코제트

G

는 그룹

(Z /8Z, +)

이며, 정수는 추가 시 8이다.부분군

H

는 0과 4만 포함한다.

H

의 왼쪽 코세트는 H자체,

1

+ H,

2

+ H, 3 +

H

4개가 있다(이것이 첨가군이기 때문에 가법 표기법을 사용하여 작성함).그들은 함께 전체 그룹

G

를 같은 크기의 겹치지 않는 세트로 분할한다.

지수

는

4이다

수학, 특히 집단 이론에서, 그룹 $G$ 의 하위 그룹 $H$ 는 기초적인 $G$ 의 집합을 코세츠라고 불리는 분리형 동일 크기 하위 집합으로 분해하는 데 사용될 수 있다.왼쪽 코세트와 오른쪽 코세트가 있다.코제트(왼쪽과 오른쪽 모두)는 H와 동일한 수의 요소(카디날리티)를 갖는다.게다가 H $자체$ 는 왼쪽 코셋이자 오른쪽 코셋이다. $G$ 에서 $H$ 의 왼쪽 코세트의 수는 $G$ 에서 $H$ 의 오른쪽 코세트의 수와 같다.이 공통값은 $G$ 에서 $H$ 의 지수라 불리며, 보통 [ $G$ $: H$ ]로 표시된다.

코세트는 그룹을 연구하는 데 있어서 기본적인 도구로서, 예를 들어, 그들은 어떤 유한 $그룹$ G의 경우 $G$ 의 모든 부분군 $H$ 의 원소의 $수$ 가 G의 원소의 수를 나눈다고 하는 라그랑주의 정리에 중심적인 역할을 한다. 특정 유형의 코세츠(정상 서브그룹)는 qua라고 불리는 다른 그룹의 원소로 사용될 수 있다.비지향적 그룹 또는 요인 그룹.코세트는 벡터 공간과 오류 수정 코드와 같은 수학의 다른 영역에도 나타난다.

정의

$H$ 를 곱으로 쓴 그룹 $G$ 의 하위 그룹이 되게 한다(대칭은 그룹 운영을 의미한다). $G$ 의 요소 $g$ 가 주어진 경우, $G$ 의 $H$ 의 왼쪽 코세트는 $H$ 의 각 요소에 $G$ 의 고정 요소 $g$ 를 곱하여 얻은 집합이다(여기서 $g$ 는 왼쪽 인자임).상징에서 이것들은

gH

=

{

gh

:

h

각

G

에 대한 H}

요소 .

$원소$ g가 현재 올바른 요인이라는 점을 제외하면, 오른쪽 코스메트가 유사하게 정의된다.

Hg =

{

hg

: h

G

에 대한

H} 요소

.

$g$ 는 그룹에 따라 다르기 때문에 많은 코스메트(오른쪽 또는 왼쪽)가 생성될 것으로 보인다.그럼에도 불구하고, 어떤 두 개의 왼쪽 코스메트(존중적으로 오른쪽 코스메트)가 분리되거나 세트와 동일하다는 것이 밝혀졌다.^[1]

그룹이 아벨리안일 때 흔히 그렇듯이 그룹 연산을 덧쓰게 되면 사용된 표기법이 $각각$ g + $H$ $또는$ H + $g$ 로 바뀐다.

첫 번째 예

$G$ 를 순서 6의 다이드랄 그룹이 되게 하라.그것의 요소는 { $I,$ $a,$ $a 2,$ $b,$ $ab,$ $ab 2}($ 으)로 나타낼 수 있다.이 그룹에서 $a 3$ = $b 2$ = $I$ , $ba$ = $ab 2$ .이 정보는 Cayley 표 전체를 채울 수 있는 충분한 정보:

∗	$I$	$a$	$a 2$	$b$	$AB$	$a 2 b$
$I$	$I$	$a$	$a 2$	$b$	$AB$	$a 2 b$
$a$	$a$	$a 2$	$I$	$AB$	$a 2 b$	$b$
$a 2$	$a 2$	$I$	$a$	$a 2 b$	$b$	$AB$
$b$	$b$	$a 2 b$	$AB$	$I$	$a 2$	$a$
$AB$	$AB$	$b$	$a 2 b$	$a$	$I$	$a 2$
$a 2 b$	$a 2 b$	$AB$	$b$	$a 2$	$a$	$I$

$T$ 를 부분군 { $I,$ $b}$ 이(가) 되도록 한다. $T$ 의 왼쪽 코세트는 다음과 같다.

