몫군

대수구조 → 군론 군론
기본 개념 서브그룹 정규 부분군 몫군 (반쪽-)다이렉트 프로덕트 군 동형사상 커널 이미지 직접 합계 화환 제품 간단하죠. 유한한 인피니트 계속되는 곱셈의 첨가물 순환의 아벨리안 이면체 무효 해결 가능한 액션. 군론 용어집 그룹 이론 토픽 목록
유한군 유한단순군분류 순환의 번갈아 거짓말형 산발적인 코시의 정리 라그랑주 정리 시로우 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스군 슈어 승수 대칭군n S 클라인 4족 V 이면체군n D 사분위수 Q 쌍환기n Dic
개별 그룹 격자 ${\displaystyle \mathbb{}}$($$Z \$displaystyle \mathbb {Z$$$) 자유 그룹 모듈러 그룹 PSL(2,$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ \$style \mathbb {Z$ 표시$)$ SL(2,$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ \$displaystyle \mathbb {Z$ 산술군 격자 쌍곡선 군
토폴로지 그룹 및 Lie 그룹 솔레노이드 원형 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수 직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) 심플렉틱 Sp(n) G2 에프4 E6. E7. E8. 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 미분 동형 고리 무한 차원 리 군 O()) SU()) Sp())
대수군 선형 대수군 환원군 아벨 변종 타원 곡선
v t

지수군 또는 인자군은 그룹 구조의 일부를 보존하는 등가 관계를 사용하여 더 큰 그룹의 유사한 요소를 취합하여 얻은 수학적 그룹이다(나머지 구조는 "계수화"됨).예를 들어 덧셈 모듈$$n의 순환 그룹은$$n의 $배수$만큼 다른 요소를 식별하고 이러한 클래스($일명$ 일치 클래스)에서 동작하는 그룹 구조를 단일 엔티티로 정의함으로써 덧셈 중인 정수 그룹에서 얻을 수 있습니다.그것은 그룹 이론으로 알려진 수학 분야의 일부이다.

군에서의 일치 관계의 경우, 항등원소의 동등성 클래스는 항상 원래 그룹의 정규 부분군이고, 다른 동등성 클래스는 정확히 그 정규 부분군의 코세트입니다.결과 몫은 G$(\displaystyle$ G$,/,N$으로 표기됩니다.$여기$서$G$(\$displaystyle$ G$)$는 원래 $그룹$이고$N$(\$displaystyle$N)은$$ 일반 서브그룹입니다.(이것은 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle mod}$N({$displaystyle$ G${\bmod {N$으로 발음됩니다.${\displaystyle \text{여기}}$서$$mod$\displaystyle$ {$mbox{mod}}$는 modulo의 줄임말입니다).

몫군의 중요성의 대부분은 동형사상에 대한 그들의 관계에서 비롯된다.첫 번째 동형정리는 동형하 G의 상({$displaystyle$G})은 항상$$$$G의 $상{\displaystyle }$({$displaystyle$ G$\})$과 동형하$G$의 상$displaystyle$ G${\displaystyle \})}$이 항상 동형하 ${\displaystyle G}$의 상(\displaystyle $\varphi:G\rightarrow$ H$)$과 동형상(${\displaystyle \mathrm{Ker})}$이 동형하이다$.$$G,/,\ker(\varphi)$ ${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 ${\displaystyle \ker }$"${\displaystyle }$( $)$ ) { $displaystyle \ker$( \$varphi$) }는$$ $"\displaystyle \varphi$의 커널을 나타냅니다.

몫군의 이중 개념은 부분군이며, 이는 큰 그룹에서 작은 그룹을 형성하는 두 가지 주요 방법입니다.정규 부분군은 부분군의 요소 간 차이를 제거하여 더 큰 그룹에서 형성된 대응하는 몫 그룹을 가집니다.범주 이론에서, 몫 그룹은 부분 객체에 대해 이중인 몫 객체의 예입니다.

정의와 그림

$그룹{\displaystyle }$G(\$displaystyle$ G$)$와 $서브그룹{\displaystyle }$H(\$displaystyle$ H$)$ 및 ${\displaystyle \mathrm{요소}}$ A$(\displaystyle$ a$\$$in$ G$)$가 있으면 대응하는 왼쪽 코셋(${\displaystyle H}$ $=$ { ${\displaystyle a}$ : ${\displaystyle hh}$ H$$ { $displaystyle$ AH : \ = \ $left$ \ { ah : h \ in $H$} ){ display H \ right$$} cosets $\})$는 자연스러운 클래스입니다.정수의 그룹 G와 정수의 하위 $그룹{\displaystyle }$H(\$displaystyle$ H$)$가 있습니다.다음으로 짝수 정수인${\displaystyle }$0 +$$({$displaystyle$ 0$+H$와 홀수 정수인${\displaystyle 1}$+ H({$displaystyle 1+$H$\})$의 정확히 두 개의 코셋이 있습니다(여기에서는 2진수 연산에는 곱셈 표기 대신 가산 표기법을 사용합니다).

