코호몰로지

수학에서, 특히 호몰로지 이론과 대수적 토폴로지에서, 코호몰로지(cohomology)는 아벨리안 그룹의 집합에 대한 일반적인 용어로서, 대개 위상학적 공간과 연관된 집단이며, 코체인 콤플렉스에서 정의되는 경우가 많다. 코호몰로지(cohomology)는 호몰로지(homology)보다 더 풍부한 대수적 불변제를 공간에 할당하는 방법으로 볼 수 있다. 코호몰로지 일부 버전은 호몰로지 구성을 이원화함으로써 발생한다. 다시 말해, 코칭은 호몰로지 이론에서 체인 그룹의 기능이다.

위상에서의 시작부터, 이 생각은 20세기 후반의 수학에서 지배적인 방법이 되었다. 위상학적 공간의 대수적 불변성을 구성하는 방법으로서의 호몰로지 초기 아이디어부터 호몰로지 및 코호몰로지 이론의 적용 범위는 기하학 및 대수학 전반에 걸쳐 확산되었다. 이 용어는 많은 응용에서 동역학보다 동역학이 더 자연스럽다는 사실을 감추는 경향이 있다. 기본적인 수준에서, 이것은 기하학적 상황에서의 기능과 풀백과 관련이 있다: 공간 X와 Y, 그리고 Y의 어떤 종류의 함수 F가 주어진다면, 모든 매핑 f : X → Y에 대해, f와의 조성은 X의 함수 F ∘ f를 발생시킨다. 가장 중요한 코호몰로지 이론에는 링 구조를 주는 컵 제품이라는 제품이 있다. 이 특성 때문에, 코호몰로지(cohomology)는 보통 호몰로지(homology)보다 강한 불변성이다.

단수 코호몰로지

단수 코호몰로지란 위상에 있어서 강력한 불변제로서 어떤 위상학적 공간과도 등급이 매겨진 커뮤테이션 링을 연관시킨다. 모든 연속 지도 f: X → Y는 Y의 코호몰로지 링에서 X의 코호몰로지 링까지 동형성을 결정한다. 이는 X에서 Y까지의 가능한 지도에 강력한 제약을 가한다. 호모토피 그룹과 같은 보다 미묘한 불변과 달리, 코호몰로지 링은 관심 공간에 대해 실제로 계산할 수 있는 경향이 있다.

위상학적 공간 X의 경우, 단수 코호몰로지 정의는 단수 체인 콤플렉스에서 시작한다.^[1]

${\displaystyle \cdots \to C_{i+1}{\stackrel {\partial _{i1}{{i1}{\partrel {\partial _{i}}{{i}\c}\c_{i-1}\cdots }}}}$

정의에 의하면 X의 단일한 호몰로지란 이 체인 콤플렉스(한 호몰포피즘의 알맹이 앞의 호몰로지)이다. 좀 더 자세히 설명하면 C는_i 표준 i-simplex에서 X("X"에서 singular i-simples"라 함)까지의 연속 지도 집합에 있는 자유 아벨리아 집단이며, ∂_i은 i 경계^th 동형성이다. C_i 그룹은 i 마이너스 0이다.

이제 아벨 그룹 A를 수정하고, 각각의 그룹_i C dual := ${\displaystyle H_{}^{}\mathrm{o}}$ ${\displaystyle \mathrm{m}}$( ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle i_{}}$, A${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle C_{i}^{*}:=\mathrm {Hom}(C_{i}A),$${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$and$$$$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$로 각 그룹 C를 교체한다.

${\displaystyle d_{i-1}:C_{i-1}^{*}^\to C_{i}^{*}.}$

이는 코체인 콤플렉스를 남기면서 원래 콤플렉스의 '모든 화살표를 뒤집는다'는 효과가 있다.

${\displaystyle \cdots \leftarrow C_{i+1}^{*}{\stackrel {d_{i}}}{{i-1}}{\stackrel {d_{d_{i-1}}{{{i-1}^{*}\좌측 화살표 \cdots}}}}}}$

정수 i의 경우, 계수 A가 A인 X의 i^th 코호몰로지 그룹은 ker_i(d)/im_i−1(d)로 정의되고 Hⁱ(X, A)로 표시된다. 그룹 Hⁱ(X, A)는 i 음의 0이다. $C{\displaystyle {}_{}^{}}$ $∗{\$의 원소를 A에 계수가 있는 단수 i-코인이라고 한다$$.(동일하게 X에 있는 i-코인은 X에서 A까지의 단수 i-심박수 집합에서 함수로 식별할 수 있다.) ker(d)와 im(d)의 원소를 각각 cocyles와 coboundaries라고 하고, ker(d)/im(d) = Hⁱ(X, A)의 원소를 cohomology class라고 한다(cocyles의 동등성 등급이기 때문에).

다음에 나오는 것에서는 계수 그룹 A가 작성되지 않는 경우도 있다. A를 교감 고리 R으로 삼는 것이 일반적이다. 그 다음 코호몰로지 그룹은 R-모듈이다. 표준 선택은 정수의 링 Z이다.

코호몰로지 특성 중 일부는 호몰로지 특성의 사소한 변형일 뿐이다.

• 연속 지도 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle f:X\to$ Y$}$에 따라$$ 푸시포워드 동형성 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$: ${\displaystyle {Hi}_{}}$( X${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{Hi}{}_{}}$( ${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle f_{*}:$$H_${i$$}(X$)\to H_{i}(Y)}$ 호몰로지 및 풀백 호모형성 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$: ${\displaystyle {Hi}^{}}$( ${\displaystyle Y}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{Hi}{}^{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaysty$ f$^{*}:$코호몰로지 관련$$ $H^{i}(Y)\to$ H$^{i}(X)}$ 이것은 위상학 공간에서 아벨 그룹(또는 R-모듈)에 이르기까지 코호몰리를 상반된 펑터로 만든다.

• X에서 Y까지의 동음이의어 지도 2개는 코호몰로지(동음이의학과 마찬가지로)에 대해 동일한 동음형성을 유도한다.

