원시뿌리모듈로n

모듈형 산술에서 숫자 g는 n에 대한 모든 조합이 g 모듈로 n의 힘에 합치되는 경우 원시 루트 모듈로 n이다.즉, g는 원시 루트 modulo n이며, 만약 모든 정수에 대해 n에 대한 coprime이 있다면, g^k ≡ a (mod n)인 정수 k가 있다.이러한 값 k를 기준 g modulo n에 대한 a의 인덱스 또는 이산 로그라고 한다.so1 g는 만약 g가 정수 modulo n의 승수 그룹의 생성자인 경우에만 원시 루트 modulo n이다.

가우스는 디퀴지스 산수화 (1801) 제57조에 원시적 뿌리를 규정했는데, 여기서 오일러에게 이 용어의 연어를 공정한 공로를 인정하였다.56조에서 그는 램버트와 오일러가 그들을 알고 있었지만 원시적인 뿌리가 원시적인 n을 위해 존재한다는 것을 엄격하게 최초로 증명했다고 진술했다.사실 디시퀴즈에는 다음과 같은 두 가지 증거가 있다.제54조에 있는 것은 비건설적인 존재의 증명이며, 제55조에 있는 증명은 건설적인 것이다.

기본 예

숫자 3은 원시적인 뿌리모듈로 7이기^[1] 때문에

${\displaystyle{\begin{배열}{rcrcrcrcrcr}3^{1}&, =&, 3^{0}\times 3&,\equiv&1\times 3&, =&, 3&,\equiv&3{\pmod{7}}\\3^{2}&, =&, 3^{1}\times 3&,\equiv&3\times 3&, =&, 9&,\equiv&2{\pmod{7}}\\3^{3}&, =&, 3^{2}\times 3&,\equiv&2\times 3&, =&, 6&,\equiv&6{\pmod{7}}\\3^{4}&, =&am.P;3^{3}\times 3&,\equiv&6\times 3&, =&, 18&,\equiv&4{\pmod{7}}\\3^{5}&, =&, 3^{4}\times 3&,\equiv&4\times 3&, =&. 1.2&\equiv &5{\pmod {7}}\\3^{6}&=&3^{5}\times 3&\equiv &5\times 3&=&15&\equiv &1{\pmod {7}}\\3^{7}&=&3^{6}\times 3&\equiv &1\times 3&=&3&\equiv &3{\pmod {7}}\\\end{array}}}$

여기서^k 3 modulo 7의 기간은 6이라는 것을 알 수 있다.3, 2, 6, 4, 5, 1인 이 시기의 잔존자는 모든 0이 아닌 잔존자 모듈로 7의 재배열을 형성하는데, 이는 3이 실로 원시적인 뿌리모듈로 7임을 암시한다.이는 modulo n이 제한된 수의 값을 생성하기 때문에 항상 k의 일부 값 뒤에 시퀀스(g^k modulo n)가 반복된다는 사실에서 유래한다.g가 원시적 뿌리모듈로 n이고 n이 prime이라면 반복 기간은 n - 1. 이상하게도 이런 식으로 만들어진 순열(및 그 원형 이동)은 코스타스 배열로 나타났다.

정의

n이 양의 정수인 경우, 0과 n - 1 사이의 정수가 n(또는 동등하게, 조합 클래스가 n에 일치)을 곱셈모듈로 n을 사용하여 그룹을 형성하고, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$^×
_n에 의해 표시되며, modulo n의 단위 그룹 또는 원시 클래스 n의 그룹이라고 불린다.기사 정수모듈로 n의 곱셈 그룹에서 설명한 바와 같이, 이 곱셈 그룹(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$^×
_n )은 n이 2, 4, p^k 또는 2p일^k 경우에만 순환하며 여기서^k p는 홀수 프라임수의 검정력이다.^[2][3][4]언제( 하며)이 그룹 Z{\displaystyle \mathbb{Z}}×n 순환은, 이 순환 그룹의 발전기라고 불리는 원시적인 뿌리의 나머지 n[5](또는에서 보다 자유롭게 언어 원시적인 뿌리의 통일 을 법으로 하여 n을 강조하며 그 역할 근본적 해결의 뿌리의 통일 다항식 Xm − 1에서 반지 Z{\displaystyle\.mathb$b {Z} })$_n 또는 단순히 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 원시 요소$.$^×
_n

$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$}이(가) 비주기적인 경우$$^×
_n 이러한 원시 요소 mod n은 존재하지 않는다.대신 n의 각 주요 구성요소는 고유한 하위 원근(아래 예에서 15 참조)을 갖는다.

