모듈 그룹

수학에서 모듈형은 정수계수와 결정인자 1을 갖는 2×2 행렬의 투영 특수 선형군 $PSL(2,$ $Z)$ 이다. 행렬 $A$ 와 $-A$ 가 식별된다. 모듈러 그룹은 부분적인 선형 변환에 의해 복잡한 평면의 상반부에 작용하며, "모듈러 그룹"이라는 이름은 모듈러 산술에서가 아니라 모듈리 공간과의 관계에서 유래한다.

정의

모듈형 그룹 $γ$ 은 복합 평면 상부의 선형 분수 변환 그룹이며, 이 그룹에는 형태가 있다.

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d},

여기서 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 는 정수, $ad$ - $bc$ = $1$ 이다. 그룹 운영은 기능 구성이다.

이 변환 그룹은 투영 특수 선형 그룹 $PSL(2,$ $Z$ )에 이형이며 $,$ 이는 중심{ $I, -I}$ 에 의해 정수 위에 있는 2차원 특수 선형 그룹 $SL(2,$ $Z)$ 의 몫이다. 즉, $PSL$ ( $2,$ Z $)$ 은 모든 행렬로 구성된다.

{\pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}

여기서 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 는 정수, $ad$ - $bc$ = 1 $및$ 행렬 $A$ 와 $-A$ 의 쌍은 동일한 것으로 간주된다. 그룹 운영은 매트릭스의 일반적인 곱셈이다.

어떤 저자는 모듈 그룹을 $PSL(2,$ $Z$ )으로 정의하고 $,$ 다른 저자는 모듈 그룹을 더 큰 그룹 $SL(2,$ Z)으로 정의한다 $.$

일부 수학적 관계에서는 결정인자 플러스 마이너스 1을 갖는 행렬의 $그룹 GL ($ 2, Z $)$ 을 고려해야 한다. ( $SL(2,$ $Z)$ 은 이 그룹의 하위그룹이다.) 마찬가지로, $PGL(2,$ $Z)$ 은 지수 $그룹 GL ($ 2, Z $)/{I$ , -I $}$ 이다. 단위 결정 인자가 있는 2 × 2 행렬은 공통적인 행렬이며 $, 따라서$ $SL$ (2, Z $)$ = $Sp(2,$ $Z)$ 는 2 × 2 행렬의 공통 집단이다.

요소 찾기

명시적 행렬을 찾으려면

${\pmatrix}a&x\\b&y\end{pmatrix}$

$SL(2,$ $Z$ )에서, $a$ ,b {\ $displaystyle a,b$ 의 두 개의 coprime 정수로 시작하여 결정 방정식을 푼다 $.$

$(\displaystyle ay-bx=1)}$

(결정적 $a,b$ 은 a $,$ $b$ {\ $displaystyle a,b}$ 을(를) 조합하도록 $a,b$ 강제한다. 그렇지 $ca'=a$ $ca'=a$ = $ca'=a$ ${\$ $displaystyle ca'=a$ $cb'=b$ = $cb'=b$ {\ $displaystyle cb'=b}$ 등의 $c$ $c$ 가 있을 것이기 때문이다 $cb'=b$

$c(a'y-b'x)=1$

정수 용액이 없을 것이다.) 예를 들어, $a=7,{\text{ }}b=6$ = $a=7,{\text{ }}b=6$ b = 6 $a=7,{\text{ }}b=6$ {\ $displaystyle a=$ 7,{\ $text{}}}$ 이(가) 있으면 $a=7,{\text{ }}b=6$ 결정 방정식은 다음과 같다.

