n개의 원소에 대한 완전 셔플은 같은 부호를 가지며, 이들은 8주기적인 클리포드 대수의 분류에 중요하다.

켤레 클래스

S의_n 켤레 클래스는 순열의 사이클 구조에 대응합니다. 즉, S의 두_n 원소가 동일한 길이의 불연속 사이클의 동일한 수로 구성된 경우에만 S에서_n 켤레입니다.예를 들어 S에서₅ (1 2 3)(45)와 (1 4 3)(25)는 켤레이고, (1 2 3)(45)와 (1 2)(45)는 켤레이다.S의_n 켤레 요소는 두 켤레 순열의 "주기 표기"를 서로 겹쳐 배치함으로써 "2행 표기"로 구성할 수 있다.이전 예제를 계속합니다.

${displaystyle k=pmatrix}1&2&3&5\1&4&3&5\end{pmatrix}}$

이는 사이클의 곱으로 쓸 수 있다. 즉, (2) 4이다.

이 순열은 결합을 통해 (1 2 3)(4 5) 및 (1 4 3)(2 5)와 관련된다. 즉,

${\displaystyle (2~4)\display (1~2~3)(4~5)\display (2~4)=(1~4~3)(2~5).}$

그러한 치열이 유일하지 않다는 것은 분명하다.

${\displaystyle {Sn}_{}}${$displaystyle S_{n$$\}$의 공역 클래스는 $파티션{\displaystyle }$ μ ${\displaystyle =}$ ($μ$, ${\displaystyle {\mu \mathrm{}}_{}}$2,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$k$$)(\$displaystyle$\mu = (\$mu _{1$},\$mu _{2},\$${\displaystyle \underset{}{\overset{}{display}}}$,\$mu _{$k$$})의 $정수{\displaystyle }$ 파티션$$n(\$displaystyle$ i$=$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ $μsum$)에 대응합니다$$.${\displaystyle {}_{}}$$2$${\displaystyle {}_{}}$µ${\displaystyle {\mu }_{}}$ k \$display$\ $mu _${1} \ $geq$\ $mu$_ {$2}$ \ $geq$\ $cdots$\$geq$\$mu$_ {$$$k$} 에는 길이 ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{\mu \mathrm{}}_{}}$2,${\displaystyle \dots ,}$ $k$\ $display$ $style$\ $mu$ {$1$ \ $mu$$$}, \ $dots$ \ mu $}$ 의$$ ${\displaystyle {사이클}_{}}$이 관련지어집니다.$다음$으로 $(\$는 $(\$$n$$\})$의 켤레 클래스입니다.그 요소의 순서는 $cycle-type{\displaystyle }$μ${\displaystyle {}_{}}$$displaystyle C_$${\mu})$라고 합니다.$Cμ$$(\$$muyle})$의 최소배수입니다$.$$,\mu$ _${2},\mu$ _{$k},\mu$ _{k$\}.$

저차수 그룹

저도 대칭 그룹은 단순하고 예외적인 구조를 가지고 있으며 종종 개별적으로 처리해야 합니다.

S와₀₁ S

빈 집합과 싱글톤 집합의 대칭 그룹은 0! = 1! = 1에 해당합니다. 이 경우 교대 그룹은 지수 2 부분군이 아니라 대칭 그룹과 동의하며 기호 맵은 사소한 것입니다.S의₀ 경우 빈 함수가 유일한 멤버입니다.

S₂.

이 그룹은 정확히 두 가지 요소, 즉 ID와 두 점을 교환하는 순열로 구성됩니다.이것은 순환군이며 따라서 아벨 군이다.갈루아 이론에서, 이것은 2차 공식이 단 하나의 루트만을 추출한 후 일반 2차 다항식에 대한 직접 해를 제공한다는 사실에 해당된다.불변성 이론에서, 두 점에 대한 대칭 그룹의 표현 이론은 매우 단순하며 대칭 부분과 반대칭 부분의 합으로 두 변수의 함수를 쓰는 것으로 보인다.f(x, y) = f(x, y) + f(y, x) 및 f_a(x, y) = f(y, x)를 설정하면_s 2µf = f_s + f가_a 됩니다.이 프로세스를 대칭화라고 합니다.