$임의$의 n (Z$${\$displaystyle \mathb$ {Z$}$이(가) 주기적인지$$^×
_n 여부에 관계없이)에 $대해{\displaystyle \mathbb{}}$, Z$${\$displaystyle \mathb {Z}$의 순서는 오일러의 전체 함수 φ(n)(OEIS의 순서 A00000010)에 의해 주어진다$$^×
_n.그리고 나서, 오일러의 정리에서는 매 coprime에서 n까지에 대한 ( 1 (mod n)을^φ(n) 말하는데, 1 modulo n에 합치되는 a의 최저 파워를 modulo n의 곱셈 순서라고 한다.특히 a가 원시 루트 모듈로 n이 되려면 φ(n)은 1모듈로 n에 합치되는 a의 최소 검정력이어야 한다.

예

예를 들어, n = 14인 $경우{\displaystyle \mathbb{}}$, Z ${\$ {$Z}$의 요소는 일치 클래스 {1, 3, 5, 9, 11, 13}이며$$^×
_n, φ(14) = 6이 있다.여기 그들의 힘 모듈로 14번 테이블이 있다.

x, x2, x3, ... (mod 14) 1 : 1 3 : 9, 13, 11, 5, 1 5 : 5, 11, 13, 9, 3, 1 9 : 9, 9, 1 9, 9, 9, 1 9 : 9, 9, 1 9 : 9, 11 : 11, 9, 1 13 : 13, 1

1의 순서는 1이고, 3과 5의 순서는 6이며, 9와 11의 순서는 3이고, 13의 순서는 2이다.따라서 3과 5는 원시 뿌리모듈로 14이다.

두 번째 예에서는 n = 15를 두십시오.$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 요소는 일치 클래스 {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14}이며^×
₁₅, of(15) = 8이 있다.

x, x2, x3, ... (mod 15) 1 : 1 2 : 2, 4, 8, 1 4 : 4, 1 4 : 4, 13, 1 8 : 7, 4, 13, 1 8 : 8, 4, 2, 1 11 : 11 : 11, 1 13 : 13, 4, 7, 1 14 : 14, 1

순서가 8인 숫자가 없기 때문에 15인 원시 뿌리가 없다.실제로 λ(15) = 4, 여기서 λ은 카마이클 함수다.(OEIS에서 시퀀스 A002322)

원시뿌리표

원시 루트를 가진 숫자$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 형태임

${\displaystyle n\in \{1,2,4,p^{k},2\cdot p^{k}\;\;\;\\\\\<p{p{p{prime}};\;k\in \mathb {N}\}}}$

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 17, 18, 19, ...} ^[6]

이는 $n{\displaystyle (n}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \lambda (n}$ ${\displaystyle )}$, ${\displaystyle \varphi(n)=\lambda(n)$가 있는$$ n ${\displaystyle n}$이며, OEIS의 순서 A033948에도 유지된다$$.

다음 표에는 $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 31}$ ${\displaystyle n=31}$까지의 원시 루트 모듈로가 나열되어 있다$.$

${\displaystyle n}$	원시 루트 $modulo{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$	$order{\displaystyle (n}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \varphi(n),}$ 순서 (OEIS: A000010)	지수를 나타남$\displaystyle \lambda(n),}$ (OEIS: A002322)
1	0	1	1
2	1	1	1
3	2	2	2
4	3	2	2
5	2, 3	4	4
6	5	2	2
7	3, 5	6	6
8		4	2
9	2, 5	6	6
10	3, 7	4	4
11	2, 6, 7, 8	10	10
12		4	2
13	2, 6, 7, 11	12	12
14	3, 5	6	6
15		8	4
16		8	4
17	3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 14	16	16
18	5, 11	6	6
19	2, 3, 10, 13, 14, 15	18	18
20		8	4
21		12	6
22	7, 13, 17, 19	10	10
23	5, 7, 10, 11, 14, 15, 17, 19, 20, 21	22	22
24		8	2
25	2, 3, 8, 12, 13, 17, 22, 23	20	20
26	7, 11, 15, 19	12	12
27	2, 5, 11, 14, 20, 23	18	18
28		12	6
29	2, 3, 8, 10, 11, 14, 15, 18, 19, 21, 26, 27	28	28
30		8	4
31	3, 11, 12, 13, 17, 21, 22, 24	30	30

