권선번호

이 곡선에는 p점을 중심으로 2가 감겨 있습니다.

수학에서, 주어진 점 주위의 평면에서 닫힌 곡선의 권선수 또는 권선지수는 곡선이 그 점을 중심으로 시계 반대 방향으로 이동하는 총 횟수, 즉 곡선의 회전수를 나타내는 정수이다.와인딩 번호는 원곡선의 방향에 따라 달라지며 원곡선이 점을 시계 방향으로 돌면 음수입니다.

권선수는 대수적 위상학에서 기본적인 연구 대상이며, 벡터 미적분, 복소해석, 기하학적 위상, 미분 기하학, 물리학(끈 이론 등)에서 중요한 역할을 한다.

직관적인 설명

빨간 곡선을 따라 이동하는 물체는 원점에서 사람 주위를 시계 반대 방향으로 두 바퀴 회전합니다.

xy 평면에서 닫힌 방향 곡선이 주어졌다고 가정합니다.우리는 물체가 움직이는 방향을 나타내는 방향과 함께 곡선을 어떤 물체의 움직임 경로로 상상할 수 있다.그러면 곡선의 와인딩 횟수는 물체가 원점을 중심으로 한 총 시계 반대 방향 회전 횟수와 같습니다.

총 회전 수를 셀 때 반시계 방향 모션은 양으로 카운트되는 반면 시계 방향 모션은 음으로 카운트됩니다.예를 들어, 물체가 먼저 원점을 시계 반대 방향으로 네 바퀴 돌린 다음 원점을 시계 방향으로 한 바퀴 돌면 곡선의 총 권선 수는 3입니다.

이 방식을 사용하면 원점 주위를 전혀 이동하지 않는 곡선은 권선 번호 0을 가지며 원점 주위를 시계 방향으로 이동하는 곡선은 음의 권선 번호를 가집니다.따라서 곡선의 권선수는 임의의 정수일 수 있다.다음 그림은 -2와 3 사이의 권선 숫자를 가진 곡선을 보여 줍니다.

$\displaystyle \cdots }$
	−2	−1	0
				$\displaystyle \cdots }$
	1	2	3

형식적 정의

$\gamma :[0,1]\to \mathbb {C} \setminus \{a\}$ : $\gamma :[0,1]\to \mathbb {C} \setminus \{a\}$ [ $\gamma :[0,1]\to \mathbb {C} \setminus \{a\}$ , $\gamma :[0,1]\to \mathbb {C} \setminus \{a\}$ ] $\gamma :[0,1]\to \mathbb {C} \setminus \{a\}$ $\gamma :[0,1]\to \mathbb {C} \setminus \{a\}$ $\gamma :[0,1]\to \mathbb {C} \setminus \{a\}$ { $\gamma :[0,1]\to \mathbb {C} \setminus \{a\}$ $}$ { { $displaystyle \ displaystyle$ : [ 0 $\gamma :[0,1]\to \mathbb {C} \setminus \{a\}$ , $1$ ] \ $to$ \ $mathbb$ { $C }$ \ $setminus$ \ { $a$ \ } a a a $\gamma :[0,1]\to \mathbb {C} \setminus \{a\}$ a minus minus minus minus1 점 빼기 평면상의 연속 폐쇄 경로라고 합니다. ${\displaystyle$ $\gamma$ a $}$ $a$ 에 $a$ 있는 $display$ {\displaystyle \ $gamma}$ 의 $\gamma$ 권수는 정수입니다.

{\displaystyle\text{wind}(\display,a)=s(1)-s(0),}

$(\rho ,s)$ 서 $(\rho ,s)$ ( $(\rho ,s)$ , $(\rho ,s)$ ) { $displaystyle$ ( \ $rho , s$ )는 $(\rho ,s)$ 극좌표로 쓰여진 경로, 즉 커버링 맵을 통과하는 리프팅 경로입니다.

\displaystyle p:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {C} \setminus \{a\}:(rho_{0},s_{0})\map to a+\rho_{0}e^{i2\pi s_0}}}}}에 매핑합니다.

권선수는 리프팅 패스의 존재와 고유성(커버링 스페이스의 시작점이 주어짐)과 p $\style$ p $\$ $\rho$ _ ${0}\times (s_{0}+\mathbb {Z})$ 의 모든 파이버가 $\rho _{0}\times (s_{0}+\mathbb {Z} )$ 0 $\rho _{0}\times (s_{0}+\mathbb {Z} )$ × ( $\rho _{0}\times (s_{0}+\mathbb {Z} )$ + $)$ 의 형식이기 때문에 적절하게 정의되어 있습니다(따라서 위의 표현은 의존하지 않습니다).출발점 선택).경로가 닫혀 있기 때문에 정수입니다.

