직접생산

수학에서는 흔히 이미 알려진 물체의 직접적인 산물을 정의하여 새로운 것을 줄 수 있다. 이것은 제품 세트에 적절하게 정의된 구조와 함께 기초 세트의 데카르트 제품을 일반화한다. 좀 더 추상적으로, 사람들은 이러한 개념들을 공식화하는 범주 이론에서 제품에 대해 이야기한다.

예로는 세트, 그룹(아래 설명), 링 및 기타 대수 구조의 산물이 있다. 위상학적 공간의 산물은 또 다른 예다.^{[dubious – discuss]}

또한 직접 합계가 있다. 어떤 영역에서는 서로 다른 개념인 반면, 어떤 영역에서는 서로 다른 개념으로 사용된다.

예

• If we think of ${\displaystyle \mathbb {R} }$ as the set of real numbers, then the direct product ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ is just the Cartesian product ${\displaystyle \{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}.}$
• If we think of ${\displaystyle \mathbb {R} }$ as the group of real numbers under addition, then the direct product ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ still has ${\displaystyle \{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}}$ as its underlying set. 이것과 앞의 예시의 $차이점$은 R${\displaystyle }$× ${\displaystyle R\mathbb{}}${\$displaystyle \mathb {R} \times \mathb {R}$}이(가) 이제 그룹이 되었기$$ 때문에 그 요소들을 추가하는 방법도 말해야 한다는 것이다. 이 작업은${\displaystyle }$(${\displaystyle a,}$b ) +${\displaystyle }$( c${\displaystyle ,d}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( + ${\displaystyle c,b}$ + ${\displaystyle d}$)${\displaystyle }$. ${\디스플레이$ 스타일$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d$)를 정의함으로써 이루어진다$.$$}$
• If we think of ${\displaystyle \mathbb {R} }$ as the ring of real numbers, then the direct product ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ again has ${\displaystyle \{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}}$ as its underlying set. The ring structure consists of addition defined by ${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}$ and multiplication defined by ${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac,bd).$$}$
• 그러나 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$를) 실제 숫자의 영역으로 생각하면, 위의 예와 같이 덧셈과 곱셈을 순진하게 정의하면${\displaystyle \mathrm{요소}(}$1${\displaystyle }$, ${\displaystyle 0}$ ) {$d$$}$이(가) 필드가 되지 않기 때문에 직접 제품 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\daystyle \mathb {R}}$이(가)가)$isplaystyle(1,0)}$에는 승법 역이 없다.

비슷한 방식으로, 우리는 많은 대수적 구조의 직접 생산물에 대해 말할 수 있다. 예를 들어, $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle R\mathbb{}.}$ . ${\displaystyle \mathb {R} \time \mathb {R} \time \mathb$ {R} $\time \mathb$ {$R}$\mathb} \time \mathb {R}}}}}}}}}} \mathb {R} \mathb {R} \mathb} 이것은 직접$$ 생산물이 isolidismotiopsoopepro That is, ${\displaystyle (A\times B)\times C\cong A\times (B\times C)}$ for any algebraic structures ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B,}$ and ${\displaystyle C}$ of the same kind. 직접 생산물은 또한 같은 종류의$$ 대수 구조 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A$}$과 B ${\displaystyle$ B$}$에 대해 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \times }$ B ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle$ $B}$에 상응한다. We can even talk about the direct product of infinitely many algebraic structures; for example we can take the direct product of countably many copies of ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ which we write as ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \dotsb .}$

그룹직접생산

In group theory one can define the direct product of two groups ${\displaystyle (G,\circ )}$ and ${\displaystyle (H,\cdot ),}$ denoted by ${\displaystyle G\times H.}$ For abelian groups which are written additively, it may also be called the direct sum of two groups, denoted by ${\display$$스타일 G\oplus H.}$

다음과 같이 정의된다.