지수표

이것은 디시퀴티네스의 원시적 뿌리에 대한 가우스의 표다.대부분의 현대 작가들과는 달리 그는 항상 가장 작은 원시적 뿌리를 선택하지 않았다.대신 원시 뿌리라면 10을 선택했고, 그렇지 않으면 10을 주는 뿌리 중에서 가장 작은 지수를, 둘 이상이면 가장 작은 지수를 선택했다.이는 손 계산을 용이하게 하기 위한 것일 뿐만 아니라, 합리적인 숫자의 주기적인 소수점 확장이 조사되는 § 6에서 사용된다.

표의 행은 100(OEIS에서 시퀀스 A185189의 하위 집합)보다 작은 prime power n(2, 4, 8 제외)으로 라벨을 표시하며, 두 번째 열은 해당 숫자의 원시 루트 g(OEIS에서 시퀀스 A185268) 모듈로 표시한다.오른쪽에 있는 기둥에는 최대 100페이지의 프리마임이 라벨로 표시되어 있다.n행과 p열의 항목은 주어진 원시 루트 g에 대한 p modulo n의 지수 i이다.

예를 들어 n =11에서 g = 2 행은 원시 루트로, p = 5 열에서 색인은 i = 4이다.즉⁴, 2 = 16 5 5 (mod 11)이다.

합성수 지수의 경우, 주요 요인 p의 지수를 추가한다.예를 들어, n =11행에서 p = 6의 지수는 p = 2와 3에 대한 지수 i = 1과 8의 합이고, 2 = 512 ≡ 6 (mod 11)이다^{1 + 8}.25의 지수는 지수 5의 2배, 2⁴⁺⁴ = 2 = 256⁸ ≡ 25 (모드 11). (물론 25 ≡ 3 (모드 11)이므로 3의 지수는 8이다.

그 테이블은 이상한 주요 동력인 모듈들에게 간단하다.그러나 2(n =16, 32, 64)의 힘은 원시적 뿌리를 가지고 있지 않다. 대신 5의 힘은 홀수 p 모둘로 n의 2분의 1을 차지하며, 즉 p 5 5 또는 1 (mod 8)이며, 그들의 부정적인 의미인 -p 모둘로 n은 나머지 반을 차지한다.이는 5의 모든 파워가 5 또는 1(모듈로 8)과 일치하기 때문이다. 숫자 p 3 3 또는 7(모드 8)로 표시된 컬럼은 음의 -p의 지수를 포함하고 있다.

예를 들어, modulo n =32 17의 지수는 4이고, 5⁴ = 625 ≡ 17 (mod 32)이지만, p =7의 지수는 2로, 5 = 25² ≡ -7 ≡ -p (mod 32)는 7 ≢ 5 또는 1 (mod 8) 이후부터입니다.
더욱이, p =17×7 23 23 (mod 32) (주⁶: 23 ( 7 (mod 8))은 5 = 15625 ≡ -23 ≡ -p (mod 32)이기 때문에 4+2=6이 될 것이다.
그리고 p = 7×7 ≡ 17 (mod 32) (참고 17 ≡ 1 (mod 8))은 이미 언급한 바와 같이 2+2=4이다.
더욱이 p⁸ =3×7 ≡ 31 (mod 32) (31 ≡ 7 (mod 8))의 지수는 5 = 390625 ≡ 1 mod 5 8⁰ -31 ≡ -p (mod 32)이기 때문에 3+3+2= 8 ≡ 0 (mod 8)이 될 것이다.