일반적인 $서브그룹{\displaystyle }$H(\$displaystyle$ H$)$의 경우 가능한 모든 코셋 세트$a$ ${\displaystyle H}$ : a${\displaystyle g}$ G$$} { $displaystyle \$left \ {$aH$: a \$in$G \$$right $\backslash \}$ )에서 호환되는 그룹 동작을 정의하는 것이 좋습니다.이는 H$(\displaystyle$ H$)$가 정상 서브그룹일 때 $가능$합니다(아래 참조).${\displaystyle \mathrm{그룹}}$$$G의 $서브그룹{\displaystyle }$N({$displaystyle$$$G$})$은 N $=$ ${\displaystyle \mathrm{Na}}$ a$${$displaystyle aNa}$이${\displaystyle (가}$) 모든 G$({displaystyle$ a$\in$G$\})$에 대해 유지되는 경우에만 정상 $서브그룹{\displaystyle }$ N$({displaystyle$G$\})$으로 $표시$됩니다.

정의.

N$({displaystyle$ N$}$을$($를) $그룹$ G${\displaystyle (\{}$$displaystyle$G})$$의 표준 서브그룹으로 $합니다{\displaystyle }$. $집합{\displaystyle }$G/$N({displaystyle$ G$})$을 G$({displaystyle$G})$$에 있는 $N({displaystyle$N$})$의 모든 왼쪽 코셋으로 정의합니다. 즉${\displaystyle ,}$ $G{\displaystyle }$/${\displaystyle N}$ ${\displaystyle =}$ $style$ ${\displaystyle G:}$identity $요소{\displaystyle }$ e e ${\displaystyle N}$\$style$e \ $in$N , a$$N \ $displaystyle$a \ $in aN$。$코세트{\displaystyle }$G /$N$ \ $displaystyle$ G , / ,$$N$$에 대해 다음과 같이 바이너리 연산을 정의합니다.${\displaystyle N}$$($${\displaystyle 디스플레이}$ $스타일$ ${\displaystyle \mathrm{AN}}$) 및 $B$$($${\displaystyle \mathrm{디스플레이<img\; alt="aN"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/a4a300592462f36c31887b1e60435e864a54672f"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:3.293ex;\; height:2.176ex;">}}$ $스타일$G,/,$N$$)$의 각 $N{\displaystyle }$$($$디스플레이$ 스타일 BN$)$에 대해 $($${\displaystyle \mathrm{디스플레이}}$ $스타일$$$$AN)$ 및 $B{\displaystyle }$(디스플레이 ${\displaystyle \mathrm{스타일}}$ $BN$의 곱은${\displaystyle }$A($)$입니다.$N$ ${\displaystyle \mathrm{이것}}$은 (${\displaystyle a)}$N\$displaystyle (ab)$${\displaystyle }$때문에만 동작합니다.$N은$$$각 왼쪽 ${\displaystyle \mathrm{코셋}}$의 $대표자{\displaystyle }$$(\displaystyle$ $aN$} 및 b$\$$displaystyle$ b$)$의 선택에 $의존$하지 $않습니다$$.$ $이$를 증명하기 위해 x N $=$ a ${\displaystyle N}$ \$displaystyle XN = aN$및 $Y$ ${\displaystyle =}$ $B$= $Nstyle$ Nstyle N = $display$ N = DISPLAYstyle N$$= DISPLAISPLAISPLAY를 선택합니다.$isplaystyle$ x$,y,a,b\in$ G$\}$ 입니다.그러면

$textstyle (ab)$$N=a(bN$)=$a(yN$)=$a(Ny$)=($aN)y$=($xN)y=x(Ny$)=$x(yN)N$

이는 N이 정규 부분군이라는 사실에 따라 달라집니다.이 조건은 G/N에서의 동작을 정의하는데 충분할 뿐만 아니라 필수적이라는 것은 여전히 증명되어야 한다.

필요한 것을 나타내기 위해$G$의 $서브그룹{\displaystyle }$ N$($$디스플레이 스타일$N$)$에 대해 동작이 잘 정의되어 있음을 고려하십시오.즉, 모든 ${\displaystyle x}$ N ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle a}$ (\$displaystyle$ xN$=aN)$ $및$ y ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle b}$ (\$displaystyle yN=bN$ x${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$†${\displaystyle G,}$ (${\displaystyle b)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle =}$ (${\displaystyle x}$ y${\displaystyle )}$ (\$displaystyle x$,$$y, $a,$ b, b, b, b, b, b, b, b$,$ b, b, b, b)에 대해 N (\$in$ G, b, b, b, b, b, b, b, b, b, b, b, b, b, b, b, b, b, b,$N=(xy)N$ 입니다.

