타원 곡선

대수구조 → 군론 군론
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개별 그룹 격자 ${\displaystyle \mathbb{}}$($$Z \$displaystyle \mathbb {Z$$$) 자유 그룹 모듈러 그룹 PSL(2,$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ \$style \mathbb {Z$ 표시$)$ SL(2,$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ \$displaystyle \mathbb {Z$ 산술군 격자 쌍곡선 군
토폴로지 그룹 및 Lie 그룹 솔레노이드 원형 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수 직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) 심플렉틱 Sp(n) G2 에프4 E6. E7. E8. 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 미분 동형 고리 무한 차원 리 군 O()) SU()) Sp())
대수군 선형 대수군 환원군 아벨 변종 타원 곡선
v t

수학에서, 타원곡선은 매끄럽고 투영적인 1속 대수곡선이며, 그 위에 특정한 점 O가 있다.타원곡선은 필드 K에 걸쳐 정의되며 K의 데카르트 곱인 K의² 점을 그 자체로 기술한다.필드의 특성이 2와 3과 다르면 곡선은 변수의 선형 변경 후 다음에 대한 해(x, y)로 구성된 평면 대수 곡선으로 설명할 수 있다.

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$

K의 일부 계수 a와 b에 대해.원곡선은 단일이 아니어야 합니다. 즉, 곡선에 절곡선 또는 자체 교차점이 없습니다.(이것은 조건 4a³ + 27b² 0 0, 즉 x의 제곱 프리인 것과 같습니다.)곡선이 투영 평면에 실제로 있고 점 O가 무한대의 고유한 점이라는 것은 항상 이해된다.많은 출처는 타원곡선을 단순히 이 형식의 방정식에 의해 주어진 곡선으로 정의한다.(계수장이 특성 2 또는 3을 갖는 경우 위의 방정식은 모든 비단수 입방곡선을 포함할 만큼 충분히 일반적이지 않다.아래의 일반 필드에서의 타원곡선을 참조한다.)

타원 곡선은 아벨 다양체이다. 즉, 아벨 군과 관련하여 대수적으로 정의된 군 법칙을 가지며, O는 항등원소 역할을 한다.

만약 y² = P(x)라면, 여기서 P는 반복 뿌리가 없는 x의 3도 다항식이고, 용액 세트는 1속 비정렬 평면 곡선인 타원 곡선이다.P가 4도이고 정사각형이 아닌 경우, 이 방정식은 다시 1속 평면 곡선을 기술하지만, 자연히 항등원소를 선택할 수 없다.보다 일반적으로, 예를 들어 3차원 투영 공간에 내장된 두 개의 4차원 표면의 교차점 등 제1속 대수 곡선을 타원 곡선이라고 하는데, 이 곡선이 항등으로서 작용하기 위한 표시점을 갖추고 있다면 말이다.

타원함수의 이론을 이용하여 복소수에 걸쳐 정의된 타원곡선이 복소투영평면에 토러스 삽입에 대응한다는 것을 알 수 있다.토러스 또한 아벨 군이며, 이 대응 또한 군 동형사상입니다.

타원 곡선은 수 이론에서 특히 중요하며, 현재 연구의 주요 영역을 구성합니다. 예를 들어, 그것들은 페르마의 마지막 정리에 대한 앤드류 와일스의 증명에 사용되었습니다.또한 타원곡선암호법(ECC)과 정수인수분해에서도 응용할 수 있습니다.

타원곡선은 투사 원뿔의 의미에서는 타원이 아니며, 원뿔은 0속이다: 용어의 기원에 대해서는 타원적분을 참조한다.그러나, $쌍곡면{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ $(\$^{$2$에서 타원형으로서 형상 불변량 j as 1을 갖는 실제 타원 곡선의 자연적 표현이 있다. 구체적으로, 민코프스키 쌍곡면과 특정 일정한 각도 특성에 의해 특징지어지는 4원형 표면과의 교점은 스타이너 타원형을 생성한다.$($ 스타일 $\mathbb {H}$^{$2})$ (방향 보존 콜라인에 의해 생성됨).또한 이들 타원체의 직교 궤도는 jθ1의 타원곡선을 가지며, 2개의 포치에 대한 궤적으로 기술된 $(\$의 타원은 각 직교 궤적상의 교차점 쌍을 더한 2개의 스타이너 타원곡선의 합이다.여기서, 쌍곡선의 정점은 각 궤적 ^[1][2]곡선의 항등으로서 기능한다.

토폴로지적으로 복소 타원곡선은 토러스이고, 복소 타원곡선은 구이다.

실수에 대한 타원 곡선

타원곡선의 형식적 정의는 대수기하학의 배경을 필요로 하지만, 입문대수와 기하학만을 사용하여 실수에 대한 타원곡선의 일부 특징을 설명할 수 있다.

이 맥락에서 타원곡선은 형태의 방정식에 의해 정의된 평면곡선이다.

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$

변수(a와 b는 실수)의 선형 변경 후.이러한 방정식은 바이얼스트라스 방정식이라고 불리며 바이얼스트라스 형식 또는 바이얼스트라스 정규 형식이라고 합니다.

타원 곡선의 정의에서는 곡선이 비싱글이어야 합니다.기하학적으로 이는 그래프에 첨두점, 자체 교차점 또는 고립점이 없음을 의미합니다.대수적으로, 이것은 판별자가 다음과 같은 경우에만 유지된다.

