격자(주문)

이 글은 일반적인 참고문헌 목록을 포함하고 있지만, 그에 상응하는 인라인 인용구가 충분하지 않기 때문에 대체로 검증되지 않은 상태로 남아 있다. 좀 더 정밀한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2009년 5월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

격자는 질서 이론과 추상 대수학의 수학적 하위 학문으로 연구된 추상적 구조다. 그것은 모든 요소 쌍이 고유한 우월성(최소 상한 또는 결합이라고도 함)과 고유한 최소치(최소 하한 또는 만남이라고도 함)를 갖는 부분 순서 집합으로 구성된다. 예를 들어, 포함에 의해 부분적으로 정렬된 집합의 파워 세트에 의해 주어지는데, 이 세트의 파워 세트는 최상위가 결합이고 최소가 교차점이다. 또 다른 예는 자연수에 의해 주어지며, 부분적으로는 구별에 의해 순서가 정해지며, 이에 대해 우월성은 최소공통배수, 최소공통배수는 최대공통배수다.

격자는 또한 특정한 자명한 정체성을 만족시키는 대수적 구조로 특징지어질 수 있다. 두 가지 정의가 동등하기 때문에 격자 이론은 순서 이론과 보편적 대수학 둘 다에 의존한다. 반자동차는 격자를 포함하며, 차례로 헤이팅과 부울 알헤브라를 포함한다. 이러한 격자와 같은 구조들은 모두 대수학적 설명뿐만 아니라 질서의 이질적 설명을 인정한다.

부분적으로 정렬된 집합의 격자

If ${\displaystyle (L,\leq )}$ is a partially ordered set (poset), and ${\displaystyle S\subseteq L}$ is an arbitrary subset, then an element ${\displaystyle u\in L}$ is said to be an upper bound of ${\displaystyle S}$ if ${\displaystyle s\leq u}$ for each ${\displaystyle s\in$$S.}$ 집합은$$ 상한이 많거나 아예 없을 수도 있다. $S{\displaystyle }$$$ ${\displaystyle S}$의 상한 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $u$$}$은(는) $S{\displaystyle .}$ ${\displaystyle S}$의 각 상한 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 대해 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ x ${\displaystytle x}$인 경우 상한이 최소 상한 또는 결합 또는 우월하다고 한다$$.^{[note 1]} Dually, ${\displaystyle l\in L}$ is said to be a lower bound of ${\displaystyle S}$ if ${\displaystyle l\leq s}$ for each ${\displaystyle s\in S.}$ A lower bound ${\displaystyle l}$ of ${\displaystyle S}$ is said to be its greatest lower bound, or meet, or infimum, if ${\disp$$S{\displaystyle .}$ ${\displaystyle S.}$의 각 $하한{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$에 대한 $레이스타일$ x$\leq l}$ 집합은$$ 하한이 많거나 아예 없을 수 있지만 최대 하나의 최대 하한을 가질 수 있다.^{[note 1]}

A partially ordered set ${\displaystyle (L,\leq )}$ is called a join-semilattice if each two-element subset ${\displaystyle \{a,b\}\subseteq L}$ has a join (i.e. least upper bound, denoted by ${\displaystyle a\vee b}$), and is called a meet-semilattice if each two-element subset has a meet (i.e. great${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a$${\displaystyle \backslash }$$wedge b$${\displaystyle \}<img\; alt="a\backslash wedge\; b"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/1dc496a5b5da3e9b94eb72f04a54167dfe022e45"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:4.81ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="486">}$에 $의해{\displaystyle }$ 표시된$$est 하한은 조인($join)$과 만남($meet-semilatis$)일 경우 격자(lattice$)$라고 불린다$.$ 이 정의는 ${\displaystyle \wedge }$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle \vee }$ ${\$의 이진 연산을 만든다. Both operations are monotone with respect to the given order: ${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}}$ and ${\displaystyle b_{1}\leq b_{2}}$ implies that ${\displaystyle a_{1}\vee b_{1}\leq a_{2}\vee b_{2}}$ and ${\disp$$레이스타일 a_{1}\cHB_{1}\leq a_{2}\cHB_{2}.$$}$

이는 격자의 모든 비어 있지 않은 유한 부분 집합이 최소 상한과 최대 하한을 가지고 있다는 유도 논리로 이어진다. 추가적인 가정으로 추가 결론이 가능할 수 있다. 이 주제에 대한 자세한 설명은 완전성(순서 이론)을 참조하십시오. 또한 이 글에서는 관련 부분 순서가 정해진 집합 사이에 적합한 갈루아 연결의 존재, 즉 범주에 대한 범주 이론적 접근법과 형식 개념 분석을 위한 특별한 관심의 접근이라는 측면에서 위의 정의를 어떻게 바꾸어 말할 수 있는지에 대해 논의한다.

경계 격자(bounded lattice)는 추가로 a( , 또는 원소라고도 하며, 1로 표시되거나,$display$ {\$displaystyle$\,\top $\}$으로 표시되며, a 또는 , 0으로 표시되거나 ${\displaystyle \perp \mathrm{}}$ ${\displaystyle \,\bot })$가 표시된 $$격자형 격자형이며, 이를 만족한다.