${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \in }$ \ $displaystyle$n \ $in$N$$${\displaystyle \mathrm{g<img\; alt="n\backslash in\; N"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/aedc99ee9cd35f9c34b0f743f8c26b34359ca2fe"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:6.299ex;\; height:2.176ex;">}}$ g$$\ $displaystyle$g \ $in$ G$$${\displaystyle 。}$${\displaystyle e}$ N $= N （$ e ${\displaystyle g}$） N${\displaystyle =}$ ( e ${\displaystyle g}$ ) ${\displaystyle N}$= ( E ) ${\displaystyle =}$ ( N ) ${\displaystyle （}$ ${\displaystyle N}$ ) ${\displaystyle =}$ ( N )$$（ ${\displaystyle N}$ ) （ ${\displaystyle N}$）${\displaystyle }$（ N ） （ N ） （ N ） （ N ） ） （ $N{\displaystyle }$ ） ） （ N ） ） （ N ） ） （ N （ N ） ） （ N ） ） ） ） ） 。$N=(eN)(gN$)=($nN)(gN$)=($ng)N$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 g N ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle ng}$ ) ${\displaystyle Nn}$ N${\displaystyle =}$ (${\displaystyle {}^{}g}$ - ${\displaystyle {}^{}}$ n${\displaystyle g}$ ) N ${\displaystyle \iff {}^{}}$ - ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle nn}$N 、${\displaystyle n}$ N$$ ${\displaystyle n}$ N \ $display gN$= ($$$ng$ )$N\왼쪽 화살표 N=(g^{-1}ng)$$N\$왼쪽 $화살표$ g$^{-1}ng\in$ N$,\forall,n\in$$$N $및{\displaystyle }$ g${\displaystyle g}$G(\$displaystyle$ g$\in$ G$).$

$따라서{\displaystyle }$ N$(\displaystyle$ N$)$은 G$(\displaystyle$ G$)$의 표준 서브그룹입니다.

또한 G$({displaystyle$ G$,/,N})$에 $대한{\displaystyle }$ 이 연산은 항상 연관성이 $있으며{\displaystyle ,}$/N({$displaystyle$G,/,$N}$에는 식별 $요소{\displaystyle }$N({$displaystyle$N$\})$이 있으며, N$({displaystyle AN$$\})$의 역수는 항상$({displaystyle a-N})$로 나타낼 수 있습니다.${\displaystyle (}$${\displaystyle a}$ N${\displaystyle }$) ( ${\displaystyle b}$N ) ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle b}$) N ( a )$$= ( b ) ${\displaystyle N}$ { $displaystyle (aN)$= ($ab) N$$}$ 은$$ N$$$${$displaystyle$ G$\}$ 의$$ $몫{\displaystyle }$ $그룹$인 그룹을 ${\displaystyle 형성}$합니다.

N$(style$ N$)$의 정상성으로 인해 G($style$ G$)$에서는 N$(style$N)의 왼쪽 코셋과 오른쪽 코셋이 동일하므로${\displaystyle }$G$/$$($style G$,/,$ N)은 G($style$ G$)$에서$$N$$$(style$ N$)$의 오른쪽 코셋 집합으로 정의될 수 있습니다.

예:추가 모듈로 6

$예$를 들어, G${\displaystyle =}${ ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 3}$,${\displaystyle }$4, 5 $}$ { $displaystyle$ G = \$left$ \ { 0 ,$1$, 2$,$ 3, 5 \$$right \ $\}$ { $displaystyle$ N ${\displaystyle =}$ \ $left$ , 3 \ right \ } {${\displaystyle }$0 , 3$$} { $displaystyleft$ N = \$0$ , 3$}$ { ${\displaystyle 0\mathrm{}}$ , ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \}}${ 0 , 3 \ right$$} } { 0 , 3 \ right \ $displaystyleft{\displaystyle }$ G$$。다음으로 (왼쪽) 코셋의 세트는 3 사이즈입니다.

${\displaystyle G}$/ ${\displaystyle N=}$ {${\displaystyle a}$ + ${\displaystyle N}$ : ${\displaystyle ag\mathrm{}}$ G ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle =}${ 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle 3\}}$, {${\displaystyle 1}$, 4 ${\displaystyle \}}$, {${\displaystyle 2\mathrm{}}$, ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle \}=}$ { ${\displaystyle 0\mathrm{}}$+${\displaystyle N}$ , ${\displaystyle 1}$+${\displaystyle N}$ ,${\displaystyle 2}$ + ${\displaystyle N}$ $}$ { { $displaystyle$ G , / / , N$$= \ left \ { $A + N$ : $in$ \ $right$}

위에서 정의한 이항 연산은 이 집합을 몫 군이라고 하는 그룹으로 만듭니다. 이 경우, 이 그룹은 순서 3의 순환 군과 동형입니다.