$({displaystyle \Delta =-16\left(4a^{3}+27b^{2}\오른쪽)}$

0이 아닙니다. (-16 인수는 곡선이 비단수인지 여부와 무관하지만, 판별자의 정의는 타원 곡선에 대한 더 발전된 연구에서 유용합니다.)^[3]

비단일 곡선의 실제 그래프에는 판별식이 양의 경우 성분이 두 개이고 음의 경우 성분이 한 개 있습니다.예를 들어 오른쪽 그림에서 첫 번째 경우 판별자는 64이고 두 번째 경우 -368입니다.

단체법

투영 평면에서 작업할 때 매끄러운 입방곡선에 그룹 구조를 정의할 수 있습니다.Weierstrass 정규 형식에서 이러한 곡선은 그룹의 동일성 역할을 하는 무한대(균질 좌표 [0:1:0])에서 추가 점 O를 가집니다.

곡선은 x축에 대해 대칭이기 때문에, 어떤 점 P라도, 우리는 -P를 그것의 반대점으로 삼을 수 있다.${\displaystyle -}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle =}$(\$displaystyle -O=O$ ID 요소입니다.

P와 Q가 곡선상의 두 점일 경우, 세 번째 점 P + Q를 다음과 같이 고유하게 설명할 수 있습니다.먼저 P와 Q를 교차하는 선을 그립니다.이것은 일반적으로 세 번째 점인 R에서 입방체와 교차합니다.그런 다음 P + Q를 R 반대쪽 점인 -R로 합니다.

덧셈에 대한 이 정의는 무한대의 점 및 교차 다수와 관련된 몇 가지 특수한 경우를 제외하고 작동합니다.첫 번째는 포인트 중 하나가 O일 때입니다.여기서는 P + O = P = O + P를 정의하여 O를 그룹의 아이덴티티로 한다.다음으로, P와 Q가 서로 반대일 경우, P + Q = O를 정의합니다. 마지막으로, P = Q일 경우 우리는 하나의 점만을 가지므로 이들 사이의 선을 정의할 수 없습니다.이 경우 이 점에서 곡선에 대한 접선을 선으로 사용합니다.대부분의 경우 탄젠트는 두 번째 점 R과 교차하며 그 반대입니다.그러나 P가 변곡점(곡선의 오목도가 변화하는 점)인 경우에는 R 자체를 P로 간주하고 P + P를 단순히 반대쪽 점으로 간주합니다.

Weierstrass 정규형이 아닌 입방곡선의 경우, 9개의 변곡점 중 하나를 등식 O로 지정함으로써 군 구조를 정의할 수 있다.투영 평면에서 각 선은 다중성을 고려할 때 3개의 점에서 입방체와 교차합니다.점 P의 경우 -P는 O와 P를 통과하는 선의 고유한 세 번째 점으로 정의됩니다.다음으로 임의의 P와 Q에 대해 P + Q는 -R로 정의됩니다.R은 P와 Q를 포함한 회선상의 하나의 세 번째 포인트입니다.

K를 곡선이 정의되는 필드(즉, 정의 방정식 또는 곡선의 방정식의 계수가 K에 있음)로 하고 E로 곡선을 나타냅니다.그러면 E의 K-합리점은 무한대의 점을 포함하여 모든 좌표가 K에 있는 E의 점들이다.K-합리점 집합은 E(K)로 표시됩니다.다항식의 특성은 P가 E(K)에 있으면 -P도 E(K)에 있고, P, Q, R 중 두 개가 E(K)에 있으면 세 번째도 마찬가지이기 때문이다.또한 K가 L의 서브필드라면 E(K)는 E(L)의 부분군이다.

위의 그룹들은 기하학적으로 뿐만 아니라 대수적으로도 설명할 수 있다.필드 K에 대한² 곡선 y³ = x + ax + b(특성이 2도 3도 아닌 것으로 가정)와 곡선의 점 P = (x_P, y_P) 및 Q = (x_Q, y_Q)가 주어진 경우 먼저 x µ_Q x (케이스 1)로_P 가정합니다.y = sx + d를 P와 Q를 교차하는 선의 방정식으로 하며, 기울기는 다음과 같습니다.

$({displaystyle s=syfrac {y_{P}-y_{Q}}) {x_{P}-x_{Q}}}$

직선 방정식과 곡선 방정식은 x, x_Q 및 x_R 지점에서_P 교차하므로 방정식의 y 값은 동일합니다.

$\displaystyle \left(sx+d\right)^{2}=x^{3}+ax+b}$

와 동등하다.

${\displaystyle x^{3}-s^{2}x{2}-2sdx+ax+b-d^{2}=0}$

우리는 이 방정식이 다음과 정확히 같은 x 값에 뿌리를 두고 있다는 것을 알고 있다.

$\displaystyle (x-x_{P})(x-x_{Q})(x-x_{R})=x^{3}+x^{2}(-x_P}-x_{Q}-x_{R})+x(x_{})P}x_{Q}+x_{P}x_{R}+x_{Q}x_{R}-x_{P}x_{Q}x_{R}$

x에 대한² 계수와 x에 대한_R 해답을 구합니다.

${\displaystyle x_{R}=s^{2}-x_{P}-x_{Q}}$

y는_R 직선 방정식에서 나온 것이다.