Every lattice can be embedded into a bounded lattice by adding a greatest and a least element, and every non-empty finite lattice is bounded, by taking the join (respectively, meet) of all elements, denoted by ${\displaystyle \bigvee L=a_{1}\lor \cdots \lor a_{n}=1}$ (respectively ${\displaystyle \bigwedge L=a_1\wedge \cdots \wedge a_n}$${\displaystyle {}_{}=}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \bigwedge L=a_{1}\land \cdots \land a_{n}=0$ 여기서 $L{\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle {a\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 1{}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\dots ,}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle \}.}$ ${\displaystyle L=\reft\{a_{1},\ldots,a_{n}\right\}.$$}$

일부 순서가 지정된 집합은 모든 유한 요소 집합(빈 집합 포함)이 조인 및 일치를 갖는 경우에만 경계 격자다. For every element ${\displaystyle x}$ of a poset it is vacuously true that ${\displaystyle {\text{ for all }}a\in \varnothing ,x\leq a}$ and ${\displaystyle {\text{ for all }}a\in \varnothing ,a\leq x,}$ and therefore every element of a poset is both an upper bound and a lo빈 세트의 워 바운드 이는 빈 집합의 결합이 ${\displaystyle \mathrm{최소}}$ 요소 ${\displaystyle \bigvee }$= 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle \bigvee \varnothy=0,}$이며, 빈 집합의 만남은 가장 큰 요소${\displaystyle =\mathrm{}}$= 1.$${\$displaysty \bigwedge \varnothy=1$. 이것은$$ 만남과 결합성과 일치한다: 유한 집합의 결합. 집합의 조인 조인과 같으며, 한 번에 유한 집합의 결합은 집합의 만남, 즉 포셋 $L$의 유한$$ 부분 집합 ${\displaystyle \text{A}}$와 ${\displaystyle B}$ ${\$$displaystyle$ $A{\text{}$및$}B}$에 $대해$ 집합의 만남과 동일하다$.$

그리고 잠깐, B를 빈 세트로 데려가는 그리고

$A{\displaystyle }$∪${\displaystyle }$=${\displaystyle }$= ${\displaystyle A}$. {\$displaystyle A$\cup $\varnothing$= $A.$$}$

A격자 요소는 y{이\displaystyle} 다른 요소),{\displaystyle x}만약 y을을 취재하기 위해;x,{\displaystyle y>, x,}지만, x.{\displaystyle y>, z>, x.}a가 z{z\displaystyle}가 y>z를 존재하지 않다고 한다.여기, y>x{\displaystyle y>^}를 의미한다)≤ y{\displaystyle x\leq y}과.${\displaystyle x\neq$

격자$({\displaystyle L}$, ${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (L,\leq )}$을(를) 등급이라고 하며, 순위 함수 $r{\displaystyle }$: ${\displaystyle L\mathbb{}}$→ ${\displaystyle N}$ ${\$$L\to \mathbb {N} }$ sometimes to ℤ, compatible with the ordering (so ${\displaystyle r(x)<r(y)}$ whenever ${\displaystyle x<y}$) such that whenever ${\displaystyle y}$ covers ${\displaystyle x,}$ then ${\displaystyle r(y)=r(x)+1.}$$$ 격자 요소의 순위 함수의 값을 순위라고 한다.

– 그들은 정의되지 않습니다 만약들의 가치가 부분 집합 H에 없는 격자의 하위 집합을 감안할 때, H⊆ L에 가입하다{H.\displaystyle}부분 기능에 제한 H{H\displaystyle}에 그 결과 구조 .mw-parser-output .vanchor&gt는 duck,:target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff 만나{\displaystyle H\subseteq L,}.}부분 격자. 일부 다른 대수적 구조( 격자)의 하위 집합으로서 이러한 외적 정의에 더하여, 부분 격자 또한 어떤 공리를 만족하는 두 개의 부분적 이항 연산을 갖는 집합으로 본질적으로 정의할 수 있다.^[1]

대수 구조로서의 격자

일반 격자

An algebraic structure ${\displaystyle (L,\vee ,\wedge )}$, consisting of a set ${\displaystyle L}$ and two binary, commutative and associative operations ${\displaystyle \,\vee \,}$ and ${\displaystyle \,\wedge ,}$ on ${\displaystyle L}$ is a lattice if the following axiomatic identities hold 모든 원소 $a{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle a,b\in L,}$에 대해 흡수 법칙이라고도 한다.

다음과 같은 두 개의 정체성은 함께 취합한 두 개의 흡수 법칙을 따르더라도 대개 공리로 간주된다.^{[note 2]} 그것들은 전능법이라고 불린다.

이러한 공리는 (${\displaystyle L}$, ${\displaystyle \vee }$) ${\displaystyle (L,\vee )}$과${\displaystyle }$( L${\displaystyle }$, ${\displaystyle \wedge }$) ${\displaystyle (L,\wedge )}$이(${\displaystyle 가}$) 모두$$ 반일격이라고 주장한다. 상기의 유일한 공리인 흡수 법칙이 만나 결합하는 것은 격자와 임의의 쌍의 반감 구조물을 구별하여 두 개의 반감기가 적절하게 상호작용을 보장한다. 특히 각 반일격은 다른 반일격의 이중성이다. 흡수법칙은 반일율의 충족과 결합이 동일한 부분 순서를 규정하는 요구조건으로 볼 수 있다.