(항목 - p가 n에 복사되지 않음을 나타냄(이 경우 원시 루트 g의 힘이 될 수 없음)

주어진 모듈에 대한 원시 루트 g 및 지수 n
(p = 오른쪽 열의 셀에 있는 항목은 g g ⁱ p (mod n)를 가진 지수 i이다.

n ‖	g ‖	p =	2	3	5	7	11		13	17	19	23	29		31	37	41	43	47		53	59	61	67	71		73	79	83	89	97
3	2		1
5	2		1	3
7	3		2	1	5
9	2		1	−	5	4
11	2		1	8	4	7
13	6		5	8	9	7	11
16	5		−	3	1	2	1		3
17	10		10	11	7	9	13		12
19	10		17	5	2	12	6		13	8
23	10		8	20	15	21	3		12	17	5
25	2		1	7	−	5	16		19	13	18	11
27	2		1	−	5	16	13		8	15	12	11
29	10		11	27	18	20	23		2	7	15	24
31	17		12	13	20	4	29		23	1	22	21	27
32	5		−	3	1	2	5		7	4	7	6	3		0
37	5		11	34	1	28	6		13	5	25	21	15		27
41	6		26	15	22	39	3		31	33	9	36	7		28	32
43	28		39	17	5	7	6		40	16	29	20	25		32	35	18
47	10		30	18	17	38	27		3	42	29	39	43		5	24	25	37
49	10		2	13	41	−	16		9	31	35	32	24		7	38	27	36	23
53	26		25	9	31	38	46		28	42	41	39	6		45	22	33	30	8
59	10		25	32	34	44	45		28	14	22	27	4		7	41	2	13	53		28
61	10		47	42	14	23	45		20	49	22	39	25		13	33	18	41	40		51	17
64	5		−	3	1	10	5		15	12	7	14	11		8	9	14	13	12		5	1	3
67	12		29	9	39	7	61		23	8	26	20	22		43	44	19	63	64		3	54	5
71	62		58	18	14	33	43		27	7	38	5	4		13	30	55	44	17		59	29	37	11
73	5		8	6	1	33	55		59	21	62	46	35		11	64	4	51	31		53	5	58	50	44
79	29		50	71	34	19	70		74	9	10	52	1		76	23	21	47	55		7	17	75	54	33		4
81	11		25	−	35	22	1		38	15	12	5	7		14	24	29	10	13		45	53	4	20	33		48	52
83	50		3	52	81	24	72		67	4	59	16	36		32	60	38	49	69		13	20	34	53	17		43	47
89	30		72	87	18	7	4		65	82	53	31	29		57	77	67	59	34		10	45	19	32	26		68	46	27
97	10		86	2	11	53	82		83	19	27	79	47		26	41	71	44	60		14	65	32	51	25		20	42	91	18
‖ n	‖ g	p =	2	3	5	7	11		13	17	19	23	29		31	37	41	43	47		53	59	61	67	71		73	79	83	89	97

특성.

가우스는 (p = 3을 제외한 유일한) 소수 p에 대해 원시 뿌리의 산물이 1모듈로 p에 일치한다는 것을 증명했다^[7].

그는 또한 어떤 소수 p에 대해서도 원시 뿌리의 합이 μ(p - 1) modulo p에 일치한다는 것을 증명했는데^[8], 여기서 μ는 뫼비우스 함수다.

예를 들어,

p = 3,	μ(2) = −1.	원시근은 2이다.
p = 5,	μ(4) = 0.	원시 뿌리는 2와 3이다.
p = 7,	μ(6) = 1.	원시 뿌리는 3과 5이다.
p = 31,	μ(30) = −1.	원시 뿌리는 3, 11, 12, 13, 17, 21, 22, 24이다.

E.g., the product of the latter primitive roots is ${\displaystyle 2^{6}\cdot 3^{4}\cdot 7\cdot 11^{2}\cdot 13\cdot 17=970377408\equiv 1{\pmod {31}}}$, and their sum is ${\displaystyle 123\equiv -1\equiv \mu (31-1){\pmod {31}$$}}$.

${\displaystyle a}$이$($가) p $p{\displaystyle }$ p${\displaystyle p}$에 대한 원시 루트 모듈인 경우 ${\displaystyle {p\frac{}{}}^{}}$- ${\displaystyle {\frac{1}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{\mathrm{}}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\equiv }^{}}$- ${\displaystyle 1}$(${\displaystyle \mathrm{모드}}$ ${\displaystyle p}$) ${\$ a$^{p-1}\equiv -1{\pmod{p$

원시 뿌리에 대한 아르틴의 추측에 따르면 완벽한 사각형도 아니고 -1도 아닌 주어진 정수 a는 무한히 많은 원시 뿌리 모듈로 되어 있다.

