역원소

수학에서, 역원소 개념은 숫자의 반대(- $x$ )와 $역수(1$ /x)의 개념을 일반화한다.

여기서나타내는 연산과 e를 $나타내는$ 항등원소가 주어졌을 때, $만약$ x ∗ $y$ = $e$ 라면, $x$ 는 y의 $왼쪽$ 역수이고, $y$ 는 x의 오른쪽 역수라고 $말할$ 수 있다. (항등원소는 왼쪽 변이 정의되는 $모든$ $x$ 와 y에 대해 x * $e$ = $x$ 와e * y = $y$ 와 $같은$ 원소이다.)^[1]

연산θ가 연관성이 있는 경우, $요소$ x가 왼쪽 역과 오른쪽 역의 양쪽 모두를 갖는 경우, 이러한 두 역의 값은 동일하고 고유합니다. 즉, 역 요소 또는 단순히 역 요소라고 불립니다.종종 형용사는 덧셈 역, 곱셈 역, 함수 역과 같이 연산을 지정하기 위해 추가됩니다.이 경우(관련 연산)에서는 반전 요소는 역수를 갖는 요소입니다.

반전은 일반적으로 모든 요소가 반전 가능한 그룹 및 링에서 사용되며 반전 가능한 요소는 단위라고도 합니다.또한 역행렬 및 역함수와 같이 가능한 모든 피연산자에 대해 정의되지 않은 연산에도 일반적으로 사용됩니다.이것은 범주 이론으로 일반화되었고, 여기서 정의상, 동형사상은 가역적 형태론이다.

'역'이라는 단어는 라틴어에서 유래했다: '뒤집혔다', '뒤집혔다'는 뜻이다.이는 분자와 분모를 교환하여 (승수) 역수를 구하는 분수의 경우에서 유래할 수 있습니다( ${\tfrac {x}{y}}$ 의 \ $xy\$ displaystyle $\tfrac{x}$ 의 ${\tfrac {x}{y}}$ ${\tfrac {y}{x}}$ 는 y $\$

정의 및 기본 속성

역요소 및 반전요소의 개념은 일반적으로 정의되어 있는 바이너리 연산에 대해 정의됩니다(즉, 해당 도메인의 두 요소에 대해 연산이 정의됩니다).그러나 이러한 개념은 일반적으로 부분 연산, 즉 모든 곳에서 정의되지 않은 연산과 함께 사용됩니다.일반적인 예로는 범주의 행렬 곱셈, 함수 구성 및 형태소 구성이 있습니다.따라서 어소시에이티티와 아이덴티티 요소의 공통 정의는 부분 연산으로 확장되어야 합니다.이것은 첫 번째 서브섹션의 오브젝트입니다.

이 섹션에서 $X$ 는 부분연산(합계)이 정의되어 있는 세트(적절한 클래스일 가능성이 있음)로, $「.\displaystyle$ *}」로 표시됩니다.

연관성

부분 조작은 다음과 같은 경우에 관련지을 수 있습니다.

x*(y*z)=(x*y)*z

$X$ 의 $각$ $x,$ $y$ , z에 대해 등식의 구성원 중 하나가 정의됩니다. 등식은 등식의 다른 구성원도 정의해야 함을 의미합니다.

비합계 연산의 예로는 임의의 크기의 행렬의 곱셈과 함수 구성이 있습니다.

아이덴티티 요소

$세트$ X에 대해 $*$ § { $displaystyle *}$ 을 $*$ (를) 부분 연관 연산이라고 합니다.

아이덴티티 요소 또는 단순히 아이덴티티는 다음과 같은 $요소$ e입니다.

(*displaystyle x*e=x\display {and}}\display e*y=y)

모든 x와 y에 대해 등식의 $왼쪽$ $변이$ 정의됩니다.

$e$ 와 f가 e $e*f$ { $displaystyle$ e $*f}$ 가 $e*f$ 정의되어 $e*f$ 것과 같은 두 개의 식별 요소인 $경우$ $e=f.$ $e=e*f=f.$ $e=f.$ $e=e*f=f.$ $e=f.$ . { $e=e*f=f.$ e= $f$ $e=f.$ . $e=f.$ f . $e=e*f=f.$ \ $displaystyle$ e $= f$ . $e=e*f=f.$ . $e=e*f=f.$ )

따라서 전체 운영에는 최대 1개의 ID 요소가 있으며 $e$ 와 f가 다른 ID일 $경우 e는$ 정의되지 않습니다 $.$

예를 들어 행렬 곱셈의 경우, $정의$ 정수 n마다 $하나$ 의 $n$ ×n개의 항등 행렬이 존재하며, 크기가 다른 두 개의 항등 행렬을 함께 곱할 수 없다.

마찬가지로, 항등함수는 함수구성을 위한 항등요소이며, 2개의 다른 집합의 항등함수의 구성은 정의되지 않는다.