• 메이어-베트남 순서는 동족학에서와 같이 코호몰로지에서는 중요한 계산 도구다. 코호몰로지에서는 경계 동형성이 증가(감소보다는 증가)한다는 점에 유의한다. 즉, 공간 X가 개방형 서브셋 U와 V의 조합이라면, 다음과 같은 긴 정확한 순서가 있다.

${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(U)\oplus H^{i}(V)\to H^{i+1}(X)\to \cdots }$

• 공간 X의 모든 하위 공간 Y에 대해$$ 상대적인 동족학 그룹 ${\displaystyle {Hi}^{}X}$, ${\displaystyle Y}$; ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle H^{i}(X,Y;A)$가 있다. 그들은 긴 정확한 순서에 의해 일반적인 집단과 연관되어 있다.

$\\displaystyle \cdots \to H^{i}(X,Y)\to H^{i}(Y)\to H^{i+1}(X,Y)\cdots \}$

• 보편적 계수 정리는 Ext 그룹을 이용하여 동족학을 호몰로지 관점에서 기술한다. 즉, 정확한 순서가 짧다.

${\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(\operatorname {H} _{i-1}(X,\mathbb {Z} ),A)\to H^{i}(X,A)\to \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(H_{i}(X,\mathbb {Z} ),A)\to 0.}$

관련된 진술은 $필드{\displaystyle {}^{}}$ F, ${\displaystyle {Hi}^{}}$(${\displaystyle X}$, F${\displaystyle }$) ${\displaystyle H^{i}(X,F)}$이(가) 벡터 공간 ${\displaystyle H_{}}$ $i{\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle X}$, ${\displaystyle F}$) ${\displaystyle H_{i}(X,F)}$의 이중 공간이라는 것이다$.$

• X가 위상학적 다지관 또는 CW 복합체인 경우, 동종학 그룹 ${\displaystyle {Hi}^{}X}$, ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle H^{i}(X,A)}$는 X 치수보다 큰 i에 대해 0이다$$.^[2] X가 콤팩트 다지관(경계가 있을 가능성이 있음) 또는 각 차원에 미세하게 많은 셀을 가진 CW 복합체, 그리고 R이 정류형 노메트리안 고리라면, R-모듈ⁱ H(X,R)는 각 i에 대해 미세하게 생성된다.^[3]

반면에, 코호몰로지에는 동음이의학이 하지 않는 중요한 구조가 있다: 어떤 위상학적 공간 X와 정류적 링 R에 대해서는 컵 제품이라고 불리는 이선형 지도가 있다.

${\displaystyle H^{i}(X,R)\time H^{j}(X,R)\to H^{i+j}(X,R),}$

단일한 코인에 대한 명시적 공식에 의해 정의된다. cohomology class u와 v의 산물은 u ∪ v 또는 간단히 uv로 쓰여진다. 이 제품은 직접 합계를 낸다.

${\displaystyle H^{*}(X,R)=\bigoplus _{i}H^{i}(X,R)}$

'X'의 코호몰로지 반지라고 불리는 차등반지로 말이야 다음과 같은 의미에서 등급이 매겨진다.^[4]

${\displaystyle ub=(-1)^{ij}vu,\qquad u\in H^{i}(X,R),v\in H^{j}(X,R).}$

For any continuous map ${\displaystyle f\colon X\to Y,}$ the pullback ${\displaystyle f^{*}\colon H^{*}(Y,R)\to H^{*}(X,R)}$ is a homomorphism of graded R-algebras. 두 공간이 호모토피 등가라면 이들의 코호몰로지 링은 이형성인 것이다.

여기 컵 제품의 기하학적 해석 몇 가지가 있다. 다음에 나오는 내용에서 다지관은 달리 명시되지 않는 한 경계가 없는 것으로 이해된다. 닫힌 다지관은 콤팩트 다지관(경계 없는)을 의미하며, 다지관 M의 닫힌 서브매니폴드 N은 반드시 컴팩트하지 않은 M의 닫힌 부분집합인 서브매니폴드를 의미한다(M이 있는 경우 N이 자동으로 컴팩트함).

• X를 차원 n의 폐쇄 지향 다지관이 되게 한다. 그러면 푸앵카레 이중성은 이소모형성 HXⁱ ≅ HX를_n−i 준다. 그 결과 X에서 코드인 i의 폐쇄 지향 서브매니폴드 S는 [Sⁱ]라고 불리는 HX에서 코호몰로지 클래스를 결정한다. 이 용어에서 컵 제품은 서브매니폴드의 교차점을 설명한다. 즉, S와 T가 횡방향으로 교차하는 codimension i와 j의 서브매니폴드라면,

${\displaystyle [S][T]=[S\cap T]\in H^{i+j}(X),}$

여기서 교차점 S ∩ T는 S, T, X의 방향에 의해 결정되는 방향과 함께 codimension i + j의 하위 manifold이다. 매끄러운 다지관의 경우, S와 T가 횡방향으로 교차하지 않는 경우에도 이 공식을 사용하여 교차점을 횡방향으로 만들기 위해 S 또는 T를 교차로로 회전시켜 컵 제품 [S][T]을 계산할 수 있다.

보다 일반적으로, X가 방향을 가지고 있다고 가정하지 않고, 정상적인 번들에 방향성을 가진 X의 폐쇄 하위 관리형은 X의 코호몰로지 클래스를 결정한다. X가 비 컴팩트 다지관인 경우 닫힌 서브매니폴드(필수 콤팩트하지는 않음)가 X의 코호몰로지 클래스를 결정한다. 두 경우 모두 컵 제품은 서브매니폴드의 교차점 측면에서 다시 설명할 수 있다.