$({displaystyle y_{R}=y_{P}+s(x_{R}-x_{P})})$

K의 요소입니다.따라서 이것은 R = (x_R, y) = -(P + Q)를_R 정의합니다.

x = x이면_PQ 두 가지 옵션이 있습니다. y = -y_Q(케이스 3)인 경우_P y = y_Q = 0(케이스 4)인 경우를 포함하여_P 합계는 0으로 정의됩니다. 따라서 곡선에 있는 각 점의 역수를 x축에 반영하여 구합니다.

y_P = y_Q 0 0이면 Q = P 및 R = (x_R, y_R) = -(P + P) = -2P = -2Q(경우에 P를 R로 사용)입니다.기울기는 (x_P, y_P)에서 곡선에 대한 접선으로 제공됩니다.

${\displaystyle {\displaystyle {arged}s&=black {3x_{P}}^{2}+a}{2y_{P}}\x_{R}&=s^{2}-2x_{P}\\y_{R}&=y_{P}+s(x_{R}-x_{P})\end{aligned}}$

유리수에 대한 타원 곡선

유리수 영역에 걸쳐 정의된 곡선 E도 실수 영역에 걸쳐 정의된다.따라서 탄젠트 및 세컨트 방법에 의한 (실제 좌표가 있는 점의) 덧셈 법칙을 E에 적용할 수 있습니다.명시적 공식은 P와 Q를 연결하는 선이 합리적인 계수를 가지므로 두 점 P와 Q의 합이 다시 합리적인 좌표를 갖는다는 것을 보여준다.이렇게 하면 E의 유리점 집합이 E의 실점 그룹의 부분군을 형성한다는 것을 알 수 있습니다.이 군으로서, 이것은 아벨 군, 즉 P + Q = Q + P이다.

적분점

이 섹션은 x가 정수인 E의 점 P = (x, y)에 관한 것입니다.

예를 들어, y = x³ + 17 등식은² y > ^[4][5]0인 8개의 적분해를 가진다.

(x, y) = (-2, 3), (-1, 4), (2, 5), (4, 9), (8, 23), (43, 282), (52, 375), (5234, 37861)

또 다른 예로, Weierstrass 형식이³ y = x - 2x인² 곡선인 Ljunggren의 방정식은 y :^[6] 0인 해는 4개뿐입니다.

(x, y) = (0, 0), (-1, 1), (2, 2), (338, 6214).

합리적인 점의 구조

유리점은 유한한 수의 유리점부터 시작하여 위에서 상술한 접선 및 분할점 방법으로 구성할 수 있습니다.보다[7] 정확히는, 모르델-바일 정리는 E(Q)군이 최종적으로 생성된 (아벨리안) 그룹이라고 말한다.따라서 최종 생성된 아벨 그룹의 기본 정리에 의해 그것은 Z와 유한 순환 그룹의 복사본의 유한 직합이다.

그^[8] 정리의 증명은 두 부분으로 이루어져 있다.첫 번째 부분은 어떤 정수 m > 1에 대하여, E(Q)/mE(Q)가 유한하다는 것을 보여준다(이것은 약한 모르델-바일 정리이다).둘째, (무한₀ P의 점에 대한) P가 (공수 p 및 q를 갖는) 유리수 x = p/q를 갖는 경우 h(P₀) = 0 및 h(P) = log max(p, q )로 정의된 유리점 E(Q)에 높이 함수 h를 도입한다.이 높이 함수 h는 h(mP)가 m의 제곱처럼 대략적으로 커지는 특성을 가지고 있다.게다가, E에는 높이가 상수보다 작은 유리점만 확실히 많이 존재한다.

따라서 이 정리의 증명은 무한^[9] 강하 방법의 변형이며 E에 대한 유클리드 나눗셈의 반복 적용에 의존한다: P ( E(Q)를 곡선의 유리점이라고₁ 하고, 여기서₁ Q는 E(Q)/2E(Q)에서 P의 고정 대표이고, P의₁ 높이는 약 P이다₁.P의 1/4(일반적으로 2는 임의의 m > 1로 대체하고 1/4은 1/m으로² 대체).P1과 같은 Redoing는 것으로는 P1=2P2+2분기, P2=2P3+ 되었나 등 마침내 표현하는 P로 필수적인 일차 결합의 기고 있는 점이 높이가 경계에 의해 고정된 상수 선택해야 할 진보로써 약한 Mordell–Weil 정리와 두번째 속성과의 높이 함수 P는 따라서 표현된 적분 선형 com.binatio고정된 점의 유한 수 n.

그러나 이 정리는 E(Q)/mE(Q)의 대표자를 결정하는 방법을 제공하지 않습니다.

E(Q)의 순위, 즉 E(Q)의 Z 복사본 수 또는 그에 상응하는 무한 차수의 독립 점의 수를 E의 순위라고 합니다.버치와 스위너튼-다이어의 추측은 순위를 결정하는 것과 관련이 있다.순위가 상대적으로 작은 예만 알려져 있더라도 임의로 클 수 있다는 추측이 있다.현재 정확히 알려진 순위가 가장 큰 타원 곡선은 다음과 같습니다.

y² + xy + y = x³ - x² - 24453767336014638034871689617692707573821859853707x + 96171018205318303454622297925880687832702896489589841511239312

2020년 노암 엘키스와 제브 클락스브룬이 발견한 20위다.20위 이상의 곡선은 1994년부터 알려져 왔으며, 하위 범위는 21~28위까지이지만 정확한 순위는 알려지지 않았으며, 특히 이들 중 누가 다른 선수들보다 높은 순위를 가지고 있는지, 그리고 누가 진정한 "현재 챔피언"^[10]인지 증명되지 않았다.

