추상 대수학에서 집단의 이형성은 주어진 집단의 운영을 존중하는 방식으로 집단의 요소들 사이에 일대일 대응관계를 설정하는 두 집단 사이의 함수다. 만약 두 집단 사이에 이형성이 존재한다면, 그 집단을 이형성이라고 부른다. 집단 이론의 관점에서 보면 이형성 집단은 성질이 동일하므로 구별할 필요가 없다.
정의 및 표기법
Given two groups
and
a group isomorphism from
to
is a bijective group homomorphism from
to
Spelled out, this means that 집단 이형성은 함수 :→ H 및
에
대해 G {\ 에는
다음 항목이 있음

두 그룹, ) 과
, 은 한 그룹 간에 이형성이 존재한다면 이형성이 된다
. 다음과 같이 기록된다.

종종 더 짧고 간단한 표기법을 사용할 수 있다. 관련 그룹 작업이 명확하지 않은 경우 생략하고 다음과 같이 기록한다.
= H. H그런
표기법이 혼란이나 모호함 없이 가능한지는 문맥에 따라 달라진다. 예를 들어, 등호 부호는 그룹이 같은 그룹의 두 부분군인 경우에는 적합하지 않다. 예제를 참조하십시오.
반대로 그룹, ), 집합
, H 및
바이어스 : G→ , 을(를) 정의하여
을(를) 그룹, ) 으로
만들 수 있다.

= G 및
= 인
경우, 편향은 자동형(q.v.
직관적으로 그룹 이론가들은 두 개의 이형 집단을 다음과 같이 본다. 그룹 , 의
모든 g 에 대해 과(
과(g g}와 동일한 방식으로 그룹의 다른 요소와 작동) 같은
{\ 이
있다
.
) 예를 들어, 이
(가) , 을(를) 생성하는 경우
. 이것은 특히
과
이(가) 편향적 통신에 있음을
암시한다. 그러므로, 이형성의 정의는 매우 자연스럽다.
집단의 이형성은 집단의 범주에서 반전형 형태론으로 동등하게 정의될 수 있으며, 여기서 반전형은 양면 역을 의미한다.
예
이 절에는 이형 집단의 몇 가지 주목할 만한 예가 열거되어 있다.
- ,+), 이 추가된 모든 실수의 그룹은 곱하기+ , )가 있는 양의 실수의 그룹과 이형이다

- ,+ )( R+ ,) \riges\)}을 통해
이형성 f()= e 함수 참조).
- The group
of integers (with addition) is a subgroup of
and the factor group
is isomorphic to the group
of complex numbers of absolute value 1 (with multiplication): 
- The Klein four-group is isomorphic to the direct product of two copies of
(see modular arithmetic), and can therefore be written
Another notation is 다이헤드
그룹이기 {Dih} - 이를 일반화하면 n , {\ 및
. }의 직접 산물과 함께 이형성이 된다
.
- , ) 이(가) 무한 순환 그룹이라면
(, ) 은 정수에 이형성이 있다
(추가 연산 포함). 대수학적 관점에서, 이것은 모든 정수들의 집합(추가 연산 포함)이 '유일한' 무한순환 그룹이라는 것을 의미한다.
어떤 집단은 선택의 공리에 의존하여 이형성이 증명될 수 있지만, 그 증명에는 구체적인 이형성을 구성하는 방법이 나와 있지 않다. 예:
- 그룹,+) 은 추가된 모든 숫자의그룹C , + ) {\mathb {에
대해 이형성이다
.[1] - 위에서 언급한
그룹 S ^{\displaystyle S1}과(와 같은 그룹(\은 곱셈이 있는 0이 아닌 복합 번호의
(C displaystyty S1}에 이형이다.
특성.
, ) 부터
(, ), )까지이형성의 커널은 항상 {eG}이며
, 여기서G e는 그룹의ID ,) {\ (G이다.
,) 및(, ) 이
(가) 이형이라면, 은() 아벨리안인 경우에만
아벨리안이다
.
If
is an isomorphism from
to
then for any
the order of
equals the order of
, ) 및
(, ) ( 이
() 이소모픽이라면, (G, ) (G은 (H ))이
로 한정된 경우에만 국소적 그룹이다
.
순서 의 구별되는 그룹 수(이형성까지)는 OEIS의 시퀀스 A000001에 의해 주어진다
. 처음 몇 개의 숫자는 0, 1, 1, 2이며, 이는 4가 두 개 이상의 그룹을 가진 가장 낮은 순서라는 것을 의미한다.
순환군
지정된 순서의 모든 순환 그룹은(,+ n), 에 이형성이며 여기서
+ 은 추가 로 n. n을
의미한다.
Let
be a cyclic group and
be the order of
is then the group generated by {우리가
보여 주겠다.