$7y-6x=1}$

그런 다음 $y=-5$ = $y=-5$ - $y=-5$ ${\displaystyle$ y $=-5}$ $x=-6$ $x=-6$ = $x=-6$ - 6 $x=-6$ 을 $-35-(-36)=1$ 를) $-35-(-36)=1$ 하면 $-35-(-36)=1$ - $-35-(-36)=1$ ( $-35-(-36)=1$ - $-35-(-36)=1$ ) $-35-(-36)=1$ = 1 {\ $displaystyle -35-(-36$ 1}이 $x=-6$ $($ 가) 제공되므로

$displaysty}{\pmatrix}}{\pmatrix}}{\pmatrix}}}{\pmatrix}}}{\pmatrix}}}}}}}}{\displaystypmatrix}}}}}}}$

매트릭스야 그런 다음 이 행렬은 $투영$ 을 사용하여 $PSL$ (2, Z)에서 요소를 정의한다 $.$

속성

단위

displaystyle {\pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}}}}{pmatrix}}}}}{pmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}

는 분수.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{Implies.Border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}a/b, 대금, c/d, b/d 모든, 이는 어떠한 공통적인 요인들이 있다는 것이다(제공한 denominators 물론 0이 아닌 있)근간을 이루고 있습니다. $더$ 일반적으로,만약 p/ $q$ 가 환원 불가능한 분율이라면,

displaystyle {\frac {ap+bq}{cp+dq}}}}

또한 되돌릴 수 없다(분모가 0이 아닌 경우). 모든 쌍의 불가산 분수는 이러한 방식으로 연결될 수 있다. 즉, 불가산 분수의 모든 $쌍$ 의 p $/$ $q$ 와 r $/ s$ 에 대해 원소가 존재한다.

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in \operatorname {SL}(2,\mathbf {Z} )

}{\displaystyle r=ap+bq\put {\mbox{{}\put s=cp+dq.}

모듈 그룹의 요소들은 2차원 격자에서 대칭을 제공한다. $Ω$ 과₁ $Ω$ 은₂ 비율이 실제가 아닌 두 개의 복잡한 숫자로 한다. 그러면 점 집합

\Lambda (\omega _{1},\omega _{2}=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m, n\in \mathbf {Z} \}}}}}}}

평면에 평행그램 격자야 다른 벡터 $α$ 와₁ $α$ 의₂ 쌍은 정확히 동일한 격자를 발생시킬 것이다.

{\pmatrix}\nd_{1}\nd{pmatrix}={\nd{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}{pmatrix}{\nd{pmatrix}}{pmatrix}}}}}}}}}

$GL(2$ ,Z)의 일부 행렬에 대해 $.$ 타원함수와 같은 2배 주기 함수가 모듈형 그룹 대칭을 갖는 것은 이러한 이유에서이다.

합리적인 숫자에 대한 모듈 그룹의 작용은 $분율$ p $/ q$ (유클리드 과수원 참조)에 해당하는 격자점 $(p,$ q $)$ 을 가진 사각 격자를 상상함으로써 가장 쉽게 이해할 수 있다. 불가역 분수는 원점에서 볼 수 있는 분수로, 분수에 대한 모듈 그룹의 작용은 보이지 않는(불가역)을 감춰진(축소할 수 있는) 분수에 가져가지 않으며, 그 반대의 경우도 마찬가지다.

모듈 그룹의 어떤 구성원이든 프로젝트적으로 확장된 실제 선을 1대1로 자신에게 매핑하고, 나아가서는 프로젝트적으로 확장된 합리적 선(무한이성)을 그 자체에, 비이성적인 선(비이성적인 선)을 비이성적인 선에, 초월적인 숫자에, 비현실적인 숫자에 대해 객관적으로 매핑한다는 점에 유의한다. 숫자, 상부 하프 평면에서 상부 하프 평면으로, 기타 계수형.