경계 격자

A bounded lattice is an algebraic structure of the form ${\displaystyle (L,\vee ,\wedge ,0,1)}$ such that ${\displaystyle (L,\vee ,\wedge )}$ is a lattice, ${\displaystyle 0}$ (the lattice's bottom) is the identity element for the join operation ${\displaystyle \,\vee ,\,}$ and $$${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}($래티스의 상단)은 모임 작업의 ID 요소 ${\displaystyle \wedge .}$ ${\displaystyle \,\displaystyle .}$

자세한 내용은 반월호를 참조하십시오.

다른 대수 구조와의 연결

격자는 집단과 같은 대수적 구조의 패밀리와 어느 정도 연관성이 있다. 통근과 동료 모두를 만나고 합류하기 때문에 격자는 같은 도메인을 가진 두 개의 상호 교환적인 세미그룹으로 구성된 것으로 볼 수 있다. 경계 격자의 경우, 이 세미그룹들은 사실상 상호 교환적인 모노이드들이다. 흡수 법칙은 격자 이론 특유의 유일한 정의 정체성이다.

교감성, 연상성, 특이성에 의해 결합과 만남을 요소의 쌍이 아닌 비어 있지 않은 유한 집합에 대한 연산으로 생각할 수 있다. 경계 격자에서는 빈 집합의 조인 및 만남을 정의할 수도 있다(각각$$ $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$ 및 $1$,${\displaystyle 1,}).$ 이것은 경계 격자를 일반 격자보다 다소 자연스러워지게 하며, 많은 저자들은 모든 격자를 경계해야 한다고 요구한다.

격자의 대수적 해석은 보편적 대수학에서 필수적인 역할을 한다.

두 정의 간의 연결

An order-theoretic lattice gives rise to the two binary operations ${\displaystyle \,\vee \,}$ and ${\displaystyle \,\wedge .}$ Since the commutative, associative and absorption laws can easily be verified for these operations, they make ${\displaystyle (L,\vee ,\wedge )}$ into a lattice in the algebraic sense

그 반론도 사실이다. 대수적으로 정의된 격자$({\displaystyle L}$, ${\displaystyle \vee }$ ,${\displaystyle \wedge }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle (L,\ve ,\wedge ),}$을(를) 지정하면 L ${\$을(를) 설정하여$$ L ${\displaystyle$ L$}$에 부분 순서${\displaystyle }$define을 정의할 수 있다.

모든 요소 $a{\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle L.}$ ${\displaystyle a,b\in L.}$ 흡수 법칙은$$ 두 정의가 동등하다는 것을 보장한다.

${\displaystyle a=a=a\be{\text{}는 }b=b\ve(b\b)=(a\b)\ve b}을(를) 암시한다.$

그리고 항상 다른 방향으로.

이제 이러한 방식으로 도입된 관계 ≤이 원래 연산 ${\displaystyle \vee }$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle \wedge }$. ${\displaystyle \,\wedge .}$을(를) 통해 이진이 만나 결합되는 부분 순서를 정의하는지 확인할 수 있다.

격자의 두 정의는 동일하기 때문에, 한 사람이 당면한 목적에 맞는 어떤 방법으로든 자유롭게 두 정의의 측면을 호출할 수 있다.

예

• 

  그림 1: 설정된 포함 아래의${\displaystyle }${${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y,}$ z ${\displaystyle \},}$ ${\displaystyle \{x,y,z\}}$의 하위 집합. lattice라는 이름은 그것을 묘사한 하세 도표의 형태로 제시된다.

• 

  그림 2: 60의 정수 구분자 격자, "divides"로 정렬한다.

• 

  그림 3: "refines${\displaystyle "}$에서 주문한${\displaystyle }${1, ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 3}$,${\displaystyle 4\},}$ ${\displaystyle \{1,2,3,4\}$의 파티션 격자.

• 

  그림 4: ${\displaystyle \le }$ , ${\displaystyle \,\leq ,}$이(가) 주문한 양의 정수 격자

• 

  그림 5: 음이 아닌 정수 쌍의 격자, 성분순으로 정렬.