S₃.

S는₃ 첫 번째 비벨 대칭군이다.이 그룹은 정삼각형의 반사와 회전 대칭의 그룹인 순서 6의 이면체 군과 동형이다. 왜냐하면 이 대칭들이 삼각형의 세 꼭지점을 가능하게 하기 때문이다.길이가 2인 주기는 반사에 해당하고 길이가 3인 주기는 회전입니다.갈로아 이론에서, S에서₃ S까지의₂ 부호 맵은 Gerolamo Cardano에 의해 발견된 입방체 다항식의 2차 분해에 대응하는 반면, A 커널은₃ 라그랑주 ^{[citation needed]}분해능의 형태로 해에서 차수 3의 이산 푸리에 변환의 사용에 대응한다.

S₄.

그룹₄ S는 ^[5]정육면체의 대각선 및 반대 모서리(9, 8 및 6 순열)에 대한 적절한 회전 그룹과 동형이다.군₄ A를 넘어 S는 적절한₄ 정규 부분군으로서 클라인 4족 V, 즉 몫 S를₃ 갖는 짝수 전이 위치 {(1), (1) (2)(3)(2)(2)(2)를 가진다.갈루아 이론에서, 이 지도는 로도비코 페라리에 의해 확립된 4차 다항식에 대응합니다.클라인 그룹은 사분위의 라그랑주 분해능으로 이해할 수 있습니다.또한 S에서₄ S로의₃ 지도는 2차원 불가축 표현을 생성하는데, 이는 n - 1 이하의 차원 n도의 대칭 그룹을 축소할 수 없는 표현으로, n = 4에 대해서만 발생한다.

S₅.

S는₅ 첫 번째 불가해 대칭군이다.S는₅ 특수선형군 SL(2, 5), 정십면체군₅ A×S와₂ 함께 동형사상까지의 3개의 불가해성 차수 120 중 하나이다.S는₅ 일반 5차 방정식의 갈루아 군이며, S가₅ 분해 가능한 군이 아니라는 것은 라디칼에 의해 5차 다항식을 푸는 일반 공식이 존재하지 않는다는 것을 의미한다.전이 부분군으로 외래 포함 지도₅ S → S가 있다₆. 명백한 포함 지도_n S → S는_n+1 점을 고정하므로 전이하지 않는다.이것은 아래에서 논의된 S의 외부₆ 자기동형을 나타내며, 5진수의 분해능 6진수에 대응한다.

S₆.

다른 대칭군과는₆ 달리 S는 외부 자기동형성을 가지고 있다.갈루아 이론의 언어를 사용하면, 이것은 라그랑주 분해능의 관점에서도 이해될 수 있다.는 5차 방정식의 resolvent 정도의 S5의 전이적 서브 그룹(명백한 포함 사상 Sn→ Sn+1 전이 아닌 관점을 차려 주시니)로 S6→ 이국적인 포함 지도에 6—this는, 이 지도 S6—see Automorphisms고 알토의 대칭의 일반적인 5차 방정식 풀 수 있는,를 산출한다 이국적인 외부 자기 동형:내부 자기 동형을 만들지 않는다는 것이다.ernati자세한 내용은 ng그룹을 참조해 주세요.

A와₇ A는 예외적인 Schur 승수(트리플 커버)를 가지며₆, 이러한 승수는₇ S와₆ S의 트리플 커버까지 확장되지만 대칭군의 예외적인 Schur 승수에 해당하지 않는다.

대칭 그룹 간 매핑

단순 맵 S_n → C₁ s₀ S s₁ S 및 부호 맵 S_n → S를₂ 제외하고, 대칭 그룹 간의 가장 주목할 만한 상대 치수 순서는 다음과 같다.

• S₄ → 예외₃ 정규 부분군 V < A₄ < S₄;
• S₆ → S₆(또는 내부 자기동형까지 매핑의 클래스)는 S의₆ 외부 자기동형에 해당한다.
• 위에서₅ 설명한 바와₆ 같이 S의 외부₆ 자기동형을 산출하는 전이 부분군으로서 S → S.

m < n인 다른 동형사상_m S → S의_n 호스트도 있다.