$p n -1 / q$ 와_n−1 $p n / q$ 가_n 연속적인 분수의 두 개의 연속적인 수렴인 경우, 매트릭스

}{displaystyle {\\pmatrix}p_{n1}&p}\q_{n1}{n}}}end{pmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

$GL (2,$ Z)에 속한다 $.$ 특히, $b$ - $ad$ = a, $b$ , $c$ $,$ $d$ 의 $양$ 의 $정수$ 인 $경우$ $,$ $a / b$ 와 $c / d$ 는 최대 $주문$ ( $b,$ $d)$ 의 Fary 시퀀스에서 인접하게 된다 $.$ 지속적인 분수 수렴의 중요한 특별한 경우로는 피보나치 숫자와 펠의 방정식에 대한 해법이 있다. 두 경우 모두, 그 숫자는 모듈 그룹의 세미그룹 서브셋을 형성하도록 배열될 수 있다.

프리젠테이션

모듈 그룹은 두 변환에 의해 생성되는 것으로 보여질 수 있다.

displaystyle {\displaystyle}1}:{S&:z\mapsto -{\frac {1}{z}\\\\\T&:z\mapsto z+1\end{aigned}}

모듈 $그룹$ 의 $모든$ 요소가 S와 T의 힘의 구성으로 (비유일화 방식으로) 표현될 수 있도록 한다. 기하학적으로 $S$ 는 단위 원 안에서 역전을 나타내며, T는 상상의 축에 대한 반사가 뒤따른다. $T$ 는 오른쪽으로 단위 번역을 나타낸다.

발전기 $S$ 와 $T$ 는 관계 $S 2$ = $1$ 과( $ST) 3$ = $1$ 을 준수한다. 이것이 완전한 관계 집합임을 보여줄 수 있으므로 모듈 그룹에서는 다음과 같은 프레젠테이션을 한다.

\Gamma \left\langle S,T\mid S^{2}=I,\left(ST\right)^{3}=I\right\angle

이 프레젠테이션에서는 모듈 그룹을 회전 삼각형 $그룹$ D $(2,$ 3 $, \infty)$ ( $T$ 에 관계가 없는 무한도)로 설명하고, 따라서 결합 부분군 $γ(n$ )에서 발생하는 $관계 n$ T = $1$ 을 추가하여 모든 삼각형 그룹 $(2,$ 3, $n)$ 에 매핑한다 $.$

이것은 $S$ 와 $T$ 대신 발전기 $S$ 와 $ST$ 를 사용하여 모듈 그룹이 $C$ 와₂ $C$ 의₃ 자유 생산물에 이형성이 있음을 보여준다.

displaystyle \Gamma \cong C_{2}*C_{3}}}}}

$H$ 에 대한 $T$ : $z$ ↦ $z$ + $1$ 의 작용
$H$ 에 대한 $S$ : $z$ ↦ $-1 / z$ 의 작용

브레이드 그룹

3

B는 모듈 그룹의 보편적인 중앙 확장이다.

브레이드 그룹 $B$ 는₃ 모듈러 그룹의 범용 중앙 확장자로, 이들은 그룹 $SL 2 (R)$ → $PSL 2 (R$ )을 포괄하는 (위상학) 범용 안에 격자로 앉는다 $.$ 또한, 모듈 그룹은 사소한 중심을 가지고 있고, 따라서 모듈 그룹은 그것의 중심에 $있는 3$ B modulo의 지수 그룹에 이형성이며, 동등하게, $B$ 의₃ 내부 자동화 그룹에 이형성이 있다.

땋은 그룹 $B$ 는₃ 차례로 삼포일 매듭의 매듭 그룹과 이형성이다.

인용구

조합 하위그룹별 시세는 유의미한 관심사다.

다른 중요한 인수는 $($ 2 $, 3, n)$ 삼각형 그룹으로 원통으로 하강하는 기하학적으로 대응하며, $X$ 좌표 $모듈$ 로 $n$ 을ⁿ $T$ = ( $z z$ z+ $n$ )로 지수화한다 $.$ $(2,$ 3 $, 5)$ 는 동면 대칭의 그룹이며, (2 $, 3, 7)$ 삼각형 그룹(및 관련 타일링)은 모든 후르비츠 표면의 커버다.