정의

( ) =. 은
(는) 분명히 비주사적이다
. 그러면 
(n,+ n) .임을 증명한다.
결과들
이 정의에서, 이형성 : → H f은(는) 의 ID 요소를 , H의
ID 요소에 매핑한다
.

거꾸로 지도를 그리게 될 거야 ![{\displaystyle f\left(u^{-1}\right)=[f(u)]^{-1}\quad {\text{ for all }}u\in G,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/027cefcc8d536b31edb00d965df73f36e487a6ad)
보다 일반적으로 은
th(는) 파워로
th, ![{\displaystyle f\left(u^{n}\right)=[f(u)]^{n}\quad {\text{ for all }}u\in G,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16ed70b7f5221cf5c95a6a615f075c1f5269a697)
역지도 - : H→ f도 집단
이형이다. 관계 "이형성"은 동등성 관계의 모든 공리를 만족시킨다. 이
(가) 그룹 G 과
와 , {\ 사이의 이형성인 경우 그룹 구조에만 된
G }에 대한 모든 을 f 을 통해에 대한 진정한dito 문장으로
번역할 수 있다
.과
(와) 그 반대.
자동형성
그룹, ) 에서 그 자체로
이 그룹의 자동형성이라고 한다. 따라서 은 바이어스 : → G
G

자동형성은 항상 그 정체성을 그 자신에게 매핑한다. 결합 클래스의 자동형 하의 이미지는 항상 결합 클래스(동일 또는 다른)이다. 요소의 이미지는 그 요소와 동일한 순서를 가지고 있다.
두 개의 자동모형의 구성은 다시 자동모형이며, 이 작업과 함께 자동모형 그룹 G 그룹인 자동모형 그룹인 자동모형 그룹인 자동모형 그룹인
자동모형 그룹인 자동모형 그룹인 자동모형 그룹인 자동모형 그룹인 ism () ,G}이 있다
모든 아벨 그룹에는 적어도 그룹 요소를 그들의 반대로 대체하는 자동형성이 있다. 그러나, 모든 원소가 그들의 역과 동일한 그룹에서 이것은 예를 들어 클라인 4-그룹에서와 같은 사소한 자동모형이다. 이 그룹의 경우 세 가지 비식별 요소의 모든 순열은 자동형이므로, 자동형 그룹은 3 및 3. _{에
대해 이형성이 있다.
소수점 , p에
Z 에서 다른
비식별 요소는 다른 것으로 교체할 수 있으며, 다른 요소의 해당 변경 사항이 있을 수 있다. The automorphism group is isomorphic to
For example, for
multiplying all elements of
by 3, modulo 7, is an automorphism of order 6 in the automorphism group, because 저전력은
1을 부여하지 않는다. 따라서 이 은 Z .{\을 생성하는데, 이 속성과 함께 하나의 자동형이 더 있는데
, 즉 7 의
모든 요소를 5, modulo 7로 곱한 것이다. 따라서 이 두 가지는 그 순서나
반대로 , 의 원소 1과 5에 해당한다.
의 자동형성 그룹은 ,}에 대해 이형성이므로
, 두 원소 1과 5는 Z ,을 생성하므로
정체성과는 별도로 이것들만을 교환할 수 있다
.
Z = 2 Z }\oplus Z_{2}}\}}의 자동형 그룹은 다음과 같이 168을 갖는다
. 7개의 비식별 요소가 모두 같은 역할을 하기 때문에 ( )의 역할을 할 것을 선택할 수 있다 1 나머지 6개 중에서
(0,1,0)의 역할을 하도록 선택할 수 있다. 이것은 ( , 에 해당하는 것을 결정한다 스타일 1,1,디스플레이 의 경우 나머지는
4 중에서 선택할 수 있다. 따라서 는 7 = 개의
자동화를 가지고 있다. 그것들은 파노 평면의 그것들에 해당하며, 그 중 7개 지점은 7개 비식별 요소에 해당한다. 세 을 연결하는 선은 그룹 작업에 해당된다. b, 줄에 있는
선은 + = a= 를
한다 유한한 필드에 대한 일반 선형 그룹을 참조하십시오
.
아벨 그룹에게는 사소한 것을 제외한 모든 자동화를 외부 자동화라고 부른다.
비-아벨라 그룹들은 비종교적 내적 오토모르프 그룹과 외부 오토모르프 그룹을 가지고 있다.
참고 항목
참조