직교보충제

선형대수학 및 기능해석의 수학적 장에서 이선형식 B가 장착된 벡터공간 V의 아공간 W의 직교보완물은 W의 모든 벡터에 직교하는 V의 모든 벡터의 설정 W이다^⊥. 비공식적으로, 그것은 수직보완의 줄임말인 perp라고 불린다. 그것은 V의 하위 공간이다.

예

Let ${\displaystyle V=(\mathbb {R} ^{5},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ be the vector space equipped with the usual dot product ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ (thus making it an inner product space), and let ${\displaystyle W=\{u\in$$V:Ax=u,\ x\in \mathb {R} ^{2}\}},$및

${\displaystyle A=\왼쪽({\begin{array}{cc}1&0&1\\2&6\\3&9\5&3\\end{array}\오른쪽).}$

then its orthogonal complement ${\displaystyle W^{\perp }=\{v\in V:\langle u,v\rangle =0,\ \forall u\in W\}}$ can also be defined as ${\displaystyle W^{\perp }=\{v\in V:{\tilde {A}}y=v,\ y\in \mathbb {R} ^{3}\}}$, being

${\displaystyle {\tilde{A}=\왼쪽({\begin{array}{ccc}-2&-3&-5\\\-6&-9&-3\\\1&0&0\\0&0&0&1\end{array}\오른쪽).}$

$A{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle A}$의 모든 열 벡터가 A ~${\$의 모든 열 벡터와 직교한다는 사실은 직접 계산을 통해 확인할 수 있다$$. 이 벡터들의 간격이 직교한다는 사실은 도트 제품의 이선성에 의해 뒤따른다. 마지막으로, 이러한 공간이 직교 보완물이라는 사실은 아래에 주어진 치수 관계에서 나타난다.

일반 이선형식

Let ${\displaystyle V}$ be a vector space over a field ${\displaystyle F}$ equipped with a bilinear form ${\displaystyle B.}$ We define ${\displaystyle u}$ to be left-orthogonal to ${\displaystyle v}$, and ${\displaystyle v}$ to be right-orthogonal to ${\displaystyle u,}$ when ${\displaystyle B(u,}$${\displaystyle }$$v{\displaystyle }$${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle B(u,v)=0.}$ V${\displaystyle }$, ${\displaystyle V}$의 부분 집합 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $W$$}$에 대해$$ 왼쪽 직교 보조 $W{\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$⊥ ${\$ W$^{\bot }$이 되도록$$ 정의하십시오$$.

${\displaystyle W^{\bot }=\left\{x\in V:B(x,y)=0{\mbox{{}{}}모든 }y\in W\right\}.}$

우직교보충의 정의에 상응하는 정의가 있다. 반사적 이선형식의 경우, $여기$서 $B{\displaystyle (u}$, v${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle B$${\displaystyle (}$$u,v)=0}$은 V ,$$${\displaystyle u}$의 $모든{\displaystyle }$ $u$에 $대해$ B${\displaystyle (v}$,${\displaystyle u}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle B($$v,u)=0}$을 의미하며${\displaystyle ,}$ 왼쪽과$$ 오른쪽 보완이 일치한다. $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) 대칭 또는 교대 형태인 경우 이 경우가 이에 해당할 것이다.

이 정의는 정류 링 위에 있는 자유 모듈의 이선형, 그리고 결합이 있는 정류 링 위에 자유 모듈을 포함하도록 확장된 단면형까지 확장된다.^[1]

특성.

• $직교{\displaystyle }$ 보완물은 V ${\displaystyle V}$의 하위 공간이다$;$
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\subseteq Y}$인 경우, $X{\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$y ${\displaystyle {}^{}}$ Y ${\displaystyle {}^{}}$ Y${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$⊥ ${\$ Y$^{\bot }$;
• $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$의 래디컬 $⊥{\$ V$^{\bot }}}$은(는) 모든 직교 보완물의 하위 공간이다.
• ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \subseteq }$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\perp \mathrm{}}^{}{}^{}}$) ${\displaystyle {\perp \mathrm{}}^{}}$ ${\$ }}}^{\bot$\}\}\};;$
• $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) 노후화되지 않고 V ${\displaystyle V}$이(${\displaystyle 가}$) 유한 차원일 경우 ${\displaystyle 딤((}$W ${\displaystyle )}$ +${\displaystyle {}^{}}$W${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 딤}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle \dim(W)+\dim($가)$W^{\bot }=\dim V.}$
• If ${\displaystyle L_{1},\ldots ,L_{r}}$ are subspaces of a finite-dimensional space ${\displaystyle V}$ and ${\displaystyle L_{*}=L_{1}\cap \cdots \cap L_{r},}$ then ${\displaystyle L_{*}^{\bot }=L_{1}^{\bot }+\cdots +L_{r$$}}^{\bot }}}$