Thom은 순도 7의 필수 코호몰로지 클래스를 어떤 순도 하위 매니폴드의 클래스가 아닌 14-매니폴드에 구축했다는 점에 유의하십시오.^[5] 한편, 그는 매끄러운 다지관의 양성 수준의 모든 필수 코호몰로지 등급은 매끄러운 서브매니폴드의 등급인 양의 배수를 가지고 있다는 것을 보여주었다.^[6] 또한, 다지관의 모든 필수 코호몰로지 클래스는 최소한 2개의 코다이멘션의 닫힌 부분집합 바깥의 다지관인 "pseudomanifold", 즉 단순 복합체로 표현될 수 있다.

• 매끄러운 다지관 X의 경우, 실제 계수를 가진 X의 단일한 코호몰로지(single cohomology)는 미분형 형태를 사용하여 정의된 X의 데 라함 코호몰로지(de Rham cohomology)와 이형성이 있다고 de Rham의 정리는 말한다. 컵 제품은 차등 형태의 제품에 해당한다. 이 해석은 상이한 형태의 제품은 등급이 정해져 있는 반면, 단일한 코칭의 제품은 체인 호모토피까지 등급이 매겨져 있다는 장점이 있다. 실제로 소수점 p의 정수 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 또는$$ $Z{\displaystyle \mathbb{}}$/ p ${\displaystyle \mathb {Z}/p}$에서 계수가 있는 단수 코인의 정의를 수정하여 제품의 코에 등급을 매기는 것은 불가능하다. 코체인 수준에서 단계별 커뮤티티의 실패는 모드 p 코호몰로지에서의 Steenrod 운영으로 이어진다.

매우 비공식적으로, 위상학적 공간 X에 대해, ${\displaystyle {Hi}^{}}$(${\displaystyle X}$) ${\displaystyle$ H$^{i}(X)}$의 요소는 X에서 자유롭게 이동할 수 있는 X의 코디멘션-i 하위공간으로 대표되는 것으로 생각할 수 있다$$. 예를 들어, ${\displaystyle {Hi}^{}}$(${\displaystyle X}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle$ H$^{i}(X)}$의 요소를 정의하는 한 가지 방법은 X에서 다지관 M까지 연속 지도 f와 정상 번들에 대한 방향을 가진 M의 폐쇄 코드imension-i 하위 관리 N을 제공하는 것이다$$. Informally, one thinks of the resulting class ${\displaystyle f^{*}([N])\in H^{i}(X)}$ as lying on the subspace ${\displaystyle f^{-1}(N)}$ of X; this is justified in that the class ${\displaystyle f^{*}([N])}$ restricts to zero in the cohomology of the open subsET $X{\displaystyle }$- ${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle 1^{}}$( ${\displaystyle N}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle X-f^{-1}(N).}$ 공동호몰로지 $클래스{\displaystyle {}^{}}$ f ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle ([N}$ $])$∗ ([$N])}$은(는) M 내부 N의 어떠한 연속 변형으로도 N을 대체할 수 있다는 의미에서 X에서 자유롭게 이동할 수 있다$$.

예

다음에 언급되지 않는 한, 코호몰로지에는 정수 Z의 계수를 사용하여 취한다.

• 점의 코호몰로지 링은 도 0의 링 Z이다. 호모토피 침입에 의해, 이것은 유클리드 공간 R과ⁿ 같은 어떤 수축 가능한 공간의 코호몰로지 링이기도 하다.
• 

  2차원 토러스(torus)의 첫 번째 코호몰로지 그룹은 표시된 두 원의 등급에 의해 주어지는 근거를 가지고 있다.
  양의 정수 n의 경우, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {Sn}^{}}${\$displaystyle S$^{$n}$의 코호몰로지 링은 Z[x]/(x²)(주어진 이상에 의한 다항 링의 지수 링)이고$$, 도 n은 x이다. 위와 같은 푸앵카레 이중성의 관점에서 x는 구상의 점의 등급이다.
• torus${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}{}^{}}$) ${\displaystyle n^{}}$ ${\$의 코호몰로지 링은$$ 도 1의 n개 발전기에서 Z에 대한 외부 대수다.^[7] 예를 들어, P이 원에 S1{\displaystyle S^{1}}포인트를 나타내고, 2차원 원환체(S1)2{\displaystyle(S^{1})^{2}에 Q요점(P,P)}. 그리고(S1)2의 cohomology 무료 Z-module의 형태에 대한 근거가 없다 학위 1의 학위 0에서 x:=[P×S1]과 y:)는 요소 1,[S1×P], 그리고 xy)[Q]i. 봅시다nde그리스 2. (비극적으로 토러스(torus)와 두 원(two sircle)의 방향이 여기에서 고정되었다.) yx = -xy = -[Q], 등급별 커밋율에 유의하십시오.
• 보다 일반적으로, R을 정류 링이 되게 하고, X와 Y를 각도에서^* 미세하게 생성된 자유 R-모듈이 되도록 위상학적 공간이 되게 한다. (Y에 대해서는 가정할 필요가 없다.) 그 다음 Künneth 공식은 제품 공간 X × Y의 코호몰로지 링이 R-algebras의 텐서 제품임을 알려준다.^[8]

${\displaystyle H^{*}(X\time Y,R)\cong H^{*(X,R)\otimes _{R}H^{*}(Y,R)}$

• Z/2 계수가 있는 실제 투영 공간 RP의ⁿ 코호몰로지 링은 Z/2[x]/(xⁿ⁺¹)이며, 도 1에 x가 있다.^[9] 여기서 x는 RP의ⁿ 하이퍼플레인 RPⁿ⁻¹ 등급이다. 이는 Z/2 계수를 가진 Poincaré 이중성이 임의 다지관에 작용하기 때문에, RP가^j j 짝수 및 양수에 대해 방향을 지정할 수 없음에도 불구하고 타당하다.