대체 정의

와인딩 번호는 수학의 다양한 부분에서 다른 방식으로 정의되는 경우가 많습니다.다음 정의는 모두 위의 정의와 동일합니다.

알렉산더 수

와인딩 수를 정의하는 간단한 조합 규칙은 1865년^[1] 아우구스트 페르디난드 뫼비우스에 의해 제안되었고 1928년 제임스 ^[2]와델 알렉산더 2세에 의해 다시 독립적으로 제안되었다.원곡선은 평면을 여러 연결된 영역으로 분할하며, 그 중 하나는 무제한입니다.동일한 영역에서 두 점 주위의 곡선의 권선 수는 동일합니다.무한 영역 주변의 권선 숫자는 0입니다.마지막으로 인접한 두 영역의 권선 번호는 정확히 1개씩 다릅니다. 권선 번호가 큰 영역은 곡선 왼쪽에 표시됩니다(곡선을 따라 이동하는 것에 대해).

미분 지오메트리

미분 기하학에서 파라메트릭 방정식은 일반적으로 미분 가능(또는 적어도 부분적 미분 가능)하다고 가정합니다.이 경우 극좌표 θ는 직교좌표 x 및 y와 다음 식에 의해 관련된다.

d\theta = pargetfrac {1}{r^{2}}\left(x,dy-y,parget\right)\pargets {여기}r^{2}=x^{2}+y^{2}.

이것은, 「」에 대해서 다음의 정의를 구별하는 것으로 확인할 수 있습니다.

\theta (t)=\arctan {\frac {y(t)}{x(t)}}{\bigg}

미적분의 기본정리에 따르면 θ의 총변화는 dθ의 적분과 같다.따라서 미분 곡선의 와인딩 수를 선 적분으로 표현할 수 있습니다.

\displaystyle {\text{wind}(\displaystyle {1}{2\pi }})= snot_{\displayfrac {\display},\leftfrac\frac {x}{r^{2}},dy-{\frac {r^{2}},\light}.}

(원점 보완에 정의되어 있는) 단일 형태 d'는 닫혀 있지만 정확하지는 않으며 펑크 평면의 첫 번째 de Rham 코호몰로지 그룹을 생성합니다.특히 θ가 원점 보완에 정의된 닫힌 미분 가능 단일 형태일 경우 닫힌 루프를 따른 θ의 적분은 권선수의 배수이다.

복잡한 분석

와인딩 번호는 복합 분석 전반에 걸쳐 매우 중요한 역할을 한다(잔차 정리의 진술).복소해석에서는 복소평면에서의 $(\displaystyle\display})$ 의 $\gamma$ 권선수는 복소좌표 z = x + iy로 표현할 수 있다.구체적으로 z = re라고^iθ 쓰면

dz=e^{i\theta}dr+ire^{i\theta}d\theta

그렇기 때문에

(\displaystyle {\frac {dz}} = flac {dr} {r} + i , d \ theta = d [ \ ln r ] + i , d \ theta )

${\$ { $display$ style \ $gamma$ }는 $\gamma$ $\ln(r)$ 폐곡선이므로 $\ln(r)$ $\ln(r)$ $r$ ） \ $display$ \ $ln$ ( $\ln(r)$ )의 총변화가 ${\textstyle {\frac {dz}{z}}}$ 이므로 ${\textstyle {\frac {dz}{z}}}$ z { $textstyle$ { $frac$ { $dz$ $}{$ $z}}$ 의 ${\textstyle {\frac {dz}{z}}}$ $\theta$ 은 $\theta$ i { $display style$ i $\theta$ 에 $i$ 총변화량을 곱한 것과 같으므로 폐곡선수가 됩니다.원점에 대한 $(\displaystyle\$ display $)$ 는 식에 $\gamma$ ^[3] 의해 지정됩니다.