'인수'라는 이름의 동기 부여

G$/N을$$$지수군이라고 하는 $이유$는 정수의 나눗셈에서 비롯됩니다.12를 3으로 나누면 12개의 오브젝트를 3개의 오브젝트로 이루어진 4개의 서브 컬렉션으로 다시 묶을 수 있기 때문에 4가 됩니다.비록 그룹이 객체의 임의 집합보다 더 많은 구조를 가지고 있기 때문에 우리는 숫자 대신 최종 답을 위한 그룹으로 끝나지만, 몫 그룹은 같은 생각이다.

구체적으로 말하면$,$ $G$의 정상적인 서브그룹인 G$/$N과 N$(Displaystyle$ N$)$을 조합한 G$N$($Displaystyle$G$,/,$ N)을$$ $보면{\displaystyle }$, 그룹 구조는 자연스러운 「재결성」을 형성하기 위해서 사용되고 있습니다.$G$의 $N($$style$$N$$)$ $코셋$입니다.그룹과 정규 서브그룹으로 시작했기 때문에 최종 지수에는 코셋의 수(일반 나눗셈이 산출하는 수)보다 더 많은 정보가 포함되지만 그룹 구조 자체가 있습니다.

예

짝수 및 홀수 정수

(추가 중인) $정수{\displaystyle \mathbb{}}$ Z$(\$와 $모든{\displaystyle \mathrm{}}$ 짝수로 구성된 부분군$$ ${\displaystyle 2\mathbb{}}$Z(\$displaystyle$ 2$\mathbb {Z})의$그룹을 고려합니다.Z$${\$displaystyle \mathbb {Z}}$은(는) 아벨리안이기 때문에 이것은 $정상적$인 서브그룹입니다.코셋은 짝수 정수의 집합과 홀수 정수의 집합 두 개뿐입니다.따라서 $몫군{\displaystyle \mathbb{}Z\mathrm{}}$/ ${\displaystyle 2\mathbb{}}$ Z \ $displaystyle \ mathbb$ { Z } , / , 2 \$mathbb$ { Z$}$는 두 개의 요소를 가진 순환군입니다.이 지수 그룹은 {${\displaystyle 0\mathrm{},}$ ${\displaystyle 1}$ $}$ 집합${\displaystyle }${{$displaystyle \left\{0,1\right\}$과(와) 동형입니다.비공식적으로는${\displaystyle }$Z/${\displaystyle 2\mathbb{}}$(\$displaystyle \mathbb {Z})$가 {$1}$과$({\displaystyle }$와$)$ 세트 {0$,\$displaystyle$\0}$과(와) 같다고 할 수 있습니다.

예에 대해 더 자세히 설명...

2$(\{$$displaystyle$2)로 나눌 때${\displaystyle }dividing{\displaystyle }$ (${\displaystyle m}$) { $displaystyle$\$gamma ( m$ )를$$ m${\displaystyle z\mathbb{}}$Z { $displaystyle$ m$\in$ \ $mathbb${$Z }$의 잔차라고 합니다.$다음$으로$m$이 짝수일 $경우{\displaystyle }$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle m}$ ) ${\displaystyle =}$( $displaystyle$$\ display$ ( m ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1}$( $m$)$$、 m { $displaystyle$$$\$$display$$$$( m ) $= 1$ ( m )이 홀수일 경우 입니다.

${\$ { $displaystyle$\ $displaystyle$ \ display$$}$$、 ${\displaystyle \ker }$ ${\displaystyle （}$\$display$ style \ $ker$( \ display style )$$${\displaystyle =<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash ker(\backslash gamma\; )\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/2128399d68670aa1232dd3c335048fbddc58a4c8"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:6.243ex;\; height:2.843ex;">}$ { $m$ { $displaystyle$= \ { m\ in \ $mathbbb { Z$ } : \ $0$}$$$=$ { displaystyle }의 커널은 짝수인 정수로 설정됩니다.

$H{\displaystyle }$ $=$ { $displaystyle$ H $=$ }${\displaystyle }$ker ${\displaystyle （}$ ${\displaystyle \mathrm{\gamma <img\; alt="\{\backslash displaystyle\; H=\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/77715875611b934a97bd032cfc65ed46c1d1e851"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:4.517ex;\; height:2.176ex;">}}$） { $displaystyle \ker(\$displaystyle ) }$$。다음으로, $(디스플레이$ 스타일$)$는 부분군입니다.$Z($$디스플레이$$$스타일 $0)$의 항등식이$$H$(디스플레이$ $스타일$ 0$)$이므로 짝수인 두 정수의 합은 짝수이므로 m$(디스플레이 스타일$ m${\displaystyle )}$과 n$(디스플레이 스타일$ n$)$이 H$(디스플레이 스타일$ H$)$ + $($n)에 $있는{\displaystyle }$ $경우{\displaystyle }$,$isplaystyle$ m$+n은$$$H$($$닫힘$)에 있고 m$(\displaystyle$ m$)$이 짝수일 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$-m(\$displaystyle$-m$$$){\displaystyle }$도 $짝수$이므로$H$(\$displaystyle$ H$)$는 그 역수를 포함합니다.