교대군과의 관계

n ≤ 5의 경우 교대 그룹_n A는 단순하며 유도된 몫은 부호 맵이다.A_n → S_n → S₂. 두 요소의 전이를 취함으로써 분할된다.따라서_n S는 반직접 곱_n A s₂ S이며, 다른 적절한 정규 부분군은 없다. 왜냐하면 이들은 항등성(즉, 항등성 또는 2-원소군) 또는 A(즉, A 또는_nn S)에서_n 교차하기_n 때문이다.

S는_n 그 서브그룹_n A에 공역함으로써 작용하고, n 6 6은 A_n: Aut(A_n) s S의_n 완전_n 자기동형기이며, 짝수 원소에 의한 공역은 A의 내부_n 자기동형이며, 짝수 원소에 의한_n A의 외부 자기동형은 홀수 원소에 의한 공역에 대응한다.n = 6의 경우 A의 예외적인_n 외부 자기동형이 존재하므로_n S는 A의 완전_n 자기동형군이 아니다.

반대로 n 6 6의 경우_n S는 외부 자기동형이 없고 n it 2의 경우 중심이 없으므로 n 2 2, 6의 경우 아래와 같이 자기동형군에서 설명하듯이 완전군이다.

n 5 5의 경우, S는_n 단순한_n 그룹 A와 그 자기동형 그룹 사이에 있기 때문에 거의 단순한 그룹이다.

S는_n 모든 홀수 배열에 전치(n + 1, n + 2)를 더해 A에_n+2 삽입할 수 있지만, A에_n+1 삽입하는 것은 n > 1에 대해서는 불가능하다.

생성자와 관계

n글자의 대칭군은 i와 i + ^[6]1을 교환하는 인접 트랜스포지션 ${\displaystyle i_{}}$ i $=$ (${\displaystyle i}$ ,${\displaystyle i}$ +${\displaystyle 1}$)({$style \display$_{i}=($i, i+1)}$에 의해 생성됩니다.${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\dots ,n_{}}$- $(\$ _${1},\ldots,\sigma$ _${n-1})$은 다음 ^[7]관계에 따라S를 생성합니다_n.

• ${\displaystyle _{i}^{2}=1,}$
• ${\displaystyle {}_{}}$ -${\displaystyle j_{}}$$>$ $1$ { display$$$style$ i > 1 { display $style$ i > $1$ {$$display style i - $j >$$1$ { $display style i }$、
• ${\displaystyle(\displaystyle_{i}\display_{i+1})^{3}=1,}$

여기서 1은 아이덴티티 순열을 나타냅니다.이 표현은 대칭 그룹이 콕서터 그룹(그리고 반사 그룹)의 구조를 가질 수 있도록 한다.

다른 가능한 생성 세트에는 2 µi ^{[citation needed]}µn에 대해 1과 i를 교환하는 트랜지션 세트 및 n 사이클 ^[8]내의 임의의 n 사이클과 인접 요소의 2 사이클을 포함하는 세트가 있습니다.

부분군 구조

대칭 그룹의 부분군을 치환 그룹이라고 합니다.

정규 부분군

유한 대칭 그룹의 정규 부분군은 잘 이해됩니다.n 2 2일 경우 S는_n 최대 2개의 요소를 가지므로 중요하지 않은 하위 그룹이 없습니다.n차수의 교대 그룹은 항상 정규 부분군이며, n 2 2의 경우 적절한 부분군이고 n 3 3의 경우, n 3 3의 경우 클라인 4 그룹과 동형인 n = 4인 경우를 제외하고 사실상 S의 유일한_n 중요한 정규 정규 부분군이다.