좌우 반전

x $x*y=e,$ $x*y=e,$ $x*y=e,$ , { $display x*y=e,}$ 일 $x*y=e,$ $x*y=e,$ 여기서 e는 y의 $왼쪽$ 역, $y$ 는 x의 $오른쪽$ 역이라고 $합니다$ .

조작이 전체적이고 관련성이 있는 경우에도 왼쪽과 오른쪽의 역방향은 항상 존재하는 것은 아닙니다.예를 들어, 덧셈은 음수가 아닌 정수에 대한 전체 연관 연산이며, 가법 항등으로서 0을 $가지며$ , 가법 역수를 가지는 유일한 원소가 0입니다.이러한 역수의 부족은 자연수를 정수로 확장시키는 주된 동기이다.

조작이 전체적으로 관련지어져 있는 경우에도 요소에는 여러 개의 왼쪽 반전 및 오른쪽 반전이 있을 수 있습니다.예를 들어, 정수에서 정수까지의 함수를 고려합니다.곱셈 $x\mapsto 2x$ x $x\mapsto 2x$ 2 $x\mapsto 2x$ {\ $style$ x\ $mapsto$ 2x}는 $x\mapsto 2x$ 짝수 두 개로 나누어 홀수에 값을 부여하는 함수인 함수 구성에 따라 무한히 많은 수의 남은 역이 있습니다.마찬가지로 n을 $2n({$ displaystyle $2n})$ $+$ ({ $displaystyle 2n+1})$ 에 $2n+1$ $매핑하는$ 모든 함수는 n ${\textstyle n\mapsto \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor ,}$ ${\textstyle n\mapsto \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor ,}$ 2 $、$ \ $textstyle$ n \ $mapsto \ lfloor$ \ $frac {$ n ${\textstyle {\frac {n}{2}}}$ $} 2$ ${\textstyle {\frac {n}{2}}}$ 2 、 n $styleft$ \ $rfloor$ ${\textstyle n\mapsto \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor ,}$ $）$ the ${\textstyle n\mapsto \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor ,}$ ののの of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of 2n + 1 $。$ ${\textstyle {\frac {n-1}{2}},}$ n이 $짝수$ 인지 홀수인지에 따라 ${\textstyle {\frac {n-1}{2}},}$ {\ $textstyle$ {\ $frac {n-1}{2$ }

보다 일반적으로 함수는 함수 구성에 대해 왼쪽 역수를 가지며, 함수 구성에 대해 왼쪽 역수를 가지며, 돌출된 함수 구성은 돌출형인 경우에만 오른쪽 역수를 갖습니다.

범주 이론에서, 오른쪽 역방향은 단면이라고 불리며, 왼쪽 역방향은 후퇴라고 불립니다.

반전

요소는 왼쪽 역방향과 오른쪽 역방향이면 연산 하에서 반전할 수 있습니다.

연산이 연관성이 있는 일반적인 경우 요소의 왼쪽과 오른쪽 역방향은 동일하고 고유합니다. $실제로$ , 만약 $l$ 과 r이 각각 x의 $왼쪽$ 역과 오른쪽 역이라면,

l=l*(x*r)=(l*x)*r=r

가역 요소의 역수는 고유한 왼쪽 또는 오른쪽 역입니다.

$연산$ 이 덧셈으로 표시되는 경우, 요소 x의 역수 또는 가법 역수를 - $.$ ({ $displaystyle$ - $x$ .})로 $-x.$ 나타냅니다.그렇지 않은 경우 $x$ 의 역수는 일반적으로 $x^{-1},$ x - $,$ { $displaystyle$ x^{- $1$ 또는 가법 ${\textstyle {\frac {1}{x}}.}$ ${\textstyle {\frac {1}{x}}.}$ x $.$ ({ $textstyle {frac1}{x})$ 로 $x^{-1},$ 됩니다.} 여러 ${\textstyle {\frac {1}{x}}.}$ 연산 사이에 혼동이 발생할 수 있는 경우 지수 앞에 연산 기호를 추가할 수 있습니다 $.$ 예를 $x^{*-1}.$ $f^{\circ -1}$ x $x^{*-1}.$ $.$ - 1 . { $display$ style $x$ $^$ { $x^{*-1}.$ * - $x^{*-1}.$ } { ${\textstyle {\frac {1}{f}}}$ $display$ $style$ f^ { \ $circ$ $f^{\circ -1}$ - 1 ${\textstyle {\frac {1}{f}}}$ u } ${\textstyle {\frac {1}{f}}}$ $f^{\circ -1}$ f f f f ${\textstyle {\frac {1}{f}}}$ } 。sed는 곱셈 역수이다.