• 새 그룹의 요소 집합은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle 및}$ H${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ G${\text{}$및$}H$의 요소 집합에 대한 데카르트 제품이며$,{\displaystyle }$ 이 ${\displaystyle \mathrm{제품}}$은 {${\displaystyle }$(${\displaystyle g}$ ${\displaystyle ,h}$) : G${\displaystyle }$, ${\displaystyle h,}$ ${\displaystyle G}$ , h ${\displaystyle h}$ H${\displaystyle \};}${\$displaystyle$\{($g,h)\in G,$ h$\};}$이다.
• 이러한 요소에 대해 정의된 요소별 연산:

  $\displaystyle (g,h)\jit \left(g',h'\right)=\left(g\put g',h\cdot h'\right)}$

$({\displaystyle G}$ ,${\displaystyle \circ }$) ${\displaystyle (G,\circule )}$이$($가) (${\displaystyle H}$ ,${\displaystyle \cdot }$) {\$displaystyle ($H,\cdot$$)과 같을 수 있다는$$ 점에 유의하십시오.$}$

이 건축물은 새로운 집단을 만든다. $G{\displaystyle }$ {\$displaystyle G}$에 대한 정규 부분군 이형($$${\displaystyle \mathrm{g}}$, 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle$($g$$,1)$} 형식 요소에서 볼 수 $있으며{\displaystyle }$,$$ H$${\$displaystyle$ $H}($1${\displaystyle }$,$h$)에 대한 이형(${\displaystyle \mathrm{이형}}){\displaystyle }$이형이다$.$

역도 버틸 수 있다. 다음과 같은 인식 정리가 있다. If a group ${\displaystyle K}$ contains two normal subgroups ${\displaystyle G{\text{ and }}H,}$ such that ${\displaystyle K=GH}$ and the intersection of ${\displaystyle G{\text{ and }}H}$ contains only the identity, then ${\displaystyle K}$ is isomorphic to ${\displa$$ystyle G\times$ H$.}$이(가) 한 부분군만 정상이어야 하는 이러한 조건의 완화는$$ 반간접적인 제품을 제공한다.

As an example, take as ${\displaystyle G{\text{ and }}H}$ two copies of the unique (up to isomorphisms) group of order 2, ${\displaystyle C^{2}:}$ say ${\displaystyle \{1,a\}{\text{ and }}\{1,b\}.}$ Then ${\displaystyle C_2\times C_2=\{(1,1),(1,b),(a,1),(a,b)\},}$${\displaystyle C_{2}\times C_{2}=\{(1,1),(1,b),(a,1),(a,b)\}($으)를 요소별로 작업$$ 요소로 표시한다. For instance, ${\displaystyle (1,b)^{*}(a,1)=\left(1^{*}a,b^{*}1\right)=(a,b),}$ and${\displaystyle (1,b)^{*}(1,b)=\left(1,b^{2}\right)=(1,1).$$}$

직접 생산으로, 우리는 몇 가지 자연 그룹 동형성을 무료로 얻는다: 에 의해 정의된 투영 지도.

좌표 함수라고 불린다.

또한 직접 생산물에 대한$$ 모든 동형성 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f${\displaystyle \}}$은 그 구성요소 함수 ${\displaystyle f_{}}$ i = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle f_{i}=\pi _{i}\circule f$에 의해 완전히 결정된다$.$$}$

For any group ${\displaystyle (G,\circ )}$ and any integer ${\displaystyle n\geq 0,}$ repeated application of the direct product gives the group of all ${\displaystyle n}$-tuples ${\displaystyle G^{n}}$ (for ${\displaystyle n=0,}$ this is the trivial group), for example ${\displaystyle {\mathbb{Z}}^n}$${\displaystyle \mathb {Z} ^{n}$ 및$$ $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle \mathb {R} ^{n}.$$}$