매트릭스 그룹으로 표시

그룹 ${\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ ${\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ ( Z ${\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ ) ${\displaystyle {\text{$ $SL}_{2}(\mathb {Z} )}$ 은(는) 두 행렬에^[2] 의해 생성될 ${\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ 수 있음

S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},{\text{}}}{\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}}}}

그 이후

{\displaystyle S^{2}=-I_{2},{\text{}}:{3}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}^{3}=-I_{2}}:

투영 ${\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\to {\text{PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ ${\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\to {\text{PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ ( ${\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\to {\text{PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ ) ${\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\to {\text{PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ → ${\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\to {\text{PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ 2 ${\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\to {\text{PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ ( Z ${\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\to {\text{PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ ) ${\displaystyle {\text{$ $SL}_{2}(\mathb {Z})\to {\text{$ $PSL}_{2}(\mathb$ { ${\text{PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ $} )}$ 은(는) 이러한 행렬을 ${\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\to {\text{PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ ${\text{PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ ${\text{PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ ( Z $){\displaystyle {\text{$ $PSL}_{2}(\mathb {Z}$ ${\text{PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ 그룹 프레젠테이션과 유사한 관계.

와의 관계

모듈 그룹은 쌍곡면 등축 그룹의 하위 그룹을 형성하기 때문에 중요하다. 쌍곡면 기하학의 상부 반면 모델 $H$ 를 고려한다면, $H$ 의 모든 방향 유지 등위계 그룹은 형태의 모든 뫼비우스 변환으로 구성된다.

displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}}

$여기$ 서 a, $b$ , $c$ , $d$ 는 실제 숫자다. 투사 좌표 측면에서, $그룹$ PSL( $2,$ $R)$ 은 투사성에 의해 상부 하프 평면 $H$ 에 작용한다.

[z,\1]{\pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}\,=\,\,[az+b,\z+d]\,\csim \,\csim \[{\frac {az+b}{cz+d},\1\no].

이 행동은 충실하다. $PSL(2,$ $Z)$ 은 $PSL(2,$ $R$ )의 하위 그룹이기 때문에 모듈 그룹은 H의 $방향$ 유지 등위계 그룹의 하위 그룹이다 $.$ ^[3]

상부 하프 평면에서

γ

의 동작을 위한 일반적인 기본 도메인.

모듈형 그룹 $γ$ 은 $PSL(2,$ $R$ )의 이산형 부분군으로 $H$ 에 작용한다 $.$ 즉, $H$ 의 각 $z$ 에 대해 $z$ 궤도의 다른 요소를 포함하지 않는 $z$ 의 인접성을 찾을 수 있다. 이것은 또한 우리가 기초적인 도메인을 구성할 수 있다는 것을 의미하는데, 이것은 (거의) $H$ 에 있는 모든 $z$ 의 궤도에서 정확히 하나의 대표자를 포함하고 있다(영역의 경계에서 Care가 필요하다).

기본 도메인을 구축하는 방법에는 여러 가지가 있지만 공통적인 선택은 지역이다.

R=\좌측\{z\in \mathbf {H}\colon \좌측 z\우측 >1,\\,\좌측 \,{\mbox{Re}(z)\,\우측 <{\tfrac {1}{1}{2}}\우측\}}}}

수직선으로 경계된 $Re(z)$ =1/ $2$ 및 $Re(z)$ = $-1 /$ $2$ , $원$ z = 1. 이 지역은 쌍곡선 삼각형이다. 정점은1/ $2$ + $i \sqrt 3 / 2$ 이고 $-1 / 2$ + i $\sqrt 3 / 2$ 이며, 여기서 옆면 사이의 각도는 $π / 3$ 이고, 무한대에서는 제3의 정점이며, 옆면 사이의 각도는 0이다.