$x$ 와 y를 반전할 수 $x*y$ x $x*y$ { $displaystyle$ x * $y$ }가 $x*y$ 정의되어 있는 $경우$ $x*y$ y { \ $displaystyle$ x * $y$ }는 $x*y$ 반전할 수 있으며 그 $y^{-1}x^{-1}.$ 가 $y^{-1}x^{-1}.$ y - $y^{-1}x^{-1}.$ 입니다 $.\$ y^ { - 1 x $^$ { - 1 }x^ { - $y^{-1}x^{-1}.$ 1 $}$

가역 동형사상은 동형사상이라고 불린다.범주론에서, 가역적 형태론은 또한 동형사상이라고도 불린다.

그룹으로 나누다

그룹은 아이덴티티 요소가 있고 모든 요소가 역연산을 갖는 관련 연산을 가진 집합입니다.

따라서, 역함수는 군에서 그 자신으로 가는 함수이며, 또한 아리티 1의 연산으로도 간주될 수 있다.원소의 역이 원소 그 자체이기 때문에 그것은 또한 혁명이기도 합니다.

그룹은 세트에 대해 이 세트의 변환으로 동작할 수 있습니다.이 경우 그룹 $g$ 의 $g$ $g^{-1}$ $g^{-1}$ $({$ $displaystyle$ g $^{-$ $1})$ 은 $g^{-1}$ g $,\$ $displaystyle$ g $,\$ displaystyle $g,$ g,\ $displaystyle$ g에 $의해$ $g.$ 된 변환의 역인 변환을 정의합니다 $.$

예를 들어, 루빅의 입방체 그룹은 유한한 기본 이동 시퀀스를 나타냅니다.이러한 순서의 역수는 각 움직임의 역수를 역순으로 적용하여 구한다.

모노이드

모노이드는 아이덴티티 요소를 가진 관련 연산을 가진 집합입니다.

모노이드의 가역 원소는 모노이드의 작동 하에 그룹을 형성합니다.

링은 링 증식을 위한 모노이드입니다.이 경우 반전 요소는 단위라고도 하며 링 단위 그룹을 형성합니다.

모노이드가 가환성이 아닌 경우, 왼쪽 역 또는 오른쪽 역이 있는 비역전성 요소가 존재할 수 있습니다(그렇지 않으면 요소가 반전되지 않을 수 있습니다).

예를 들어 집합에서 그 집합으로 이어지는 함수의 집합은 함수 구성 아래의 모노이드이다.이 모노이드에서 가역 원소는 바이젝트 함수이며, 왼쪽 반전이 있는 원소는 주입 함수이며, 오른쪽 반전이 있는 원소는 서브젝트 함수이다.

모노이드를 지정하면 일부 원소에 역수를 추가하여 확장할 수 있습니다.이것은 일반적으로 비환환산 모노이드에서는 불가능하지만, 교환 모노이드에서는 소거 특성이 있는 요소에 역수를 추가할 수 있습니다( $xy=xz$ y $xy=xz$ $x$ $xy=xz$ { $style$ xy $=$ $xz$ $}$ 및 $xy=xz$ $y=z,$ $yx=zx$ $yx=zx$ $yx=zx$ $y=z,$ $yx=zx$ { $display yx}$ 를 $yx=zx$ $y=z,$ 하는 경우 $xy=xz$ x는 소거 특성이 있습니다). $y=z$ y $y=z$ { $displaystyle$ y $=z$ }. $y=z$ 이러한 모노이드의 확장은 그로텐디크 그룹 구성에 의해 허용된다.이것은 자연수로부터 정수, 정수로부터 유리수, 그리고 보다 일반적으로 적분 영역의 분수장 및 교환환의 국부화에 일반적으로 사용되는 방법이다.

링으로

링은 덧셈과 곱셈의 두 가지 연산을 갖는 대수 구조이며, 이는 숫자에 대한 일반적인 연산으로 나타납니다.

또한, 고리는 덧셈이 교환적이고 연관성이 있다는 것을 의미하는 아벨 군이다. 고리는 가법적 항등성이라고 불리는 항등성을 가지며 0으로 $표시$ 된다. 그리고 모든 $요소$ x는 가법적 역이라고 불리는 역수를 가지고 있고 -x로 표시된다.교환성 때문에 좌우 반전 개념은 반전과 다르지 않기 때문에 의미가 없습니다.

곱셈에서, 고리는 모노이드이다; 이것은 곱셈이 연관성이 있고 곱셈 항등성이라고 불리는 동일성을 가지고 있고 1로 $표시$ 된다는 것을 의미한다.곱셈을 위한 가역 원소를 단위라고 한다. $단위$ x의 역수 또는 곱셈 역수(가법 역수와의 혼동을 피하기 위해)는 x $x^{-1},$ - $x^{-1},$ , $x^{-1},$ {\ $display$ x $^{-1},$ 곱셈이 가환인 경우 ${\textstyle {\frac {1}{x}}.}$ x로 ${\textstyle {\frac {1}{x}}.}$ 됩니다 $.$ {\ $textstyle {1}{x}}}$ $}$

가법 $아이덴티티$ 0은 링이 제로 링인 경우를 제외하고 유닛이 아닙니다.단, 링의 고유 요소는 $0$ 입니다.