$IT$ = T = ${I,$ $b}$
$aT$ = ${a,$ $ab}$ 및
$a 2 T = {a 2, a 2 b}$ .

$G$ 의 모든 요소들이 이 코스메트들 중 하나에 나타났기 때문에, 새로운 코세트는 이것들 중 하나와 공통되는 요소를 가져야 하므로, 따라서 이 코스메트들 중 하나와 동일해야 하기 때문에, 더 이상의 생성은 새로운 코세트를 줄 수 없다.예를 들어, $abT =$ { $ab,$ $a}$ = $aT$ .

$T$ 의 올바른 코세트는 다음과 같다.

$TI = T = {I, b}$ ,
$Ta =$ { $a,$ $ba}$ = ${a,$ $ab 2}$ 및
$Ta 2 = {a 2, ba 2} = {a 2, ab}$ .

이 예에서는 $T$ 를 제외하고 왼쪽 코셋도 오른쪽 코셋이 아니다.

$H$ 를 하위 그룹 { $I,$ $a,$ $a 2}$ 이(가) 되도록 한다. $H$ 의 왼쪽 코세트는 $IH$ = $H$ , $bH =$ { $b,$ $ba,$ $ba 2}$ 이다. $H$ 의 오른쪽 코세트는 $HI$ = $H$ , $Hb =$ { $b,$ $ab,$ $ab 2} =$ { $b,$ $ba 2,$ $ba}$ 이다.이 경우 $H$ 의 모든 왼쪽 코셋은 $H$ 의 오른쪽 코셋이기도 하다.^[2]

$H$ 를 그룹 $G$ 의 하위 그룹으로 하고 $g 1$ , $g 2$ ∈ $G$ 로 가정한다.다음 문장은 동일하다.^[3]

$g 1 H = g 2 H$
$Hg 1 -1 = Hg 2 -1$
$g 1 H \subset g 2 H$
$g 2 \in g 1 H$
$g 1 -1 g 2 \in H$

특성.

비식별적 코세트의 $분리성$ 은 $x$ 가 gH에 속하면 $gH$ = $xH$ 라는 사실에 기인한다. $x$ ∈ $gH$ 의 경우 $ga$ = $x$ 와 $같은$ ∈ $H$ 가 있어야 한다.따라서 $xH$ = $(ga)$ $H$ = $g (aH)$ 더구나 $H$ 는 집단이기 때문에 $a$ 에 의한 왼쪽 곱셈은 치우침이며, $aH$ = $H$ 이다.

따라서 $G$ 의 모든 요소는 부분군 $H$ 의 정확히 하나의 왼쪽 코셋에 속하며,^[1] $H$ 는 그 자체로 왼쪽 코셋(그리고 정체성을 포함하는 코셋)이다.^[2]

동일한 왼쪽 코세트에 있는 두 요소도 자연적 동등성 관계를 제공한다. $xH$ = $yH$ 인 경우(또는 $xy$ 가⁻¹ $H$ 에 속하는 경우 동등하게) 부분군 $H$ 에 대해 동등하게 $G$ , $x$ 및 $y$ 의 두 요소를 정의하십시오.이 관계의 동등성 등급은 $H$ 의 왼쪽 코제트다.^[4] 동등성 등급의 집합과 마찬가지로, 그들은 기초 집합의 분할을 형성한다.코제트 대표자는 동등성 등급의 의미에서의 대표자다.모든 코세트의 대표자 집단을 횡단이라고 부른다.집단 내에는 부부관계와 같은 다른 유형의 동등성 관계가 있으며, 이러한 동등성 관계는 여기에서 논의되는 특성이 없는 서로 다른 계급을 형성한다.

유사한 문장이 오른쪽 코스메트에 적용된다.