Vitali(1915)가^[9] 각 순열이 세 개의 정사각형의 곱으로 작성될 수 있다는 것을 증명했기 때문에 무한 집합의 대칭 그룹은 지수 2의 부분군을 가지지 않는다.그러나 변환에 의해 생성되는 많은 원소를 완전히 고정하는 순열의 정규 부분군 S가 포함되어 있습니다.짝수 전이의 산물인 S의 원소들은 S의 지수 2의 부분군인 교대 부분군 A를 형성한다.A는 S의 특성 부분군이기 때문에 무한 집합의 전체 대칭 그룹의 정규 부분군이기도 합니다.그룹 A와 S는 셀 수 있을 정도로 무한 집합에서 대칭 그룹의 유일한 중요하지 않은 정규 부분군입니다.이것은 오노프리(1929년^[10])와 슈라이어-울람(1934년)에^[11] 의해 처음으로 증명되었다.자세한 내용은 (Scott 1987, Ch. 11.3) 또는 (Dixon & Mortimer 1996, Ch. 8.1)을 참조하십시오.

최대 부분군

이 섹션은 확장해야 합니다.추가함으로써 도움이 될 수 있습니다. (2009년 9월)

S의 최대_n 부분군은 세 가지 종류로 나뉩니다: 자동적, 충동적, 원시적.자동 최대 부분군은 정확히 1µ k < n/2에 대한 S × S_n–k 형식의_k 부분군이다.임피티브 최대 부분군은 정확히 S wr_n/k S 형식의_k 부분군이다. 여기서 2 µ k † n/2는 n의 적절한 제수이고 "wr"은 화환 제품을 나타낸다.원시 최대 부분군은 식별하기 더 어렵지만, O'Nan-Scott 정리 및 유한 단순 그룹의 분류를 통해 (Liebeck, Praeger & Saxl 1988) (Dixon & Mortimer 1996, 페이지 268)에 따르면, 이 유형의 최대 부분군에 대한 꽤 만족스러운 설명을 제공했다.

시로우 부분군

대칭 그룹의 Sylow 부분군은 p-그룹의 중요한 예입니다.특수한 경우 먼저 설명하기가 더 쉽습니다.

도 p의 대칭 그룹의 Sylow p-부분군은 p-사이클에 의해 생성된 순환 부분군일 뿐입니다.이러한 부분군은 단순히 생성자를 세는 것만으로 (p - 1)!/(p - 1) = (p - 2)!가 있습니다.따라서 정규화기는 차수 pµ(p - 1)를 가지며 프로베니우스기_p(p−1) F(특히 p = 5의 경우)로 알려져 있으며, 아핀 일반 선형기 AGL(1, p)이다.

도² p의 대칭 그룹의 Sylow p-subgroups는 p 순서의 두 개의 순환 그룹의 화환 산물이다.예를 들어 p = 3일 때, Sylow 3-sylo는 a = (1 4 7) (2 5 8) (3 69) 및 원소 x = (1 2 3), y = (4 5 6), z = (7 89)에 의해 생성되며, Sylow 3-sylo의 모든 원소는 k${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle i}$에 $대해{\displaystyle \mathrm{}}$ Axyz^ijkl 0을 형성한다.

p도의ⁿ 대칭 그룹의 Sylow p-subgroups는 W(n)로_p 표기되기도 하며, 이 표기법을 사용하면 W(n + 1)가 W_p(n)와_p W(1)의 화환 산물임을_p 알 수 있다.

일반적으로, n도의 대칭 그룹의 Sylow p-di는 W(i)의_p 복사본의 직접적_i 산물이다. 여기서 0 ≤ a_i p a - 1 및 n = a₀ + p⋅a₁ + ... + p4ga^k_k(n의 베이스 p 확장).

예를 들어 W(1) = C₂ 및 W₂(2) = D는₂₈ 8차 이면체군이며, 따라서 도수 7의 대칭군의 Sylow 2-loof는 {(1,3)(2,4), (1,2), (3,6) }에 의해 생성되며, D₂×C와₈ 동형이다.

이러한 계산은 (Kaloujnine 1948)에 기인하며 (Rotman 1995, 페이지 176)에 더 자세히 설명되어 있다.그러나 (Kerber 1971, 페이지 26)는 결과를 1844년의 코시 저작에 기인하며, (Netto 1882, §39-40)에서 교과서 형태로도 다루고 있다고 언급하고 있다.

