좌표 벡터

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선형대수학에서 좌표 벡터는 벡터를 특정 순서 기준의 관점에서 기술하는 순서형 번호 목록으로 표현한 것이다.^[1] 좌표는 항상 순서에 따라 지정된다. 베이스와 관련 좌표 표현은 벡터 공간과 선형 변환을 컬럼 벡터, 행 벡터 및 행렬처럼 구체적으로 실현할 수 있으므로 계산에 유용하다.

좌표 벡터의 개념은 또한 무한 차원 벡터 공간에 사용될 수 있다.

정의

V를 필드 F 위에 있는 차원 n의 벡터 공간이 되게 하고

${\displaystyle B=\{b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}\}}$

V의 기본이 되다 그러면 모든 v${\displaystyle }v{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v\in V}$에 대해 v:

${\displaystyle v=\cHB_{1}b_{1}+\cdots _{2}+\cdots +\cdots _{n}b_{n}.}$

B에 상대적인 v의 좌표 벡터는 좌표의 순서다.

${\displaystyle [v]_{B}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots,\alpha _{n}).}$

이를 B에 관한 v의 표현이라고도 하며, 또는 B의 표현이라고 한다. α-s는 v의 좌표라고 불린다. 여기서 기초의 순서는 좌표 벡터에 계수가 나열되는 순서를 결정하기 때문에 중요해진다.

유한 차원 벡터 공간의 좌표 벡터는 행렬로 열 또는 행 벡터로 나타낼 수 있다. 위의 표기법에서는 글씨를 쓸 수 있다.

${\displaystyle [v]_{B}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}\\vdots \\\alpha _{n}\end{bmatrix}}}}}}}$

그리고

${\displaystyle [v]_{B}^{T}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{2}\cdots &\alpha _{n}\end{bmatrix}}}}}$

여기서${\displaystyle }$[ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle B_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$은(는) 매트리스$[{\displaystyle v}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\$의 전치물이다$.$

표준 표현

We can mechanize the above transformation by defining a function ${\displaystyle \phi _{B}}$, called the standard representation of V with respect to B, that takes every vector to its coordinate representation: ${\displaystyle \phi _{B}(v)=[v]_{B}}$. Then ${\displaystyle \phi _{B}}$ is a V에서 F로ⁿ 선형 변환 사실 이형주의로, 역 $\varphi {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle B_{}^{}}$- ${\displaystyle 1_{}^{}}$: ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle n^{}}$→ V ${\displaystyle \pi _{B}^{-1}:$$F^{n}\to$ V$}$은(는) 단순히

${\displaystyle \phi _{B}^{1}-1}(\alpha _{1},\ldots,\alpha _{n}=\alpha _{1}b_{n}=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.}$

또는 $\varphi {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{B}}_{}^{}}$- 1 ${\$}를 처음부터$$ 위의 함수로 정의하고, $\varphi {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{B}}_{}^{}}$- 1 ${\$1}가 이형성임을$$ ${\displaystyle {깨달았으며}_{}}$, $b{\displaystyle {}_{}}$ B$${\$displaysty \phi _{B}}}}}}}$를 그 역성으로 정의할$$ 수도 있었다.

예

예 1

P3은 모든 대수 다항식의 최대 3(즉, x의 가장 높은 지수가 3일 수 있음)의 공간이 되도록 한다. 이 공간은 선형이며 다음 다항식으로 확장된다.

${\displaystyle B_{P}=\left\{1,x,x^{2},x^{3}\오른쪽\}}}$

매칭

${\displaystyle 1:={\bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix};\nd{bmatrix}\nd{bmatrix}};\nd x^{2}:={\properties{bmatrix}0\\0\\\1\\0\end{bmatrix};\nd{bmatrix}}={\nd{bmatrix}0\\0\\\nd{bmatrix}}}}}}$

그런 다음 다항식에 해당하는 좌표 벡터

${\displaystyle p\왼쪽(x\오른쪽)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}}x^{3}}}$

, is

${\displaystyle {\bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\a_{3}\end{bmatrix}}.}$

이 표현에 따르면 D로 표시할 분화 연산자 d/dx는 다음과 같은 행렬로 표현된다.

${\displaystyle Dp(x)=P';\quad [D]={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0\\\0&0&0&0\\\nd{bmatrix}}}}}}}}}}$

그 방법을 사용하면, 역직성, 은둔성 또는 반헤르미티아성 또는 둘 다, 스펙트럼 및 고유값 등과 같은 운영자의 특성을 쉽게 탐구할 수 있다.

예 2

Pauli 행렬(Pauli matrises)은 스핀 고유상태를 벡터 좌표로 변환할 때 스핀 연산자를 나타낸다.

기본 변환 행렬

B와 C를 벡터 공간 V의 서로 다른 두 베이스로 하고, 기본 벡터 b₁, b₂, b, … b의_n C 표현으로 구성된 기차가 있는${\displaystyle }$[${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ C ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$로 표시하자.

${\displaystyle \lbrack M\rbrack _{C}^{B}={\begin{bmatrix}\lbrack b_{1}\rbrack _{c}\cdots &\lbrack b_{n}\rbrack _end{bmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

이 행렬을 B에서 C까지의 기본 변환 행렬이라고 한다. $F{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$에 대한 자동형성으로 볼 수 있다$.$ B에 표현된 벡터 v는 다음과 같이 C의 표현으로 변환할 수 있다.

${\displaystyle \lbrack v\rbrack _{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack v\rbrack _{B}.}$

기초의 변환에서는 변환 행렬의 위첨자 M과 좌표 벡터의 첨자 v가 같으며 취소된 것처럼 보이는 나머지 첨자를 남겨둔다. 이것이 기억 보조 도구로 작용할지 모르지만, 그러한 취소나 유사한 수학 연산은 일어나지 않고 있다는 것을 유념하는 것이 중요하다.

코롤라리

행렬 M은 반전성 행렬이고, M은⁻¹ C에서 B로 변환하는 기본 행렬이다. 바꾸어 말하면, 환언하면

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Id} &=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack M\rbrack _{B}^{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{C}\\[3pt]&=\lbrack M\rbrack _{B}^{C}\lbrack M\rbrack _{C}^{B}=\lbrack M\rbrack _{B}^{B}\end{aligned}}}$

무한 차원 벡터 공간

V가 필드 F 위에 있는 무한 차원 벡터 공간이라고 가정합시다. 치수가 κ이면 V에 대한 κ 요소의 어느 정도 근거가 있다. 주문을 선택한 후에는 그 근거를 순서 기준으로 볼 수 있다. V의 원소는 기초에 있는 원소의 유한한 선형 결합으로, 앞에서 설명한 것과 정확히 동일한 고유 좌표 표현을 발생시킨다. 유일한 변화는 좌표에 대한 인덱싱 세트가 유한하지 않다는 것이다. 주어진 벡터 v는 기본 요소의 유한한 선형 조합이므로, v에 대한 좌표 벡터의 0이 아닌 유일한 항목은 v를 나타내는 선형 조합의 0이 아닌 계수일 것이다. 따라서 v의 좌표 벡터는 세부적으로 많은 항목을 제외하고 0이다.

(아마도) 무한 차원 벡터 공간 사이의 선형 변환은 무한 행렬을 사용하여 유한 차원 사례와 유사하게 모델링할 수 있다. V에서 V로 변환하는 특별한 경우는 전체 선형 링 기사에 설명되어 있다.

참고 항목

• 기준변경

참조