0이 유일한 비단위일 $경우$ 링은 곱셈이 치환이면 필드, 그렇지 않으면 나눗셈 링입니다.

비가환환(즉 곱셈이 가환적이지 않은 링)에서 비반전 요소는 하나 또는 여러 개의 왼쪽 또는 오른쪽 반전을 가질 수 있다.예를 들어 점 단위 연산을 위한 링을 형성하는 정수에서 그 자체에 이르는 함수의 경우입니다.위의 왼쪽 및 오른쪽 역수를 참조하십시오.

가환환(즉 곱셈이 가환인 링)은 0이 아닌 원소에 역수를 더함으로써 연장할 수 있다(즉, 0이 아닌 원소를 갖는 곱은 $0일$ 수 없다).이것은 국소화 과정으로, 특히 정수의 환에서 유리수의 장을 생성하고, 더 일반적으로는 적분 영역의 분수장을 생성합니다.로컬라이제이션은 제로 제수에서도 사용되지만 이 경우 원래 링은 로컬라이제이션의 서브링이 아니라 로컬라이제이션에 비주입적으로 매핑됩니다.

매트릭스

행렬 곱셈은 일반적으로 필드 위의 행렬에 대해 정의되며 링, rng 및 반링 위의 행렬로 직접 확장됩니다.단, 이 섹션에서는 등급과 결정식의 개념을 사용하기 때문에 교환 링 위의 행렬만 검토한다.

A가 $m \times n$ 행렬(즉, m $행$ 과 n 열을 $가진$ 행렬), $B$ 가 p $\times q$ 행렬인 $경우$ , 곱 $AB$ 는 $n$ = p이면 정의되며, 이 경우에만 $정의$ 된다.즉, 행렬 곱셈의 항등원소는 주 대각선 항목이 모두 $1$ 이고 다른 항목이 $모두$ 0인 정사각형 행렬(행과 열의 경우 동일한 수)입니다.

가역행렬은 행렬 곱셈에서 가역행렬입니다. $교환환$ R 위의 행렬은 그 행렬식이 R의 단위(즉 R의 $단위$ )인 경우에만 반전할 수 있다.이 경우, 그 역행렬은 크레이머의 법칙으로 계산할 수 있다.

R이 필드인 $경우$ 행렬식은 0이 아닌 경우에만 반전됩니다.필드의 경우가 더 일반적이기 때문에 행렬이 0이 아닌 행렬로 정의되는 반전 행렬이 종종 발견되지만, 이는 링에 대해 올바르지 않습니다.

정수 행렬(즉, 정수 항목이 있는 행렬)의 경우, 역행렬은 정수 행렬이기도 한 역행렬입니다.이러한 행렬은 실수에서 반전할 수 있는 행렬과 구별하기 위해 단모듈형 행렬이라고 합니다.정사각형 정수 행렬은 행렬식이 1 또는 $-1$ 인 $경우$ 에만 단위가 됩니다. 왜냐하면 이 두 숫자가 정수의 링에서 유일한 단위이기 때문입니다.

행렬에는 왼쪽 역 if가 있고 순위만 열의 수와 같습니다.이 왼쪽 역행렬은 왼쪽 역행렬과 역행렬이 동일한 정사각형 행렬을 제외하고는 고유하지 않습니다.마찬가지로, 오른쪽 역행렬은 순위가 행 수와 동일한 경우에만 존재합니다. 직사각형 행렬의 경우 고유하지 않고 정사각형 행렬의 경우 역행렬과 같습니다.

함수, 동형 및 형태

합성은 대수 구조의 동형사상과 범주의 형태를 합성이라고도 하는 연산으로 일반화하여 함수 구성과 많은 특성을 공유하는 부분 연산이다.

모든 경우에, 구성은 연관성이 있다.

f $f\colon X\to Y$ : $f\colon X\to Y$ $f\colon X\to Y$ { $displaystyle f\display$ X $f\colon X\to Y$ \ $g\colon Y'\to Z,$ Y} 및 $g\colon Y'\to Z,$ g : Y $g\colon Y'\to Z,$ $,$ \ $display$ $g'\$ $to$ Z일 $g\colon Y'\to Z,$ 경우 $f\colon X\to Y$ $Y'=Y$ $g\circ f$ f는 $g\circ f$ Y $=$ \ $display$ Y $'=$ Y 또는 동형에서 기능하는 $Y'=Y$ 에만 정의됩니다.형태론 사례, 즉 $f의$ 코드메인이 g의 영역과 같거나 g의 $영역$ 에 $f$ 포함됨을 의미한다.형태론의 경우 $, 이$ 는 $f$ f의 코드메인이 $g$ 의 도메인과 같다는 것을 의미한다.