{1}{2\pi i}}\point _{\display}{\frac {dz}{z}},

보다 일반적으로 $\gamma$ { $displaystyle \gamma$ }가 $\gamma$ t $t\in [\alpha ,\beta ]$ [ $α$ , $t\in [\alpha ,\beta ]$ β $]$ {\ $displaystyle$ $\gamma$ t $\$ $in$ $t\in [\alpha ,\beta ]$ [\ $alpha$ $t\in [\alpha ,\beta ]$ , \ $beta$ $\gamma$ $t\in [\alpha ,\beta ]$ 로 파라미터화된 폐곡선인 경우 $z_{0}$ $0$ 에 $z_{0}$ 권선번호 $(\$ $displaystyle z_{0$ $z_{0}$ 는 $\gamma$ $z_{0}$ z 0에 $z_{0}$ 색인이라고도 합니다 $.$ $yle \displays$ $\gamma$ 는 $z_{0}\notin \gamma ([\alpha ,\beta ])$ $z_{0}\notin \gamma ([\alpha ,\beta ])$ [ $z_{0}\notin \gamma ([\alpha ,\beta ])$ ( [ $z_{0}\notin \gamma ([\alpha ,\beta ])$ , $z_{0}\notin \gamma ([\alpha ,\beta ])$ β $z_{0}\notin \gamma ([\alpha ,\beta ])$ ] $){displaystyle z_{0}\notin \displays$ ( [ \ $alpha$ , \displays $])$ 에 $z_{0}\notin \gamma ([\alpha ,\beta ])$ ^[4] 대해 다음과 같이 정의됩니다.

\mathrm {Ind} _{\flac } _{\flac {2\pi i} =\flac {d\zeta} {\z_{0}} =frac {1}{2\pi i} } {\flac } {\flac } {\flac }

이것은 유명한 코시 적분 공식의 특별한 경우이다.

복소평면에서 권선수의 기본 특성 중 일부는 다음과 같은 ^[5]정리에 의해 주어진다.

정리. $\gamma :[\alpha ,\beta ]\to \mathbb {C}$ : $\gamma :[\alpha ,\beta ]\to \mathbb {C}$ [ $\gamma :[\alpha ,\beta ]\to \mathbb {C}$ , $\gamma :[\alpha ,\beta ]\to \mathbb {C}$ β ] $\Omega :=\mathbb {C} \setminus \gamma ([\alpha ,\beta ])$ $\gamma :[\alpha ,\beta ]\to \mathbb {C}$ \ $displaystyle$ \ $display$ : [ \ $alpha$ , \ $mathbb$ { $C$ $\Omega :=\mathbb {C} \setminus \gamma ([\alpha ,\beta ])$ $display$ $\Omega$ displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay $\Omega :=\mathbb {C} \setminus \gamma ([\alpha ,\beta ])$ $\gamma$ display \ $display$ style \ $Omega$ $\Omega :=\mathbb {C} \setminus \gamma ([\alpha ,\beta ])$ 、 $\Omega :=\mathbb {C} \setminus \gamma ([\alpha ,\beta ])$ $\Omega :=\mathbb {C} \setminus \gamma ([\alpha ,\beta ])$ : 、 $\Omega :=\mathbb {C} \setminus \gamma ([\alpha ,\beta ])$ 、、 $\Omega :=\mathbb {C} \setminus \gamma ([\alpha ,\beta ])$ displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay : 、、、、、 $\gamma$ 으로 z $(\displaystyle\gamma$ 에 대한 z $(\displaystyle$ z)의 $z$ 지수입니다 $.$

\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma}:\Omega \to \mathbb {C}, \z\map to {frac {1}{2\pi i}}\point _{\gamma}{\frac {d\zeta}}, \zeta -z},

(i) 모든 $z\in \Omega$ \ $displaystyle$ z\ $in$ \Omega $z\in \Omega$ ; (ii) 연결된 서브셋의 각 컴포넌트(i)에 대해 정수값, 즉 $\mathrm {Ind} _{\gamma }(z)\in \mathbb {Z}$ $\mathrm {Ind} _{\gamma }(z)\in \mathbb {Z}$ $\mathrm {Ind} _{\gamma }(z)\in \mathbb {Z}$ ( $\mathrm {Ind} _{\gamma }(z)\in \mathbb {Z}$ ) $\mathrm {Ind} _{\gamma }(z)\in \mathbb {Z}$ z $\mathrm {Ind} _{\gamma }(z)\in \mathbb {Z}$ \ $displaystyle$ \ $mathrm { Ind}(z)\in \mathbb {Z}$ 이다 $\mathrm {Ind} _{\gamma }(z)\in \mathbb {Z}$ . $\Omega$ $\$ $displaystyle$ \ $Omega$ $\Omega$

즉, 이 정리에서는z점을 $z$ 으로 한 원형 $\gamma$ 의 권선수 ${\$ ${\$ $displaystyle$ \ $gamma$ $z$ }가 $\gamma$ 주어집니다.역시 권선수는 (반시계방향) $\gamma$ ${\$ {\ $displaystyle$ $\gamma$ $z$ 의 $\gamma$ 수를 카운트합니다 $.$

