베주 항등식

수학에서, 베주트의 항등식(베주트의 보조항식이라고도 함)은 에티엔 베주트의 이름을 따서 다음과 같은 정리이다.

Bézout의 항등식 - $a$ 와 b를 최대 $공약수$ d를 갖는 정수라고 $합니다$ .그러면 ax + $by$ = $d$ 인 $정수$ $x$ 와 y가 존재합니다.또한, az + $bt$ $형식$ 의 정수는 정확히 $d$ 의 배수이다.

여기서 $0$ 과 $0$ 의 최대공약수는 $0$ 으로 간주됩니다. $정수$ $x$ 와 y는 ( $a,$ $b)$ 에 대한 베주 계수라고 하며, 이들은 고유하지 않습니다.Bézout 계수의 쌍은 확장 유클리드 알고리즘으로 계산할 수 있으며, 이 쌍은 x $|x|\leq |b/d|$ b $|x|\leq |b/d|$ / $|x|\leq |b/d|$ 및 $|x|\leq |b/d|$ y $|y|\leq |a/d|;$ a / $|y|\leq |a/d|;$ d ; \ $display$ $style$ $|x|\leq |b/d|$ y \ $leq$ $|y|\leq |a/d|;$ a / $|y|\leq |a/d|;$ $;\$ $display$ style y \ $leq$ a / d $;\$ d ; $|x|\leq |b/d|$ $|y|\leq |a/d|;$ $|y|\leq |a/d|;$ 두 쌍 중 하나의 정수의 경우 $a$ 와 $b$ 가 복수인 경우에만 발생합니다.f. 다른 쪽.

예를 들어, 15와 69의 최대 공약수는 3이고, 3은 15와 69의 조합으로 3 = $15$ × (- $9) + 69$ × $2로$ 쓸 수 있으며, Bézout 계수 -9와 2를 사용할 수 있다.

유클리드의 보조정리나 중국 잔여정리와 같은 소수가론의 많은 다른 이론들은 베주트의 동일성에서 비롯된다.

Bézout 도메인은 Bézout의 정체성을 유지하는 통합 도메인입니다.특히 Bézout의 정체성은 주요 이상 영역에서 유지된다.베주트의 동일성에서 비롯되는 모든 정리는 따라서 모든 주요 이상 영역에서 참이다.

솔루션 구조

$a$ 와 b가 둘 다 0이 아니고 ( $예$ 를 들어, 확장된 유클리드 알고리즘을 사용하여) 한 쌍의 베주 계수 $(x,$ y)가 $계산$ 되었다면, 모든 쌍은 다음과 같이 표현될 수 있다.

\displaystyle \left(x-kcfrac {b}{d}},\y+kfrac {a}{d}}\right),}

여기

서 k는 임의의

정수

이고, d는

a

와

b

의 최대 공약수이며, 분수는 정수로 단순화됩니다.

$만약$ $a$ 와 b가 모두 0이 아니라면, 정확히 두 쌍의 베주 계수들은 다음을 만족한다.

(\displaystyle x\left {frac {b} {d}} \right \leq \left \frac {a} {d} \right , )

그리고 평등은 a와

b

중

하나

가 다른 하나를 나눌 때만 발생할 수 있다.

이 나눗셈 정리의 속성에:dc분리가 아니20이 아닌 정수 c, d, 딱 한쌍(q, r)은 의존하는 것처럼 c)dq+r{\displaystyle c=dq+r}이고 0월<>r<>d,{0<, r<, d\displaystyle,}이고 또 다른 쪽이 c)dq+r{\displaystyle c=dq+r}과− d <>r<0. $\ displaystyle - d < r < 0$ $}$

두 쌍의 작은 Bézout 계수는 위의 공식에서 ${\frac {x}{b/d}}$ / d \ $displaystyle$ \ $frac$ { $x$ } { b / $d$ 옆에 ${\frac {x}{b/d}}$ 두 정수 중 하나를 $k$ 로 선택함으로써 주어진 1 $(x,$ y)에서 얻을 수 있습니다.

확장 유클리드 알고리즘은 항상 이 두 개의 최소 쌍 중 하나를 생성합니다.