모듈의 직접 제품

모듈에 대한 직접 제품(텐서 제품과 혼동되지 않음)은 위의 그룹에 대해 정의된 것과 매우 유사하며, 추가 작업이 구성 요소별로 수행되고, 스칼라 곱셈이 모든 구성 요소에 배포된다. $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ {${\displaystyle {}^{}}$$}$부터 실제 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathb$ {$R} ^{n},}$ 실제 n ${\displaystyle n}$ - 차원$$ 벡터 공간의 프로토타입적$$ 예가 제공된다. ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 및 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 직접 산물은 ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle \mathb {R} ^{m+n}$이다.$}$

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{유한}}}$ 지수 $\prod {\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle X_{}}$ i ${\$의 직접 제품은 sum${\displaystyle \underset{i}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ X ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle \bigopluus _{i=1}^{n}X_{$$i$}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}의 직접 합계 시논리적 이형성에 대한 이형성이라는 점에$$ 유의하십시오$}$직접합계와$$ 직접생산은 무한지수의 경우 이형성이 아니며, 여기서 직계합은 한정된 수의 엔트리를 제외한 모든 항목에서 0이다. 그것들은 범주 이론의 의미에서 이중적이다: 직접적인 합은 공동 생산물인 반면, 직접 생산물은 제품이다.

For example, consider ${\displaystyle X=\prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {R} }$ and ${\displaystyle Y=\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbb {R} ,}$ the infinite direct product and direct sum of the real numbers. Only sequences with a finite number of non-zero elements are in ${\displaystyle Y.}$ For example, ${\displaystyle (1,0,0,0,\ldots )}$ is in ${\displaystyle Y}$ but ${\displaystyle (1,1,1,1,\ldots )}$ is not. $이{\displaystyle }$ 두 시퀀스는 모두 직접 $제품{\displaystyle }$ X${\displaystyle ;}$ ${\displaystyle$ X$;}$ 사실$$ Y ${\displaystyle$ Y$}$은(는) X ${\displaystyle X}$의 적절한 하위 집합이다($$$Y$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\subset$ X$}).$^[1][2]

위상공간직접제품

$일부{\displaystyle }$ 인덱스 세트의$${\$displaystyle$I}에$$ $대한$$$위상학적 $공간$ X i {\$displaystyle$ $X_{i}$ 컬렉션에 대한 직접 제품은 ${\displaystyle {다시}_{}}$${\displaystyle }$한 번 데카르트 제품을 사용한다.

위상 정의는 좀 까다롭다. 세부적으로 많은 요인의 경우, 이것은 명백하고 자연스러운 것이다: 단순히 각 요인의 오픈 서브셋의 모든 카트리지어 생산물의 수집이 되는 오픈 세트의 기준으로 삼을 것:

이 위상은 제품 위상이라고 불린다. ${\displaystyle {}^{}}$를 들어 R $2{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$ $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$개방간격의 분리 결합)의 오픈 세트로$$ 제품 토폴로지를 직접 정의하면 이 토폴로지의 기본은 평면 내 열린 사각형의 모든 분리 결합으로 구성된다(알려지는 대로, 일반적인 나와 일치).3차 위상).

무한 제품의 제품 토폴로지는 트위스트를 가지고 있으며, 이는 모든 투영 맵을 연속적으로 만들 수 있고, 모든 구성 요소 기능이 연속적인 경우에만 연속적인 제품으로 모든 기능을 만들 수 있는 것과 관련이 있다(즉, 제품의 범주적 정의를 충족시키기 위해: 여기 형태론은 연속적인 기능이다).): 우리는 오픈 세트의 기초로서, 이전과 같이, 각 요인의 오픈 서브셋의 모든 카트리지어 제품의 집합으로서, 거의 모든 오픈 서브셋이 전체 요소라는 단서가 된다.

이 경우 보다 자연적으로 들리는 위상은 이전과 같이 무한히 많은 오픈 서브셋의 제품을 취하게 될 것이며, 이것은 박스 위상이라는 다소 흥미로운 위상이다. 그러나 제품 기능이 연속적이지 않은 여러 연속 부품 기능의 예를 찾는 것은 그리 어렵지 않다(예시 등은 별도 입력란 토폴로지를 참조). 트위스트를 필요로 하는 문제는 결국 오픈 세트의 교차점이 토폴로지의 정의에서 아주 많은 세트에게만 개방되도록 보장된다는 사실에 근거를 두고 있다.