정수 계수를 사용하면 답이 좀 더 복잡하다. RP의^2a Z-공호몰로지에는 2도 y의 요소가 있는데, 따라서 전체 공호몰로지란 요소 0의 원소 1에 의해 확장된 Z/2와 i=1, ...,a의 원소 y에ⁱ 의해 확장된 Z/2의 복사본의 직접적인 합이다. RP의^2a+1 Z공호몰로지(Z공호몰로지)는 2a+1의 추가 사본과 함께 동일하다.^[10]

• 복합 투영 공간 CP의ⁿ 코호몰로지 링은 Z[x]/(xⁿ⁺¹)이며, 도 2에 x가 있다.^[9] 여기 x는 CP의ⁿ 하이퍼플레인 CPⁿ⁻¹ 등급이다. 보다 일반적으로 x는^j CP에서ⁿ 선형 아공간 CP의^n−j 등급이다.
• 속 g 0 0의 폐쇄 지향 표면 X의 공호몰로지 링은 형태의 자유 Z-모듈로서 원소 1은 0, A₁, A와_g1 B는 0, B는_g 1, 점 P는 2의 등급으로 기초를 두고 있다. 제품은 다음과_ij 같이 제공된다_ij: AA = BB = 모든 i와 j의_ij 경우 0, AB = i의_ii 경우 0, AB = 모든 i의 경우 P.^[11] 등급별 커밋도별로 BA_ii = -P를 따른다.
• 위상학적 공간에서, 코호몰로지 링의 등급별 커뮤티티는 모든 홀수도 코호몰로지 클래스에 대해 2x² = 0을 의미한다. 따라서 1/2을 포함하는 링 R의 경우^* H(X,R)의 모든 홀수도 원소는 제곱 0을 갖는다. 반면 홀수도 원소는 RP²(Z/2계수 포함) 또는 RP⁴ × RP²(Z계수 포함)의 예에서 보듯이 R이 Z/2 또는 Z인 경우 제곱 0을 가질 필요가 없다.

대각선

코호몰로지 상의 컵 제품은 대각선 지도 Δ: X → X × X, x ↦ (x,x)에서 나온 것으로 볼 수 있다. 즉, 코호몰로지 클래스 u ∈ Hⁱ(X,R) 및 v ∈ H^j(Y,R)가 있는 모든 공간에 대해 외부 제품(또는 교차 제품) 코호몰로지 클래스 × v h^i+j H(X × Y,R)가 있다. 등급 u ∈ Hⁱ(X,R) 및 v ∈ H^j(X,R)의 컵 제품은 대각선으로 외부 제품의 풀백으로 정의할 수 있다.^[12]

${\displaystyle ub=\Delta ^{*}(u\time v)\in H^{i+j}(X,R).}$

또는 컵 제품 측면에서 외부 제품을 정의할 수 있다. X와 Y 공간의 경우 두 투영에 대해 f: X × Y → X 및 g: X × Y → Y라고 쓴다. u uⁱ H(X,R) 및 v ∈ H^j(Y,R) 클래스의 외부 제품은 다음과 같다.

${\displaystyle u\time v=(f^{*})(u)(g^{*}(v)\in H^{i+j}(X\time Y,R)).}$

푸앵카레 이중성

폐쇄 지향 다지관의 코호몰로지 링은 강한 의미에서의 자기 이중성이라는 점도 푸앵카레 이중성의 또 다른 해석이다. 즉, X를 차원 n의 폐쇄 연결 지향 다지관이 되게 하고 F를 필드가 되게 한다. 그러면 Hⁿ(X,F)는 F와 이형이며, 제품은

${\displaystyle H^{i}(X,F)\time H^{n-i}(X,F)\to H^{n}(X,F)\cong F}$

각각의 정수 i에 대한 완벽한 조합이다.^[13] 특히 벡터 공간 Hⁱ(X,F)와 Hⁿ⁻ⁱ(X,F)의 치수는 같다. 마찬가지로, Hⁿ(X,Z) z Z의 값을 갖는 일체형 코호몰로지 모듈로 토션에 대한 제품은 Z에 대한 완벽한 페어링이다.

특성계급

위상학적 공간 X에 걸쳐 순위 r의 지향적 리얼 벡터 번들 E는 X의 코호몰로지 클래스, 오일러 클래스 χ(E) ∈ H^r(X,Z)를 결정한다. 비공식적으로 오일러 클래스는 E의 일반 섹션 0 집합의 클래스다. 그러한 해석은 E가 부드러운 다지관 X 위에 있는 부드러운 벡터 번들일 때 보다 분명하게 이루어질 수 있다. 그 이후 X의 일반적인 부드러운 부분이 X의 코드장력-r 하위매니폴드에 사라지기 때문이다.

체르 클래스, 스티펠 클래스를 포함하여 코호몰로지 값을 갖는 벡터 번들에 대한 특성 클래스에는 몇 가지 다른 유형이 있다.휘트니 수업, 폰트랴긴 수업.

에일렌베르크-매클레인 공간

각 아벨 그룹 A와 자연수 j에 대해, j-th 호모토피 그룹이 A에 이형이고 다른 호모토피 그룹이 0인 공간$$ $K{\displaystyle (A,j)}$ ${\displaystyle K(A,j)}$가 있다. 이런 공간을 에일렌베르크-맥레인 공간이라고 한다. This space has the remarkable property that it is a classifying space for cohomology: there is a natural element u of ${\displaystyle H^{j}(K(A,j),A)}$, and every cohomology class of degree j on every space X is the pullback of u by some continuous map ${\displaystyle X\to K(A,j)}$. More prec이젤리, 수업을 빼먹으면 넌 비방을 한다.

${\displaystyle [X,K(A,j)]{\stackrel {\cong }{\\\}{{\}H^{j}(X,A)}}}$

CW 복합체의 호모토피 타입이 있는 모든 공간 X에 대해.^[14] 여기서${\displaystyle }$[ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [X,Y]}$은(는) X에서 Y까지의 연속 지도의 호모토피 클래스 집합을 나타낸다$$.