$μ$${\displaystyle }$:$${\$displaystyle \mu$ $:}$$$$Z$${\displaystyle \mathbb{}}$ {\$displaystyle \mathbb$${Z$}$$ / H ${\displaystyle }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 2$(\$$\to$ $\mathbb {Z} _{2$})를$$μ$)$ ${\displaystyle =}$$μ(A)$로 $정의$합니다$.$ ${\displaystyle \mathbb{Z}}${\$displaystyle \mathbb {Z}$ $$/ H ${\displaystyle =}$ {${\displaystyle H}$ ,${\displaystyle 1}$ + ${\displaystyle H}$ $}$ { $displaystyle$= \ {$H$ ,$1$ + $H$\ }$$。

μ$(\displaystyle \mu$ $\}$ ,${\displaystyle }$μ(${\displaystyle a}$ H$)$ {\$displaystyle$ $\mu(aH)}$은$($는)$$1$(\$$displaystyle$$$1) {\$displaystyle$ a$}$이(가$)$ 짝수인 $경우{\displaystyle }$ 0$($는)으로 $정의$되어 있습니다.

$따라서$$$μ {\$displaystyle \mathbb {Z}$ $$/ H ~${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 2$${\$displaystyle \mathbb {Z}$ _${2$의 동형입니다.

정수 나눗셈의 잔량

마지막 예제의 약간의 일반화.다시 한 번 추가되는 $정수{\displaystyle \mathbb{}}$ Z$(\$의 그룹을 고려합니다.n을 임의의 양의 정수라고 합니다.n의$모든{\displaystyle }$ 배수(\$displaystyle$ n$)$로 구성된$$ Z$(\${Z$})$의 $하위{\displaystyle }$ ${\displaystyle 그룹\mathbb{}}$ n(\$displaystyle$ n\$mathbb${Z$$$})$에 대해 ${\displaystyle 설명}$합니다. 다시 $말씀드리지만{\displaystyle }$Z(\$displaystyle$ $n$$\$mathbb {Z$$$})$에서는$$Z(\displaystyle n$\$$mathbbb$ ${Z})$가 $정상$입니다.코셋은 ${\displaystyle 컬렉션}$ {${\displaystyle n\mathbb{}}$Z$,{\displaystyle }$ ${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle nZ\mathbb{},}$ ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle (\mathrm{n}}$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle 2)}$ +${\displaystyle n\mathbb{}}$ Z${\displaystyle ,}$ (${\displaystyle \mathrm{n}-}$1) + ${\displaystyle n\mathbb{}}$ Z$}({style$\left\{$n\mathbb {Z}, 1+n\mathbb {Z},\;\ldots,(n-2)+n\mathbbb)입니다.$$isplaystyle$r은$$ k$\displaystyle$k를$$ n$\displaystyle$n으로 $나눈{\displaystyle }$ 나머지다.$몫{\displaystyle \mathbb{}Z}$ / ${\displaystyle n\mathbb{}}$Z ${\displaystyle \mathbb${Z}$,/,n\mathbb${Z}$$}는$$ "나머지" 모듈$n{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ n$\}$의 그룹으로 생각할 수 있습니다.$이것$은 순서$$n의 순환 그룹입니다.\ $display$n입니다$.$

1의 복소수 정수근

복소 단위 원상의 점인 12근은 오른쪽 그림에 색상으로 표시된 곱셈 아벨 군$G{\displaystyle }$({$displaystyle$G$\})$를 형성하며, 각 점의 숫자는 복잡한 인수를 나타낸다.통합의 네 번째 뿌리로 구성된 하위 $그룹{\displaystyle }$N(\$displaystyle$ N$)$을 빨간색 공으로 나타냅니다.이 정규 부분군은 그룹을 빨간색, 녹색 및 파란색으로 표시된 세 개의 코셋으로 나눕니다.코셋이 3개의 요소로 이루어진 그룹을 형성하는지 확인할 수 있다(파란색 요소가 있는 빨간색 요소의 곱은 파란색, 파란색 요소의 역수는 녹색 등).즉${\displaystyle ,}$ G /$$ (\$displaystyle$ G$,/,N$$)$은 3가지 색상으로 이루어진 군으로, 3가지 원소를 가진 순환군임을 알 수 있습니다.

실수는 정수의 모듈화이다.