E(Q)의 비틀림 서브그룹을 구성하는 그룹은 다음과 ^[11]같다.E(Q)의 비틀림 서브그룹은 N = 1, 2, ..., 10, 12에 대한 Z/NZ 또는 Z/2Z × Z/2NZ와 N=에 대한 Z/NZ 중 하나(Barry Mazur에 의한 정리).또한 Q에 대한 Mordell-Weil 그룹이 동일한 비틀림 그룹을 갖는 타원 곡선은 매개변수화된 ^[12]패밀리에 속합니다.

버치와 스위너튼-다이어의 추측

BSD(Birch and Swinnerton-Dyer 추측)는 클레이 수학 연구소의 밀레니엄 문제 중 하나이다.이 추측은 문제의 타원 곡선에 의해 정의된 분석 및 산술적 객체에 의존합니다.

분석 측면에서 중요한 성분은 복합 변수 L의 함수, E over Q의 Hasse-Weil 제타 함수이다.이 함수는 리만 제타 함수와 디리클레 L 함수의 변형입니다.이것은 모든 소수 p에 대해 하나의 인자를 갖는 오일러 곱으로 정의된다.

최소 방정식으로 주어진 E/Q 곡선의 경우

$\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}$

$정수$ 계수를 $사용하여$ 모듈로$$p를 줄이면 유한 필드_p F에 걸쳐 타원 곡선이 정의됩니다(단$,$ 감소 곡선이 특이점을 가지므로 타원 곡선이 되지 않는 경우, E는 p에서 불량 감소라고 하는 유한 소수 p 제외).

유한 필드_p F 위의 타원 곡선의 제타 함수는 어떤 의미에서 F의 유한_p 필드 확장_pⁿ F의 값으로 E의 점 수에 대한 정보를 조합하는 생성 함수이다.에^[13] 의해 주어집니다.

$\displaystyle Z(E(\mathbf {F} _{p} )=\exp \left(\sum \#\left[E({\mathbf {F}}_{p^{n}}}\right] {\frac {T^{n}}}}}}\right}$

지수의 내부 합계는 로그의 발달과 유사하며, 실제로 정의된 제타 함수는 합리적인 함수이다.

${\displaystyle Z(E(\mathbf {F} _{p})}=420frac {1-a_{p}T+pT^{2}}{(1-T)(1-pT)}},$

${\displaystyle {}_{}}$서 '프로베니우스의 추적' 용어^[14]$$ {\$displaystyle$ $a_{p}$는 F p {\${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $\mathbb$ {$F$$}$$_{p$ , viz에 $대한{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ '예상' $숫자{\displaystyle }$p +$$1 {$displaystyle$$$p$+$$1$}과 타원 $E$의 포인트 수의 차이로 정의된다.

$\displaystyle a_{p}=p+1-\#E(\mathbb {F} _{p})}$

또는 동등하게

${\displaystyle \mathrm{\#}E}$ ( ${\displaystyle {}_{}}$p ) $=$ ${\displaystyle 1}$-${\displaystyle {}_{}a}$ +$$p \ $displaystyle$\ # $E$( \ $mathbb${ $F } _$ { p } )= 1 - a _ { $p$} + $p$}

이 수량에 대해 주의할 점이 두 가지 있습니다.첫째, 이들$p{\displaystyle {}_{}}$\$displaystyle a_{p}$는 위의 $E$의 정의$(\$ $E)$에서 i$\$displaystyle a_${i$}와 혼동해서는 안 됩니다.이것은 표기법의 불행한 충돌일 뿐입니다.둘째, 특성 $\displaystyle$ p$\$displaystyle p\$displaystyle q=p^{n}$가 어디에서나 p$\displaystyle$ p$\$displaystyle $p$를 대체하여 특성 p\displaystyle p$\backslash$displaystyle p\n}의 임의의 유한 필드에 대해 동일한 수량과 함수를 정의할 수 있다.

다음으로 모든 소수 p에 대해 이 정보를 수집함으로써 E over Q의 L-함수를 정의합니다.정의되어 있습니다.

$\displaystyle L(\mathbf {Q}), s=\displays _{p\not \mid N}\left (1-a_{p}p^{-s}+p^{-2s}\right)^{-1}\cdot _{p\mid N}\left (1-a_p^{p}-s})$

여기서 N은 E의 도체, 즉 불량 감소 소수의 곱이며, 이 경우_p a는 위의 방법과 다르게 정의된다: 아래 실버맨(1986)을 참조한다.

이 제품은 Re(s) > 3/2에만 수렴됩니다.Hasse의 추측은 L-함수가 전체 복소 평면에 대한 해석적 연속성을 허용하고 모든 s에 대해 L(E, s)에서 L(E, 2 - s)에 관련된 함수 방정식을 만족한다는 것을 확증한다.1999년, 이것은 시무라-타니야마-의 증거의 결과인 것으로 나타났다.Weil 추측: Q 위의 모든 타원 곡선은 모듈러 곡선이며, 이는 L-함수가 해석적 연속성이 알려진 모듈러 형식의 L-함수임을 암시합니다.따라서 임의의 복소수 s에서 L(E, s)의 값을 말할 수 있다.

s=1(도체곱은 유한한 만큼 폐기될 수 있음)에서 L-함수는

$({displaystyle L(\mathbf {Q}),1)=\display_{p\not \mid N}\left(1-a_{p}p^{-1}+p^{-1}\right)=\prod_{p\not \mid N}{p-a}{p-{p={p_{p})_{p}_{p}}_p}_p}}_p}}}_p}_p}_p}_p}_p}_p}_p_p}_p}_p}_p}_$

버치와 스위너턴-다이어 추측은 곡선의 산술과 s = 1에서 이 L-함수의 거동을 관련짓는다.이는 s = 1에서 L-함수의 소멸 순서가 E의 등급임을 확인하고 타원 곡선에 부착된 여러 양의 관점에서 해당 지점에서 L(E, s)의 Laurent 계열의 선행 항을 예측한다.

