집단 이형성

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추상 대수학에서 집단의 이형성은 주어진 집단의 운영을 존중하는 방식으로 집단의 요소들 사이에 일대일 대응관계를 설정하는 두 집단 사이의 함수다. 만약 두 집단 사이에 이형성이 존재한다면, 그 집단을 이형성이라고 부른다. 집단 이론의 관점에서 보면 이형성 집단은 성질이 동일하므로 구별할 필요가 없다.

정의 및 표기법

Given two groups ${\displaystyle (G,*)}$ and ${\displaystyle (H,\odot ),}$ a group isomorphism from ${\displaystyle (G,*)}$ to ${\displaystyle (H,\odot )}$ is a bijective group homomorphism from ${\displaystyle G}$ to ${\displaystyle H.}$ Spelled out, this means that 집단 이형성은 $생체{\displaystyle }$ 함수 ${\displaystyle f}$ :${\displaystyle G}$→ H ${\displaystyle f:$$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $u}$ 및$$ $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$에 대해 G {\$displaystyle$ $G}$에는 다음 항목이 있음

두 그룹$({\displaystyle G}$, ${\displaystyle \ast }$) ${\displaystyle (G,*)}$과$({\displaystyle H}$, ${\displaystyle \odot )}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$은 한 그룹 간에 이형성이 존재한다면 이형성이 된다$$. 다음과 같이 기록된다.

종종 더 짧고 간단한 표기법을 사용할 수 있다. 관련 그룹 작업이 명확하지 않은 경우 생략하고 다음과 같이 기록한다.

$때로는{\displaystyle }$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ $$= H${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ H$.}$그런$$ 표기법이 혼란이나 모호함 없이 가능한지는 문맥에 따라 달라진다. 예를 들어, 등호 부호는 그룹이 같은 그룹의 두 부분군인 경우에는 적합하지 않다. 예제를 참조하십시오.

반대로 그룹$({\displaystyle G}$, ${\displaystyle \ast }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle (G,*),}$ 집합$$ $H{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ H$,}$ 및$$ 바이어스 $f{\displaystyle }$: G${\displaystyle }$→ ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle f:$$G\to H}$을(를) 정의하여$$$$ $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$을(를) 그룹$({\displaystyle H}$, ${\displaystyle \odot }$) ${\displaystyle (H,\odot )}$으로 만들 수 있다.

$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$ $$= G ${\displaystyle G}$ 및$$ $\odot {\displaystyle }$= ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle \odot =*}$인 경우, 편향은 자동형(q.v.

직관적으로 그룹 이론가들은 두 개의 이형 집단을 다음과 같이 본다. 그룹 $G{\displaystyle }$, ${\displaystyle G}$의 모든 $요소{\displaystyle }$ g ${\displaystyle g}$에 대해 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$과($$$g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$과(g ${\displaystyle$ g}와 동일한 방식으로 그룹의 다른 요소와 작동) 같은 $요소$ $h{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ $h}$이 있다$$.$$$e g}$ $$) 예를 들어, $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$이(가) $G{\displaystyle }$, ${\displaystyle G}$을(를) 생성하는 경우 $h$ . ${\displaystyle h.}$ 이것은 특히$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$과 $H{\displaystyle }$ ${\displaysty H}$이(가) 편향적 통신에 있음을$$ 암시한다. 그러므로, 이형성의 정의는 매우 자연스럽다.

집단의 이형성은 집단의 범주에서 반전형 형태론으로 동등하게 정의될 수 있으며, 여기서 반전형은 양면 역을 의미한다.

예

이 절에는 이형 집단의 몇 가지 주목할 만한 예가 열거되어 있다.

• $({\displaystyle R\mathbb{}}$,${\displaystyle }$+${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle (\mathb {R} ,+)$이 추가된 모든 실수의 그룹은 곱하기$({\displaystyle R{\mathbb{}}^{}}$+ ,${\displaystyle {}^{}\times }$ )${\$가 있는 양의 실수의 그룹과 이형이다$.$

  ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle R{\mathbb{}}^{}}$,${\displaystyle }$+ )${\displaystyle \cong }$( R${\displaystyle {}^{}}$+ ,${\displaystyle {}^{}\times }$) ${\$\riges$$\$right$)}을 통해$$ 이형성 f${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= e ${\displaystyle x^{}}$ ${\$ 함수 참조).$$

