심플 링

수학의 한 분야인 추상대수학에서 단순반지는 제로 이상과 그 자체 외에 양면 이상이 없는 비제로반지다.특히 교감반지는 필드일 경우에만 단순한 링이다.null

단순반지의 중심은 필드의 중심이다.단순반지는 이 분야에 대한 연상 대수라는 것을 따른다.그래서 단순대수와 단순반지는 동의어다.null

여러 참조(예: Lang (2002) 또는 Bourbaki (2012))는 단순한 링이 왼쪽 또는 오른쪽 Artinian (또는 동등하게 반 단순)일 것을 추가로 요구한다.그러한 용어로는 비견할 만한 양면 이상이 없는 비제로 링을 준단순이라고 한다.null

Rings which are simple as rings but are not a simple module over themselves do exist: a full matrix ring over a field does not have any nontrivial ideals (since any ideal of ${\displaystyle M_{n}(R)}$ is of the form ${\displaystyle M_{n}(I)}$ with ${\displaystyle I}$ an ideal of ${\displaystyle$$R}$ )은($$는) 비독점적 왼쪽 이상(예를 들어 고정된 0개의 열이 있는 행렬 집합)을 가지고 있다.null

아르틴-에 따르면웨더번 정리, 왼쪽이나 오른쪽 아르티니안인 모든 단순한 고리는 분할 링 위에 있는 매트릭스 링이다.특히 실수에 대한 유한차원 벡터 공간인 단순한 링은 실수, 복합수, 쿼터니온에 걸친 행렬의 링뿐이다.null

디비전 링 위의 매트릭스 링이 아닌 단순한 링의 예는 웨일 대수학이다.null

특성화

반지는 비종교적 양면 이상이 없다면 단순한 대수학이다.null

단순한 알헤브라의 직접적인 예는 분열 알헤브라인데, 여기서 모든 0이 아닌 원소는 예를 들어 쿼터니온의 실제 대수학처럼 승법적인 역수를 가진다.또한 분할 링에 ${\displaystyle \mathrm{입력}}$된 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ n ${\displaystyle n\times n}$ 행렬의$$ 대수 또한 단순하다는 것을 보여줄 수 있다.사실, 이것은 모든 유한차원 단순 알헤브라를 이소모르피즘까지 특징짓는다. 즉, 중심 위에 유한한 치수인 모든 단순 대수학은 어떤 분할 링 위에 있는 행렬 대수학과의 이소모르픽이다.이는 1907년 조셉 웨더번 박사가 런던수학협회 회보에 게재한 논문 '과다복잡한 숫자에 대하여'에서 입증한 바 있다.Wedderburn의 논문은 단순하고 반이행적인 알제브라를 분류했다.단순 알헤브라는 반단순 알헤브라의 구성 요소다. 모든 유한차원 반단순 대수학은 단순한 알헤브라의 의미로 카르테스 산물이다.null

웨더번의 결과는 나중에 아르틴-에 반이행반지로 일반화되었다.웨더번 정리.null

예

• 중심 단순 대수(Brauer 대수학이라고도 함)는 F ${\displaystyle F}$ 필드 $위$에 있는 단순한 유한차원 대수학이며$$, $중심$은 F$${\$displaystyle F$이다.

$R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$를) 실제 숫자의 필드로 하고$$, $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$을(를) 복잡한 숫자의 필드로 하고$$, $H{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$을$($를) 쿼터니온으로 한다.null

• Every finite-dimensional simple algebra over ${\displaystyle \mathbb {R} }$ is isomorphic to a matrix ring over ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \mathbb {C} }$, or ${\displaystyle \mathbb {H} }$. Every central simple algebra over ${\displaystyle \mathbb {R} }$ is isomorphic to a matrix는 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $또는$ H ${\$위에 링을 올린다$.$ 이러한 결과는 프로베니우스 정리에서 따온 것이다.
• $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대한 모든 유한차원 단순대수는 중심 단순대수로서$$, $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 있는 행렬 링에 이형성이 있다$.$
• 유한장위에 걸친 모든 유한차원 중앙 단순대수는 그장위에 있는 매트릭스 링에 이형성이다.
• 정류 링의 경우, 다음과 같은 네 가지 특성이 동등하다: 반실행 링이 되는 것, 아르티니아인이면서 감소하는 것, 크룰 치수 0의 감소된 노메트리안 링이 되는 것, 그리고 한정된 밭의 직접 생산물에 이형성이 있는 것.