모듈 그룹의 각 요소들에 의해 차례로 이 영역을 변형시킴으로써 V6.6.12 무한궤도 삼각형 타일링으로 알려진 결합 쌍곡선 삼각형에 의한 쌍곡면의 정기적인 다듬기가 생성된다. 이러한 각 삼각형은 무한대 또는 실제 축 $Im (z$ ) = $0$ 에 하나의 꼭지점을 가지고 있다는 점에 유의하십시오. 이 타일링은 모든 쌍곡선 삼각형이 디스크의 경계에 하나의 꼭지점을 갖는 Poincaré 디스크로 확장될 수 있다. 푸앵카레 디스크의 타일링은 모듈 그룹 하의 불변성인 J-invariant에 의해 자연적으로 주어지며, 이들 지역의 각 삼각형에서 한 번씩 모든 복잡한 수를 획득한다.

이 테셀레이션은 방향 반전 지도를 추가하여 각 지역을 두 개의 반반(컨벤션 색상의 흑백)으로 나누면서 약간 다듬을 수 있다. 그리고 색상은 도메인의 방향과 일치한다. $(x,$ $y) \mapsto(- x,$ $y)$ 을 더하고 $영역$ R(여기서 $Re(z)$ ≥ $0$ )의 오른쪽 절반을 가져가면 일반적인 테셀레이션이 나온다. 이 테셀레이션은 (Dedekind 1877년)과 관련하여 (Klein & 1878/79a)^[4]에서 처음으로 인쇄에 등장한다.^[4]^[5]

관련 기울기를 모핀하여 지도(

2,

3

, \infty) \to

(

2, 3

, 7)

의 시각화.^[6]

그룹 $지도 (2,$ 3, $\to)$ → (모듈 그룹부터 삼각 그룹까지 $)$ ( $2,$ 3, $n$ )은 오른쪽 비디오에 묘사된 바와 같이 이 타일링(모듈식 곡선에 타일링이 있음)의 관점에서 시각화할 수 있다.

[1968,3] 패밀리의 파라콤팩트 유니폼 틸팅 v t
대칭: [∞,3], (*∞32)							[∞,3]⁺ (∞32)	[1⁺,∞,3] (*∞33)		[∞,3⁺] (3*∞)

		=	=	=				= 또는	= 또는	=

{∞,3}	propert,tpropert,3}	no}r{{{no,3}	,7t{3,7}	{3,∞}	reas,rr{reas,3}	propert,tr{propert,3}	{srssr{srs,3}sr{sr	no, h{{{no,3}	h₂{{{no,3}	,7s{3,7}
균일 듀얼


V∞³	.1987.207 V3.1987.1987	V(3.²19)	.1987 V6.6.1987	V3^∞	V4.3.4.1987	V4.6.1987	1987 V3.3.3.1987	V(3.³19)		.3.1987 V3.3.3.3.1987

subgroups분군군군

조합 하위그룹이라 불리는 모듈형 그룹 $Ⅱ$ 의 중요한 하위그룹들은 관련 행렬에 조합관계를 부과함으로써 주어진다.

입력 모듈로 $N$ 을 줄임으로써 주어지는 자연 $동형성 SL (2,$ Z) → $SL (2$ , Z/ $NZ)$ 이 있다. 이는 모듈형 그룹 $PSL(2,$ $Z)$ → $PSL(2,$ Z $/ NZ$ )에 동형성을 유도한다 $.$ 이 동형성의 알맹이는 $γ(N$ )으로 표기된 수준 $N$ 의 주합성 부분군이라고 불린다 $.$ 우리는 다음과 같은 짧은 정확한 순서를 가지고 있다.

{\displaystyle 1\to \Gamma (N)\to \Gamma \to {\mbox{

PSL}}(2,\mathbf {Z} /N\mathbf {Z} )\to 1

동형성 $γ(N)$ 의 커널이 되는 것은 모듈형 그룹 $γ$ 의 정상적인 하위그룹이다. 그룹 $γ(N)$ 은 모든 모듈형 변환의 집합으로 주어진다.

displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}}

여기서 $which$ $d$ $\equiv \pm1 (mod$ $N)$ 및 $b$ ≡ $c$ ≡ 0 $(mod$ N)이다 $.$

$γ(N)$ 의 원소를 나타내는 행렬의 흔적은 -1, 0, 1이 될 수 없으므로 이들 부분군은 비틀림 없는 집단이라는 것을 쉽게 알 수 있다. (기타 비틀림 없는 하위 그룹이 있다.)