예

$a$ = $12$ $및$ b = $42$ , $gcd (12, 42)$ = $6$ . 다음 Bézout의 동일성은 최소 쌍에 대해서는 빨간색, 나머지 쌍에 대해서는 파란색으로 표시된다.

{\displaystyle{\begin{정렬}\vdots \\12&, \times({\color{}일 경우 파란 색{에서}})&, +\.\;42&, \times{ 파란}{3}& \color, =6\\12&, \times({\color{}일 경우 빨간{-3}})&, +\.\;42&, \times{ 빨간}{1}& \color, =6\\12&, \times{ 빨간}{4}& \color, +\.\;42&, \times({\color{}일 경우 빨간{-1}})&, =6\\12&, \times{ 파란}{11}& \color, +\.\;42&, \times({\col.또는})&=6\\12&, \times{ 파란}{18}& \color, +\.\;42&, \tim{ 파란}{-3}es({\color {blue}{-5}})&=6\\vdots\end{aligned}})

$($ $(x,y)=(18,-5)$ , $(x,y)=(18,-5)$ ) $(x,y)=(18,-5)$ ( $(x,y)=(18,-5)$ - $(x,y)=(18,-5)$ ) { $displaystyle ( x$ , y ) = ( $18$ , $5$ ) { displaystyle ( ${\frac {18}{42/6}}\in [2,3]$ , y ) = ( $18$ , 5 ) } 이 $(x,y)=(18,-5)$ ${\frac {18}{42/6}}\in [2,3]$ $Bézout$ 계수의 원래 ${\frac {18}{42/6}}\in [2,3]$ 이라면 $18$ 42 / 6 † [ 2 , $]$ { $displaystyle$ { $frac$ { 18 } { 42 ${\frac {18}{42/6}}\in [2,3]$ / 6 ${\frac {18}{42/6}}\in [2,3]$ { $42$ / 6 / 6 } { $42$ / 6 } { 6 } { 6 } \ 6 } \ 6 } \ $in$ [ $42$ / 6 } \ 6 } \ 6 } \ 6 } \ $in [$

증명

0이 아닌 $정수$ $a$ 와 b가 주어진 경우 $S=\{ax+by:x,y\in \mathbb {Z} {\text{ and }}ax+by>0\}.$ $S=\{ax+by:x,y\in \mathbb {Z} {\text{ and }}ax+by>0\}.$ { $S=\{ax+by:x,y\in \mathbb {Z} {\text{ and }}ax+by>0\}.$ + $S=\{ax+by:x,y\in \mathbb {Z} {\text{ and }}ax+by>0\}.$ y : $S=\{ax+by:x,y\in \mathbb {Z} {\text{ and }}ax+by>0\}.$ , y $S=\{ax+by:x,y\in \mathbb {Z} {\text{ and }}ax+by>0\}.$ Z , $S=\{ax+by:x,y\in \mathbb {Z} {\text{ and }}ax+by>0\}.$ + $S=\{ax+by:x,y\in \mathbb {Z} {\text{ and }}ax+by>0\}.$ y > $S=\{ax+by:x,y\in \mathbb {Z} {\text{ and }}ax+by>0\}.$ . $S=\{ax+by:x,y\in \mathbb {Z} {\text{ and }}ax+by>0\}.$ { $displaystyle$ S = \ { $ax + by$ : $x$ , y \ $in$ \ $mathbb$ { $Z$ } { $text$ { $and }x +$ by > $0$ \ } } 。 $S=\{ax+by:x,y\in \mathbb {Z} {\text{ and }}ax+by>0\}.$ $세트$ S는 a 또는 – $a$ 를 포함하므로 비어 있지 않습니다( $x=\pm 1$ $=$ ± $x=\pm 1$ { $displaystyle$ x=\ $pm$ 1 $}$ $y=0$ y $y=0$ { $displaystyle$ y $=0}).$ S는 비어 있지 않은 양의 정수 집합이므로 $최소$ $d=as+bt$ d $d=as+bt$ $d=as+bt$ + $d=as+bt$ t { $displaystyle$ d $=as+bt$ 를 가집니다. $d$ 가 $a$ 와 $b$ 의 최대공약수임을 증명하려면 d가 $a$ 와 $b$ 의 공약수이며 다른 $공약수$ c에 대해 c $c\leq d.$ d . $c\leq d.$ { $displaystyle$ c $\leq$ d $c\leq d.$ }가 $c\leq d.$ 을 증명해야 합니다.