원시 뿌리 찾기

원시 뿌리 modulo n을 계산하는 간단한 일반 공식은 알려져 있지 않다.^[a][b]그러나 단순히 모든 후보를 시험해 보는 것보다 더 빠른 원시적 뿌리를 찾는 방법이 있다.숫자 m모듈로 n의 곱셈 순서(지수)가 $\phi {\displaystyle (n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \varphi(n)}($$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 순서)$$^×
_n와 같으면 원시 루트다.사실 그 반대는 사실이다.m이 원시 루트 모듈로 n인 경우 m의 승수 순서는 $\phi {\displaystyle (n}$) = ${\displaystyle \lambda (n}$ )${\displaystyle }$. ${\displaystyle \varphi(n)=\lambda(n)~}$을 사용하여 후보 m이 원시적인지 테스트할 수 있다.

> ${\displaystyle n>1}$의 경우 먼저 $\phi {\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}$. ${\displaystyle \varphi (n)~}$을(를) 계산한 다음$$ $\phi {\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \varphi (n)}$, p₁. 마지막으로_k 계산하십시오.

${\displaystyle g^{\varphi (n)/p_{i}}{\bmod{n}}\qquad{\mbox{{}}}}}{}i=1,\ldots,k}$

스쿼링에 의한 지수와 같은 모듈형 지수에 대한 빠른 알고리즘을 사용한다.이러한 k 결과가 모두 1과 다른 숫자 g는 원시 루트다.

원시 뿌리 modulo n의 수는 다음과 같다^[9].

${\displaystyle \varphi \왼쪽(\varphi (n)\오른쪽)}$

일반적으로, r ${\displaystyle \mathrm{요소}}$를 가진 순환 그룹은 $\phi {\displaystyle }$( r${\displaystyle }$) ${\displaystyle \varphi (r)}$개의$$ 생성자를 가지고 있으며, r은 n을 생성하는 정수 coprime이다.

For prime n, this equals ${\displaystyle \varphi (n-1)}$, and since ${\displaystyle n/\varphi (n-1)\in O(\log \log n)}$ the generators are very common among {2, ..., n−1} and thus it is relatively easy to find one.^[10]

g가 원시 루트 모듈로 p인 경우 g는 g^p−1 ≡ 1 (mod p²)이 아닌 한 모든 파워 p인^k 원시 루트 모듈로, 이 경우 g + p는 p이다.^[11]

만약 g가 원시 뿌리 모듈로^k p라면, g 역시 모두 p의 작은 힘인 원시 뿌리모듈로 된다.

g가 원시 루트 모듈로 p인^k 경우 g 또는 g + p^k(이상한 루트 중 하나)는 원시 루트 모듈로 2p이다^k.^[11]

원시 뿌리 모듈로 p를 찾는 것도 (p - 1) 사이클로토믹 다항식 모듈로 p의 뿌리를 찾는 것과 같다.

원시 뿌리의 크기 순서

가장 원시적인 루트 g_p modulo p (1, 2, ..., p - 1 )는 일반적으로 작다.

상한

버지스(1962)는 매 ε > 0에 $대해{\displaystyle {}_{}}$ g ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ C ${\displaystyle p{}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{1}{}}^{}}$ 4 +${\displaystyle {\epsilon }^{}.{}^{}}$ ${\displaystyle g_{p}\leq C\,p^{\frac${1$}{$1}{$4}}+\barepsilon }.}}}$과 같은 C가 있음을 증명했다^[12].

그로스왈드(1981)는 > e 10 ${\$약$10^{11504079571$ p< . ${\displaysty g_{p}{0.499}}}}}$을 증명했다^[12].$}$

슈프(1990, 1992년)는 일반화된 리만 가설을 가정하여 g_p = O(log⁶ p)라는 것을 증명했다.^[13]

하한

프리들랜더(1949년)와 살리에(1950년)는 무한히 많은 프라임 g_p > C 로그 p와 같은 양의 상수 C가 있다는 것을 증명했다^[12].

어떤 양의 정수 M의 경우, M < g_p < p - M>과 같이 무한히 많은 소수들이 있다는 것은 기본적인 방법으로 증명될^[12] 수 있다.

적용들

원시 루트 모듈로 n은 종종 디피-을 포함한 암호학에서 사용된다.헬만 키 교환 계획.음향 확산기는 원시 뿌리와 2차 잔류물과 같은 수학적 개념에 기초해 왔다.^[14][15]

참고 항목

각주

참조

원천