$개체$ X(세트, 대수 구조 또는 개체)마다 $\operatorname {id} _{X}\colon X\to X$ $\operatorname {id} _{X}\colon X\to X$ X : X $\operatorname {id} _{X}\colon X\to X$ $\operatorname {id$ _{X}\ $colon$ X $\to$ X}가 $\operatorname {id} _{X}\colon X\to X$ 있으며, 함수 케이스에서는 항등식 함수라고도 한다.

함수는 분사가 있는 경우에만 반전할 수 있습니다.가역적 동형사상 또는 형태사상은 동형사상이라고 불린다.대수 구조의 동형사상은 그것이 바이젝션일 경우에만 동형사상입니다.분사의 역함수를 역함수라고 합니다.다른 경우에는 역이형사상에 대해 이야기한다.

함수는 각각 주입형 또는 투영형인 경우 왼쪽 역 또는 오른쪽 역이 있습니다.왼쪽 역 또는 오른쪽 역이 있는 대수 구조의 동형사상은 각각 사출 또는 사출이지만, 일부 대수 구조에서는 그 반대가 참이 아니다.예를 들어, 벡터 공간에는 해당되지만 링 위에 있는 모듈에는 해당되지 않습니다. 오른쪽 역의 왼쪽 역이 있는 모듈의 동형성을 각각 분할 에피몰피즘 또는 분할 모노몰피즘이라고 합니다.이 용어는 또한 모든 범주의 형태소에도 사용됩니다.

일반화

단발성 마그마에서

S $(\displaystyle$ S $)$ 를 $S$ 2진법 연산 $*$ {\(\ $style$ $*)$ 과 $*$ 동일 $e\in S$ e $(\$ $display$ s $e\in S$ 로 이루어진 집합으로 $합니다$ $a,b\in S$ $a,b\in S$ b $(\display$ $style$ a, $b\in$ S $a,b\in S$ 의 $a,b\in S$ $(\$ $display style$ a $a*b=e$ b $\in$ S)가 있습니다. $\displaystyle$ b $b$ 및 $\displaystyle$ b는 $b$ \ $displaystyle$ $a$ a의 $오른쪽$ 역이라고 불립니다. $x$ 가 $x$ $y$ 의 $왼쪽$ 역과 오른쪽 $y$ 역인 경우 $\$ $displaystyle$ x는 y의 $x$ 양면 역 또는 단순히 역이라고 합니다 $y$ S{\ $displaystyle$ S $}$ 에서 $S$ 양면 반전을 갖는 ement를 S{\ $displaystyle$ S $S$ 에서는 반전이라고 하며, 한 면에만 반전 요소가 있는 요소를 좌반전 또는 우반전이라고 한다.

한unital 마그마(S, ∗){\displaystyle(S,*)}의 요소는 여러가지, 오른쪽 또는 2면 왼쪽 inverses이 있을 수 있다.예를 들어, 마그마에서 케일리 테이블에 의해 주어집니다.

*	1	2	3
1	1	2	3
2	2	1	1
3	3	1	1

그 요소 2,3을 각각의 2개의 양면 inverses다.

모든 요소 가역이 있는unital 마그마가 될 필요는 없는 고리야.예를 들어 마그마에서,(S, ∗){\displaystyle(S,*)}은 케일리 테이블에 의해 주어집니다.

*	1	2	3
1	1	2	3
2	2	1	2
3	3	2	1

모든 요소이지만,(S, ∗){\displaystyle(S,*)}가 아니다 이런 이유는 케일리 테이블이 있지 않은 라틴 광장은 독특한 양면 역(즉 그 자체)을 가지고 있다.

비슷하게, 루프 양면 inverses이 필요 없다예를 들어, 루프의 케일리 테이블에 의해 주어집니다.

*	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5
2	2	3	1	5	4
3	3	4	5	1	2
4	4	5	2	3	1
5	5	1	4	2	3

양면 역이 가진 유일한 요소는 정체성 요소 1.

만일 운전 ∗{\displaystyle*} 요소는 왼쪽 역, 오른쪽 역이 결합 그 다음에, 그들은 동등한 것이다.다시 말해서,monoid(연대unital 마그마)의 모든 요소 대부분의 한 역(이 절에서 정의된)에 가지고 있다.한 monoid에서 가역 요소의 세트는 그룹, S{S\displaystyle}단위의 그룹, 그리고 U(S){U(S)\displaystyle}또는 H1에 의해 표시된.