$a$ 의 유클리드 나눗셈 $by$ d는 다음과 같이 기술될 수 있다.

(\displaystyle a=dq+r\context{with}\context 0\leq r<d.}

나머지

r은 S

S\cup \{0\}

{

S\cup \{0\}

}

{

displaystyle

S \

cup

\ { 0 \

S\cup \{0\}

}

S\cup \{0\}

s s the s the 。

{aligned}r&=a-qd\&=a-q(as+bt)\\&=a(1-qs)-bqt.\end { aligned}

r

은

ax+by

+

ax+by

y {

displaystyle

ax +

by

이므로

r\in S\cup \{0\}.

S

r\in S\cup \{0\}.

{

r\in S\cup \{0\}.

r\in S\cup \{0\}.

. \

displaystyle

r \

in

S \

cup

\ { 0 \

r\in S\cup \{0\}.

} 입니다.}

0\leq r<d,

, 0

0\leq r<d,

r

0\leq r<d,

<

d

, \

displaystyle 0

\

leq

r <

0\leq r<d,

d ,

0\leq r<d,

} 및 d는 S에서 가장 작은 양의

정수

입니다.

따라서

나머지 r은 S에

있을

수

없으므로

r은 반드시 0이 됩니다

.

이는 d가

a

의 제수임을

의미

합니다.

마찬가지

로 d는

b

의

약수

이고 d는

a

와 b의

공통

약수이다.

이제 $c$ 를 $a$ 와 b의 공약수로 $합니다$ .즉, $a$ $=$ $a=cu$ u { $displaystyle$ a $=$ cu $a=cu$ } $b=cv.$ $b=cv.$ $b=cv.$ v $b=cv.$ . { $displaystyle$ b $b=cv.$ = 149 $b=cv.$ }는 $b=cv.$ 다음과 같습니다.

d&=as+bt\displaystyle(표시 스타일)&=cus+curt\&=c(us+curs)\end { aligned}}

즉

, c는

d

의 제수이다.d

d>0,

>

d>0,

、 {

displaystyle

d >

0

}

d>0,

、 c

c\leq d.

d .

c\leq d.

{

displaystyle

c \

leq

d . }를 의미합니다.

일반화

3개 이상의 정수인 경우

베조의 항등식은 두 개 이상의 정수로 확장될 수 있다.

\displaystyle \gcd(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}=d}

x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}

으로 x

x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}

1,

x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}

2,

x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}

x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}

n(\

displaystyle x_{1}, x_{2},\ldots,x_{n})

이

x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}

x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}

.

d=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}

에는 다음 속성이 있습니다.

d는 이 형식의 최소 양의 정수입니다.
이 형식의 모든 숫자는 d의 배수이다.

다항식의 경우

베주트의 동일성은 항상 다항식을 유지하지는 않는다.예를 들어, 정수의 다항식 링에서 작업할 때: $2x$ 와² x의 최대 공약수는 x이지만, $2xp$ + $xq 2$ = $x$ 를 만족하는 정수 계수 다항식 p와 q는 존재하지 않는다.

그러나, 베조의 항등식은 정수와 정확히 같은 방식으로 필드의 일변량 다항식에 작용한다.특히 Bézout의 계수와 최대공약수는 확장 유클리드 알고리즘으로 계산할 수 있다.

두 다항식의 공통근은 최대 공약수의 근이기 때문에, 베주의 항등식과 대수학의 기본정리는 다음과 같은 결과를 의미한다.

필드

내의 계수를 갖는 일변량 다항식

f

와 g의 경우,

a

와 bg = 1이 되는 다항식 a와 b가 존재하며,

f

와 g가 대수적으로 닫힌 필드(복소수 필드)에 공통의 근이 없는

경우

에만 존재한다.

이 결과를 임의의 수의 다항식 및 불확정값으로 일반화하면 힐베르트의 늘스텔렌사츠이다.