$G$ 가 아벨 그룹이라면 G의 $모든$ 부분군 $H$ 와 $G$ 의 모든 요소 $G$ 에 대해 $g$ + H = $H$ + $g$ 이다.일반 그룹의 경우, 그룹 $G$ 의 요소 $g$ 와 부분군 $H$ 가 주어진 경우, $g$ 에 대한 $H$ 의 오른쪽 코셋은 $g$ , 즉 $Hg$ = $g (gHg -1$ )에 대한 결합 부분군 $gHg$ 의⁻¹ 왼쪽 코셋이기도 하다 $.$

정규 부분군

그룹 $G$ 의 부분군 $N$ 은 $G$ 의 모든 요소 $G$ 에 대해 해당하는 왼쪽 및 오른쪽 코스셋, 즉 $gN$ = $Ng$ 가 동일한 경우에만 $G$ 의 정상적인 부분군이다.위의 첫 번째 예에서 부분군 $H$ 의 경우가 이에 해당한다.나아가 $G$ 에서 $N$ 의 코세트는 지수 그룹 또는 인자 그룹 $G / N$ 이라고 하는 그룹을 형성한다.

만약 $H$ 가 $G$ 에서 정상적이지 않다면, 그것의 왼쪽 코세트는 그것의 오른쪽 코세트와 다르다.즉, 요소 $b$ 가 $aH$ = $Hb$ 를 만족시키지 않는 a $in$ $G$ 가 있다.즉, $H$ 의 왼쪽 코세트에 들어가는 $G$ 의 파티션은 $H$ 의 오른쪽 코세트에 들어가는 $G$ 의 파티션과는 다른 파티션이다.이는 위의 첫 번째 예에서 부분군 $T$ 에 의해 설명된다. (일부 코스메트가 일치할 수 있다.예를 들어, $a$ 가 $G$ 의 중심에 있으면 $aH$ = $Ha$ .)

한편, 서브그룹 $N$ 이 정상인 경우, 모든 코스메트의 집합은 ( $aN) *$ ( $bN)$ = $abN$ 에 의해 정의된 연산 $*$ 으로 지수그룹 $G$ / $N$ 이라는 그룹을 형성한다.모든 오른쪽 코셋은 왼쪽 코셋이므로, "왼쪽 코셋"과 "오른쪽 코셋"을 구별할 필요가 없다.

부분군 지수

$H$ 의 모든 좌우 코세트는 $H$ 자체와 동일한 수의 요소(또는 무한 $H$ 의 경우 카디널리티)를 가지고 있다.더욱이 왼쪽 코스메트의 수는 오른쪽 코스메트의 수와 같으며, G에서 $H$ 의 지수로 알려져 있으며, [ $G$ : H $]$ 로 표기된다.라그랑주의 정리는 $G$ 와 $H$ 가 유한한 경우에 지수를 계산할 수 있게 해준다.

[\displaystyle G = [G:H] H .}

이 방정식은 비록 의미는 덜 분명할 수 있지만 집단이 무한할 경우 또한 포함한다.

더 많은 예

정수

$G$ 를 정수의 가법군, $Z$ = $(..., -2, -1, 0,$ 1, 2, $...}, +)$ 과 $H$ 부분군 $(3Z, +)은 (..., -6, -3$ , $0,$ 3, 6, $...}, +)$ 이 되도록 한다.그 다음 $G$ 에서 $H$ 의 코세트는 $3Z$ , $3Z$ + $1$ , $3Z$ + $2$ 세트로 여기서 $3Z$ + a = ${..., -6$ + $a$ = {..., $-6$ + a, $-3$ + $a,$ 3 + $a,$ 3 + a, $6$ + a, $...}$ 이다.이 세트는 세트 $Z$ 를 분할하므로 $H$ 의 다른 우측 코세트가 없다. $덧셈$ H + 1 = $1$ + $H$ 와 $H$ + $2$ = 2 + $H$ 의 정류성 때문에. 즉, $H$ 의 모든 좌측 코세트는 우측 코세트가 되기 때문에 $H$ 는 정상적인 서브그룹이다.^[5](같은 주장은 아벨리아 집단의 모든 하위 집단이 정상이라는 것을 보여준다.)^[6]

이 예는 일반화될 수 있다.다시 $G$ 를 정수의 첨가물 $그룹$ 인 Z = $(..., -2, -1,$ 0,1, 2, $...}, +)$ 가 되게 하고 이제 $H$ 부분군 $(mZ, +)$ 을 $(..., -2m, -m, 0,$ m, $2m, ...},$ 여기서 $m$ 은 양의 정수다.그 다음 $G$ 에서 $H$ 의 코세트는 $mset$ $mZ$ , $mZ$ + $1$ , ..., $mZ +$ ( $m$ - 1) 여기서 $mZ$ + a = ${..., -2m+ a, -m+ a,$ a, $m+ a, 2m+ a, ...}$ 이다 $.$ $mZ$ + $m$ = $m (Z$ + 1 $)$ = $mZ$ 이기 때문에 m 코제트 이하가 없다.코제트 $(mZ$ + $a, +)$ 는 $modulo$ m의 응집 등급이다.^[7]부분군 $mZ$ 는 $Z$ 에서 정규 분포를 따르므로, 정수 m의 그룹 $Z / mZ$ 의 지수 그룹을 형성하는 데 사용할 수 있다.