레벨 2의 주합성 부분군 $((2)$ 은 모듈형 그룹 $λ이라고$ 도 한다. $PSL(2,$ $Z /2Z)$ 은 $S$ 에₃ 대해 이형성이므로, $λ$ 은 지수 6의 부분군이다. 그룹 $λ$ 은 $a$ 와 $d$ 가 홀수이고 $b$ 와 $c$ 가 짝수인 모든 모듈형 변환으로 구성된다.

조합 하위그룹의 또 다른 중요한 계열은 모든 모듈형 변환의 집합으로 정의되는 모듈형 $그룹 0 ((N)$ 이다 $.$ 이 $집합$ 은 c $0$ 0 ( $mod$ N) 또는 동등하게, 감량모듈로 $N$ 이 매트릭스가 상위 삼각형이 되는 하위그룹이다. $γ(N)$ 은 $γ 0 (N$ )의 부분군이라는 점에 유의한다 $.$ 이러한 그룹과 연관된 모듈형 곡선은 괴물집단의 순서를 $나누는$ 경우에만, 프라임 숫자 $p$ 의 경우, 노멀라이저의 모듈형 곡선은 0의 속이며, $p$ 가 초정렬 프라임인 경우에는 동등하게 된다.

다이디치 단면체

모듈 그룹의 중요한 부분집합은 디아디드 모노이드인데, $이$ 모노이드(diadi monoid)는 양수 k, $m,$ $n$ , $...$ 을 위한 $STSTSTT k m n$ 형식의 모든 문자열의 단조형이다 $.$ 이 모노이드(monoid)는 프랙탈 곡선의 연구에서 자연적으로 발생하며, 칸토르 함수의 자기 유사성 대칭, 민코프스키의 물음표 함수, 코흐 눈송이를 각각 일반 드 람 곡선의 특수한 경우로 기술하고 있다. 모노이드에는 고차원 선형 표현도 있다. 예를 들어, $N$ = $3$ 표현은 블랑망지 곡선의 자기대칭성을 설명하는 것으로 이해할 수 있다.

토러스 지도

그 그룹 GL(2, Z)은 선형 지도 기준 격자 Z보존, 그리고 SL(2, Z)은 orientation-preserving 지도 이 격자 보존하는 것;그들은 이에 따라 융기(orientation-preserving을 지도에 SL매핑)의 self-homeomorphisms고, 지도 동형으로 원환체의(확장)지도 수업 그룹에, 모든 땅이 의미로 내려가니.l토러스(torus)의 f-동형성은 이 형태의 지도에 동위원소다. $GL(2,$ $Z)$ 의 요소로서 행렬의 대수적 특성은 토러스 유도 맵의 역학에 해당한다.

헤케 그룹

모듈러 그룹은 헤케 그룹에 일반화할 수 있으며, 에리히 헤케의 이름을 따서 명명하고, 다음과 같이 정의할 수 있다.^[7]

$q 3$ 3을 갖는 Heck 그룹 $H$ 는_q 에 의해 생성된 이산 그룹이다.

{\juffered}z&\mapsto -{\frac {1}{z}\z&\mapsto z+\mapda _{q}\ended}}}

여기서 $λ q$ = 2 $cos$ $π / q$ . $q$ ≥ $3$ 의 작은 값에 대해서는 다음과 같이 한다.