주요 이상 도메인의 경우

도입부에서 언급했듯이, 베주트의 정수는 정수의 고리뿐만 아니라 다른 주요 이상 영역(PID)에서도 작용한다.즉, R이 $PID$ 이고, $a$ 와 b가 $R$ 의 $요소$ 이고, $d$ 가 a와 $b$ 의 최대공약수인 $경우$ $ax+by=d.$ $ax+by=d.$ 에는 $ax+by=d.$ + b $=$ d . \ $display$ style $ax+by=$ 가 있습니다.} 그 $ax+by=d.$ 이유는 $Ra+Rb$ R $Ra+Rb$ + $Ra+Rb$ b { $display$ style $Ra +$ Rb $Ra+Rb$ }가 $R$ d.\ $display$ styleRd와 $Rd.$ 하기 때문입니다 $.$ $}$

Bézout의 정체성이 유지되는 통합 도메인은 Bézout 도메인이라고 합니다.

역사

프랑스 수학자 에티엔 베주 (1730–1783)는 다항식을 ^[1]위해 이 동일성을 증명했다.정수에 대한 이 진술은 초기 프랑스 수학자인 클로드 가스파르 바첼트 드 메지리아 (1581–1638)^[2]^[3]^[4]의 연구에서 이미 발견될 수 있다.

「」를 참조해 주세요.

AF+BG 정리 – 다른 두 곡선의 모든 교차점을 통과하는 대수 곡선에 대해, 3개의 비결정적 다항식에 대한 베주트의 동일성의 유사점
유클리드의 법칙 – 제품의 제수는 요인 중 하나를 나눕니다.
산술의 기본 정리 – 정수는 고유한 소인수를 갖는다.

메모들

^ Bézout, É. (1779). Théorie générale des équations algébriques. Paris, France: Ph.-D. Pierres.
^ Tignol, Jean-Pierre (2001). Galois' Theory of Algebraic Equations. Singapore: World Scientific. ISBN 981-02-4541-6.
^ Claude Gaspard Bachet (sieur de Méziriac) (1624). Problèmes plaisants & délectables qui se font par les nombres (2nd ed.). Lyons, France: Pierre Rigaud & Associates. pp. 18–33. 이 페이지에서 바첼은 (방정식 없이) "제안 XVIII"를 증명한다.deux nombres primier entre ux estant donnez, treuver le moindre multiple de chascun d'iceux, secoverant de l'unitle de l'autre." (비교적 소수인 두 숫자가 주어졌을 때) 하나의 배수가 서로 합성으로 상회할 수 있는 최소 배수를 구하라.이 문제(예: ax - by = 1)는 베주 방정식의 특수한 경우이며 바첼이 199페이지 ff에 나오는 문제를 풀기 위해 사용했다.
^ 다음 항목도 참조하십시오.

외부 링크

Bézout의 신원을 나타내는 온라인 계산기.
Weisstein, Eric W. "Bézout's Identity". MathWorld.

[1] Bézout, É. (1779). Théorie générale des équations algébriques. Paris, France: Ph.-D. Pierres.

[2] Tignol, Jean-Pierre (2001). Galois' Theory of Algebraic Equations. Singapore: World Scientific. ISBN 981-02-4541-6.

[3] Claude Gaspard Bachet (sieur de Méziriac) (1624). Problèmes plaisants & délectables qui se font par les nombres (2nd ed.). Lyons, France: Pierre Rigaud & Associates. pp. 18–33. 이 페이지에서 바첼은 (방정식 없이) "제안 XVIII"를 증명한다.deux nombres primier entre ux estant donnez, treuver le moindre multiple de chascun d'iceux, secoverant de l'unitle de l'autre." (비교적 소수인 두 숫자가 주어졌을 때) 하나의 배수가 서로 합성으로 상회할 수 있는 최소 배수를 구하라.이 문제(예: ax - by = 1)는 베주 방정식의 특수한 경우이며 바첼이 199페이지 ff에 나오는 문제를 풀기 위해 사용했다.

[4] 다음 항목도 참조하십시오.

[1]

[2]

[3]

[4]

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