For example, the space ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)}$ (defined up to homotopy equivalence) can be taken to be the circle ${\displaystyle S^{1}}$. So the description above says that every element of ${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} )}$ is pulled back from the class u of a point on $$${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle {}^{}}$ 1 ${\$ S$^{1}$ 어떤 $지도$ X → S ${\$ X$\to$ S$^{1$

CW 콤플렉스 X에 대해 말하자면, 아벨리아 그룹 A에 계수가 있는 첫 번째 코호몰로지에는 관련된 설명이 있다. 즉, $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$( X${\displaystyle }$, ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle$ H$^{1}(X,A)}$은 X의 공간을 A그룹과 함께 커버하는 갈루아의 이소모르피즘 계급 집합과 일대일 대응 관계에 있으며$$, X에 대한 A번들이라고도 한다. For X connected, it follows that ${\displaystyle H^{1}(X,A)}$ is isomorphic to ${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),A)}$, where ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ is the fundamental group of X. For example, ${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)}$ classifies the double covering spaces of X, with the element ${\displaystyle 0\in H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)}$ corresponding to the trivial double covering, the disjoint union of two copies of X.

캡 제품

위상학적 공간 X에 대해 캡 제품은 이선형 맵이다.

${\displaystyle \cap :H^{i}(X,R)\time H_{j}(X,R)\to H_{j-i}(X,R)}$

모든 정수 i와 j 및 모든 정류 링 R. 결과 지도

${\displaystyle H^{*}(X,R)\time H_{*}(X,R)\to H_{*}(X,R)}$

X의 단일한 호몰로지 링 위에 X의 단일한 호몰로지(homology)를 모듈로 만든다.

i = j의 경우 캡 제품은 자연 동형성을 부여한다.

${\displaystyle H^{i}(X,R)\to \operatorname {Hom} _{R}(H_{i})(X,R),}$

R에 대한 이형성.

예를 들어 X가 반드시 콤팩트하지 않고 지향적인 다지관이 되도록 한다. 그 다음 X의 폐쇄 지향 코드-i 하위 관리형 Y(단순하지 않음)가 Hⁱ(X,R)의 요소를 결정하고, X의 콤팩트 지향 j-차원 하위 관리형 Z가 H_j(X,R)의 요소를 결정한다. 캡 제품 [Y] ∩ [Z] ∈ H_j−i(X,R)는 Y와 Z를 교차로로 교차시킨 다음, 치수 j - i의 콤팩트 지향 서브매니폴드인 교차점 클래스를 취함으로써 계산할 수 있다.

치수 n의 폐쇄 지향 다지관 X는 H_n(X,R)에 기본 등급[X]을 갖는다. 푸앵카레 이중성 이소모르피즘

${\displaystyle H^{i}(X,R){\stackrel {\cong }{\\}{{\}H_{n-i}(X,R)}}}$

X의 기본 등급을 가진 캡 제품으로 정의된다.

역사, 단일한 코호몰로지 탄생까지

코호몰로지(cohomology)는 현대 대수적 위상에 기초하지만, 호몰로지(homology)가 발달한 후 약 40년간 그 중요성은 보이지 않았다. 앙리 푸앵카레가 자신의 푸앵카레 이중성 정리를 증명하는 데 사용한 이중 세포 구조의 개념에는 코호몰로지 사상의 세균이 들어 있었지만, 이것은 나중에야 볼 수 있었다.

코호몰로지에는 다양한 전조가 있었다.^[15] 1920년대 중반, J. W. 알렉산더와 솔로몬 렙체츠는 다지관 사이클의 교차 이론을 세웠다. 닫힌 방향의 n차원 다지관 M에서, i 사이클과 비빈 교차점이 있는 j 사이클은 일반적인 위치에 있는 경우 교차점 a(i + j - n) 사이클을 가진다. 이것은 동종학 수업의 곱절로 이어진다.

${\displaystyle H_{i}(M)\time H_{j}(M)\to H_{i+j-n}(M),}$

돌이켜보면 M의 코호몰로지 상의 컵 제품과 동일시될 수 있다.

알렉산더는 1930년까지 공간 X의 아이코사슬을 X의ⁱ⁺¹ 대각선의 작은 이웃에 대한 함수로 생각함으로써 코사슬의 첫 번째 개념을 정의했다.

1931년, 조르주 드 람은 호몰로지 및 미분형식을 연관시켜 드 람의 정리를 증명하였다. 이 결과는 코호몰로지 관점에서 더 간단하게 언급될 수 있다.

1934년, 레프 폰트랴긴은 폰트랴긴의 이중성 정리를 증명했다; 위상학적 그룹에 대한 결과였다. 이것(좀 특별한 경우)은 그룹 캐릭터의 측면에서 푸앵카레 이원성과 알렉산더 이원성에 대한 해석을 제공했다.

1935년 모스크바에서 열린 콘퍼런스에서 안드레이 콜모고로프와 알렉산더는 모두 코호몰로지(cohomology)를 도입하고 코호몰로지(cohomology) 제품 구조를 구축하려고 시도했다.

1936년, 노먼 스텐로드는 체흐 호몰로지를 이원화하여 체흐 코호몰리를 구축하였다.

1936년부터 1938년까지 하슬러 휘트니와 에두아르 치크는 컵 제품(코호몰리를 등급반지로 만드는 것)과 캡 제품을 개발했고, 포앵카레 이중성이 캡 제품 측면에서 명시될 수 있다는 것을 깨달았다. 그들의 이론은 여전히 유한한 세포 복합체에 한정되어 있었다.

1944년 사무엘 아일렌베르크(Samuel Eilenberg)는 기술적 한계를 극복했고, 현대적 의미의 단수형 호몰로지, 코호몰로지(cohomology)를 부여했다.

1945년, 에일렌베르크와 스텐로드는 아래에서 논의된 호몰로지 또는 코호몰로지 이론을 정의하는 공리를 명시했다. 1952년 저서 '대수학적 위상의 기초'에서 그들은 기존의 호몰로지 이론과 코호몰로지 이론이 실제로 그들의 공리를 충족시켰다는 것을 증명했다.

1946년에 장 레레이는 피복 코호몰리를 정의했다.

1948년, 알렉산더와 콜모고로프의 작업을 기반으로 한 에드윈 스패니어는 알렉산더-스페인어 코호몰리를 개발했다.