반군으로

앞 절에서 대한 정의는 역원의 그룹의 개념 정체성의 개념으로 상대 generalizes.비록 덜 명백한 그것은 또한지만, 결합 법칙들을 감금한 것은 정체성 요소를 낙하시켜서 역의 개념을 일반화하는 것, 즉 반군에 것이 가능하다.

만약 S과 같이 xzx)x에서 어떤 요소 z존재하는 반군 S에서 요소 x(폰 노이만)일반, z은 가끔 pseudoinverse으로 불린다.요소 y는 xyx = x 및 y = yxy이면 x의 역수라고 합니다.모든 정규 요소에는 하나 이상의 역이 있습니다. x = xzx일 경우 y = zxz가 이 절에서 정의한 것과 같이 x의 역임을 쉽게 확인할 수 있습니다.또 다른 입증하기 쉬운 사실: y가 x의 역수인 경우 e = xy 및 f = yx는 공등가, 즉 ee = e 및 ff = f입니다.따라서 모든 (비교적) 역원소 쌍은 두 개의 아이뎀포텐트를 발생시키고 ex = xf, ye = fy = y 및 e는 x에서 왼쪽 아이덴티티 역할을 하는 반면 f는 오른쪽 아이덴티티 역할을 하고 왼쪽/오른쪽 역할은 y에 대해 반전됩니다.이 간단한 관찰은 그린의 관계를 사용하여 일반화할 수 있다. 임의의 반군의 모든 아이덴텐트 e는 R의 ^[2]경우_e 왼쪽 아이덴티티이고_e L의 경우 오른쪽 아이덴티티이다.이 사실에 대한 직관적인 설명은 상호 역방향 요소의 모든 쌍이 로컬 왼쪽 ID와 각각 로컬 오른쪽 ID를 생성한다는 것입니다.

모노이드에서, 이전 절에서 정의된 역의 개념은 이 절에서 주어진 정의보다 엄격히 좁다.녹색 클래스₁ H의 원소만이 단발성 마그마 관점에서 역수를 갖는 반면, 어떤 등가 e에 대해서도 H의_e 원소는 이 절에서 정의한 역수를 갖는다.이 보다 일반적인 정의에 따르면, 반전은 임의의 반군이나 모노이드에서 고유할 필요가 없다(또는 존재할 필요가 없다).모든 원소가 규칙적인 경우, 반군(또는 모노이드)은 규칙이라고 하며, 모든 원소는 적어도 하나의 역수를 가집니다.만약 모든 원소가 이 절에서 정의한 것과 같이 정확히 하나의 역수를 가지고 있다면, 그 반군은 역반군이라고 불립니다.마지막으로, 1개의 공등가만을 가지는 역반군이 군이다.역반군은 000 = 0이기 때문에 흡수 원소 0을 가질 수 있지만, 그룹은 그렇지 않을 수 있다.

반군이론 밖에서는 이 절에서 정의된 고유한 역수를 준역이라고 부르기도 한다.대부분의 응용 프로그램(예를 들어 이 기사의 모든 예)에서 연관성이 유지되기 때문에 이는 일반적으로 정당화되며, 이는 이 개념을 동일성에 대한 왼쪽/오른쪽 역의 일반화(일반화 역 참조)로 만든다.

U-반군

역반군의 자연적 일반화는 다음과 같은 (임의) 단항 연산°를 정의하는 것이다.° = S의 모든 a에 대해 a. 이는 S의 유형 δ2,1의 대수를 의미한다.이러한 연산을 가진 반군을 U-반군이라고 한다.a°가 a의 역수인 것처럼 보일 수 있지만, 반드시 그렇지는 않습니다.흥미로운 개념을 얻기 위해 단항 연산은 어떤 식으로든 반군 연산과 상호작용해야 한다.U-반군의 두 가지 클래스가 ^[3]연구되었다.

상호작용 공리가 aaa인 I-반군= a
*-반군, 상호 작용 공리가 (ab)° = b°a°인 경우.이러한 연산을 인볼루션이라고 하며, 일반적으로 a*로 표시됩니다.

분명히 그룹은 I-반군과 *-반군 둘 다이다.반군 이론에서 중요한 반군의 클래스는 완전히 규칙적인 반군이다. 이들은 한 반군이 추가로 aa = a°a를 갖는 I-반군이다. 즉, 모든 원소는 이동 의사 역 a°를 갖는다.그러나 그러한 반군의 구체적인 예는 거의 없다; 대부분은 완전히 단순한 반군이다.대조적으로 *-반군의 하위 클래스인 *-규칙 반군은 (드라진의 의미에서) (독특한) 유사 역의 가장 잘 알려진 예 중 하나인 무어-펜로즈 역(Moore-Penrose inverse)을 산출한다.단, 이 경우 a*는 의사 역이 아닙니다.오히려 x의 의사 역수는 xyx = x, yxy = y, (xy)* = xy, (yx)* = yx인 고유한 요소 y이다.*-정규 반군이 역반군을 일반화하므로 *정규 반군에서 이렇게 정의된 고유한 요소를 일반화 역 또는 무어-펜로즈 역이라고 합니다.