{\begin{aligned}\lambda _{3}&=1,\\\lambda _{4}&={\sqrt {2}},\\\lambda _{5}&={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\\\lambda _{6}&={\sqrt {3}},\\\lambda _{8}&={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}.\end{정렬}}

모듈형 그룹 $γ$ 은 $H$ 에₃ 이형성이며, 예를 들어, 한 사람이 순환 그룹의 자유로운 생산물을 가지고 있는 것처럼 그들은 특성과 응용 프로그램을 공유한다.

\Gamma \cong C_{2}*C_{3}}

보다 일반적으로 가지고 있는.

H_{q}\cong C_{2}*C_{q}

삼각형 그룹 $(2,$ $q, \infty)$ 에 해당된다. $Z [$ 1998]에는 주요 이상과 관련된 주요 일치 하위집단의 개념이 유사하게 존재한다 $.$

역사

모듈러 그룹과 그 하위 그룹은 리차드 데데킨드와 펠릭스 클라인에 의해 1870년대 에를랑겐 프로그램의 일환으로 상세하게 연구되었다. 그러나 밀접하게 연관된 타원함수는 1785년 조셉 루이 라그랑에 의해 연구되었고, 타원함수에 대한 추가 결과는 1827년 칼 구스타프 야콥 자코비와 닐스 헨리크 아벨에 의해 발표되었다.

참고 항목

참조

^ Alperin, Roger C. (April 1993). " $PSL 2 (Z) = Z 2 * Z 3$ ". Amer. Math. Monthly. 100 (4): 385–386. doi:10.2307/2324963. JSTOR 2324963.
^ Conrad, Keith. "SL(2,Z)" (PDF).
^ McCreary, Paul R.; Murphy, Teri Jo; Carter, Christian. "The Modular Group" (PDF). The Mathematica Journal. 9 (3).
^ ^a ^b Le Bruyn, Lieven (22 April 2008), Dedekind or Klein?
^ Stillwell, John (January 2001). "Modular Miracles". The American Mathematical Monthly. 108 (1): 70–76. doi:10.2307/2695682. ISSN 0002-9890. JSTOR 2695682.
^ Westendorp, Gerard. "Platonic tessellations of Riemann surfaces". www.xs4all.nl.
^ Rosenberger, Gerhard; Fine, Benjamin; Gaglione, Anthony M.; Spellman, Dennis. Combinatorial Group Theory, Discrete Groups, and Number Theory. p. 65.

Apostol, Tom M. (1990). Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory (2nd ed.). New York: Springer. ch. 2. ISBN 0-387-97127-0.
Klein, Felix (1878–1879), "Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades (On the transformation of elliptic functions and ...)", Math. Annalen, 14: 13–75, doi:10.1007/BF02297507, archived from the original on 19 July 2011, retrieved 3 June 2010
Dedekind, Richard (September 1877), "Schreiben an Herrn Borchardt über die Theorie der elliptische Modul-Functionen", Crelle's Journal, 83: 265–292.

[1] Alperin, Roger C. (April 1993). " $PSL 2 (Z) = Z 2 * Z 3$ ". Amer. Math. Monthly. 100 (4): 385–386. doi:10.2307/2324963. JSTOR 2324963.

[2] Conrad, Keith. "SL(2,Z)" (PDF).

[3] McCreary, Paul R.; Murphy, Teri Jo; Carter, Christian. "The Modular Group" (PDF). The Mathematica Journal. 9 (3).

[lebruyn-4] Le Bruyn, Lieven (22 April 2008), Dedekind or Klein?

[5] Stillwell, John (January 2001). "Modular Miracles". The American Mathematical Monthly. 108 (1): 70–76. doi:10.2307/2695682. ISSN 0002-9890. JSTOR 2695682.

[westendorp-6] Westendorp, Gerard. "Platonic tessellations of Riemann surfaces". www.xs4all.nl.

[7] Rosenberger, Gerhard; Fine, Benjamin; Gaglione, Anthony M.; Spellman, Dennis. Combinatorial Group Theory, Discrete Groups, and Number Theory. p. 65.

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