벡터

코셋의 또 다른 예는 벡터 공간 이론에서 온다.벡터 공간의 원소(벡터)는 벡터 덧셈 아래 아벨 그룹을 형성한다.벡터 공간의 서브스페이스는 이 그룹의 서브그룹이다.벡터 공간 $V$ , 하위 공간 $W$ 및 고정 벡터 $a$ in $V$ 의 경우 다음과 같이 설정된다.

\{\mathbf {x} = V\mid \mathbf {a} +\mathbf {w},\mathbf {w} \in W\}}

appine subspaces라고 불리며, 코제츠(좌우 모두, 그룹이 아벨이니깐)이다.3차원 기하학적 벡터 측면에서 이들 아핀 서브스페이스는 모두 아공간과 평행한 "선" 또는 "플레인"이며, 이는 원점을 통과하는 선이나 평면이다.예를 들어, 평면R을² 고려하십시오.

m

이 원점

O

를 통과하는 선이라면

m

은 아벨 그룹

R

의² 하위 그룹이다.

P

가

R

에² 있는 경우, 코제트

P

+

m

은

m

에 평행하고

P

를 통과하는 선

m³

이다.^[8]

행렬

$G$ 를 행렬의 곱셈 그룹이 되게 하라.^[9]

G=\왼쪽\{\begin{bmatrix}a&0\\\b&1\end{bmatrix}\colon a,b\in\in \mathb {R},a\neq 0\right\},

G

의 부분군

H

,

H=\왼쪽\{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}\colon c\in \mathb {R}\right\}.

G

의 고정된 요소의 경우 왼쪽 코세트를 고려하십시오.

{\bmatrix}a&0\b&1\end{bmatrix}}{bmatrix}}H=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b+c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\d&1\end{bmatrix}}\colon d\in \mathbb {R} \right\}.\end{정렬}}

즉, 왼쪽 코세트는

G

의 모든 행렬로 구성되며 왼쪽 상단의 입력은 동일하다.이 부분군

H

는

G

로 정규 분포를 따르지만 부분군 H는 정규 분포를 따른다.

T=\왼쪽\{\begin{bmatrix}a&0\\\0&1\end{bmatrix}\colon a\in \mathb {R} -\{0\}\오른쪽\}}}}}}}

G

에서는 정상이 아니다.

그룹 작업의 궤도로

그룹 $G$ 의 부분군 $H$ 를 사용하여 G에 대한 H의 $작용$ 을 두 $가지$ 자연적인 방법으로 정의할 수 있다.오른쪽 동작, $G \times H$ → $G$ $by$ ( $g,$ h) → $gh$ 또는 왼쪽 동작 $,$ $H \times G$ → $G$ by ( $h$ , g) → $hg$ .오른쪽 행동 아래 $g$ 의 궤도는 왼쪽 코제트 $gH$ 이고, 왼쪽 행동 아래 궤도는 오른쪽 $코제트$ Hg이다.^[10]

역사

코제트의 개념은 갈루아의 1830~31년으로 거슬러 올라간다.그는 표기법을 도입했지만 그 개념에 대한 이름을 제공하지 않았다."공동 집합"이라는 용어는 1910년 G. A. Miller가 <분기별 수학 저널(vol. 41, 페이지 382)>에 발표한 논문에서 처음으로 나타난다.독일 네벤그루펜(Weber)과 콘게이트 그룹(Burnside)을 포함한 다양한 용어가 사용되어 왔다.^[11]

갈루아는 주어진 다항식 방정식이 언제 급진주의자에 의해 해결될 수 있는가를 결정하는 데 신경을 썼다.그가 개발한 도구는 순열 G $그룹$ 의 부분군 $H$ 가 $G$ 의 두 가지 분해(현재 우리가 좌, 우 코세츠라고 부르는 것)를 유도했다는 점에 주목했다.만약 이러한 분해, 즉 왼쪽 코세트가 오른쪽 코세트와 동일하다면, 1865년과 1869년 갈루아의 작품에 대한 논평에서 문제를 $G$ . Camille Jordan 대신 $H$ 에 대해 작업하는 것으로 줄이는 방법이 있었는데, 그는 이것을 사용하지 않았지만, 위의 것과 같이 이러한 생각을 상세히 기술하고 정상적인 하위그룹을 정의했다.용어^[6]