셰이프 코호몰로지

셰이프 코호몰로지(Sheaf cohomology)는 단일 코호몰로지(cohomology)를 풍부하게 일반화한 것으로, 단순한 아벨 그룹보다 더 일반적인 "관심"을 허용한다. 위상학적 공간 X에 있는 아벨리아 그룹 E의 모든 층에 대해, 정수 i에 대한 코호몰로지 그룹 Hⁱ(X,E)를 가지고 있다. 특히 아벨 그룹 A와 연관된 X의 상수 피복의 경우, 결과 그룹 Hⁱ(X,A)는 X의 다지관 또는 CW 복합체(임의 공간 X는 아님)에 대한 단수 코호몰학과 일치한다. 1950년대부터 셰이프 코호몰로지(sheaf cohomology)는 부분적으로는 정규 함수의 셰이프나 홀로모르픽 함수의 셰이프의 중요성 때문에 대수 기하학 및 복잡한 분석의 중심 부분이 되었다.

그로텐디크는 호몰로지 대수학 언어에서 피복 코호몰리를 우아하게 정의하고 특징지었다. 본질적인 요점은 공간 X를 고치고 X에 베인 칼집의 아벨론 범주에서 아벨론 집단으로 가는 피노르토르(functor)를 생각하는 것이다. functor가 X에 있는 sheaf E를 X, E(X) 위에 있는 아벨의 글로벌 섹션 그룹으로 가져가는 것부터 시작해라. 이 펑터는 정확히 왼쪽이지만 꼭 맞는 것은 아니다. Grotendieck는 sheaf cohomology 그룹을 왼쪽 정확한 functor E ↦ E(X)의 오른쪽 파생 펑터라고 정의했다.^[16]

그 정의는 다양한 일반화를 시사한다. 예를 들어, 사람들은 초기의 하이퍼코호몰로지(그러나 지금은 단지 "코호몰로지"라고 불리는 어떤 복합체 내의 계수로 위상학적 공간 X의 코호몰리를 정의할 수 있다. 그런 관점에서 보면, 셰이프 코호몰로지(sheaf cohomology)는 X의 셰이브에서 아벨 그룹까지 파생된 범주에서 일련의 펑커스가 된다.

넓은 의미에서, "동족학"은 아벨리아 범주에서 왼쪽 정확한 펑터의 오른쪽 파생 펑커에 사용되는 반면, "동족학"은 오른쪽 정확한 펑터의 왼쪽 파생 펑커에 사용되는 경우가 많다. 예를 들어, 링 R의 경우, Tor_i^R 그룹 Tor(M,N)는 R-module의 텐서 제품 M⊗_RN의 왼쪽 파생 펑터인 각 변수에서 "호몰로지 이론"을 형성한다. 마찬가지로 Ext 그룹 Extⁱ_R(M,N)는 Hom functor Hom_R(M,N)의 오른쪽 파생 펑터인 각 변수에서 "동호학 이론"으로 볼 수 있다.

쉐이프 코호몰로지(Sheaf cohomology)는 Ext 그룹의 한 유형과 동일할 수 있다. 즉, 위상학적 공간 X의 sheaf E에 대해 Hⁱ(X,E)는 Extⁱ(Z_X, E)와 이형성이며, 여기서 Z는_X 정수 Z와 연관된 상수 sheaf를 나타내며 Ext는 X의 아벨리아 범주에서 취한다.

품종의 코호몰로지

대수학 변종의 코호몰리지를 계산하기 위해 만들어진 기계는 수두룩하다. 가장 간단한 경우는 특성 $0$의 분야에 걸쳐 부드러운 투영 품종에 대한 공동 호몰로지 $결정$이다$.$ Hodge structures라고 불리는 Hodge 이론의 도구들은 이러한 종류의 공동 호몰로지 계산을 돕는다(더 정제된 정보의 추가와 함께. 가장 간단한 경우 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에서 매끄러운 과부면의 코호몰리는 다항식의 정도만으로 결정할 수 있다$$.

유한 분야 또는 $특성{\displaystyle }$ p ${\displaystyle p}$의 분야에 걸친 품종을 고려할 때, 동질학/동질학의 고전적 정의가 무너지기 때문에 보다 강력한 도구가 필요하다$.$ 유한 분야에 걸친 품종은 한정된 점 집합에 불과하기 때문이다. 그로텐디크는 그로텐디크 위상에 대한 아이디어를 생각해 냈고 에탈 위상에 피복 코호몰리를 사용해 유한한 분야에 걸친 품종에 대한 코호몰로지 이론을 정의했다. 특성 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$의 영역에 걸쳐 다양한 종류의 에테일 토폴로지를 사용하면${\displaystyle }\ell {\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell$} -adic$$ cohomology for for p ${\displaystyle \ell \neq$ p$}$을(를) 구성할 수 있다$$$.$ 이것은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle H^{k}(X;\mathb {Q} _{\ell }):=\varprojlim H_{et}^{k}(X;\mathb {Z} /(\ell ^{n})\otimes _{\ell {Z} _{\ell }\mathb {Q} _{\ell }}}}}}}}}$

만약 우리가 유한한 형태의 계획을 가지고 있다면

${\displaystyle X={\text{Proj}}\좌측({\frac {\\mathb {Z} \좌측[x_{0},\ldots,x_{n}\우측]}{\좌측(f_{1},\ldots,f_{k}\오른쪽)}}$

그 다음, 두 분야에 걸쳐 품종이 매끄러울 때마다$$ $X{\displaystyle }$(${\displaystyle C\mathbb{}}$) ${\displaystyle$ X$(\mathb$$${$C$$})$의 베티 공동질학과$$$X{\displaystyle }$($q$) ${\displaystyle$$\ell$$}$ -adic$$ 공동질학의 치수는 동일하다$.$ 이러한 코호몰로지 이론 외에도, Weil 코호몰로지 이론이라고 불리는 다른 코호몰로지 이론들이 있는데, 이 이론들은 단일 코호몰로지 이론과 유사하게 작용한다. 모든 웨일 코호몰로지 이론의 기초가 되는 추측된 동기 이론이 있다.