리만 가설과 마찬가지로 BSD 추측의 진실은 다음 두 가지를 포함한 여러 가지 결과를 초래할 것이다.

• 합동수는 유리변 길이를 갖는 직각삼각형의 면적인 홀수 없는 정수 n으로 정의된다.n은 $타원곡선{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 2 $=$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$3 - ${\displaystyle {n\mathrm{}}^{}}$ 2$$ {\$displaystyle$ y$^{2$}=$x^{3}-n^{2}x}$가 무한차수의 유리점을 갖는 경우에만 합동수이며, BSD를 가정할 때, 이는 s = 1에서 0을 갖는 L-함수와 같다.Tunnell은 관련 결과를 보여 주었다: BSD를 가정하면${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$은${\displaystyle {}^{}}$2 x ${\displaystyle {}^{}}$ + y $2{\displaystyle \mathrm{}}$ +$$ ${\displaystyle {z\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\displaystyle {}^{}}$ n {\$displaystyle 2x^{2$} + $8z$^{2$} =n$}이 ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ x${\displaystyle {}^{}2}$ + ${\displaystyle {}^{}}$ 2 + 8z^{2} =n}인 정수(x$,$ y$,$ z)의 세 배의 수가 2 x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle 2^{}}$의 두 배일 경우에만 합동수이다.$\}.$ 이 문장의 관심사는 상태를 ^[15]쉽게 확인할 수 있다는 것입니다$.$
• 다른 방향에서는 특정 L-함수에 대해 임계 스트립의 중심에서 0의 차수를 추정할 수 있다.BSD를 허용할 경우, 이러한 추정은 해당 타원 곡선의 패밀리 순위에 대한 정보에 해당합니다.예를 들어 일반화 리만 가설과 BSD를 가정하면 ${\displaystyle {y2\mathrm{}}^{}}$ $=$ ${\displaystyle {}^{}{3\mathrm{}}^{}}$ +${\displaystyle a}$ + ${\displaystyle b}${\$displaystyle$ y$^{2$}=$x^{3}+ax+b}$로 주어진 곡선의 평균 순위는 ^[16]2보다 작다.

유한 필드에 걸친 타원 곡선

K = F를_q q개의 요소로 이루어진 유한장, E를 K 위에 정의된 타원곡선이라고 하자.K에 대한 타원곡선 E의 정확한 유리점 수는 일반적으로 계산하기 어렵지만, 타원곡선에 대한 Hasse의 정리는 다음과 같은 부등식을 제공한다.

$\displaystyle \#E(K)-(q+1) \leq 2 {\sqrt {q}}$

(무한점 포함)

즉, 곡선의 점 수는 필드의 요소 수에 비례하여 증가합니다.이 사실은 몇 가지 일반 이론의 도움으로 이해되고 증명될 수 있습니다. 예를 들어, 국소 제타 함수와 에테일의 코호몰로지를 참조하십시오.

점의 집합 E_q(F)는 유한 아벨 군이다.q가 짝수인지 홀수인지에 따라 항상 순환이거나 두 순환 그룹의 곱입니다.예를 들어,^[17] 다음과 같이 정의된 곡선

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x}$

over₇₁ F는 이 필드 위에 72개의 포인트(0,0을 포함한 71개의 아핀 포인트 및 무한대에서 1개의 포인트)를 가지며, 그룹 구조는 Z/2Z × Z/36Z로 주어진다.특정 곡선의 점 수는 Schof의 알고리즘을 사용하여 계산할 수 있습니다.

F의 필드_q 확장에 대한 곡선의 연구는 생성 급수에 의해 정의된 F 위의_q E의 국소 제타 함수의 도입에 의해 촉진됩니다(위 참조).

$\displaystyle Z(K),T)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }\#\left[E(K_{n}\right]{T^{n} \over n} \right)}$

여기서 필드_n K는 K = F of_q degree n(F_qⁿ)의 (동형사상까지 확장)이다.

제타 함수는 T에서 유리함수이다.이를 확인하려면 다음과 같은 정수 ${$이(가) 있습니다.