결과입니다. ${\$ { $displaystyle$ \ displaystyle $}$ 가 $\gamma$ $\gamma (t)=a+re^{int},\ \ 0\leq t\leq 2\pi ,\ \ n\in \mathbb {Z}$ ( $\gamma (t)=a+re^{int},\ \ 0\leq t\leq 2\pi ,\ \ n\in \mathbb {Z}$ ) $\gamma (t)=a+re^{int},\ \ 0\leq t\leq 2\pi ,\ \ n\in \mathbb {Z}$ + $\gamma (t)=a+re^{int},\ \ 0\leq t\leq 2\pi ,\ \ n\in \mathbb {Z}$ $\gamma (t)=a+re^{int},\ \ 0\leq t\leq 2\pi ,\ \ n\in \mathbb {Z}$ $\gamma (t)=a+re^{int},\ \ 0\leq t\leq 2\pi ,\ \ n\in \mathbb {Z}$ t, $\gamma (t)=a+re^{int},\ \ 0\leq t\leq 2\pi ,\ \ n\in \mathbb {Z}$ $\gamma (t)=a+re^{int},\ \ 0\leq t\leq 2\pi ,\ \ n\in \mathbb {Z}$ $\gamma (t)=a+re^{int},\ \ 0\leq t\leq 2\pi ,\ \ n\in \mathbb {Z}$ $\gamma (t)=a+re^{int},\ \ 0\leq t\leq 2\pi ,\ \ n\in \mathbb {Z}$ $\gamma (t)=a+re^{int},\ \ 0\leq t\leq 2\pi ,\ \ n\in \mathbb {Z}$ n $\gamma (t)=a+re^{int},\ \ 0\leq t\leq 2\pi ,\ \ n\in \mathbb {Z}$ { $displaystyle$ \ $displaystyle$ ( t) $= a$ + $re^$ { $int$ }, \ 0 $\ leq$ t \ leq 2 \ $leq$ \ leq { Z }에 의해 정의된 경로일 경우, \ $in$ \ $mathbbbb$ { $Z$ 입니다. $\displaystyle \mathrm {Ind}_{\mathrm}(z)=case{case}n,& z-a <r;\0,& z-a >r.\end {case}}$

토폴로지

위상학에서 권선번호는 연속매핑의 정도를 나타내는 대체용어입니다.물리학에서 권선수는 종종 위상 양자수라고 불린다.두 경우 모두 동일한 개념이 적용됩니다.

위의 점 둘레 곡선의 예는 간단한 위상 해석을 가지고 있습니다.평면상의 점의 보수는 원과 동등한 호모토피이므로 원에서 원으로의 지도는 고려해야 할 전부입니다.이러한 각 맵은 표준 $S^{1}\to S^{1}:s\mapsto s^{n}$ $S^{1}\to S^{1}:s\mapsto s^{n}$ $S^{1}\to S^{1}:s\mapsto s^{n}$ : $S^{1}\to S^{1}:s\mapsto s^{n}$ s $S^{1}\to S^{1}:s\mapsto s^{n}$ \ $display$ S $^{1}$ \ $to$ S $^{1$ } : $s\mapsto$ s $^{n$ 중 하나로 연속적으로 변형될 수 있음을 보여줄 수 있다. 여기서 원 내 곱셈은 복소수 단위 원과 식별함으로써 정의된다.원에서 위상공간으로의 지도의 호모토피 클래스 집합은 그룹을 형성하는데, 이것은 그 공간의 첫 번째 호모토피 그룹 또는 기본 그룹이라고 불립니다.원의 기본 그룹은 정수의 그룹 Z이고, 복소 곡선의 권선 수는 단지 호모토피 클래스입니다.

3구로부터 그 자체까지의 지도는 권선 번호 또는 때로는 폰트랴긴 지수라고도 하는 정수로 분류됩니다.

턴 넘버전

이

곡선은 p에 대한 권선 번호 2만을 가지지만 3번 선회하는 총 곡률 6µ이다.

경로 자체의 접선에 대한 경로의 권선 번호도 고려할 수 있습니다.시간이 지날수록, 이것은 속도 벡터의 원점에 대한 권선 번호가 될 것이다.이 경우 작은 루프가 카운트되기 때문에 이 문서의 첫머리에 예시된 예에서는 권선번호가 3입니다.

이는 함몰 경로(즉, 도함수가 사라지지 않는 미분 가능한 경로)에 대해서만 정의되며 접선 가우스 맵의 수준이다.

이를 곡선의 회전수, 회전수,^[6] 회전지수^[7] 또는 지수라고 하며 총 곡률을 2µ로 나눈 값으로 계산할 수 있습니다.