• The group ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ of integers (with addition) is a subgroup of ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ and the factor group${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ is isomorphic to the group ${\displaystyle S^{1}}$ of complex numbers of absolute value 1 (with multiplication):

  ${\displaystyle \mathb {R} /\mathb {Z} \cong S^{1}$

• The Klein four-group is isomorphic to the direct product of two copies of ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ (see modular arithmetic), and can therefore be written ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}.}$ Another notation is ${\displaystyle {\mathrm{Dih}}_2,}$다이헤드 그룹이기 $때문에 {\displaystyle \operatorname$ {Dih}$_{2}.$
• 이를 일반화하면 ${\displaystyle {모든}_{}}$ $홀수{\displaystyle }$ n ,${\displaystyle n$$,}$ $2n$ {\$displaystyle \operatorname {Dih}$ 및 $Z$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$. ${\displaystyle Z_{$$2$}의 직접 산물과 함께 이형성이 된다$$.$}$
• $({\displaystyle G}$, ${\displaystyle \ast }$) ${\displaystyle (G,*)}$이(가) 무한 순환 그룹이라면${\displaystyle }$(${\displaystyle G}$, ${\displaystyle \ast }$) ${\displaystyle (G,*)}$은 정수에 이형성이 있다$$(추가 연산 포함). 대수학적 관점에서, 이것은 모든 정수들의 집합(추가 연산 포함)이 '유일한' 무한순환 그룹이라는 것을 의미한다.

어떤 집단은 선택의 공리에 의존하여 이형성이 증명될 수 있지만, 그 증명에는 구체적인 이형성을 구성하는 방법이 나와 있지 않다. 예:

• 그룹$({\displaystyle R\mathbb{}}$,${\displaystyle }$+${\displaystyle }$) ${\displaystyle(\mathb {R},+)$은 추가된 모든 ${\displaystyle 복잡한\mathbb{}}$숫자의${\displaystyle }$그룹$($C , + ) {\$displaystyle(\$mathb {$C} ,+)$에 대해 이형성이다$$.^[1]
• 위에서 언급한$$ 그룹 S ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$${\displaystyle }$$S$^{\displaystyle S$^{$1}과(와$)$ 같은 그룹(${\displaystyle C{\mathbb{}}^{}}$\$mathb {C}^{*},\cdot \right)$은 곱셈이 있는 0이 아닌 복합 번호의 $그룹$(C $\$displaystyty S$^{$1}에 이형이다.

특성.

$({\displaystyle G}$, ${\displaystyle \ast }$) ${\displaystyle (G,*)}$부터${\displaystyle }$(${\displaystyle H}$, ${\displaystyle \odot }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle (H,\odot$ )까지$$이형성의 커널은 항상 {e_G}이며$$, 여기서_G e는 그룹의${\displaystyle }$ID${\displaystyle (G}$ ,${\displaystyle )}$) {\$displaystystyle$ (G$,*)$이다.

$({\displaystyle G}$ ,${\displaystyle \ast }$) ${\displaystyle (G,*)}$ 및${\displaystyle }$(${\displaystyle H}$, ${\displaystyle \odot }$) ${\displaystyle (H,\odot )}$이(가) 이형이라면, $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$은($가{\displaystyle }$) 아벨리안인 경우에만$$ 아벨리안이다.

If ${\displaystyle f}$ is an isomorphism from ${\displaystyle (G,*)}$ to ${\displaystyle (H,\odot ),}$ then for any ${\displaystyle a\in G,}$ the order of ${\displaystyle a}$ equals the order of ${\displaystyle f(a).$$}$

$({\displaystyle G}$, ${\displaystyle \ast }$) ${\displaystyle (G,*)}$ 및$$${\displaystyle }$(${\displaystyle H}$, ${\displaystyle \odot }$) ${\displaystyle$($H$$,\$$odot$ $)}$이(${\displaystyle 가}$) 이소모픽이라면, (G${\displaystyle }$,${\displaystyle \ast }$ )${\displaystyle$ (G$,*)$은 (H $,{\displaystyle }$ )${\displaystyty$)이$($로 한정된 경우에만 국소적 그룹이다.

순서 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 구별되는 그룹 수(이형성까지)는 OEIS의 시퀀스 A000001에 의해 주어진다$$. 처음 몇 개의 숫자는 0, 1, 1, 2이며, 이는 4가 두 개 이상의 그룹을 가진 가장 낮은 순서라는 것을 의미한다.