${\displaystyle \#E_{q}=1-a_{n}+q^{n}=1-\alpha^{n}-{\bar {\alpha }^{n}+q^{n}}$

$α(\displaystyle$ \alpha$)$와 그 복소수 켤레.α$({displaystyle\alpha$$})$를 $선택$하면 절대값이$$${\displaystyle {}^{}}$({$displaystyle\displaystyle\displayrt${q$\}),$ α$=$ ${\displaystyle q^{}}$ ${\displaystyle {\frac{1}{}}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}{}^{}{e}^{}}$- $({displaystyle\alpha={1}{2}})가 됩니다.$$laystyle \cos \theta$=$hasse frac$ {a}${2$ displaystyle 2 displayrt {$q$$\}\}\}.$ (${\displaystyle {이}^{}}$는 Hasse의 정리가 2$$ +$k$(\$display style$2 $display$rt {$k}})$의 $최소화$를 나타냅니다${\displaystyle {}^{}}$

그러면 로컬 제타 함수는

${\displaystyle Z_{E}(T)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty})\left(1-\alpha ^{n}-{\bar {alpha }}^{n}+q^{n}\right}{\exp }T^{n} \over n} \right)}$

${\displaystyle Z_{E}(T)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty}){T^{n}-\sum _{n=1}^{\infty }\alpha ^{n}{n}{displaystylefty }{t}T^{n} \over n}-\sum _{n=1}^{\infty}{\bar {\alpha }^{n}{T^{n} \over n} + \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}{T^{n} \over n} \right)}$

$\displaystyle Z_{E}(T)=\exp \left(-\ln(1-\alpha T)+\ln(1-{\bar {\alpha }T)-\ln(1-qT)\right)}$

${\displaystyle Z_{E}(T)=\exp \left(\ln {(1-\alpha T)(1-{\bar {\alpha }T)}{(1-T)}}}\right}$

${\displaystyle Z_{E}(T)=vsecfrac {(1-\alpha T)(1-{\bar {\alpha }T}}{(1-T)(1-qT)}}}$

$({\displaystyle }$ ${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle \alpha }$T${\displaystyle }$) (${\displaystyle 1}$ - ${\displaystyle \alpha \stackrel{}{}\delta }$T ) ${\displaystyle =1}$ - ${\displaystyle aT}$ + ${\displaystyle {q\mathrm{}}^{}}$ T$$2 ( 1 - \ $displaystyle$( $1$- \$alpha }$T ) =$$1 - $aT$ + q$T^{2$ 마지막으로

${\displaystyle Z(E(K),T)=420 frac {1-aT+qT^{2}}{(1-qT)(1-T)}}}$

함수 방정식은

${\displaystyle Z\left(E(K),\frac {1}{q}T}}\right)=sq frac {1-a frac {1}{q}T}}+q\left({\frac {1}{q})T}}\right)^{2}}{(1-q{\frac {1}{qT}}(1-{\frac {1}{q})T}}}}}}}=sqfrac {q^{2}T^{2}-aqT+q}{(qT-q)(qT-1)}=Z(E(K),T)}$

예를 들어,^[18] 필드₂ F에 대한² E : y + y³ = x의 제타 함수는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle\frac{1+2}T^{2}}{(1-T)(1-2T)}}$

그 다음에 이어집니다.

$\displaystyle \left E(\mathbf {F} _{2^{r})\right =case {case}2^{r}+1&r(홀수})^{\frac {r}+1-2)^{rcase}\rcase}$

사토-테이트 추측은 Q에 대한 타원곡선 E가 모듈로 q를 줄이면 Hasse 정리의 $오차항{\displaystyle \mathrm{}}$ $q$(\$displaystyle$ 2{\$sqrt {q})$가 소수점 q에 따라 어떻게 변화하는지에 대한 진술이다.이는 Taylor, Harris 및 Shepherd-Barron의 ^[19]결과 때문에 2006년에 (거의 모든 곡선에 대해) 증명되었으며 오차항이 동일하다고 말한다.

유한장에 걸친 타원곡선은 암호학 및 큰 정수의 인수분해에 특히 적용된다.이러한 알고리즘은 종종 E의 포인트에서 그룹 구조를 이용한다.따라서 유한 필드의 가역 요소 그룹 F*_q와 같이 일반 그룹에 적용할 수 있는 알고리즘은 타원 곡선의 점 그룹에 적용할 수 있습니다.예를 들어 이산 로그는 그러한 알고리즘입니다.이 경우 타원 곡선을 선택하면 q(따라서 F의_q 단위 그룹)를 선택하는 것보다 더 많은 유연성을 얻을 수 있습니다.또한 타원곡선의 군구조는 일반적으로 더 복잡하다.

일반 필드 위의 타원 곡선

타원곡선은 임의의 필드 K에 걸쳐 정의할 수 있다. 타원곡선의 공식 정의는 K에 대한 비단수 투영 대수곡선으로, 속 1에 속하며 K에 대해 정의된 구별점을 부여한다.

만약 K의 특성이 2도 3도 아니라면, K 위의 모든 타원 곡선은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-px-q}$

변수 선형 변경 후.여기서 p와 q는 오른쪽 다항식³ x - px - q가 이중 루트를 가지지 않는 K의 원소이다.특성이 2 또는 3이면 더 많은 항을 유지할 필요가 있다: 특성 3에서 가장 일반적인 방정식은 다음과 같다.

$\displaystyle y^{2}=4x^{3}+b_{2}x^{2}+2b_{4}}x+b_{6}$

임의의 상수₂ b, b₄, b의₆ 경우 오른쪽의 다항식이 뚜렷한 근을 가질 수 있습니다(기호는 역사적 이유로 선택됨).특성 2에서는 이 정도도 불가능하며, 가장 일반적인 방정식은

$\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}$

정의되는 다양성이 비균등하다는 전제 하에.특성이 장애물이 아니라면 각 방정식은 변수의 적절한 선형 변화에 의해 이전 방정식으로 감소한다.