• 모든 집합 $A{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ A$}$의 모든 하위 집합 모음$$$($$A{\displaystyle }${\$displaystyle A$}의 전원 집합이라 함$)$은 $하위{\displaystyle }$ 집합 포함을 통해 주문할 수 있으며,$$A {\$displaystyle$ $A}$ 자체와 빈 집합으로 경계된 격자를 얻을 수 있다. 교차로 설정 및 조합 해석 설정(그림 1 참조)
• 모든 집합 $A{\displaystyle }$, ${\displaystyle A}$에 대해, 포함에 의해$$ 정렬된${\displaystyle }A{\displaystyle }$ ,$${\$displaystyle$ A$}$의 모든 유한 부분 집합의 집합도 격자이며, $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가$$) 유한한 경우에만 경계된다.
• $A{\displaystyle }$ ,${\displaystyle A}$ 세트의 경우, 정교하게 정렬된$$ $A{\displaystyle }$, ${\displaystyle A$}의 모든 파티션 모음은$$ 격자형입니다(그림 3 참조).
• 통상적인 순서에서 양의 정수는 "min"과 "max"의 연산 하에 격자를 형성한다. 1은 바닥이다. 상단이 없다(그림 4 참조).
• The Cartesian square of the natural numbers, ordered so that ${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$ if ${\displaystyle a\leq c{\text{ and }}b\leq d.}$ The pair ${\displaystyle (0,0)}$ is the bottom element; there is no top (see Pic. 5).
• 자연수는 또한 가장 큰 공통분할기와 최소 공통배수를 취하는 작업 하에서 격자를 형성하며, 순서관계로 ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle b}$ ${\$$displaystyle$ $a\leq b$$}({\$displaystyle $a$$})$가 $b{\displaystyle }$$$${\displaystyle .}$ ${\displaystyle 1$$}({\$$displaystystyle 1$$}),$ 0$}$이 상위인$$ $경우$). 그림 2는 유한한 하층부를 보여준다.
• 모든 완전 격자(아래 참조)는 (집합별) 경계 격자 입니다. 이 세분류는 광범위한 실제 사례를 제시한다.
• 산술 완성 격자의 콤팩트 요소 집합은 최소 요소를 가진 격자로, 산술 격자의 각 연산을 제한하여 격자 연산이 주어진다. 이것은 산술 격자와 대수 격자를 구별하는 특성으로, 콤팩트가 결합-세밀라티스를 형성할 뿐이다. 이 두 등급의 완전한 격자는 모두 도메인 이론으로 연구된다.

아래에서 설명하는 각 추가 속성에 대해 격자의 추가 예가 제시되어 있다.

비위수 예제

그림 8: 비-표시장치 포셋: ${\displaystyle a}$ $및$ b ${\displaystyle b}$은(는) 공통 $하한{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle d}$, g${\displaystyle ,}$ $,$ {\$displaystyle$ 0$,d,g,h,$ $i$, {\$displaystyle$ i$,}$을(는) 포함하지만 가장 큰 하한 하한 것은 없다.

그림 7: 비-표시장치 포셋: $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$ 및$$ $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$에 공통 상한 $d{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle e,}$ ${\displaystyle$ $d$$,e,}$ $및{\displaystyle }$ f$$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ f$,}$이(가) 있지만$$, 가장 작은 상한은 없다.

그림 6: 비attice poset: $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$ 및 $d$ ${\displaystyle d}$은(는) 공통 상한이 없다$$.

부분적으로 주문한 대부분의 세트는 다음을 포함하여 격자가 아니다.

• $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\leq y}$이(가) ${\displaystyle x}$= y${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle x=y}$을(를) 내포하는 개별 포셋은 요소가 최대 하나 있는 경우에만$$ 격자다. 특히 2ele-element 이산형 포셋은 격자가 아니다.
• Although the set ${\displaystyle \{1,2,3,6\}}$ partially ordered by divisibility is a lattice, the set ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ so ordered is not a lattice because the pair 2, 3 lacks a join; similarly, 2, 3 lacks a meet in ${\displaystyle \{2,3,6\}.$$}$
• 부분적으로$$ 구분하여 주문한${\displaystyle }${${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$3, ${\displaystyle 3}$, ${\displaystyle 12,}$ ${\displaystyle 18,}$ ${\displaystyle 36}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{1,2,3,12,18,$36$\}$세트는 격자가 아니다. 모든 원소의 쌍은 상한과 하한을 가지지만, 쌍 2, 3은 세 개의 상한, 즉 12, 18, 36을 가지며, 그 중 어느 것도 구별이 안 되는 세 가지 중 가장 작은 것은 아니다(12와 18은 서로 나누지 않는다). 마찬가지로 쌍 12, 18은 세 개의 하한 즉 1, 2, 3을 가지고 있는데, 그 중 어느 것도 불분명한 세 개의 하한 중 가장 크지는 않다(2와 3은 서로 나누지 않는다).

격자의 형태론

두 격자 사이의 적절한 형태론은 위의 대수적 정의에서 쉽게 흘러나온다. Given two lattices ${\displaystyle \left(L,\vee _{L},\wedge _{L}\right)}$ and ${\displaystyle \left(M,\vee _{M},\wedge _{M}\right),}$ a lattice homomorphism from L to M is a function ${\displaystyle f:$${\displaystyle \mathrm{모든}}$ a , b${\displaystyle }$$}$ L ${\displaystyle a,b\in$ L$:}$과 같은 L$\to$M}

따라서 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) 두 개의 기본 반밀도의 동형성이다. 구조가 더 많은 격자를 고려할 때, 형태도 추가 구조를 "존중"해야 한다. 특히 두 경계 격자 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$과($)$ M {\$displaystyle M}$ 사이의$$ 경계가 있는 격자 동형상(일반적으로 "격자 동형상"으로 불림) $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$도 다음 속성을 가져야 한다$$.