내부 제품 공간

이 과는 내적 공간 H.{H.\displaystyle}에서[2]만약⟨ x, y⟩=0으로,, 만약‖ x ‖ ≤ ‖ x+s y‖{\displaystyle)x\)\leq x.는 일이 일어나{\displaystyle\langle x,y\rangle =0,}두 벡터){\displaystyle)}및 y{이\displaystyle}직교라고 불린다 직교 보완을 고려한다+sy$모든$ $스칼라$의 경우 $\$$}$ {\$displaystyle$s.}$$C {\$displaystyle$ C$}$이(가$$) 내부 제품 $공간{\displaystyle }$H {\$displaystyle$ H$}$의 부분 집합인$$^[3]$$ $경우{\displaystyle }$H {\$displaystyle H}$의 직교 보어는 벡터 하위 공간이다$$.

$${\displaystyle {\reasonedat}{4}}}C^{\bot }:&=\{x\in H:\langle x,c\rangle =0{\text{{}}모든 }c\in C\}\\&=\x\in H:\langle c,x\rangle =0{\text}}모든 }}}}}}}}에 대해 }$$

H중에 어느 것이 항상 폐쇄된 부분 집합{H\displaystyle}[3][증거 1]을 충족 C⊥)(개 H⁡(길이 ⁡ C))⊥{\displaystyle C^{\bot}(\operatorname{개}_{H}\left(\operatorname{스팬}C\right)\right)^{\bot}}그리고 만약 C그리고 또한 C⊥∩개 H⁡(∅{\displaystyle C\neq \varnothing}≠. 스팬 ⁡ C)${\displaystyle$$=\{0\}}$ and ${\displaystyle \operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)\subseteq \left(C^{\bot }\right)^{\bot }.}$ If ${\displaystyle C}$ is a vector subspace of an inner product space ${\displaystyle H}$ then

$C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$이(가) Hilbert $공간{\displaystyle }$ H ${\displaystyle H}$의 닫힌 벡터 하위 공간인$$ 경우$$^[3] where ${\displaystyle H=C\oplus C^{\bot }}$ is called the orthogonal decomposition of ${\displaystyle H}$ into ${\displaystyle C}$ and ${\displaystyle C^{\bot }}$ and it indicates that ${\displaystyle C}$ is a complemented subspace of ${\displaystyle H}$ with complement ${\displaystyle C^{\mathrm{\perp }}}$${\displaystyle$

특성.

직교 보어는 메트릭 위상에서 항상 닫힌다. 유한차원 공간에서 그것은 벡터 공간의 모든 하위공간이 닫힌다는 사실의 한 예일 뿐이다. 무한 차원 힐버트 공간에서는 일부 서브스페이스가 닫히지 않고 모든 직교 보완물이 닫힌다. $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$이(가) 내부 제품 공간의 벡터 하위 공간인$$ 경우 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$의 직교 보완물은 W${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ W$,}$의 닫힘입니다$$.

항상 보유하고 있는 그 밖의 유용한 속성은 다음과 같다. $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$을(를) Hilbert$$ $공간$으로 하고$$X {\$displaystyle$X} $및{\displaystyle }$Y {\$displaystyle$ Y$}$을(를) 선형 하위 공간으로 한다$$. 다음:

• ${\displaystyle X^{}}$ ${\displaystyle {\perp \mathrm{}}^{}}$= $⊥{\$;
• $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\subseteq$ X$}$인 경우$$ $X{\displaystyle {}^{}}$ ⊥${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$⊥ ${\displaystyle {}^{}{}^{}{\perp \mathrm{}}^{}}$ ${\$ Y$^{\bot }$;
• ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\perp \mathrm{}}^{}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$ X$\cap$ X$^{\bot }=\{0\}}}$;
• ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \subseteq }$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\perp \mathrm{}}^{}{}^{}}$) ${\displaystyle {\perp \mathrm{}}^{}}$ ${\$ $\}\}\}\}$ ;
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 닫힌 선형 하위 공간인$$ 경우$$$({\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\perp \mathrm{}}^{}{}^{}}$) ${\displaystyle {\perp \mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle(X^{\bot }}^{\bot }=X$
• X ${\displaystyle X}$이(가) $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 닫힌 선형 하위 공간인$$ 경우$$ $H$${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \oplus }$ X ${\displaystyle {\perp \mathrm{}}^{}}$, ${\displaysty H=X\oplus$ X$^{\bot }}}.$

직교 보완은 전멸자에게 일반화되며, 내부 제품 공간의 하위 세트에서 갈루아 연결을 제공하며, 관련 폐쇄 연산자와 함께 스팬의 위상학적 폐쇄를 제공한다.

유한 치수

차원 $n{\displaystyle }$, ${\displaystyle n}$의 유한 차원 내부 제품 공간의 경우, $k$ ${\displaystyle k}$ -차원 하위$$ 공간의 직교보완물은${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ -${\displaystyle k}$)$${\$displaystyle (n-k)}$ 차원이고$$, 이중 직교보완물은 원래 하위 공간:

If ${\displaystyle A}$ is an ${\displaystyle m\times n}$ matrix, where ${\displaystyle \operatorname {Row} A,}$ ${\displaystyle \operatorname {Col} A,}$ and ${\displaystyle \operatorname {Null} A}$ refer to the row space, column space, and null space of ${\displaystyle A}$ ((각각), 그 다음에^[4]

바나흐 공간

일반적인 바나흐 공간에는 이러한 개념의 자연스러운 유사성이 있다. 이 경우 W의 직교보충을 전멸기와 유사하게 정의된 V의 이중의 하위공간으로 정의한다.

${\displaystyle W^{\bot }=\왼쪽\{x\in V^{*}:\all y\in W,x(y)=0\right\}.}$

그것은 항상 V의^∗ 닫힌 하위 공간이다. 이중보완 성질의 아날로그도 있다. W는^⊥⊥ 이제 V의^∗∗ 하위 공간(V와 동일하지 않음)이다. 그러나 반사적인 공간은 V와 V사이의^∗∗ 자연 이형성 I을 가지고 있다. 이 경우 우리는 다음과 같이 한다.

${\displaystyle i{\overline{W}=W^{\bot \,\bot }}$

이것은 한-바나흐 정리의 다소 직접적인 결과다.

적용들

특수상대성이론에서 직교보완제는 월드 라인의 한 지점에서 동시 하이퍼플레인 결정에 사용된다. 민코프스키 공간에서 사용되는 이린린 형태 form은 유사-유클리드적 사건 공간을 결정한다. 라이트콘의 기원과 모든 이벤트는 자기 직관이 있다. 시간 이벤트와 우주 이벤트가 이선 형태로 0으로 평가되면 쌍곡선 직교로 된다. 이 용어는 사이비-유클리드 평면에서 두 개의 결합형 하이퍼볼라를 사용하는 데서 유래한다: 이 하이퍼볼라의 결합 직경은 쌍곡직관이다.

참고 항목

• 보완 격자
• 보완된 하위 공간
• 힐버트 투영 정리
• 정사영

메모들

참조

참고 문헌 목록

• Adkins, William A.; Weintraub, Steven H. (1992), Algebra: An Approach via Module Theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 136, Springer-Verlag, ISBN 3-540-97839-9, Zbl 0768.00003
• Halmos, Paul R. (1974), Finite-dimensional vector spaces, Undergraduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90093-3, Zbl 0288.15002
• Milnor, J.; Husemoller, D. (1973), Symmetric Bilinear Forms, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol. 73, Springer-Verlag, ISBN 3-540-06009-X, Zbl 0292.10016
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.

외부 링크

• 직교보완; 유튜브 영상의 분 9.00
• 직교 보완을 설명하는 교육용 비디오(한학원)