제품(제품 토폴로지와 함께)은 그 요인의 특성 보존에 있어 좋다. 예를 들어 하우스도르프 공간의 제품은 하우스도르프, 연결된 공간의 제품은 연결되고, 콤팩트한 공간의 제품은 콤팩트하다. 타이코노프의 정리라고 불리는 저 마지막 것은 아직 선택의 공리에 또 다른 등가물이다.

자세한 속성 및 등가 제형은 별도의 항목 제품 토폴로지를 참조하십시오.

이항 관계의 직접적인 산물

On the Cartesian product of two sets with binary relations ${\displaystyle R{\text{ and }}S,}$ define ${\displaystyle (a,b)T(c,d)}$ as ${\displaystyle aRc{\text{ and }}bSd.}$ If ${\displaystyle R{\text{ and }}S}$ are both reflexive, irreflexive, transitive, 대칭 또는 대칭, $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$이(가) 또한 될 것이다$$.^[3] 마찬가지로 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 직렬성은 ${\displaystyle \text{R}}$과 ${\displaystyle S.}$에서 상속된다$. {\displaystyle$ R${\text{ 및$}}$특성$을 결합하면$$ 이는 사전 주문 및 동등성 관계에도 적용된다. However if ${\displaystyle R{\text{ and }}S}$ are connected relations, ${\displaystyle T}$ need not be connected; for example, the direct product of ${\displaystyle \,\leq \,}$ on ${\displaystyle \mathbb {N} }$ with itself does not relate ${\displaystyle (1,2){\text{$$및 }}(2,1)을 참조하십시오.$$}$

유니버설 대수학에서의 직접 생산물

If ${\displaystyle \Sigma }$ is a fixed signature, ${\displaystyle I}$ is an arbitrary (possibly infinite) index set, and ${\displaystyle \left(\mathbf {A} _{i}\right)_{i\in I}}$ is an indexed family of ${\displaystyle \Sigma }$ algebras, the direct product ${\$$displaystyle \mathbf {A} =\prod _{i\in$ I$}\mathbf {A} _{i}}$은(는) 다음과 같이 정의된 $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma}$ 대수다$$.

• The universe set ${\displaystyle A}$ of ${\displaystyle \mathbf {A} }$ is the Cartesian product of the universe sets ${\displaystyle A_{i}}$ of ${\displaystyle \mathbf {A} _{i},}$ formally: ${\displaystyle A=\prod _{i\in I}A_{i}.$$}$
• For each ${\displaystyle n}$ and each ${\displaystyle n}$-ary operation symbol ${\displaystyle f\in \Sigma ,}$ its interpretation ${\displaystyle f^{\mathbf {A} }}$ in ${\displaystyle \mathbf {A} }$ is defined componentwise, formally: for all ${\displaystyle a_{1$$},\dotsc ,a_{n}\in A}$ and each ${\displaystyle i\in I,}$ the ${\displaystyle i}$th component of ${\displaystyle f^{\mathbf {A} }\!\left(a_{1},\dotsc ,a_{n}\right)}$ is defined as ${\displaystyle f^{\mathbf {A} _{i$$}}\\\왼쪽(a_{1}(i),\dotsc ,a_{n}(i)\오른쪽).$$}$

각 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle i\in I}$에 대해 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ i$}$ 투영$$ $\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$: ${\displaystyle A}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$$A\to$ ${\displaystyle \mathrm{A\_}}$${i}$는 ${\displaystyle \mathrm{by}}$ i${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle a}$ (${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \pi _{i}(a)=a(i$)로 정의된다$.$$}}$ ${\displaystyle \Sigma }$알헤그브라$$ ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle \mathbf {A}{\text{}와 }}\mathbf {A} _{i}}$ 사이의 허탈적 동형이다.$}$^[4]