세미링

예

이 섹션의 모든 예에는 관련 연산자가 포함되어 있습니다.

갈로아 접속

(1개의) 갈로아 접속의 하부 및 상부 인접 L과 G는 서로 준역이다. 즉, LGL = L과 GLG = G이며, 한쪽은 다른 한쪽을 고유하게 결정한다.그러나 그들은 서로 왼쪽이나 오른쪽 반전이 아니다.

행렬의 일반화된 역행렬

$필드$ K $(\displaystyle$ K $)$ 에 $K$ 엔트리가 있는 $정사각형$ 행렬 M(\ $displaystyle$ M $)$ 은 $M$ 행렬식이 0과 다른 경우에만 (동일한 크기의 모든 정사각형 행렬 집합에서 행렬 곱셈에서) 반전할 수 있습니다. $M의$ 이 0일 경우 단측 역행렬을 가질 수 없으므로 왼쪽 역행렬 또는 오른쪽 역행렬은 다른 한쪽 역행렬의 존재를 의미합니다.자세한 내용은 가역 행렬을 참조하십시오.

보다 일반적으로, $교환환$ R $위$ 의 정사각형 행렬은 행렬식이R {\ $displaystyle$ R $R$ 에서 $R$ 반전 가능한 경우에만 반전할 수 있습니다.

완전 순위의 비제곱 행렬에는 다음과 같은 몇 가지 ^[4]단측 역행렬이 있습니다.

A $A:m\times n\mid m>n$ : $A:m\times n\mid m>n$ × $A:m\times n\mid m>n$ m $A:m\times n\mid m>n$ > $A:m\times n\mid m>n$ {\ $displaystyle$ $\underbrace {\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}} _{A_{\text{left}}^{-1}}A=I_{n}$ $A:m\times n\mid m>n$ : m \ $times n$ \ $mid m >$ n }의 $A:m\times n\mid m>n$ 경우, $\underbrace {\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}} _{A_{\text{left}}^{-1}}A=I_{n}$ A $\underbrace {\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}} _{A_{\text{left}}^{-1}}A=I_{n}$ $\underbrace {\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}} _{A_{\text{left}}^{-1}}A=I_{n}$ $\underbrace {\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}} _{A_{\text{left}}^{-1}}A=I_{n}$ $\underbrace {\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}} _{A_{\text{left}}^{-1}}A=I_{n}$ 왼쪽 $\underbrace {\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}} _{A_{\text{left}}^{-1}}A=I_{n}$ = 왼쪽 A $\underbrace {\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}} _{A_{\text{left}}^{-1}}A=I_{n}$ $\underbrace {\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}} _{A_{\text{left}}^{-1}}A=I_{n}$ A n \ $displaystyle$ \ underbrace $\ （$ A^ { \ text { $text$ $\underbrace {\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}} _{A_{\text{left}}^{-1}}A=I_{n}$ ）와 같이 $\underbrace {\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}} _{A_{\text{left}}^{-1}}A=I_{n}$ 왼쪽 A : $\underbrace {\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}} _{A_{\text{left}}^{-1}}A=I_{n}$ : m : m : m : m : m : m : m : m : m : m : m : m : m : m : m : m : m : m : m : m : m : m : m : m : $\underbrace {\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}} _{A_{\text{left}}^{-1}}A=I_{n}$ : m $T}}A\오른쪽)^{-1}A^{\text{$ $T}}_{A_{\text{left}}^{-1}A=$ $I_{n}}:$
A $A:m\times n\mid m<n$ : $A:m\times n\mid m<n$ × $A:m\times n\mid m<n$ m < $A:m\times n\mid m<n$ \ $displaystyle$ A : $m$ \ $times$ n \ $mid$ m < $n$ } $A\underbrace {A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}} _{A_{\text{right}}^{-1}}=I_{m}$ 、 [ $A\underbrace {A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}} _{A_{\text{right}}^{-1}}=I_{m}$ $A\underbrace {A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}} _{A_{\text{right}}^{-1}}=I_{m}$ ] - $A\underbrace {A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}} _{A_{\text{right}}^{-1}}=I_{m}$ $A\underbrace {A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}} _{A_{\text{right}}^{-1}}=I_{m}$ $A\underbrace {A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}} _{A_{\text{right}}^{-1}}=I_{m}$ - $A\underbrace {A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}} _{A_{\text{right}}^{-1}}=I_{m}$ $A\underbrace {A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}} _{A_{\text{right}}^{-1}}=I_{m}$ $A\underbrace {A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}} _{A_{\text{right}}^{-1}}=I_{m}$ m \ $display A$ \ $underbrace$ { $A^$ \ $text {$ n } 。 $T}}\left(AA^{\text{})$ $T}}\right)^{-1}_{A_{\text{right}^{-1}=$ $나_{m}}$