오늘날 가장 흔하지만 H에 $관해서$ 코제트 $gH$ 를 $g$ 의 왼쪽 코제트라고 부르는 것은 과거에는 보편적으로 사실이 아니었다.^[10]예를 들어 홀(1959) 는 $gH$ 를 오른쪽 코제트라고 부르며, 부분군이 오른쪽에 있음을 강조한다.

코딩 이론의 응용

2진수 선형 코드는 2진수 $GF(2$ ) 위에 있는 m-차원 벡터 공간 $V$ 의 n차원 하위공간 $C$ 이다 $.$ $V$ 는 첨가 아벨리아 그룹이기 때문에 $C$ 는 이 그룹의 하위 그룹이다.코드는 전송 시 발생할 수 있는 오류를 수정하는 데 사용될 수 있다.코드 워드( $C$ 의 요소)가 전송될 때 비트 중 일부가 변경될 수 있으며 수신자의 임무는 손상된 수신 워드가 다음과 같이 시작되었을 가능성이 가장 높은 코드 워드를 결정하는 것이다.이 절차를 디코딩이라고 하며, 전송에서 몇 가지 오류만 발생한다면 극히 몇 가지 실수만으로 효과적으로 수행할 수 있다.디코딩에 사용되는 한 가지 방법은 $V$ 의 요소(수신된 단어가 $V$ 의 요소가 될 수 있음)를 표준 배열로 배열하는 방법을 사용한다.표준 배열은 특정 방식으로 표 형태로 $삽입$ 된 V의 코셋 분해다.즉, 배열의 맨 위 행은 0 벡터가 먼저 쓰여져야 한다는 것을 제외하고, 임의의 순서로 쓰여진 $C$ 의 원소로 구성되어 있다.그런 다음, 상단 행에 아직 나타나지 않는 최소 개수의 V $요소$ 를 선택하고 이 요소를 포함하는 $C$ 의 코제트를 두 번째 행으로 쓴다(명칭, 행은 $C$ 의 각 요소를 바로 위에 두고 이 요소의 합을 취함으로써 형성된다).이 원소를 코제트 리더라고 하며, 그것을 선택하는 데는 어떤 선택이 있을 수 있다.이제 그 과정이 반복되고, 아직 나타나지 않은 최소한의 개수를 가진 새로운 벡터가 새로운 코제트 리더로 선택되고, 그것을 포함하는 $C$ 의 코제트가 다음 행이다. $V$ 의 모든 벡터가 코스메트로 정렬되면 프로세스가 종료된다.

5차원 공간 $V$ (32 벡터 포함)에서 2차원 $코드$ C $=$ ${00000, 01101, 10110, 11011}$ 에 대한 표준 배열의 예는 다음과 같다.

00000	01101	10110	11011
10000	11101	00110	01011
01000	00101	11110	10011
00100	01001	10010	11111
00010	01111	10100	11001
00001	01100	10111	11010
11000	10101	01110	00011
10001	11100	00111	01010

디코딩 절차는 테이블에서 수신된 단어를 찾은 다음 그 단어가 있는 행의 코제트 리더를 추가하는 것이다.2진수 산술적 추가는 빼는 것과 같은 연산이기 때문에, 이것은 항상 $C$ 의 원소를 낳는다.코스메트 리더의 0이 아닌 위치에서 전송 오류가 정확하게 발생한 경우, 그 결과는 올바른 코드 워드가 될 것이다.이 예에서 단일 오류가 발생하면 하나의 오류가 있는 모든 가능한 코셋 리더가 배열에 나타나기 때문에 방법은 항상 이를 수정한다.