웨더번 정리

이 절의 사실적 정확성은 논쟁의 여지가 있다. 관련 토론은 토크에서 확인할 수 있다.심플 반지. 논란의 소지가 있는 문구를 안정적으로 소싱할 수 있도록 도와주십시오. (2022년 2월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 알아보기)

웨더번의 정리는 단순한 고리를 단위와 최소 좌익 이상형으로 특징짓는다.(왼쪽 Artinian 조건은 두 번째 가정을 일반화한 것이다.)즉, 그러한 모든 반지는 이소모르피즘에 이르기까지 분할반지 위에 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ $[\displaystyle$ n$\times$ n$]$ 행렬의$$ 반지라고 한다.null

$D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$을(를) 분할 링으로$$ 하고 ${\displaystyle M_{}}$ $n{\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle D}$) ${\$$displaystyle M_{n}(D)$은 D {\$displaystyle$ D$}$에 항목이 있는 $행렬$의 링으로$$ 한다$.$ $M{\displaystyle {}_{}}$ n ${\displaystyle {}_{}D}$) ${\displaystystyle M_{n}(D)$의 모든 왼쪽 이상형이 다음과$$ 같은 형식을 취한다는 것은 어렵지 않다.

${\displaystyle \{{M\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle M_{}}$ n ${\displaystyle {}_{}D}$)$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \text{1}{}_{}}$…${\displaystyle }$,${\displaystyle }$n ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \text{-th}{}_{}}$ ${\displaystyle \text{열}}$에는 ${\displaystyle \text{0개의 항목이 있음}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{M_in M_{n}(D)\mid$ {\$text{n_{$1},\$dots ,n_{k}{\text}{}}{{}}}},},},}}}}}},}}}}}}}}},$ {$text-th 열에는 0개의 항목이 있음$

일부 고정 서브셋${\displaystyle }${${\displaystyle {n\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle n_{}}$ k${\displaystyle }$}${\displaystyle }${ 1${\displaystyle }$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{n_{1},\dots,n_{k}\subseteq \{1,\$$dots$ n$\backslash \}\}\}\}$에 대해. ${\displaystyle {따라서}_{}}$ M${\displaystyle {}_{}}$n ($D${\$displaystystylem$ 이상형은$$ $형식이다.$

${\displaystyle \{M}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$(${\displaystyle D}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mid }$ k ${\displaystyle \text{-th 열}}$을 ${\displaystyle \text{제외한 모든}}$ 열에 ${\displaystyle \text{0개의 항목이 있음}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{M\in$ M_${n}(D)\mid${\$text{all 그러나 }}$k{\$text{-th 열에는 0개$의 항목이 있음$\}\backslash \}\backslash \},$

for a given ${\displaystyle k}$. In other words, if ${\displaystyle I}$ is a minimal left ideal, then ${\displaystyle I=M_{n}(D)e}$, where ${\displaystyle e}$ is the idempotent matrix with 1 in the ${\displaystyle (k,k)}$ entry and zero elsewhere.또한 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$은(는) e ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$D${\displaystyle }$) e ${\displaystyle eM_{n}(D)e}$에 대해 이형이다$.$왼쪽 이상 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$은$($는) ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle M_{}}$ n (${\displaystyle {}_{}}$D${\displaystyle }$) e ${\displaystyle eM_{n}(D)e}$을(를) 통해 오른쪽 모듈로 볼 수 있으며$$, 링 M $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}은)}$ ${\displaystyle M_{n}(D)$은 이 모듈의$$ 동형성 대수학과는 명백히 이형이다.null

위의 예는 다음과 같은 보조정리 방법을 제시한다.