왼쪽 역수를 사용하여 $Ax=b$ x $Ax=b$ (\ $displaystyle$ Ax $=b$ 의 최소 표준해를 결정할 수 있습니다. 이 값은 회귀를 위한 최소 제곱 공식이기도 하며 x $=$ ( $A$ $x=\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}b.$ A $x=\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}b.$ ) - $x=\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}b.$ $x=\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}b.$ $x=\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}b.$ 로 지정됩니다 $.\displaystyle$ x=\ $left(A^{\$ text ${\$ }) $T}}A\오른쪽)^{-1}A^{\text{$ $T}}b.}$

어떤 순위 결손 행렬도 역행렬을 가지지 않습니다(단측도 마찬가지입니다.그러나, 무어-펜로즈 역행렬은 모든 행렬에 대해 존재하며, 존재할 때 왼쪽 또는 오른쪽(또는 참) 역행렬과 일치한다.

행렬 역행렬의 예로서 다음을 고려하십시오.

({displaystyle A:2\times 3={bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix})

$A_{\text{right}}^{-1}=A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}.$ m < n으로서 오른쪽 $A_{\text{right}}^{-1}=A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}.$ 역의 $A_{\text{right}}^{-1}=A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}.$ - 1 $A_{\text{right}}^{-1}=A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}.$ $A_{\text{right}}^{-1}=A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}.$ ( $A_{\text{right}}^{-1}=A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}.$ ) - $A_{\text{right}}^{-1}=A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}.$ . { $displaystyle A _$ { \ $text$ { right $}^{$ - 1 } = $A^{$ \ $A_{\text{right}}^{-1}=A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}.$ text { } $T}}\left(AA^{\text{})$ $T}}\right)^{-1}$ 컴포넌트별로 $A_{\text{right}}^{-1}=A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}.$ 다음과 같이 계산됩니다.

디스플레이 스타일AA^{\text{T}}&=begin{bmatrix}1&3\4&5&6\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}1&4\5\3\end{bmatrix}=begin{bmatrix}14&32\32&77\end{bmatrix}\[3\[3\ptext]{a}T}}\right)^{-1}&=begin{bmatrix}14&32\32&77\end{bmatrix}^{-1}=bginfrac{1}{\cap{bmatrix}77&-32&14\end{bmatrix}\[3pt]A^{\text{T}}\left(AA^{\text{})T}}\right)^{-1}&=blac {1}{54){\bmatrix}1&4\\2&5\3&6\end{bmatrix}{\bmatrix}{\blac}77&-32\end{bmatrix}=blac{18}\8-8}A_{\text{right}}^{-1}\end{aligned}}

왼쪽 역행렬은 존재하지 않습니다.

\displaystyle A^{\text{T}}A=(begin{bmatrix}1&4\\2&5\3\end{bmatrix}){\begin{bmatrix}1&3\4&5&6\end{bmatrix}=(bgen{bmatrix}17&22&27&36&3645)

이 행렬은 단수 행렬이며 반전될 수 없습니다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 항등요소의 통상적인 정의는 항등함수를 함수구성을 위한 항등요소로, 항등행렬을 행렬 곱셈을 위한 항등요소로 포함하기 위해 일반화되었다.
^ Howie, 소품 2.3.3, 페이지 51
^ 하우 페이지 102
^ "MIT Professor Gilbert Strang Linear Algebra Lecture #33 – Left and Right Inverses; Pseudoinverse".

레퍼런스

M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Rewise Products and Graph, De Gruyter Expositions in Mathematics, Vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, def 157.
Howie, John M. (1995). Fundamentals of Semigroup Theory. Clarendon Press. ISBN 0-19-851194-9. 에는 *-정규 반군을 제외한 모든 반군 재료가 포함되어 있습니다.
드라진, 하원의원, 일반 반군의 혁명이요, 형사님일반 반군의 경우(DeKalb, 1979), 29-46
야마다 미유키, 정규 반군의 P-시스템, 세미그룹 포럼, 24 (1), 1982년 12월, 페이지 173-187
노르달, T.E., H.E.샤이블리히, 정규 * 세미그룹, 세미그룹 포럼, 16(1978), 369–377.

[1] 항등요소의 통상적인 정의는 항등함수를 함수구성을 위한 항등요소로, 항등행렬을 행렬 곱셈을 위한 항등요소로 포함하기 위해 일반화되었다.

[2] Howie, 소품 2.3.3, 페이지 51

[3] 하우 페이지 102

[4] "MIT Professor Gilbert Strang Linear Algebra Lecture #33 – Left and Right Inverses; Pseudoinverse".

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정의 및 기본 속성