순환군

지정된 순서의 모든 순환 그룹은${\displaystyle }$(${\displaystyle {Zn}_{}{}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$+ n${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle (\mathb {Z} _{n},+_{n})$에 이형성이며$,{\displaystyle {}_{}}$ 여기서$$ +${\displaystyle n_{}}$ ${\$은 추가 $모듈$로 n${\displaystyle }$. ${\displaystystyle$ n$.}$을 의미한다.

Let ${\displaystyle G}$ be a cyclic group and ${\displaystyle n}$ be the order of ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle G}$ is then the group generated by ${\displaystyle \langle x\rangle =\left\{e,x,\ldots ,x^{n-1}\right\}.$$}$ {우리가$$ 보여 주겠다.

정의

${\displaystyle \mathrm{따라서}}$ ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle {}^{}{a}^{}}$) =${\displaystyle }$. ${\displaystyle \varphi \left(x^{a}\right)=a.$$}$ ${\displaystyle \varphi }$은(는) 분명히 비주사적이다$$. 그러면 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cong }$ (${\displaystyle {}_{}}$n${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$+ n${\displaystyle {}_{}}$) .${\displaystyle G\cong \left(\mathb {Z} _{n}+_{n}\right)$임을 증명한다.$}$

결과들

이 정의에서, ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ 이형성 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle G}$→ H ${\displaystyle$ f$:$$G\to H}$은(는) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 ID 요소를 $H{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ H$,}$의 ID 요소에 매핑한다$$.

거꾸로 지도를 그리게 될 거야 보다 일반적으로 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$은^th(는) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 파워로$$^th, 역지도 $f{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1{}^{}}$: H${\displaystyle }$→ ${\displaystyle G}$ ${\디스플레이 스타일$ f$^{-1}:$$H\to G}$도 집단$$ 이형이다.

관계 "이형성"은 동등성 관계의 모든 공리를 만족시킨다. $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $f$$}$이(가) $두{\displaystyle }$ 그룹 G ${\displaystyle G}$과${\displaystyle (}$와$)$ $H{\displaystyle }$ , {\$displaystyle H}$ 사이의 이형성인 경우 그룹 구조에만 $관련$된 G ${\\$$displaystyle$$G$}에 대한 모든 $것$을 f ${\$$displaystystyle$ $F$$}$을 통해${\displaystyle }H$에 대한 진정한$$dito 문장으로$$ 번역할 수 있다$$.${}$과(와) 그 반대.

자동형성

그룹$({\displaystyle G}$, ${\displaystyle \ast }$) ${\displaystyle (G,*)}$에서 그 자체로$$ 이 그룹의 자동형성이라고 한다. 따라서 ${\displaystyle \mathrm{그것}}$은 바이어스 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle G}$→ G ${\displaystyle f:$$그런$ G$\to G}$

자동형성은 항상 그 정체성을 그 자신에게 매핑한다. 결합 클래스의 자동형 하의 이미지는 항상 결합 클래스(동일 또는 다른)이다. 요소의 이미지는 그 요소와 동일한 순서를 가지고 있다.

두 개의 자동모형의 구성은 다시 자동모형이며, 이 작업과 함께 자동모형 그룹 G${\displaystyle ,}$ ${\$$displaystyle G,$ ${\displaystyle \mathrm{자동모형<img\; alt="G,"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/f3a2c972dfcbb2bb5f88ddfd1b997e0a08c21363"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:2.474ex;\; height:2.509ex;"\; papago-attr-id="287">}}$ 그룹인 자동모형 그룹인 자동모형 그룹인 자동모형 그룹인$$ 자동모형 그룹인 자동모형 그룹인 자동모형 그룹인 자동모형 그룹인 ${\displaystyle \mathrm{Auto}}$ ism ($G{\displaystyle }$${\displaystyle }$) ,${\$$displaystytype$G}이 있다$.$

모든 아벨 그룹에는 적어도 그룹 요소를 그들의 반대로 대체하는 자동형성이 있다. 그러나, 모든 원소가 그들의 역과 동일한 그룹에서 이것은 예를 들어 클라인 4-그룹에서와 같은 사소한 자동모형이다. 이 그룹의 경우 세 가지 비식별 요소의 모든 순열은 자동형이므로, 자동형 그룹은 ${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}}$ 3 ${\$ 및 ${\displaystyle {Dih\mathrm{}}_{}}$ 3${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle \operatorname {Dih}$_{$3}$에 대해 이형성이 있다.$}$