AeA)A{AeA=A\displaystyle}정체성 1{1\displaystyle}과는 멱등 원소 e{\displaystyle e}과 Lemma.[의심스러운 –을 논의하]{A\displaystyle}은 할게. 나는{\displaystyle 1세} 왼쪽 이상적인 Ae{Ae\displaystyle}, 만한 올바른 모듈에 eAe{\displaystyl.eeAe}.그러면 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은$($는) ${\displaystyle \mathrm{Hom}}$ ${\displaystyle }$ ( I${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {Hom} (I)}$에 의해 표시된 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ I$}$의 동형성 대수에서 이형성이 된다$$$.$

Proof: We define the "left regular representation" ${\displaystyle \phi \colon A\to \operatorname {Hom} (I)}$ by ${\displaystyle \phi (a)m=am}$ for ${\displaystyle m\in I}$. Then ${\displaystyle \phi }$ is injective because if ${\displaystyle a\cdot I=aAe=0}$$$, 그러면 ${\displaystyle A}$= ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle A}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle A=AAE$${\displaystyle \mathrm{A}}$$=0$ 즉 $a{\displaystyle }$= ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle 1}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a=a=cdot 1=0}$을(를) 의미한다$.$

과부하성을 위해 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathrm{Home}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle I}$) ${\displaystyle T\in \operatorname {Hom} (I$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$= A ${\displaysty AeA=$를 ${\displaystyle \mathrm{사용}}$하십시오.$A$ 단위 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ 1$}$은(는) $1{\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle \sum }$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ i ${\$로 표현할 수 있다$$$.$

$\$$T(\sum a_{i}eb_{i}m)=\sum T(a_{i}eb_{i}m)=\sum$T($a_{i}e)b_{i$}m$=(\sum$ T$(a_{i}e)$e_${i}$m}$m$

${\displaystyle \sum }$ ${\displaystyle T}$ (${\displaystyle {}_{}}$ e${\displaystyle }$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle i_{}}$)$${\$displaystyle \textstyle$(\$sum$ T$(a_{i}e)eb_{i}}}}}$은(는) m$${\$displaystyle m},$not$$$${\$displaysty \pi$}에 의존하지 않으므로$$, \는 굴절적이다.이것은 보조마임을 증명한다.null

웨더번의 정리는 보조정리로부터 쉽게 따라온다.null

정리(웨더번).$만일{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$이(가) $유닛{\displaystyle \mathrm{}}$ 1 ${\displaystyle 1}$과(와) 최소 $좌측{\displaystyle }$ 이상 I ${\displaystyle I}$을(를) 가진 단순한 링이라면$,$ $A{\displaystyle }$ ${\$$displaystystyle A$$}$은(는$)$ 분할 링 위에 있는 $n{\displaystyle }$× n${\disorphic$이다.null

보조정리기의 가정을 검증하기만 하면 된다. 즉, $I{\displaystyle }$= ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle$ I$=Ae}$과 같은 $idempotent{\displaystyle }$ e$${\$displaystyle e}$을(를$)$ 찾은 다음 $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e}${\$displaystyle eAe}$이(가) 디비전 링임을 보여주면 된다.$가정{\displaystyle }$ A${\displaystyle }$= ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=AeA}$은(는) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 단순하다는 데서 비롯된다$$.null

참고 항목

• 단순(알지브라)
• 단순범용대수학

참조

• A. A. Albert, Structure of Algebras, Colorquium 출판물 24, American Matheical Society, 2003, ISBN0-8218-1024-3. 페이지 37.
• Bourbaki, Nicolas (2012), Algèbre Ch. 8 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-35315-7
• Henderson, D.W. (1965). "A short proof of Wedderburn's theorem". Amer. Math. Monthly. 72: 385–386. doi:10.2307/2313499.
• Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 978-0-387-95325-0, MR 1838439
• Lang, Serge (2002), Algebra (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0387953854
• Jacobson, Nathan (1989), Basic algebra II (2nd ed.), W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5