또 다른 유용한 계산 도구는 블로업 시퀀스다. 코디네이션${\displaystyle 2}$ 2$${\$displaystyle \geq 2}$ $자급자족$ Z ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z\subset$ X$}$을(를) 지정하면 데카르트 사각형이 있다.

${\displaystyle {\begin{matrix}E&\longrightarrow &Bl_{Z}(X)\\downarrow &\downarrow \\z&\longrightarrow &X\end{matrix}}}}}$

이것으로부터 긴 정확한 순서가 연관되어 있다.

${\displaystyle \cdots \to H^{n}(X)\to H^{n}(Z)\oplus H^{n}(Bl_{Z}(X)\to H^{n}(E)\to H^{n+1}(X)\cdots }}}$

하위 변수 $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$이(가) 평활하면 연결 형태는 모두 사소한 것이므로

${\displaystyle H^{n}(Bl_{Z}(X))\oplus H^{n}(Z)\cong H^{n}\oplus H^{n}(E)}$

공리와 일반화된 공법 이론

위상학적 공간에 대한 코호몰로지(단수 코호몰로지, Chech 코호몰로지, 알렉산더-스페인어 코호몰로지 또는 셰프 코호몰로지 등)를 정의하는 방법은 다양하다. (이러한 피복 코호몰로지에는 상수 피복의 계수만 고려된다.) 이러한 이론들은 어떤 공간에는 다른 해답을 주지만, 그들 모두가 동의하는 많은 종류의 공간이 있다. 이것은 가장 쉽게 자명하게 이해된다: Eilenberg-Steenrod 공리로 알려진 속성의 목록이 있고, 그러한 속성을 공유하는 두 개의 구조는 적어도 모든 CW 콤플렉스에서 일치할 것이다.^[17] 동족학 이론뿐만 아니라 동족학 이론에 대한 공리 버전도 있다. 일부 이론은 단순화 콤플렉스를 위한 단순화 코호몰로지, CW 콤플렉스를 위한 세포 코호몰로지, 매끄러운 다지관을 위한 데 람 코호몰로지 등 특수한 위상학적 공간을 위한 단일 코호몰로지 계산 도구로 볼 수 있다.

코호몰로지 이론의 Eilenberg-Steenrod 공리 중 하나는 치수 공리학이다: P가 단일점이라면 Hⁱ(P) = 모든 i ≠ 0에 대해 0. 1960년경 조지 W. Whitehead는 치수 공리를 완전히 생략하는 것이 유익하다고 관찰했다: 이것은 아래에 정의된 일반화된 호몰로지 이론 또는 일반화된 코호몰로지 이론의 개념을 제공한다. K-이론이나 복잡한 거미줄과 같은 일반화된 코호몰로지 이론은 단일 코호몰로지로부터 직접 접근할 수 없는 위상학적 공간에 대한 풍부한 정보를 제공한다. (이러한 맥락에서 단일한 코호몰리를 흔히 "일반적인 코호몰로지"라고 부른다.)

By definition, a generalized homology theory is a sequence of functors h_i (for integers i) from the category of CW-pairs (X, A) (so X is a CW complex and A is a subcomplex) to the category of abelian groups, together with a natural transformation ∂_i: h_i(X, A) → h_i−1(A) called the boundary homomorphism (here h_i−1(A) is a shorthand for h_i−1(A,∅)). 공리는 다음과 같다.

1. 호모토피: If ${\displaystyle f:(X,A)\to (Y,B)}$ is homotopic to ${\displaystyle g:(X,A)\to (Y,B)}$, then the induced homomorphisms on homology are the same.
2. 정확도: 각 쌍(X,A)은 포함 f → X 및 g: (X,164) → (X,A)를 통해 호몰로학에서 긴 정확한 순서를 유도한다.
   ${\displaystyle {}\quad \cdots \to h_{i}(A){\overset {f_{*}}{\to }}h_{i}(X){\overset {g_{*}}{\to }}h_{i}(X,A){\overset {\partial }{\to }}h_{i-1}(A)\to \cdots .}$
3. 절연: X가 A와 B의 하위 복합체의 결합이라면, 포함 f: (A,A∩B) → (X,B)는 이형성을 유도한다.
   ${\displaystyle {}\quad h_{i}(A,A\cap B){f_{*}}{{\h_{i}(X,B)}}}}$
   나 한 사람마다
4. 부가성: (X,A) 쌍들의 집합(X_α,A_α)이 분리된 조합이라면, 포함(X_α,A_α) → (X,A)는 직접 합에서 이형성을 유도한다.
   ${\displaystyle {}\quad \bigoplus _{\alpha }h_{i}(X_{\alpha }}, A_{\alpha }})\to h_{i}(X,A)}$
   나 한 사람마다

일반화된 코호몰로지 이론의 공리는 대략적으로 말하면 화살을 반전시킴으로써 얻어진다. 좀 더 자세히 설명하면 일반화된 공호학 이론은 CW-pares의 범주에서 아벨 그룹 범주에 이르는 역행성 functors hⁱ(정수 i의 경우)의 시퀀스로서, 경계 동형성(hⁱⁱ(A, ∅)이라 불리는 자연적 변환 d: hⁱ(A) → hⁱ⁺¹(A)라고 한다. 공리는 다음과 같다.