덧셈 아래의 $실수군{\displaystyle \mathbb{}}$R(\$style \mathbb {R})$과 정수의 $부분군{\displaystyle \mathbb{}}$Z(\$displaystyle \mathbb {Z})$를 고려합니다.${\displaystyle R\mathbb{}}$$(\$의 Z$(\displaystyle \mathbb {Z$$})$의 각 코셋은 + Z$(\backslash$$displaystyle$ a$+\mathbb {Z})$ $형식$의 집합입니다. $여기$서 ${displaystyle$ a$}$는 실수입니다.때 1{\displaystyle a_{1}}와 2{\displaystyle a_{2}}의non-integer 부분이 평등한 1+Z{\displaystyle a_{1}+\mathbb{Z}}와 2+Z{\displaystyle a_{2}+\mathbb{Z}}는 일란성 세트 이후, 0을 ≤는 것을 제한하는 것;1{\displaystyle 0\leq a< 1}witho을 부과할 수 있다.ch와 같이의미심장이러한 코셋을 추가하려면 대응하는 실수를 더하고 결과가 1보다 크거나 같으면 1을 빼야 합니다.$몫군{\displaystyle \mathbb{}}$R /$$ {\$displaystyle$ $\mathbb {R},/,\mathbb {Z}}$은 곱셈 아래의 절대값 1의 복소수 군인 원군 또는 이에 대응하여 원점에 대한 2차원 회전군인 ${\displaystyle \text{특수직교군}}$ SO$)$ style {\$mSO$}({$2})$와 동형상한다.동형사상은 f${\displaystyle }$(${\displaystyle a\mathbb{}}$+${\displaystyle }$Z ) $=$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle (}$ ( 2 ${\displaystyle \pi }$ i${\displaystyle a}$) { $display style$f ($a+\mathbb {Z}$ )=\$exp (2\pi$ ia$)}$ (오일러의 항등식 참조)로 주어진다.

실수의 행렬

G$(\displaystyle$ G$)$가 $가역{\displaystyle \mathrm{}}$3 ×$$(\$displaystyle$ 3$\times$3$$) 실행렬의 $군$이고$$N(\$displaystyle$ N$)$이 행렬식 1을 갖는 3${\displaystyle }$×$$(\$displaystyle$ 3$\times$3) $실행렬$의 부분군인 $경우{\displaystyle }$ N$($결정식 G$)$은 정상이다$$.nant 동형).N$({displaystyle$N})의 코셋은 주어진 행렬식을 갖는 행렬 $집합$이므로 G$({displaystyle$ G$,/,N}$은 0이$$ 아닌 실수의 곱셈군과 동형이다.$그룹$ N$(\$displaystyle$N$$)$은 특수 선형 ${\displaystyle \text{그룹}}$SL(${\displaystyle 3})$로 알려져 있습니다.

정수 모듈식 산술

아벨 군 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 4 $=$ / ${\displaystyle 4\mathbb{}}$Z ({$displaystyle \mathbb {Z} _{4$}=\$mathbb {Z}$ , $/, 4\mathbb {Z}$$$$}$ ({$displaystyle \left\{0,1,2,3\$right$},$ ${\displaystyle modulo\mathrm{}\})}$에${\displaystyle }$mod 4를 추가합니다.${\displaystyle 몫}$ $그룹{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 4${\displaystyle {}_{}}$/${\displaystyle }${${\displaystyle 0\mathrm{}}$ , ${\displaystyle 2}$ $}$ { {$displaystyle$ \$mathbb${ Z$$}$$_ { 4${\displaystyle }$} , / , \$left$ \ {${\displaystyle 0}$$$, 2 \$$right \ }${\displaystyle 、}$ {$$ , 3$}$ { $displaystyle \$ ${ 0$ , $2$\ $right }$}$。$이것은 ID${\displaystyle }$요소 {${\displaystyle 0\mathrm{},}$ ${\displaystyle 2}$ $}$ {$displaystyle \left\{0,2\right\}$ $\{$0,$}$ {1$3$ {$displaystyle \left\{0,2\$right$\backslash \}+\backslash$$left\{1,3\}$와${\displaystyle }$같은 그룹 조작을 가진 그룹입니다.둘 다 오른쪽${\displaystyle }$서브그룹입니다.up${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0\mathrm{}}$, ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \}}$, {${\displaystyle 1}$, 3 ${\displaystyle \}}$ $}$ { { $displaystyle \ left$\ { 0 $, 2$ \ $right$\ , \ left \ { 1 $, 3$ \ $right$ \$$} }는 Z$$ { \ $displaystyle$\ $mathbbb${ $Z }$_ { {$$}}$$} $z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ 。