소수점 $p{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ p$,}$에 $대한{\displaystyle {}_{}}$ Z ${\displaystyle p_{}}$ ${\$에서 다른$$ 비식별 요소는 다른 것으로 교체할 수 있으며, 다른 요소의 해당 변경 사항이 있을 수 있다. The automorphism group is isomorphic to ${\displaystyle Z_{p-1}}$ For example, for ${\displaystyle n=7,}$ multiplying all elements of ${\displaystyle Z_{7}}$ by 3, modulo 7, is an automorphism of order 6 in the automorphism group, because ${\displaystyle 3^{6}\equiv 1{\$$pmod{7}},$ 저전력은$$ 1을 부여하지 않는다. 따라서 이 $자동형성$은 Z${\displaystyle {}_{}{6\mathrm{}}_{}}$ .$${\$displaystyle Z_{6}}$을 생성하는데, 이 속성과 함께 하나의 자동형이 더 있는데$$, 즉 ${\displaystyle {Z\mathrm{}}_{}}$ 7 ${\$의 모든 요소를 5, modulo 7로 곱한 것이다. 따라서 이 두 가지는 그 순서나$$ 반대로 $Z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {6\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle Z_{6}}$의 원소 1과 5에 해당한다.

$Z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {6\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 자동형성 그룹은 $Z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle Z_{2$}에 대해 이형성이므로$$, 두 원소 1과 5는 $각각{\displaystyle {}_{}}$ Z ${\displaystyle {6\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle Z_{6}$을 생성하므로$$ 정체성과는 별도로 이것들만을 교환할 수 있다$$.

$Z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ Z ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ = ${\displaystyle {Dih\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\displaystyle {}_{}}$ Z ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$}\oplus Z_{2}}\$oplus \oplus Z_{2}=\operatorname {Dih} _{2}\oplus Z_{2$}}의 자동형 그룹은 다음과 같이 168을 갖는다$$. 7개의 비식별 요소가 모두 같은 역할을 하기 때문에 (${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 0}$ )의 역할을 할 것을 선택할 수 있다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle ($1$,0,0).$$}$ 나머지 6개 중에서$$ (0,1,0)의 역할을 하도록 선택할 수 있다. 이것은 (${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle )}$에 해당하는 것을 결정한다${\displaystyle .}$ ${\디스플레이$ 스타일 $($1,1,${\displaystyle 0}$$).}$${\displaystyle }$${\$디스플레이 $스타일 (0,0,1)}$의 경우$,$ 나머지는$$$$ 4 중에서 선택할 수 있다. 따라서 $우리$는 7 ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 4}$= ${\displaystyle 168}$ ${\displaystyle 7\time 6\time 4=168}$개의$$ 자동화를 가지고 있다. 그것들은 파노 평면의 그것들에 해당하며, 그 중 7개 지점은 7개 비식별 요소에 해당한다. 세 ${\displaystyle \mathrm{지점}}$을 연결하는 선은 그룹 작업에 해당된다. ${\displaystyle \text{a},}$ b${\displaystyle }$, ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a,b,{\text{ 및 }.$ ${\displaystyle 한}$ 줄에 있는$$ 선은 $a{\displaystyle }$+ ${\displaystyle b}$= ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle$ a$+b=c$${\displaystyle ,\}\},}$${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{a<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; a+b=c,\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/f7abcef050f559cc59a25db07e7702db9acae310"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:9.82ex;\; height:2.509ex;"\; papago-attr-id="326">}}$${\displaystyle }$=$$${\displaysty$ $a$$+c=a$$}$를 ${\displaystyle \mathrm{의미}}$한다$.$$}$ 유한한 필드에 대한 일반 선형 그룹을 참조하십시오$$.

아벨 그룹에게는 사소한 것을 제외한 모든 자동화를 외부 자동화라고 부른다.

비-아벨라 그룹들은 비종교적 내적 오토모르프 그룹과 외부 오토모르프 그룹을 가지고 있다.

참고 항목

• 편향 – 일대일 대응

참조

• 허슈타인, I. N, 토픽스 인 대수학, 와일리; 2판 (1975년 6월 20일), ISBN0-471-01090-1.