일반적으로 곡선은 위의 방정식을 만족하고 x와 y가 모두 K의 대수적 폐쇄의 요소인 모든 점(x, y)의 집합이 되도록 한다.두 좌표가 모두 K에 속하는 곡선의 점을 K-합리점이라고 합니다.

앞의 결과의 대부분은 E의 정의 필드가 숫자 필드 K, 즉 Q의 유한 필드 확장일 때 유효하다.특히 K 위에 정의된 타원곡선 E의 K-합리점의 군 E(K)가 최종 생성되어 위의 모르델-바일 정리가 일반화된다.Locc Merel에 의한 정리는 주어진 정수 d에 대해 (동형사상까지) 수장 K에 걸쳐 정의된 타원곡선에 대해 E(K)의 비틀림군으로서 발생할 수 있는 그룹이 최종적으로 많다는 것을 나타낸다.보다 ^[20]정확하게는 d의 수장 K에 걸쳐 정의된 타원곡선 E에 대해 E(K)의 비틀림점이 B(d)보다 작은 차수가 되는 B(d)가 있다.이 정리는 효과적이다: d > 1의 경우, 만약 비틀림점이 p의 차수이고, p의 소수가 있다면,

${\displaystyle p<d^{3d^{2}}}$

적분점에 대해서, 시에겔의 정리는 다음과 같이 일반화된다.E를 숫자 필드 K, x 및 y에 걸쳐 정의된 Weierstrass 좌표에 대한 타원 곡선이라고 가정합니다.그러면 X 좌표가 정수_K O의 고리 안에 있는 E(K)의 점들은 확실히 많다.

하세-바일 제타 함수와 버치와 스위너튼-다이어 추측의 특성도 이 보다 일반적인 상황으로 확장될 수 있다.

복소수 위의 타원 곡선

복잡한 투영 평면에 토러스를 포함시키는 타원 곡선의 공식은 바이어스트래스의 타원 함수의 호기심 특성에서 자연스럽게 따라옵니다.이러한 함수와 그 첫 번째 도함수는 다음 공식에 의해 관련된다.

${{displaystyle \wp '(z)^2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$

여기서₂ g와₃ g는 상수이고, θ(z)는 바이얼스트라스 타원함수이고, θ(z)는 그 도함수이다.이 관계가 (복소수 위에) 타원 곡선의 형태인 것이 분명해야 한다.바이어스트라스 함수는 이중 주기적, 즉 격자 δ에 대해 주기적이며, 본질적으로 바이어스트라스 함수는 토러스 T = C/δ에서 자연스럽게 정의된다.이 토러스는 지도를 통해 복잡한 투영 평면에 삽입될 수 있습니다.

$\displaystyle z\mapsto \left[1:\wp (z):\tfrac {1}{2}}\wp '(z)\right]$

이 지도는 이 지도의 이미지인 입방곡선의 화음과 탄젠트 군법칙과 함께 토러스(자연 군구조와 함께 고려됨)의 군 동형이다.이것은 또한 토러스에서 입방곡선까지의 리만 표면의 동형성이기 때문에 위상적으로 타원곡선은 토러스이다.격자 δ가 0이 아닌 복소수 c와 격자 Cδ의 곱셈에 의해 관련지어지면 대응하는 곡선은 동형이다.타원 곡선의 동형성 클래스는 j 불변량으로 지정됩니다.

동형성 클래스는 더 간단한 방법으로도 이해할 수 있다.모듈러 불변량이라고 불리는 상수₂ g와₃ g는 격자, 즉 토러스 구조에 의해 고유하게 결정된다.그러나, 복소수 필드가 실수의 대수적 닫힘이기 때문에, 모든 실수의 다항식은 복소수 위에 선형 인자로 완전히 인수 분해된다.따라서, 타원 곡선은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\displayda)}$

라는 것을 알 수 있다

${\displaystyle {displaystyle {syslogrt [ {3} {4}}{3}}\left(\syslogda ^{2}-\syslogda +1\right)\\[4pt]g_{3}'&=syslogfrac {1}{27}(\syslogda +2)$

그리고.

${{displaystyle j(\displaystyle j)=1728gfrac {{g_{2}'^{3}'}{2}}=256gfrac {{left(\displayda ^{2}-\displayda +1\right)}{\displayda ^{2}}{\da left}{{{{\displayda } {\da } {\da } } } } } } } } } } leftfright}$

j-변환율 j(lamba)와 θ(lamba)를 갖는 것을 모듈러 람다 함수라고 부르기도 한다.예를 들어, θ = 2i로 하고, 다음으로 gθ,_{2 3}gθ를 암시하는 θ(2i)⁴ = (-1 + ₃²
θ2)로 하면, 위의 공식의 ₂³
gθ - 27gθ는 모두 대수적 수이다.실제로 이는 정수 j(2i) = 66³ = 287496을 산출한다.

대조적으로, 모듈식 판별자는

$\displaystyle \Delta (\delta )=g_{2} (\display)^{3} - 27g_{3} (\display)^{12},\eta ^{24}(\delta )$

는 일반적으로 초월수입니다.특히, 데데킨드 에타 함수 δ(2i)의 값은 다음과 같다.

$\displaystyle \eta ( 2i ) = pi frac { \ Gamma \ left frac { 1 } { 4 } } { 2 ^ { \ frac { 11 } { \ pi ^ { \ frac { 3 } { 4 } } }$

균등화 정리는 1속인 모든 콤팩트 리만 표면이 원환으로 표현될 수 있다는 것을 암시한다.이것은 또한 타원 곡선의 비틀림 포인트를 쉽게 이해할 수 있게 해준다: 격자 δ가 기본 주기 θ와₁ θ에₂ 의해 스판되는 경우, n-토션 포인트는 형태의 (등가 클래스) 포인트이다.