증후군 해독은 이 방법의 효율성을 향상시키는 데 사용될 수 있다.수신된 단어가 들어갈 올바른 코제트(행)를 계산하는 방식이다.m-차원 이항 벡터 공간에서 n차원 $코드$ C의 경우 패리티 체크 $매트릭스$ 는 $xH T$ = $0인$ 속성을 $가진$ $(m$ - $n)$ ^[12] × m $매트릭스$ $H$ 이다.벡터 $xH$ 는^T $x$ 의 증후군이라고 불리며, 선형성에 의해 같은 코셋에 있는 모든 벡터는 동일한 증후군을 갖게 된다.해독하기 위해, 이제 검색은 수신된 단어와 같은 증후군을 가진 코제트 리더를 찾는 것으로 축소된다.^[13]

더블 코세츠

그룹 $G$ 의 $H$ 와 $K$ (구분할 필요는 없음)라는 두 개의 하위그룹을 감안할 $때$ , $G$ 의 H와 $K$ 의 $이중$ 코세트는 $HgK$ = {hgk : $h의 요소,$ $k$ 의 $요소$ 인 $H$ 의 $요소$ 집합이다.각각 $H$ = $1$ 과 $K$ = $1일$ 때 $K$ 의 왼쪽 코세츠와 $H$ 의 오른쪽 코세츠다.^[14]

$HxK$ 와 $HyK$ 두 개의 이중 코세트는 분리되거나 동일하다.^[15]고정 $H$ 와 $K$ 에 대한 모든 이중 코세트의 세트는 $G$ 의 파티션을 형성한다.

이중 코셋 $HxK$ 는 $Hxk$ 형식의 $H$ ( $G$ )의 전체 오른쪽 코세트와 $K$ 의 요소인 K( $G$ )의 $전체$ 왼쪽 코세트를 포함하며, $H$ 는 $H$ 이다.^[15]

표기법

$G$ 를 부분군 $H$ 와 $K$ 로 하자.이러한 세트로 작업하는 몇몇 작가들은 그들의^[16]^[17] 작품에 대한 특별한 표기법을 개발했다.

$G / H$ 는 $G$ 에서 $H$ 의 $G}$ 에 있는 왼쪽 코스메트 ${gH :$ $g$ in G}의 집합을 의미한다.
$H\G$ 는 $오른쪽$ 코스 세트 { $Hg$ : $g$ $in$ G $}$ 을(를) 의미한다.
$K\G/H$ 는 $G$ 에서 $H$ 와 $K$ 의{ $KgH$ : G $}$ 에 $있는$ 이중 코세트의 집합을 의미하며, 때때로 이중 코세트 공간이라고 한다.
$G // H$ 는 $G$ 에서 부분군 $H$ 의 이중 코셋 공간 $H\G/H$ 를 나타낸다.

더 많은 애플리케이션

$R$ 에서 $Q$ 의 코세트는 측정할 수 없는 세트의 한 종류인 비탈리 세트의 건설에 사용된다.
코세트는 전송의 정의에서 중심이다.
코세트는 계산 그룹 이론에서 중요하다.예를 들어, 루빅 큐브를 풀기 위한 Thistlethwaite의 알고리즘은 코세트에 크게 의존한다.
기하학에서 클리포드-클레인 형태는 이중 코셋 공간 space $\G/H$ 로 여기서 $G$ 는 환원성 리 그룹, $H$ 는 폐쇄성 서브그룹, $γ$ 은 균질 공간 $G / H$ 에서 적절하게 불연속적으로 작용하는 이산 서브그룹( $G$ )이다.

참고 항목

메모들

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참조

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추가 읽기

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외부 링크

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예시
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[7] 1989년 조시 페이지 323

[8] 로트만 2006, 페이지 155

[9] 버튼 1988, 페이지 128, 135

[Jacobson-10] 제이콥슨 2009년 페이지 52

[11] 밀러 2012, 페이지 24 각주

[12] 전치 행렬은 벡터를 행 벡터로 쓸 수 있도록 사용된다.

[13] 로트만 2006년 423페이지

[14] 스콧 1987, 페이지 19

[Hall-15] Hall 1959, 페이지 14–15 (도움말)

[16] Seitz, Gary M. (1998), "Double Cosets in Algebraic Groups", in Carter, R.W.; Saxl, J. (eds.), Algebraic Groups and their Representation, Springer, pp. 241–257, doi:10.1007/978-94-011-5308-9_13, ISBN 978-0-7923-5292-1

[17] Duckworth, W. Ethan (2004), "Infiniteness of double coset collections in algebraic groups", Journal of Algebra, Elsevier, 273 (2): 718–733, arXiv:math/0305256, doi:10.1016/j.jalgebra.2003.08.011, S2CID 17839580

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