전이 부분군

S의 전이_n 부분군은 {1, 2, …, n}에 대한 작용이 전이 부분군이다.예를 들어, (확정한) 갈로아 확장의 갈로아 그룹은 일부 n에 대해 S의 전이_n 부분군이다.

케일리의 정리

케일리의 정리는 모든 그룹 G가 대칭 그룹의 부분군과 동형이라는 것을 말한다.특히, 모든 그룹은 (좌 또는 우) 곱셈에 의해 충실하게 작용하기 때문에, G의 원소에 대한 대칭 그룹의 부분군을 취할 수 있다.

자기동형군

n	자동(Sn)	출력(Sn)	Z(Sn)
n 2 2, 6	Sn.	C1.	C1.
n = 2	C1.	C1.	S2.
n = 6	S6 c2 C	C2.	C1.

n 2 2, 6의 경우, S는_n 완전한 군이며, 그 중심과 외부 자기동형군은 둘 다 사소하다.

n = 2일 때, 자기동형군은 사소하지만₂, S는 사소하지 않다: 이것은 아벨인 C와₂ 동형이며, 따라서 중심은 전체 군이다.

n = 6의 경우, 2차 Out(S₆) = C의₂ 외부 자기동형성을 가지며, 자기동형군은 반직접 곱 Aut(S₆) = S₆ ≤ C이다₂.

실제로 (Dixon & Mortimer 1996, 페이지 259)에 따르면, 6 이외의 카디널리티 집합 X에 대해 X 위의 대칭군의 모든 자기동형은 내부이며, 그 결과는 우선 (Schreier & Ulam 1936)에 기인한다.

호몰로지

S의_n 군 호몰로지는 매우 규칙적이고 안정화된다: 첫 번째 호몰로지(구체적으로 아벨화)는 다음과 같다.

${\displaystyle H_{1}(\mathrm {S} _{n},\mathbf {Z})=syslog {case} 0&n<2\\mathbf {Z}/2&n\geq 2.\end {case}}$

첫 번째 호몰로지 그룹은 아벨리네이제이션이며, 부호 맵 S_n → S에₂ 대응하며, 이는 n δ 2에 대한 아벨리네이제이션이다. n < 2에 대한 대칭 그룹은 사소하다.이 호몰로지는 다음과 같이 쉽게 계산된다: S는_n 인볼루션에 의해 생성되므로, 유일한 비인볼루지 맵 S_n → C는_p S에 대한₂ 것이고 모든 인볼루션은 공역이기 때문에 아벨리제이션에서 동일한 원소에 매핑된다.따라서 가능한 유일한_n 맵₂ S → S } {±1}은 1(일반 맵) 또는 -1(부호 맵)로 인볼루션을 보냅니다.또한 부호맵이 잘 정의되어 있음을 보여줘야 하지만, 이를 가정하면 S의 첫_n 번째 호몰로지를 얻을 수 있습니다.

두 번째 호몰로지(구체적으로 Schur 승수)는 다음과 같습니다.

${\displaystyle H_{2}(\mathrm {S} _{n},\mathbf {Z})=syslog {case}0&n<4\\\mathbf {Z}/2&n\geq 4.\end {case}}$

이는 (Schur 1911)에서 계산되었으며 대칭 그룹의 이중 커버인 2 · S에_n 해당한다.

교대군(${\displaystyle {H1\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {H1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}{\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$, $style$ H_${1}$ ({3} $)\cong H_{1$} ({$A} _{4})\cong \mathrm {C}$에 대응하는$$ 예외적인 저차원 호몰로지입니다.$\$$displaystyle$ $H_{2}(\mathrm {A} _{6})\cong H_{$2}(\$mathrm {A}$ _{$7})\cong \mathrm {C} _{$6$$})은 예외적인 3중 커버로 인해 대칭 그룹의 호몰로지는 변경되지 않으며, 교대 그룹 현상은 $대칭{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 그룹 현상을 낳는다$.$ - ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}{}_{}}$★C}_{3}}S4↠ S3,{\displaystyle \mathrm{S}_{4}\twoheadrightarrow \mathrm{S}_{3},에}와 A6등과 A7의 트리플 커버 S6과 S7–의 표지가 3배로 확장되지만 지도 – S4↠ S3{\displaystyle \mathrm{S}_{4}\twoheadrightarrow \mathrm{S}_{3}homological지 않습니다}을 바꾸지 않는다 돌출하고 있다.그S의₄ 아벨화, 그리고 삼중 덮개는 호몰로지에도 대응하지 않는다.