정수 곱셈

$곱셈군{\displaystyle }$ G ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$ n${\displaystyle {{}^{}}_{}{}^{}{{2\mathrm{}}^{}}_{}{}^{}}$)$$× (\$displaystyle$ G = (\$mathbb {Z$$} _{n^{2}})^{\$times$\}\}\}\}$을 고려합니다. n$${\$displaystyle$ n$}$번째$$ 잔기의 $집합{\displaystyle }$$$N$(\displaystyle$ N)은 (${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$${\displaystyle {)}^{}}$× ${\times$}^{$n}$의 곱셈$\}{\displaystyle }$이다.$$ 는 G$(\displaystyle$ G$)$에서 정상이며 계수 $그룹{\displaystyle }$G/$(\displaystyle$ G$,/,N)$에는 $N{\displaystyle ,}$ (${\displaystyle 1+n),}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle ...,}$(${\displaystyle 1+n)n}$ - ${\displaystyle 1}$(\$displaystyle$ N, ($1+n)$ N, ($1+n$)$$2 N, 1+$N,$ 1 n, 1 n, 1 n, 1 n, 0, 0, 0, 2 N, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,Paillier 암호 $시스템은$n의 $인수분해$를 모르면$G의$$랜덤{\displaystyle }$ 원소의 코셋을 결정하기 어렵다는 추측에 기초하고 있습니다$.$

특성.

${\displaystyle 지수군}$ G${\displaystyle }$/$$G { $display$ style$G$ ,$$/ , G$$ } $g{\displaystyle }$ group 、 G${\displaystyle }$/ { ${\displaystyle e}$ $}$ { $display style$ G , / , \$left$ \ {$e$ \ $right$\ }는$$ G$${ $display style$ G$\}$와 동형입니다.

G$(\$style $G$$,/,$$N$의 순서는 정의상 G$(\$ \$vert$ G$:$$N(vert$은$$G$({$$displaystyle$G$\})$에서 N({$displaystyle$ N$}$의 $인덱스$입니다$.$G({$displaystyle$G})가$$ 유한한 $경우{\displaystyle }$ 인덱스는$$G({$displaystyle$G$})$를$$N({$displaystyle$N$\})$의 순서로 나눈 순서와 같습니다.$,$ G$/N$ $집합$은 $유한$할 수 $있습니다$.${\displaystyle G\mathrm{}}$$}$ $및$ N$({displaystyle$N})은$$ 무한합니다($예$:${\displaystyle Z\mathbb{}}$ / 2 Z \displaystyle $\mathbb$ {Z} , / , $2$\ $mathbb {Z}$ $$$）$ 。

${\displaystyle G}$$(\displaystyle$ G$)$의$$각 요소 g$(\$$displaystyle$ G$)$를 $N{\displaystyle }$$(\displaystyle$ N$)$의 코셋으로 ${\displaystyle \mathrm{보내는}}$ "자연적" 주관군 $동형사상{\displaystyle }$ ${\displaystyle :}$ : $G$${\displaystyle \to }$$/$${\displaystyle (\backslash }$$displaystyle G$$\$$rightarrow$ G$,/, N$이 있다.$매핑{\displaystyle }$ $【{displaystyle$\$pi$$}$는 G$/$에$대한{\displaystyle }$ G${$$displaystyle$$$G$}$의$$표준 투영이라고도 합니다.그 커널은 N${displaystyle$ N$\}$입니다.

N$({displaystyle$ N$}$을 $포함$하는$$G({$displaystyle$G})의 서브그룹과$$G$/$$N$({$displaystyle$G})의 서브그룹 사이에는 쌍방향 대응관계가 있다$.H$({$displaystyle$ H$$$}$가 N({$displaystyle$N})을 $포함$하는 G({$displaystyle$ G}의 서브그룹인 $경우{\displaystyle }$)의 서브그룹에 해당한다$.$${\displaystyle /}$ $(\displaystyle$ G$,/,N)$은 ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle H}$ $){displaystyle \pi (H)}$입니다$.$ 이 대응관계는 G$(\displaystyle$G$$)${\displaystyle }$및 $/$N(\$displaystyle$ G$,/,/,N)$의 정규 서브그룹에도 적용되며, 격자정리로 공식화되어 있습니다.

몫군의 몇 가지 중요한 특성은 동형사상과 동형사상의 기본정리에 기록되어 있다.

G$(\displaystyle$ G$)$가 아벨리안, 영능, 해결 가능, 주기 또는 최종 생성일 $경우{\displaystyle }$ G$(\displaystyle$ G$,/,N$도 마찬가지입니다.