순서이론적 공식에서 이러한 조건들은 격자의 동형성이 이항성을 보존하는 함수라고만 명시하고 있을 뿐이다. 경계 격자의 경우, 최소 및 최대 요소의 보존은 빈 집합의 결합과 만남의 보존일 뿐이다.

격자의 모든 동형성은 관련 순서 관계에 대해 반드시 단조로울 수 있다. 기능 보존 제한의 내용을 참조한다. 반대는 사실이 아니다: 단조로운 것은 결코 만남과 결합의 필수 보존을 의미하지 않는다(그림 9 참조). 비록 순서를 보존하는 편향은 그 역도 질서를 보존하는 것이라면 동형상이다.

이소모르프리즘의 표준적 정의를 변절불가형성이라고 볼 때 a는 단지 주관적인 격자 동형성일 뿐이다. 마찬가지로 a는 격자로부터 그 자체로 격자 동형이며, a는 주관적인 격자 내형성이다. 격자와 그 동음이의어는 하나의 범주를 이룬다.

$L{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$과($)$ L$display$ {\$displaystyle \mathb {$L}을(를) 0과 1을(를) 가진 두 개의 lattle이 되도록$$ 한다. A homomorphism from ${\displaystyle \mathbb {L} }$ to ${\displaystyle \mathbb {L} '}$ is called 0,1-separating if and only if ${\displaystyle f^{-1}\{f(0)\}=\{0\}}$ (${\displaystyle f}$ separates 0) and ${\displaystyle f^{-1}\{f(1)\}=\{1\}}$ ($$${\displaystyle f}$ $[\displaystyle f}$이(가) 1을 구분$$

하위 항목

나는{L\displaystyle}의 같은 만남 있는 격자 격자 L{L\displaystyle}의 sublattice 하위 집합 및 L.{L.\displaystyle}으로 동참 L{L\displaystyle}즉, 만약 나는{L\displaystyle}은 격자와 M{M\displaystyle}하위 집합이 eleme의 모든 쌍을 위해.한 nts${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle a,b\in M}$과(와$$) ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\$$wedge b}$과(와) ${\displaystyle \vee }$ b {\$displaystyle$ a\$ve b}$이($가$) 모두$$M, {\$displaystystyle M,}$에 있고,(와)은$$L$.$

A sublattice ${\displaystyle M}$ of a lattice ${\displaystyle L}$ is a convex sublattice of ${\displaystyle L,}$ if ${\displaystyle x\leq z\leq y}$ and ${\displaystyle x,y\in M}$ implies that ${\displaystyle z}$ belongs to ${\displaystyle M,}$ for all elements ${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle x,y,z\in L.}$

격자 속성

우리는 이제 흥미로운 특별 등급의 격자로 이어지는 많은 중요한 특성들을 소개한다. 한 가지, 한정성은 이미 논의되었다.

완성도

모든 하위 집합에 조인 및 만남이 모두 있는 경우 포셋을 a라고 한다. 특히 모든 완전 격자는 경계 격자다. 일반적으로 경계 격자 동형식은 유한 결합과 만남만을 보존하지만, 임의 결합과 만남을 보존하기 위해서는 완전한 격자 동형성이 요구된다.

완전한 반일격인 모든 포셋도 완전한 격자일 뿐이다. 이 결과와 관련하여, 완전한 래티, 완전한 결합-세밀릿, 완전한 만남-세밀릿 또는 결합-완전 또는 만남-완전 래티로 보여지는가에 따라, 이 포지션의 종류에 대해 동형동형성의 다양한 경쟁 관념이 존재하는 흥미로운 현상이다.

"부분 격자"는 "완전한 격자"와 반대되는 것이 아니라 "부분 격자", "격자" 및 "완전한 격자"가 점점 더 제한적인 정의라는 점에 유의하십시오.

조건부 완성도

조건상 완전 격자란 상한을 갖는 모든 비어 있지 않은 부분 집합이 조인(즉, 최소 상한)을 갖는 격자를 말한다. 그러한 격자는 실수의 완전성 공리를 가장 직접적으로 일반화한다. 조건부로 완전한 격자는 최대 요소 $1{\displaystyle \mathrm{}}$,${\displaystyle 1,}$ 최소$$ $요소{\displaystyle \mathrm{}}$ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 0,}$ 또는$$ 둘 다 없는 완전 격자 또는 둘 중 하나이다.

분배성

그림 11: 최소 비모듈식(따라서 비분배식) 격자 N5. The labelled elements violate the distributivity equation ${\displaystyle c\wedge (a\vee b)=(c\wedge a)\vee (c\wedge b),}$ but satisfy its dual ${\displaystyle c\vee (a\wedge b)=(c\vee a)\wedge (c\vee b).$$}$

그림 10: 최소 비분산(그러나 모듈식) 격자 M3.

