n-ary 그룹

수학, 특히 보편대수학에서 n-ary 그룹(n-group 또는 다-bari 그룹이라고도 함)의 개념은 이진 연산 대신 n-ari 연산으로 집합 G에 대한 그룹 개념을 일반화한 것이다.^[1]n-ary 연산은 G에서 G까지의 n번째 카르테시아 힘으로부터 지도 f: G → G를ⁿ 의미한다.n-ary 집단의 공리는 사례 n = 2에서 집단의 공리로 축소되는 방식으로 정의된다.이러한 구조물에 대한 최초의 연구는 1904년 카스너에 의해, 그리고 1928년 뒤렌테에 의해 이루어졌다;^[2] (당시 불렸던) 폴리아디 그룹에 대한 최초의 체계적인 설명은 1940년 미국수학협회의 거래에 있는 유명한 143쪽짜리 논문에서 에밀 레온 포스트에 의해 주어졌다.^[3]

공리

연관성

일반화하기에 가장 쉬운 공리는 연상법이다.3차 연관성은 다항식적 정체성(abc)de = a(bcd)e = ab(cde) = ab(cde), 즉 연속된 3개의 기호가 고사되는 문자열 abcde의 가능한 3개의 분류의 동일성이다.(여기서는 방정식이 G에서 a,b,c,d,e의 임의 선택을 위해 보유하는 것으로 이해된다.일반적으로 n-ary 연관성은 n + (n - 1) = 2n - 1 구별 기호로 구성된 문자열의 가능한 대괄호 및 N 연속 기호들의 동일하다.연관 n-ary 연산 하에서 닫히는 집합 G를 n-ary semigroup이라고 한다.어떤 (상호 연관성이 없는) n-ari 연산 하에서 닫히는 집합 G를 n-ary groupoid라고 한다.

Invers / 고유한 솔루션

역 공리는 다음과 같이 일반화된다:이항 연산의 경우 역 평균 도끼 = b의 존재는 x에 대한 고유한 솔루션을 가지고 있으며, 마찬가지로 xa = b도 고유한 솔루션을 가지고 있다.3차 사례에서 우리는 이것을 abx = c, axb = c, xab = c로 일반화하며, n-ary 사례는 고유한 해결책의 유사한 존재 패턴을 따르고 n-ary quas그룹을 얻는다.

n-ary 그룹의 정의

n-ary 그룹은 n-ary quas그룹이기도 한 n-ary semigroup이다.

ID/중립 요소

2-ari의 경우, 즉 일반 집단의 경우, ID 요소의 존재는 연상성과 역공리의 결과지만 n-ari 그룹에서는 0, 1 또는 많은 ID 요소가 있을 수 있다.

n-ary groupoid(G, f)에 f = (x₁₂ ◦ x ◦ ⋯ ⋯ x_n)가 있는 경우, 여기서 (G, ◦)는 감산 가능 또는 그룹에서 파생된 그룹(G, ◦)이다.1928년에 Dörnte는 첫 번째 주요 결과를 발표했다.축소 가능한 n-ary groupoid는 n-ary 그룹이지만, 모든 n > 2에 대해 축소할 수 없는 n-ary 그룹이 존재한다.일부 n-ari 그룹에는 e(n-ari ID 또는 중립 요소라고 함)가 존재하여 한 곳을 제외하고 모든 e로 구성된 n-elements의 문자열이 해당 장소의 요소에 매핑된다.예: ID가 있는 2분위 그룹에서 eae = a 매 a에 대한 a.

중성 요소를 포함하는 n-ary 그룹은 축소할 수 있다.따라서 축소할 수 없는 n-ary 그룹은 그러한 요소를 포함하지 않는다.둘 이상의 중립 요소를 가진 n-ari 그룹이 존재한다.n-ary 그룹의 모든 중립 요소 집합이 비어 있지 않으면 n-ary 하위 그룹을 형성한다.^[4]

일부 저자들은 n-ary 그룹의 정의에 정체성을 포함하지만 위에서 언급한 바와 같이 그러한 n-ari 연산은 반복적인 이진 연산에 불과하다.본질적으로 n-ary 연산을 하는 그룹은 ID 요소를 가지고 있지 않다.^[5]

약한 공리

n-ary 집단의 정의에서 연상성과 고유한 해결책의 공리는 필요 이상으로 강하다.n-ary 연관성을 가정할 때, 문자열의 시작이나 끝에서 또는 끝이 아닌 다른 한 곳에서 미지의 방정식의 해법이 존재한다고 가정하면 충분하다. 예를 들어, 6-ary의 경우, xabcde = f 및 abcdex = f 또는 abxcde = f와 같은 표현이다.그러면 그 방정식이 문자열의 어느 곳에서나 x에 대한 고유한 해답을 가지고 있다는 것을 증명할 수 있다.^[3]연관성 공리는 또한 더 약한 형태로 주어질 수 있다.^{[1]: 17}

예

다음은 그러한 4개 그룹^[6] 중 하나인 3개 요소 3개 그룹의 예다.

${\displaystyle {\begin{matrix}aaa=a&aab=b&aac=c&aba=c&abb=a&abc=b&aca=b&acb=c&acc=a\\baa=b&bab=c&bac=a&bba=a&bbb=b&bbc=c&bca=c&bcb=a&bcc=b\\caa=c&cab=a&cac=b&cba=b&cbb=c&cbc=a&cca=a&ccb=b&ccc=c\end{matrix}}}$

(n,m)-그룹

n-ary 집단의 개념은 벡터 가치 집단으로도 알려져 있는 (n,m) 집단의 개념으로 더욱 일반화될 수 있는데, 이 집단은 지도ⁿ f: G^m → G, 여기서 n > m과 유사한 공리를 따르며, 지도 결과가 하나의 문자 대신 m 문자로 구성된 단어라는 점을 제외하고는 n-ary 집단의 공리가 유사하다.그래서 (n,1) 그룹은 n-arry 그룹이다.(n,m)-그룹들은 1983년에 G 제우포나에 의해 도입되었다.^[7]

참고 항목

• 유니버설 대수학

참조

추가 읽기

• S. A. 루사코프: n-ary 집단 이론의 일부 적용, (러시아어), 벨라루스카야 나부카, 민스크 1998.