루프 그룹

대수구조 → 그룹 이론 집단 이론
기본 개념 부분군 정규 부분군 지수군 (세미-)직접 생산물 집단동형성 알맹이 이미지 직합 화환제품 소박한 유한한 무한의 연속의 승수의 첨가제의 순환의 아벨의 강하제의 무광의 해결할 수 있는 액션 집단 이론 용어집 그룹 이론 주제 목록
유한군 유한단순군 분류 순환의 교대로 거짓말형 산발적인 코치의 정리 라그랑주의 정리 실로우의 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스 군 슈르 승수 대칭군n S 클라인 4그룹 V 디헤드랄군n D 쿼터니온 그룹 Q 다사이클릭 그룹 Dicn
이산형 그룹 선반 정수(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 자유군 모듈 그룹 PSL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) SL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 산술군 격자 쌍곡군
위상학 및 눕기 그룹 솔레노이드 원 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 차이점형성 루프 무한 치수 리 그룹 오(∞) SU(수) Sp(()
대수군 선형대수군 환원군 아벨 품종 타원곡선
v t

거짓말 그룹
클래식 그룹 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n)
단순 리 그룹 고전적인 A을n Bn Cn Dn 예외적인 G2 F4 E6 E7 E8
기타 Lie 그룹 원 로렌츠 푸앵카레 등각군 차이점형성 루프 유클리드 주
리알헤브라스 리 그룹-리 대수 통신 지수지도 부선 표현 킬링폼 색인 누점대칭 심플리 리 대수
Semisimple Lie 대수 딘킨 도표 카르탄 아발지브라 루트 시스템 웨일 그룹 실물형태 복합화 스플릿 리 대수 콤팩트 리 대수
표현 이론 리 그룹 표현 리 대수 표현 반실현 리알헤브라의 표현 이론 고전적 거짓말 집단 표현 최고중량의 정리 보렐-윌-보트 정리
물리학에서 거짓말 집단 입자물리학 및 표현이론 로렌츠 그룹 표현 푸앵카레 집단 표현 갈릴레이 집단 표현
과학자들 소푸스 리 앙리 푸앵카레 빌헬름 킬링 엘리 카탄 헤르만 바일 클로드 슈발리 하리시찬드라 아르망 보렐
용어집 거짓말 그룹 표
v t

수학에서 루프 그룹은 점으로 정의된 곱셈을 가진 위상학 그룹 G의 루프 그룹이다.

정의

그것의 가장 일반적인 형태에서 루프 그룹은 다지관 M에서 위상학 그룹 G로 이어지는 연속 매핑의 그룹이다.

구체적으로는 복잡한 평면의 원인 M = S를¹, LG는 연속 지도 S¹ → G, 즉 연속 지도 공간을 나타내도록 한다.^[1]

$LG=\{\displaystyle LG=\{\gamma :S^{1}\to G \gamma \in C(S^{1},G)\}}$

컴팩트 오픈 토폴로지를 장착한다. LG의 한 요소는 G포인트와이즈의 루프(loop)라고 불린다. 파라메트리제 S와¹ θ,

$\displaystyle \gamma :\theta \in S^{1}\mapsto \gamma (\theta )\in G,}$

그리고 LG에서 곱셈을 정의한다.

${\displaystyle(\displaystyle _{1}\property _{2})(\theta )\equiv \equiv \property _{1}(\theta )\propers _{2}(\theta).}$

연관성은 G에서의 연관성에서 비롯된다. 역은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle \cHB \cHB \cHB \cHB \cHB \theta ^{1},}$

그리고 에 의한 정체성

$\displaystyle e:\theta \mapsto e\in G.}$

스페이스 LG는 G.A.루프그룹에서 프리루프그룹으로 불린다.

예

루프 그룹의 중요한 예는 그룹이다.

$\displaystyle \Oomega G\,}$

G에 기반한 루프. 평가 맵의 커널로 정의된다.

${\displaystyle e_{1}:$$LG\to G,\gamma \mapsto \gamma (1$

따라서 LG의 닫힌 정상 서브그룹이다. (여기서 e는₁ $1{\displaystyle \mathrm{}{s\mathrm{}}^{}}$ S 1 $(\$ G를 일정한 루프의 서브그룹으로 LG에 내장할 수 있다.$$ 결과적으로, 우리는 정확한 순서에 도달한다.

${\displaystyle 1}$→ ${\displaystyle \Omega }$ G${\displaystyle }$→ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1\to \Oomega$ G$\to LG\to G\1$}$$.

LG가 반직접 제품으로 쪼개지는 공간,

${\displaystyle L}$ ${\displaystyle G}$= ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ⋊}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle LG=\Oomega G\rtimes$ G$}$.

우리는 또한 ΩG를 G의 루프스페이스로 생각할 수 있다. 이 관점에서 ΩG는 루프 연결에 관한 H-스페이스다. 표면적으로는 ΩG에 매우 다른 두 가지 제품 맵을 제공하는 것으로 보인다. 그러나 결합과 점증배는 동음이의어임을 알 수 있다. 따라서, ΩG의 호모토피 이론의 관점에서, 이 지도들은 상호 교환이 가능하다.

츄-리안 테른과 카렌 울렌벡이 솔리톤 방정식에서 베클룬드 변환 현상을 설명하는 데 루프 그룹이 사용되었다.^[2]

메모들

참조

• Bäuerle, G.G.A; de Kerf, E.A. (1997). A. van Groesen; E.M. de Jager; A.P.E. Ten Kroode (eds.). Finite and infinite dimensional Lie algebras and their application in physics. Studies in mathematical physics. 7. North-Holland. ISBN 978-0-444-82836-1 – via ScienceDirect.
• Pressley, Andrew; Segal, Graeme (1986), Loop groups, Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications, New York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853535-5, MR 0900587

참고 항목

• 루프 스페이스페이스
• 루프 대수
• 퀘이시그룹