격자에는 두 개의 이항 연산이 있으므로, 그 중 하나가 다른 하나에 분산되는지, 즉 ${\displaystyle \mathrm{다음}}$ 이중 법칙 중 ${\displaystyle \mathrm{하나}}$ 또는 다른 하나가 a,${\displaystyle }$b${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \in }$ L${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle a,b,c\in L,}$의 세 가지 요소마다 유지되는지 묻는 것은 당연하다$.$

${\displaystyle \vee }$ ${\$$displaystyle \,\ve \,}$에 대한 ∨ {\$displaystyle \,\wedge \,}$ 분포

${\displaystyle \wedge }$ ${\$$displaystyle \,\wedge \,}$에 대한 ∧ {\$displaystyle \,\ve \,}$ 분포

첫 번째 또는 두 번째 공리를 동등하게 만족시키는 격자를 분배 격자라 한다. 원소가 6개 미만인 유일한 비분산 격자는 M과₃ N으로₅ 불리며,^[3] 각각 그림 10과 11에 나타나 있다. 격자는 M 또는₃ N에₅ 대한 하위 격자 이형성이 없는 경우에만 분배된다.^[4] 각 분배 격자는 집합의 격자에 이형성이다(각각 결합과 교차점이 결합과 만남으로 표시됨).^[5]

완전한 격자에 적합하고 프레임과 완전한 분배 격자와 같은 더 특별한 등급의 격자를 정의하는 데 사용되는 분배성의 강한 개념에 대한 개요는 순서 이론의 분배성을 참조한다.

모듈성

일부 애플리케이션의 경우 분배성 조건이 너무 강하며 다음과 같은 취약성이 종종 유용하다. A lattice ${\displaystyle (L,\vee ,\wedge )}$ is modular if, for all elements ${\displaystyle a,b,c\in L,}$ the following identity holds: ${\displaystyle (a\wedge c)\vee (b\wedge c)=((a\wedge c)\vee b)\wedge c.}$ (Modular identity)
이 조건은 ${\displaystyle \mathrm{다음}}$과 같은 공리와 같다: ${\displaystyle \le }$ c ${\displaystyle a\leq c}$은 ${\displaystyle \vee }$(${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \wedge }$ c${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle }$( ${\displaystyle b}$ )${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle c}$.${\displaystyle$ a$\ve$ ($b\wedge c)=(a\ve b)\wedge$ c$.})$를 의미한다.$$Modular law
격자는 N에₅ 대한 하위 격자 이형성이 없는 경우에만 모듈식이다(그림 11 참조).^[4] 분배 격자 외에도, 모듈 격자의 예로는 반지의 양면 이상 격자, 모듈 하위조 격자, 그룹의 정상 부분군 격자 등이 있다. 순서가 "보다 구체적"인 1차 항 집합은 자동 추론에 사용되는 비모듈 격자형 격자형이다.

반모형성

유한 격자는 상하 반모형인 경우에만 모듈형이다. 등급이 매겨진 격자의 경우, (상단) 반모형성은 순위 $함수{\displaystyle }$ r에서 다음 조건과 동일하다${\displaystyle :}$ ${\displaystyle r:}$

${\displaystyle r(x)+r(y)\geq r(x\bee y)+r(x\vee y)).}$

Birkhoff의 또 다른 조건(등급 래티스의 경우)은 다음과 같다.

$각$$$ $x{\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle x$$}$ 및 $l$ ,$$${\$$displaystyle$ L$,}$에 대해, $x{\displaystyle }$$$$${\$displaystyle x}$ $및{\displaystyle }$ y$${\$displaystyle y}$이($가$$)$ $모두{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ $x{\displaystyle }$${\displaystyle ,}$ ${\$$displaystyle x$$\ve$ $y}$을(를) 포함하면$$ $y{\displaystyle .}$

격자는 이중이 반모형일 경우 하한 반모형이라고 불린다. 유한 격자의 경우 이는 이전 조건이 교환된${\displaystyle }$exchanged ${\$ 및$$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\$과(와) 교환된 "커버"가 "포함됨"과(와)되고 불평등이 역전된 것을 의미한다.^[6]

연속성과 대수성

도메인 이론에서, 원소의 근사치를 "아주 단순한" 원소에 의해 부분적인 순서로 추구하는 것은 당연하다. 이는 연속 포셋의 등급으로 이어지며, 모든 원소가 원소보다 아래쪽에 있는 지시된 원소 집합의 우월성으로 획득될 수 있는 포셋으로 구성된다. 만약 이러한 지시된 세트를 얻기 위해 포셋의 콤팩트한 요소들로 이것들을 추가로 제한할 수 있다면, 포셋은 심지어 대수학이다. 두 개념 모두 다음과 같이 격자에 적용할 수 있다.

• 연속 격자는 포셋으로 연속되는 완전 격자다.
• 대수 격자는 포셋으로 대수학인 완전한 격자다.

이 두 수업 모두 흥미로운 특성을 가지고 있다. 예를 들어, 연속 격자는 특정한 정체성을 만족시키는 대수적 구조로 특징지어질 수 있다. 그러한 특성화는 대수 격자로는 알려져 있지 않지만, 스콧 정보 시스템을 통해 "합성적으로" 기술할 수 있다.

보완 및 유사 보완

$L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$을(를) 최대 원소 1과 최소 원소 0의 경계 격자가 되도록 한다$$. $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$의 두 요소 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 및 $y$ ${\displaystyle y}$은(는) 다음과 같은 경우에만 서로 보완된다.

