근링
Near-ring수학에서 근링(또한 근링 또는 근링)은 반지와 유사하지만 공리는 더 적게 만족하는 대수적 구조다.근링(near-ring)은 그룹의 기능에서 자연적으로 발생한다.
| 대수구조 |
|---|
정의
다음과 같은 경우 두 개의 이진 연산 +(추가라고 함)와 ⋅( 곱하기라고 함)과 함께 설정된 N을 (우측) 근링이라고 한다.
- N은 추가되는 그룹(필수 아벨리아인은 아님)이다.
- 곱셈은 연관성이 있다(따라서 N은 곱셈 아래의 세미그룹이다).
- 오른쪽의 곱셈은 덧셈 위에 분포한다: N의 어떤 x, y, z에 대해서도, 그것은 (x + y)⋅z = (x⋅z) + (y⋅z)를 가지고 있다.[1]
마찬가지로, 오른쪽 분배 법칙을 해당 왼쪽 분배 법칙으로 대체함으로써 왼쪽 근접 고리를 정의할 수 있다.문학에서 좌우 근린 모두 발생하는데, 예를 들어 필즈[2] 책은 오른쪽 근린지를, 클레이[3] 책은 왼쪽 근린지를 사용한다.
이 일방적 분배법의 즉각적인 결과는 0xx = 0인 것은 사실이지만 N의 어떤 x에 대해서도 x00 = 0인 것은 반드시 사실이 아니다.또 다른 즉각적인 결과는 (-x)⋅y = -(x⋅y)가 N의 x, y에 대해 발생하지만, x⋅(-y) = -(x⋅y)는 필요하지 않다.덧셈이 역행적이고 곱셈도 왼쪽 덧셈보다 분배적인 경우에만 근링(반합성이 반드시 있는 것은 아님)이다.근링이 승수성을 가지면 양쪽의 분배성은 충분하며, 덧셈의 공통성은 자동으로 따른다.
그룹에서 자체로의 매핑
G를 더해서 쓰되 반드시 아벨리아어는 아닌 그룹으로 하고, M(G)을 G에서 G까지의 모든 함수의 집합 {f : G → G}이(가) 되도록 한다.추가 연산은 M(G): 주어진 f, g in M(G)에서 정의될 수 있다. 그러면 G에서 G까지의 매핑 f + g는 G의 모든 x에 대해 (f + g)(x) = f(x) + g(x)로 정의된다.그렇다면 (M(G), +)도 집단인데, G가 아벨인 경우에만 아벨리안이다.매핑의 구성을 제품 ⋅으로 가져가면 M(G)이 근링이 된다.
근링 M(G)의 0 요소는 영도, 즉 G의 모든 요소를 G의 ID 요소로 가져가는 매핑이다.M(G)에서 f의 가법 역-f는 G의 모든 x에 대한 자연 점의 정의, 즉 (-f)(x) = -(f(x))와 일치한다.
만약 G가 적어도 2개의 원소를 가지고 있다면, G가 아벨리안이라 할지라도 M(G)은 링이 아니다. (G에서 G의 고정요소 g ≠ 0, g mapping0 = g ≠ 0으로 일정한 매핑 g를 고려하라.)However, there is a subset E(G) of M(G) consisting of all group endomorphisms of G, that is, all maps f : G → G such that f(x + y) = f(x) + f(y) for all x, y in G. If (G, +) is abelian, both near-ring operations on M(G) are closed on E(G), and (E(G), +, ⋅) is a ring.(G, +)이 비(非)abelian인 경우, 일반적으로 E(G)는 근거리 동작에서 닫히지 않지만 근거리 동작에서 E(G)를 닫는 것은 근거리 링이다.
M(G)의 많은 부분 집합이 흥미롭고 유용한 근접 링을 형성한다.예를 들면 다음과 같다.[1]
- f(0) = 0에 대한 매핑.
- 상수 매핑, 즉 그룹의 모든 요소를 하나의 고정 요소에 매핑하는 매핑.
- 그룹의 내형성(내형성 집합의 "addative closure")에서 덧셈과 부정에 의해 생성된 지도 집합.만약 G가 아벨리안이라면 내형성 세트는 이미 덧셈적으로 닫혔기 때문에, 첨가제 폐쇄는 단지 G의 내형성 세트일 뿐이며, 그것은 단순한 근링이 아니라 반지를 형성한다.
추가 예는 다음과 같이 연결실체가 추가 구조를 갖는 경우에 발생한다.
모든 근접 링은 일부 G의 경우 M(G)의 하위 링에 이형성이 있다.
적용들
많은 애플리케이션은 근거리 영역이라고 알려진 근거리 링의 하위 클래스를 포함한다. 이에 대한 내용은 근거리 영역에 관한 기사를 참조한다.
적절한 근접 링의 다양한 적용이 있다. 즉, 링이나 근거리 링이 아닌 링이다.
가장 잘 알려진 것은 평면 근거리 링을 사용하여 불완전한 블록 설계의[2] 균형을 잡는 것이다.이것들은 그룹의 고정점 자유 자동형 그룹의 궤도를 이용하여 차이 패밀리를 얻는 방법이다.클레이와 다른 사람들은 이러한 사상을 보다 일반적인 기하학적 구조로 확장시켰다.[3]
참고 항목
참조
- Celestina Cotti Ferrero; Giovanni Ferrero (2002). Nearrings: Some Developments Linked to Semigroups and Groups. Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-1-4613-0267-4.