호몰로지는 안정적인 호모토피 이론의 의미에서 "적합화"된다: 포함 지도_n S → S가_n+1 있고, 고정 k의 경우, 호몰로지_k H(S_n) → H_k(S_n+1)에 대한 유도 지도는 충분히 높은 n에 대한 동형이다.이것은 가족 리 그룹의 호몰로지가 안정되는 것과 유사하다.

무한대칭군의 호몰로지는 (나카오카 1961)에서 계산되며 코호몰로지 대수는 홉프 대수를 형성한다.

표현 이론

대칭군의 표현 이론은 유한군의 표현 이론의 특정한 경우로 구체적이고 상세한 이론을 얻을 수 있다.이것은 대칭 함수 이론에서 다수의 동일한 입자에 대한 양자 역학의 문제까지 많은 잠재적 적용 영역을 가지고 있습니다.

대칭군_n S의 차수는 n!입니다.그것의 켤레 클래스는 n개의 분할로 라벨이 붙여진다.따라서, 유한군의 표현 이론에 따르면, 복소수에 대한 부등가 불가축 표현의 수는 n의 분할 수와 같다.유한 그룹의 일반적인 상황과는 달리, 실제로 공역 클래스를 매개 변수화하는 동일한 집합, 즉 n개의 분할 또는 n개의 동등한 크기의 영 도표에 의해 감소 불가능한 표현을 매개 변수화하는 자연스러운 방법이 있다.

이러한 환원 불가능한 표현은 정수(정수계수를 가진 행렬에 의해 작용하는 모든 치환)에 걸쳐 실현될 수 있다.그것은 영 도표에 의해 주어진 형상의 영 테이블오에 의해 생성되는 공간에 작용하는 영 대칭기를 계산함으로써 명시적으로 구성될 수 있다.

다른 분야보다 상황이 훨씬 더 복잡해질 수 있습니다.만약 필드 K가 0이거나 n보다 큰 특성을 갖는다면, 마슈케의 정리에 의해, 군 대수_n KS는 반단순이다.이 경우 정수 위에 정의된 환원 불가능한 표현은 완전한 환원 불가능한 표현 세트를 제공합니다(필요한 경우 환원 모듈로 특성).

그러나 대칭군의 환원 불가능한 표현은 임의의 특성으로 알려져 있지 않다.이 문맥에서는 표현보다는 모듈 언어를 사용하는 것이 일반적입니다.특성을 환원함으로써 정수에 대해 정의된 환원 불가능한 표현으로부터 얻어지는 표현은 일반적으로 환원 불가능한 것이 아니다.이렇게 구성된 모듈을 Specht 모듈이라고 하며, 모든 축소 불가능한 모듈은 이러한 모듈 내에서 발생합니다.지금은 환원 불가능한 것이 적으며, 분류할 수 있지만 매우 잘 이해되지 않는다.예를 들어, 그 치수조차 일반적으로 알려져 있지 않습니다.

임의의 필드에 걸쳐 대칭 그룹에 대한 환원 불가능한 모듈의 결정은 표현 이론에서 가장 중요한 미해결 문제 중 하나로 널리 간주됩니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 땋은머리
• 군론의 역사
• 부호 있는 대칭 그룹과 일반화 대칭 그룹
• 양자역학에서의 대칭 exchange 교환대칭 또는 치환대칭
• 대칭 역반군
• 대칭력

메모들

레퍼런스

외부 링크

• "Symmetric group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Symmetric group". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Symmetric group graph". MathWorld.
• Marcus du Sautoy: 대칭, 현실의 수수께끼 (대화 영상)
• OEIS 대칭 그룹을 다루는 엔트리