As a special case, if the index set ${\displaystyle I=\{1,2\},}$ the direct product of two ${\displaystyle \Sigma }$ algebras ${\displaystyle \mathbf {A} _{1}{\text{ and }}\mathbf {A} _{2}}$ is obtained, written as ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf$${A} _{1}\times \mathbf {A} _{2}.}$ If ${\displaystyle \Sigma }$ just contains one binary operation ${\displaystyle f,}$ the above definition of the direct product of groups is obtained, using the notation ${\displaystyle A_{1}=G,A_{2}=H,}$ ${\displaystyle f^{A_1}=\circ ,f^{A_2}=\cdot ,\text{and}}$${\displaystyle f^{A_{1$$A}=\times.}$ 비슷하게$$ 모듈의 직접 생산물의 정의는 여기에 요약되어 있다.

범주형 제품

직접 생산물은 임의의 범주로 추상화할 수 있다. 일반적인 부문에서,}과 morphisms의 컬렉션에서 지수 ob{\displaystyle 나는,}나는 설명하는 나는 이르기까지{\displaystyle 나는}형{A\displaystyle}에서 온 나는{\displaystyle A_{나는}}[해명 필요한]에}{\displaystyle p_{나는}p 개체의 명확히 설명{\displaystyle A_{나는}컬렉션을 주어진다.ject{\displa$ystyle A}$은(는) $개체{\displaystyle }$ B$${\$displaystyle B}$과$($와) B {\$displaystyle$${\displaystyle {}_{}}B{\displaystyle {}_{}}$$}$에서$A$, {\$displaystyle$ A_${i}$까지의 형태변수 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle f_$${i}$에 대해$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystystyle B}$의 고유한 $형태변수집$인 경우 범주에서 범주형 제품이라고 한다$$. $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle f_{i}=p_{i}f}$와 이 개체 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 고유하도록$$ ${\displaystyle$ A$}$에 연결하십시오. 이것은 두 가지 요소에만 작용하는 것이 아니라, 임의로 (한없이도) 많이 작용한다.

그룹의 경우, $I{\displaystyle i}$ I${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle I}${\$displaystyle i\in$ I$}$ 인덱스$$ 집합에 대해$$ ${\displaystyle {Gi}_{}}${\$displaystyle G_{i}$ 그룹의 보다 일반적이고 임의적인 컬렉션의 직접 제품을 정의한다. $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 기준으로 그룹의 데카르트 제품을 나타내는 우리는 G$$ ${\displaystyle G}$에 성분 곱셈의 연산을 사용하여$$ 곱셈을 정의하며, 위의 정의에서$$ p ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에 해당하는 것이 투영 맵이다.

$($${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {j_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ \$$I {\$displaystyle \left(g_{j}\right)_{j$\$in$ $I$$}}$에 해당하는$$ ${\displaystyle {구성}_{}}$ 요소 g${\displaystyle {}_{}}$.$${\$displaystyle$g_{$i}$에 해당하는 함수$}$

내외직접생산품

일부 저자들은 내부 직접 제품과 외부 직접 제품을 구별한다. If ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ and ${\displaystyle A\times B\cong X,}$ then we say that ${\displaystyle X}$ is an internal direct product of ${\displaystyle A{\text{ and }}B,}$ while if ${\displaystyle A{\text{ and }}B}$ are not subobjects then we say that this is 외직물

참고 항목

• 직접합 – 추상 대수에서 객체를 "더 복잡한" 객체로 합성하는 연산
• 데카르트 제품 – 주어진 두 세트로 구성된 수학 세트
• 공동 유도 – 범주-이형 구조
• 자유상품
• 반간접 제품 – 그룹 이론에서의 운영
• 자파-스제프 제품
• 그래프의 텐서 곱
• 전체 주문 세트의 데카르트 제품 주문 – 모든 요소가 유사한 주문

메모들

참조

• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556