일반적으로 경계 격자의 일부 요소에는 보어가 없을 수 있으며, 다른 요소에는 보어가 둘 이상 있을 수 있다. 예를 들어 통상적인 순서가 있는$$ 세트 $\{{\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$,${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{0,1/2,1\}$은(는) 경계 격자이며, $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\$ {$1}{$1}{$2}}}$에는 보수가 없다. 경계 격자 N에서₅ $요소{\displaystyle }$ a ${\displaystyle a}$에는 viz. $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$ 및 c ${\displaystyle c}$의 두 가지 보완물이 있다($그림{\displaystyle }$ 11 참조).$$ 모든 원소가 보어를 갖는 경계 격자를 보완 격자라 한다.

또한 분배적인 보완 격자는 부울 대수학이다. 분배 격자의 경우, $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ x$,}$이(가) 존재할 때$$ 보어는 고유하다.

보어가 고유할 경우 xx = y로 표기하고 동등하게 ¬y = x로 표기한다. $L{\displaystyle }$, ${\displaystyle L}$에 대한 해당 단항 연산은, 보완이라$$ 불리며, 논리 부정의 아날로그를 격자 이론에 도입한다.

헤잉 알헤브라는 일부 회원들이 보완이 부족할 수 있는 분배 격자의 한 예다. 헤이팅 대수학의 모든$$ 원소 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$에는 다른 한편으로 사이비 완성이 있으며, xx도 표시된다. 의사완성은 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle y}$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle x\wedge y=0.}$와 같은 가장 큰 원소 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$이다. 만약$$ 헤이팅 대수학의 모든 원소의 의사완성이 사실상 보완이라면, 헤이팅 대수학은 사실 부울 대수다.

요르단-데데드킨드 체인 조건

A chain from ${\displaystyle x_{0}}$ to ${\displaystyle x_{n}}$ is a set ${\displaystyle \left\{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}\right\},}$ where ${\displaystyle x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}.$$}}$ 이 체인의 길이는 n, 즉 원소의 수보다 1이 적다. 체인은 x ${\displaystyle i_{}}$ ${\$x_{$i$$}$가 모든 $1{\displaystyle \mathrm{}i}$i에 $대해$ ${\displaystyle {\mathrm{x}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$- 1 ${\$$displaystyle$ $x_$${i-1$$}$을$포함$하는 경우 최대값이다$.$

$x$< , ${\displaystyle x$$}$ $및{\displaystyle }$ y$$${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$쌍에 대해 x < y , ${\displaystyle$ x$}$에서 y ${\displaysty y}$까지의 최대 체인의 길이가$$ 모두 같으면 격자는 Jordan-Dedekind 체인 조건을 만족한다고 한다.

자유 선반

임의의 세트 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 사용하여 자유 반매트 ${\displaystyle F}$ $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle FX.}$자유$$ 반매트리스는 일반 세트 유니언에 의해 주어진 반매트 연산과 함께$$ $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle X}$의 모든 유한 하위 집합으로 구성되도록 정의된다$$. 자유 반월세는 보편적인 속성을 가지고 있다. 세트 $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle X,}$ 휘트먼은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의$$멤버에 대한 다항식을 기반으로 한 구성을 했다.^[7][8]

중요한 격자 이론

우리는 이제 격자 이론에 대한 몇 가지 질서-이론적 개념을 정의한다. 다음에서$$ $x{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle x}$을(를) 일부$$ $격자{\displaystyle }$ L${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ L$.}$ $L{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ L$}$의 요소가 $되도록$ $하십시오$. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$을(를) 호출:

• ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle \vee }$ b ${\displaystyle x=a\ve b}$이(가) $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \text{또는}}$ ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle b.}$ ${\displaystyle x=a{\text{} 또는 }x=b$를 의미할 경우 unreducable에 가입하십시오$.$$}$ for all ${\displaystyle a,b\in L.}$ When the first condition is generalized to arbitrary joins ${\displaystyle \bigvee _{i\in I}a_{i},}$ ${\displaystyle x}$ is called completely join irreducible (or ${\displaystyle \vee }$-irreducible). 이중 개념은 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \wedge }$ - irreducable을$$ 충족이다. 예를 들어, Pic. 2에서 요소 2, 3, 4, 5는 un rereducible로 되어 있는 반면, 12, 15, 20, 30은 unreducible과 만난다. 통상적인 순서가 있는 실수의 격자에서는 각 원소들이 불가역적으로 결합되지만, 완전히 불가역적으로 결합되는 것은 없다.
• $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x\leq$ a$\ve b}$이(가) $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \text{또는}}$ x ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle b.}$ ${\displaystyle x\leq$ a${\text{} 또는 }x\leq b.}$을(를) 의미하는 경우 prime에 가입하십시오.$$ 이것 또한 완전히 전성기에 합류하는 개념을 얻기 위해 일반화될 수 있다. 이중적 개념은 전성기를 만난다. 모든 가입 프라임 요소들은 또한 취소할 수 없으며, 모든 가입 프라임 요소들은 또한 변경할 수 없는 것을 만난다. $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$이(가) 분배적이라면$$ 반대는 유지된다.