H$({displaystyle$ H$}$가 $유한그룹{\displaystyle }$ $G$$({displaystyle$G$\})$의 서브그룹이고$$H({$displaystyle$ H$})$의 순서가$$G({$displaystyle$$$G$})$의 절반인 $경우{\displaystyle }$ $H({displaystyle$ H$})$는 정규 서브그룹임을 ${\displaystyle 보증}$하고$$G$/H$는 ${\displaystyle 2_{}}$와 동형이다.${\displaystyle }${\$displaystyle C_{$2$\}\}.$ 이 결과는 "인덱스 2의 모든 서브그룹이 정상"이라고도 할 수 있으며, 이 형태에서는 무한 그룹에도 적용됩니다$.$또한 p$${$displaystyle$ p$}$가 $유한군{\displaystyle }$G {{$displaystyle$G$\}$의 순서를 나누는 최소 소수인 $경우{\displaystyle }$${\displaystyle }$G$$/$H$ {$displaystyle$ G$}$의 $차수$가$$p {$displaystyle$ $p$$\}$인 $경우{\displaystyle }$$$H {$displaystyle$ H$}$는$$G {$displaystyle$G$\}$^[1]의 정규 서브그룹이어야 합니다.

G$(displaystyle$ G$)$와 N$(displaystyle$ N$)$이 정상 $서브그룹$인 $경우{\displaystyle }$ $(displaystyle$ G$)$는 N$(displaystyle$ N$)$에 의해 G$(displaystyle$ G$)$의 $그룹{\displaystyle }$ $확장자$이며, 즉 G($displaystyle$ G$)$가$$Direc인지 $아닌지$를 물을 수 있습니다.N$(\displaystyle$ N$)$ $및$ G$(\displaystyle$ G$,/,N$의 제품 또는 반직접 제품. 이는 확장 문제의 특수한 경우입니다.내선번호가 분할되지 않은 예를 다음에 나타냅니다.$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 4 ${\displaystyle =}$ {${\displaystyle 0\mathrm{}}$ ,${\displaystyle 1}$ , ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 3}$ $}$ { $displaystyle$ G = \ $mathbb { Z$} $_${ ${\displaystyle 4\mathrm{}}$ }$$${\displaystyle =}$ \ left \ {$0$${\displaystyle }$,$$${\displaystyle 2}$$$$}$ $({$ $displaystyle$ N = \$left$ \$0$ ,$2$ \ $right \$} )로 합니다.이것은 $zstyledisplay 2$에 $해당$합니다.$le \mathbb {Z} _{2$ 단, $(\$는 사소한 자기동형성만을 가지고 있기 때문에 N$(\displaystyle$ N$}$ $및$ G${\displaystyle /N}$(\$displaystyle$ G$,/,/, N)$의 반직접곱만이 직접곱입니다.$(\$는 ${\displaystyle {}_{}}$× $(\$와 다르므로$$G(\$displaystyle$ $G)$는 $N$$(\displaystyle$ N$)$ $및$ G/$DISPLAYLE$ G(\display$$n$)$의 반직접곱이 아닙니다.

거짓말 그룹의 비율

G$${\$displaystyle$ G$}$가 Lie $그룹$이고 N$${\$displaystyle$ N$}$이 G$${\$displaystyle$G$\}$의 정규적이고 닫힌(위상적인 의미에서의) Lie 서브그룹인 $경우{\displaystyle }$, $몫{\displaystyle }$G {$displaystyle$ G}$$ /$N{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ N$}$도 Lie 그룹이다.이 경우 원래 $그룹{\displaystyle }$ G$({displaystyle$G})는$$ $베이스공간{\displaystyle }$ $G({displaystyle$ $$G$$$}/$$({$$displaystyle$N}) 및 $파이버{\displaystyle }$N({$displaystyle$$$N})$$의 $파이버{\displaystyle }$ 번들 구조(특히 주요 ${displaystyle$ N$})$를 가진다$.$dim${\displaystyle g}$G - ${\displaystyle \dim n}$N { $displaystyle$\$dim$ G - \ $dim$ N$\}$^[2]과 같습니다.

N$${\$style$ N$}$이(가) 닫혀 있는 $조건$이 필요합니다.실제로 N$(\displaystyle$ N$)$이 닫혀 있지 않은 $경우{\displaystyle }$, 몫 공간은 T1-공간이 아니며(비율에는 열린 집합으로 ID에서 분리할 수 없는 코셋이 있으므로), 따라서 하우스도르프 공간이 아닙니다.

비정상 Lie $하위{\displaystyle }$ 그룹$$N(\$displaystyle$ N$)$의 경우 왼쪽 코셋의 $공간{\displaystyle }$G/$(\displaystyle$ G$,/,N)$은 그룹이 아니라 단순히$$G(\$displaystyle$G)가$$ 동작하는 $차별화{\displaystyle }$ 가능한 다양체입니다.그 결과를 균질 공간이라고 합니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 그룹 내선번호
• 지수 범주
• 짧은 정확한 시퀀스

메모들

레퍼런스

• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2003), Abstract Algebra (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-43334-7
• Herstein, I. N. (1975), Topics in Algebra (2nd ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-02371-X