1. 호모토피: 동음이의어 지도는 동음이의학에서 같은 동음이의형을 유도한다.
2. 정확도: 각 쌍(X,A)은 포함 f: A → X 및 g: (X,164) → (X,A)를 통해 코호몰로지에서 긴 정확한 순서를 유도한다.
   ${\displaystyle {}\quad \cdots \to h^{i}(X,A){\overset {g_{*}}{\to }}h^{i}(X){\overset {f_{*}}{\to }}h^{i}(A){\overset {d}{\to }}h^{i+1}(X,A)\to \cdots .}$
3. 절연: X가 A와 B의 하위 복합체의 결합이라면, 포함 f: (A,A∩B) → (X,B)는 이형성을 유도한다.
   ${\displaystyle {}\quad h^{i}(X,B){\overset {f_{*}{\}}{{\\}h^{i}(A,A\cap B)}}$
   나 한 사람마다
4. 부가성: (X_α,A) 쌍들의 집합(X,A_α)이 분리된 조합이라면, 포함(X_α,A_α) → (X,A)는 제품군에 이형성을 유도한다.
   ${\displaystyle {}\quad h^{i}(X,A)\to \prod _{\alpha }h^{i}(X_{\alpha }},A_{\alpha }}}}}}}}$
   나 한 사람마다

스펙트럼은 일반화된 호몰로지 이론과 일반화된 호몰로지 이론을 모두 결정한다. 브라운, 화이트헤드, 아담스의 근본적인 결과는 모든 일반화된 호몰로지 이론은 스펙트럼에서 나온 것이며, 마찬가지로 모든 일반화된 호몰로지 이론도 스펙트럼에서 나온다고 말한다.^[18] 이것은 에일렌버그-매클레인 공간의 일반적인 코호몰로지 표현가능성을 일반화한다.

미묘한 점은 CW-pares의 안정적 호모토피 범주(스펙트럼의 호모토피 범주)에서 일반화된 호몰로지 이론에 이르는 functor가 이소모르프 등급에 대한 편견을 주지만 동등하지 않다는 것이다; 안정적 호모토피 범주(팬텀 맵이라고 함)에는 호몰로지 이론 사이에 영도(zero map)를 유도하는 비제로 맵이 있다.CW-pares에 있어. 마찬가지로, CW-pares의 안정적 호모토피 범주에서 일반화된 코호몰로지 이론까지의 functor는 동등하지 않다.^[19] 삼각측량 등 성질이 좋은 것은 이러한 다른 범주가 아닌 안정적인 호모토피 범주다.

만약 어떤 사람이 CW 콤플렉스가 아닌 모든 위상학 공간에서 정의되는 동종학이나 동종학 이론을 선호한다면, 하나의 표준 접근법은 모든 약한 동종학 동등성이 동종학이나 동종학에서 이형성을 유도한다는 공리를 포함하는 것이다. (단수 호몰로지 또는 단수 코호몰로지에는 해당하지만, 예를 들어 셰이프 코호몰로지에는 해당되지 않는다.) 모든 공간은 CW 콤플렉스로부터의 약한 호모토피 동등성을 인정하기 때문에, 이 공리는 모든 공간에 대한 호몰로지 또는 코호몰로지 이론을 CW 콤플렉스의 해당 이론으로 축소한다.^[20]

일반화된 코호몰로지 이론의 몇 가지 예는 다음과 같다.

• 안정적인 코호모토피 그룹 $\pi {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle S_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \pi _{S}^{*}(X).$$}}$ 해당$$ 호몰로지 이론이 더 자주 사용되는데, 안정적인 호모토피 그룹 ${\displaystyle {}_{}^{}S{}_{}^{}}$( X${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \pi _{*}^{S}(X$)이다$.$$}$
• Various different flavors of cobordism groups, based on studying a space by considering all maps from it to manifolds: unoriented cobordism ${\displaystyle MO^{*}(X)}$ oriented cobordism ${\displaystyle MSO^{*}(X),}$ complex cobordism ${\displaystyle MU^{*}(X),}$ and so on. 복잡한 거미줄은 호모토피 이론에서 특히 강력한 것으로 밝혀졌다. 다니엘 퀼렌의 정리를 통해 형식적인 집단과 밀접한 관계가 있다.
• Various different flavors of topological K-theory, based on studying a space by considering all vector bundles over it: ${\displaystyle KO^{*}(X)}$ (real periodic K-theory), ${\displaystyle ko^{*}(X)}$ (real connective K-theory), ${\displaystyle K^{*}(X)}$ (complex periodic K-theory), ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle ku^{*}(X)}($복합결합 K-이론) 등
• 브라운-피터슨 공동학, 모라바 K-이론, 모라바 E-이론, 그리고 복잡한 거미줄로 만들어진 다른 이론들.
• 타원형 코호몰리의 다양한 맛.

이러한 이론들 중 많은 것들이 일반적인 코호몰로지보다 풍부한 정보를 전달하지만 계산하기는 어렵다.

동족학 이론 ${\displaystyle E}$는 $E{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ E$^{*}(X)}}$이(가) 각 공간 X에 대해 등급이 매겨진 링 구조를 가지고$$ 있다면 승법이라고 한다. 스펙트럼 언어에는 E_∞ 링 스펙트럼과 같이 링 스펙트럼에 대한 몇 가지 더 정확한 개념이 있는데, 여기서 제품은 강한 의미에서의 유사성과 연관성이 있다.

기타 코호몰로지 이론

보다 넓은 의미의 코호몰로지 이론(위상학적 공간보다는 다른 대수학적 또는 기하학적 구조의 변이성)은 다음을 포함한다.

참고 항목

• 복합지향적 코호몰로지 이론

인용구

참조

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• Dold, Albrecht (1972), Lectures on Algebraic Topology, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58660-9, MR 0415602
• Eilenberg, Samuel; Steenrod, Norman (1952), Foundations of Algebraic Topology, Princeton University Press, ISBN 9780691627236, MR 0050886
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York, Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90244-9, MR 0463157
• Hatcher, Allen (2001), Algebraic Topology, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0, MR 1867354
• "Cohomology", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994].
• May, J. Peter (1999), A Concise Course in Algebraic Topology (PDF), University of Chicago Press, ISBN 0-226-51182-0, MR 1702278
• Switzer, Robert (1975), Algebraic Topology — Homology and Homotopy, Springer-Verlag, ISBN 3-540-42750-3, MR 0385836
• Thom, René (1954), "Quelques propriétés globales des variétés différentiables", Commentarii Mathematici Helvetici, 28: 17–86, doi:10.1007/BF02566923, MR 0061823