$L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$에 아래쪽$$ 요소 0을 두십시오. $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$의 $요소{\displaystyle }$ x ${\$$displaystyle$ $x$$}$은는$)$ 이면 원자가 되며$$, < < x .${\displaystyle$ 0>과 같은$$ 요소 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle$ y$\$$in$ L}은$($는$)$ 존재하지 $않는다$. $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$을(를) 다음과 같이 호출한다.

• 원자성${\displaystyle ,}$ L , {\$displaystyle L}$의 모든 0이 아닌 원소 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 $대해{\displaystyle }$ L ${\displaystyle L}$의 $원자{\displaystyle }$ a ${\displaystyle$ $a}$이(${\displaystyle 가}$) $존재$하여${\displaystyle }$≤ x${\displaystyle }$; ${\displaystyleq x;}$
• $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$의 모든 원소가 원자의 우월성이라면$$ 원자성.

이상 개념과 필터의 이중 개념은 부분적으로 정렬된 집합의 특정 종류의 하위 집합을 의미하며, 따라서 격자 이론에 중요하다. 자세한 내용은 각 항목에서 확인할 수 있다.

참고 항목

• 가입해서 만나다
• 선반 지도
• 직교 증식 격자
• 총 주문 – 모든 요소가 유사한 주문
• 이상 및 필터(이중 개념)
• 스큐 격자(일반화에서 비 커밋 조인 및 만남)
• 오일러 격자
• 포스트 격자
• 타마리 격자
• 영-피보나치 격자
• 0,1-132 격자

격자 이론을 사용하는 응용 프로그램

이 글은 목록 형식이지만 산문으로 더 잘 읽힐 수 있다. 적절한 경우 이 기사를 변환하여 도움을 줄 수 있다. 편집 도움말 이용 가능 (2017년 3월)

많은 응용 프로그램에서 집합은 부분 래티일 뿐이며, 모든 요소 쌍이 일치 또는 결합을 갖는 것은 아니라는 점에 유의하십시오.

• 무의미한 위상
• 부분군 격자
• 스펙트럼 공간
• 불변 아공간
• 폐쇄 연산자
• 추상적 해석
• 서브섬션 격자
• 퍼지 집합론
• 1차 논리 대수화
• 프로그래밍 언어의 의미론
• 도메인 이론
• 온톨로지 (컴퓨터 과학)
• 다중 상속
• 형식 개념 분석 및 격자 광부(이론 및 도구)
• 블룸 필터
• 정보 흐름
• 순서형 최적화
• 양자 논리
• 중위수 그래프
• 지식공간
• 정규 언어 학습
• 유사 모델링

메모들

참조

온라인에서 무료로 제공되는 모노그래프:

• 1981년 Burris, Stanley N, Sankapanavar, H. P. 유니버설 대수학 과정. 스프링거-베를라크. ISBN 3-540-90578-2.
• Jipsen, Peter and Henry Rose, Variables of Lattice, Rattices, Steammatics 1533, Springer Verlag, 1992. ISBN 0-387-56314-8
• 국가, J. B. 격자 이론 참고사항 1-6장. 7-12장, 부록 1-3.

수학적 성숙도가 제한된 사람에게 권장되는 기본 텍스트:

• 도넬런, 토마스 1968년 격자 이론. 페르가몬.
• 그래처, 1971년 조지 격자 이론: 첫 번째 개념과 분배 격자. W. H. 프리먼.

위의 내용보다 다소 어려운 표준 현대 입문 텍스트:

• Davey, B. A.; Priestley, H. A. (2002), Introduction to Lattices and Order, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-78451-1

고급 모노그래프:

• 개럿 비르호프, 1967년 격자 이론, 제3판. AMS 콜로키움 출판물 제25권. 미국 수학 협회
• 로버트 P. 딜워스와 크롤리, 피터 1973년 Lattice의 대수 이론. 프렌티스 홀. ISBN 978-0-13-022269-5
• Grätzer, George (1996) [1978]. General Lattice Theory (Second ed.). Basel: Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-6996-5.

무료 래티스의 경우:

• R. Freese, J. Jezek, J. B. Nation, 1985. "무료 선반" 수학 조사 및 단문 분석 제42권 미국 수학 협회
• 1982년 존스톤, P.T. 돌로 된 공간. 케임브리지 고등 수학 3학번 케임브리지 대학 출판부.

격자 이론의 역사에 관하여:

• Štĕpánka Bilová (2001). Eduard Fuchs (ed.). Lattice theory — its birth and life (PDF). Prometheus. pp. 250–257.

격자 이론 적용 시:

• Garrett Birkhoff (1967). James C. Abbot (ed.). What can Lattices do for you?. Van Nostrand. 목차.

외부 링크

위키미디어 커먼즈에는 래티스(주문)와 관련된 미디어가 있다.

• "Lattice-ordered group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Lattice". MathWorld.
• J.B. Nation, Lattice 이론에 대한 노트, 미발표 과정 노트는 두 개의 PDF 파일로 제공된다.
• Ralph Freese, "Lattice 이론 홈페이지".
• OEIS 시퀀스 A006966(원소가 n개인 레이블이 없는 래티 수)