${\displaystyle {frac {a}{n}}\obega _{1}+{\frac {b}{n}}\obega _{2}}$

0 µ (a, b) < n 범위의 정수 a 및 b의 경우.

한다면

$({displaystyle E:y^{2}=4(x-e_{1})(x-e_{2})(x-e_{3})})$

복소수 위의 타원 곡선입니다.

${\displaystyle a_{0}=subrt {e_{3}},\qquad b_{0}=subrt {e_{1}-e_{2}},\qquad c_{0}=subrt {e_{2}-e_{3}}}$

그러면 E의 한 쌍의 기본 주기는 매우 빠르게 계산될 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {M}(a_{0},b_{0}),\qquad \operatorname {M},{2}=bpi}{\operatorname {M}(c_{0},ib_{0}}}}}$

M(w, z)은 w와 z의 산술-기하 평균이다.산술-기하 평균 반복의 각 단계에서, 기하_n 평균 반복의 모호성에서 발생하는_n z 부호는 w - z ≤ w_n + z로_n 선택된다_n. 여기서 w와_n z는_n 각각 w와 z의 개별 산술 평균과 기하 평균 반복을 나타낸다.w - z_n = w_n + z일_n 때 Im_n(z_n/w_n) > ^[21]0이라는 추가 조건이 있습니다.

복소수 전체에 걸쳐 모든 타원 곡선은 9개의 변곡점을 가진다.이 두 점을 지나는 모든 선은 세 번째 변곡점을 통과합니다.이렇게 형성된 9개의 점과 12개의 선은 헤세 구성을 실현합니다.

타원 곡선을 사용하는 알고리즘

유한 필드에 걸친 타원 곡선은 정수 인수분해뿐만 아니라 일부 암호화 애플리케이션에서도 사용됩니다.일반적으로 이러한 응용 프로그램의 일반적인 생각은 특정 유한 그룹을 사용하는 알려진 알고리즘이 타원 곡선의 유리점 그룹을 사용하도록 다시 쓰여지는 것입니다.상세한 것에 대하여는, 다음의 항목도 참조해 주세요.

• 타원곡선암호법
• 타원 곡선 디피 -헬만 키 교환
• 슈퍼싱귤러 등원 키 교환
• 타원곡선 디지털 서명 알고리즘
• EdDSA 디지털 서명 알고리즘
• 듀얼 EC DRBG 난수 발생기
• 렌스트라 타원곡선 인수분해
• 타원곡선 원시성 증명

타원 곡선의 대체 표현

• 헤시안 곡선
• 에드워즈 곡선
• 꼬임 곡선
• 꼬임 헤시안 곡선
• 트위스트 에드워즈 곡선
• 이중 지향 도체-이카트-코헬 곡선
• 3중 지향 도체-이카트-코헬 곡선
• 야코비안 곡선
• 몽고메리 곡선

「 」를 참조해 주세요.

• 산술 역학
• 타원 대수
• 타원면
• 컴퓨터 대수 체계 비교
• 등진성
• j라인
• 레벨 구조(대수 형상)
• 모듈화 정리
• 타원 곡선의 모듈리 스택
• 나겔-루츠 정리
• 리만후르비츠 공식
• 와일스의 페르마의 마지막 정리 증명

메모들

레퍼런스

아래에 인용된 책의 서문에서 Serge Lang은 "타원 곡선에 끝없이 글을 쓰는 것은 가능하다.(이것은 위협이 되지 않습니다.)따라서 다음 짧은 목록은 타원곡선의 이론, 알고리즘 및 암호학적 측면에서 이용 가능한 방대한 설명 문헌에 대한 가이드입니다.

• I. Blake; G. Seroussi; N. Smart (2000). Elliptic Curves in Cryptography. LMS Lecture Notes. Cambridge University Press. ISBN 0-521-65374-6.
• Brown, Ezra (2000), "Three Fermat Trails to Elliptic Curves", The College Mathematics Journal, 31 (3): 162–172, doi:10.1080/07468342.2000.11974137, S2CID 5591395, MAA 작문상 수상자 George Pollya Award
• Richard Crandall; Carl Pomerance (2001). "Chapter 7: Elliptic Curve Arithmetic". Prime Numbers: A Computational Perspective (1st ed.). Springer-Verlag. pp. 285–352. ISBN 0-387-94777-9.
• Cremona, John (1997). Algorithms for Modular Elliptic Curves (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-59820-6.
• Darrel Hankerson, Alfred Menezes and Scott Vanstone (2004). Guide to Elliptic Curve Cryptography. Springer. ISBN 0-387-95273-X.
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• Hellegouarch, Yves (2001). Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles. Paris: Dunod. ISBN 978-2-10-005508-1.
• Husemöller, Dale (2004). Elliptic Curves. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 111 (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-95490-2.
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외부 링크

• LMFDB: Q 위의 타원 곡선 데이터베이스
• "Elliptic curve", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Elliptic Curves". MathWorld.
• PlanetMath의 타원곡선 산술
• R 및 Zp 상에서의 인터랙티브 타원 곡선– HTML5 대응 브라우저를 필요로 하는 웹 애플리케이션.

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