폴리곤

폴리곤에서는 회전수를 폴리곤 밀도라고 합니다.볼록 폴리곤 및 보다 일반적으로 단순한 폴리곤(자기 교차가 아님)의 경우 밀도는 조던 곡선 정리에 의해 1입니다.반면 일반 스타 폴리곤 {p/q}의 경우 밀도는 q입니다.

권선수 및 하이젠베르크 강자석 방정식

권선수는 (2 + 1)차원 연속 하이젠베르크 강자석 방정식 및 그 적분 가능 확장: 이시모리 방정식 등과 밀접하게 관련되어 있다.마지막 방정식의 해는 권선수 또는 위상 전하(위상 불변성 및/또는 위상 양자수)에 의해 분류된다.

적용들

댄 선데이의 와인딩 넘버 알고리즘 시각화.권선 번호 0은 점이 폴리곤 외부에 있음을 의미하며, 다른 값은 점이 폴리곤 내부에 있음을 나타냅니다.

폴리곤의 점

폴리곤에 대한 점의 와인딩 번호를 사용하여 폴리곤 내 점(PIP) 문제를 해결할 수 있습니다. 즉, 점이 폴리곤 내에 있는지 여부를 확인하는 데 사용할 수 있습니다.

각도나 삼각 함수를 포함한 계산이 필요하지 않고 폴리곤을 ^[8]구성하는 에지 목록만 필요하므로 다른 알고리즘에 대한 좋은 대안이 될 수 있습니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Möbius, August (1865). "Über die Bestimmung des Inhaltes eines Polyëders". Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften, Mathematisch-Physische Klasse. 17: 31–68.
^ Alexander, J. W. (April 1928). "Topological Invariants of Knots and Links". Transactions of the American Mathematical Society. 30 (2): 275–306. doi:10.2307/1989123.
^ Weisstein, Eric W. "Contour Winding Number". MathWorld. Retrieved 7 July 2022.
^ Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill. p. 201. ISBN 0-07-054235-X.
^ Rudin, Walter (1987). Real and Complex Analysis (3rd ed.). New York: McGraw-Hill. p. 203. ISBN 0-07-054234-1.
^ 해롤드 아베슨, 터틀 그래픽스: 수학 탐구를 위한 매체로서의 컴퓨터 MIT 프레스 (1981) 페이지 24
^ 만프레도 P.Do Carmo, 곡선과 표면의 미분 기하학, 1976, 프렌티스 홀.ISBN 0-13-212589-7.Ch 5. 전역 미분 기하학, 페이지 393
^ Sunday, Dan (2001). "Inclusion of a Point in a Polygon". Archived from the original on 26 January 2013.

외부 링크

PlanetMath의 와인딩 번호입니다.

[1] Möbius, August (1865). "Über die Bestimmung des Inhaltes eines Polyëders". Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften, Mathematisch-Physische Klasse. 17: 31–68.

[2] Alexander, J. W. (April 1928). "Topological Invariants of Knots and Links". Transactions of the American Mathematical Society. 30 (2): 275–306. doi:10.2307/1989123.

[3] Weisstein, Eric W. "Contour Winding Number". MathWorld. Retrieved 7 July 2022.

[4] Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill. p. 201. ISBN 0-07-054235-X.

[5] Rudin, Walter (1987). Real and Complex Analysis (3rd ed.). New York: McGraw-Hill. p. 203. ISBN 0-07-054234-1.

[6] 해롤드 아베슨, 터틀 그래픽스: 수학 탐구를 위한 매체로서의 컴퓨터 MIT 프레스 (1981) 페이지 24

[7] 만프레도 P.Do Carmo, 곡선과 표면의 미분 기하학, 1976, 프렌티스 홀.ISBN 0-13-212589-7.Ch 5. 전역 미분 기하학, 페이지 393

[sunday-8] Sunday, Dan (2001). "Inclusion of a Point in a Polygon". Archived from the original on 26 January 2013.

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v t 토폴로지
필드	일반(포인트 세트) 대수적 조합 연속체 차동 기하학 저차원의 호몰로지 코호몰로지 집합 이론 디지털.
주요 개념	오픈 세트 / 클로즈드 세트 내부 연속성 공간 작은 연결된 하우스도르프 미터법 균일한 호모토피 호모토피군 기본군 단순 복합체 CW 콤플렉스 다면체 복합체 다지관 번들(수학) 두 번째 셀 수 있는 공간 코보디즘
메트릭 및 속성	오일러 특성 베티수 권선번호 체른 번호 방향성
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