모듈러 표현 이론

모듈형 표현 이론은 수학의 한 분야로, 반드시 소수인 양성 특성 p의 분야 K에 걸쳐 유한 집단의 선형 표현을 연구하는 표현 이론의 한 부분이다. 집단 이론에 응용하는 것뿐만 아니라, 모듈식 표현은 대수 기하학, 코딩 이론^{[citation needed]}, 결합론, 숫자 이론과 같은 수학의 다른 분야에서도 자연스럽게 발생한다.

유한집단 이론 내에서, 모듈형 표현 이론을 이용한 리처드 브라워에 의해 증명된 특성-이론적 결과는, 특히 Sylow 2-subgroup wer 때문에 특성화가 순수하게 그룹-이론적 방법에 순응할 수 없는 단순한 그룹의 분류에 이른 진보에 중요한 역할을 했다.e 적절한 의미에서 너무 작다. 또한 Brauer가 개발한 이론을 이용하여 조지 글라우버먼에 의해 증명된 Z* 정리라고 불리는 유한집단에 순서 2의 요소를 내장한 것에 대한 일반적인 결과는 분류 프로그램에서 특히 유용했다.

K의 특성 p가 순서 G를 나누지 않는다면, 모듈식 표현은 마슈케의 정리 때문에 일반(성격 0) 표현과 마찬가지로 완전히 축소할 수 있다. 다른 경우 G ≡ 0 mod p가 되면, 마슈케의 정리를 증명하는 데 필요한 집단을 평균화하는 과정이 분해되고, 표현이 완전히 축소될 필요는 없다. 아래 논의의 대부분은 필드 K가 충분히 크다고 암시적으로 가정한다(예: K 대수적으로 폐쇄된 질량). 그렇지 않으면 일부 진술은 정교함을 필요로 한다.

역사

유한분야에 대한 대표이론에 관한 초기의 연구는 p가 집단의 순서를 나누지 않을 때 표현이론은 특성 0의 그것과 유사하다는 것을 보여준 딕슨(1902)의 작품이다. 그는 또한 일부 유한집단의 모듈형 불변제를 조사했다. 특성 p가 집단의 순서를 나눌 때 모듈식 표현에 대한 체계적 연구는 브라워(1935년)에 의해 시작되었고 이후 수십 년 동안 그에 의해 계속되었다.

예

F에₂ 대한 두 원소의 주기적 그룹의 표현을 찾는 것은 정사각형이 ID 매트릭스인 행렬을 찾는 문제와 동일하다. 2를 제외한 모든 특성 분야에는 매트릭스가 대각선 행렬로 작성될 수 있는 근거가 항상 존재하며, 대각선 행렬은 다음과 같이 1 또는 -1밖에 발생하지 않는다.

${\displaystyle {\bmatrix}1&0\\0&#1\end{bmatrix}.}$

F₂ 이상에서는 다음과 같은 다른 가능한 행렬이 많다.

${\displaystyle {\bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}.}$

양성 특성의 대수적으로 닫힌 분야 위에, 유한 주기 그룹의 표현 이론은 요르단 정상 형태의 이론에 의해 충분히 설명된다. 비대각형 요르단 형태는 특성이 집단의 순서를 나눌 때 발생한다.

링 이론 해석

필드 K와 유한군 G가 주어지는 그룹 대수 K[G](G의 원소로 구성된 K-벡터 공간이며, G의 곱셈을 선형성에 의해 확장하여 대수 곱셈을 부여함)는 아르티니아 고리다.

G의 순서를 K의 특성으로 나눌 수 없을 때, 그룹 대수학은 반실행하지 않기 때문에 0이 아닌 제이콥슨 급진성을 갖는다. 그 경우, 투영적 모듈이 아닌 그룹 대수학을 위한 유한차원 모듈이 있다. 대조적으로, 특성 0의 경우 모든 수정 불가능한 표현은 정규 표현에 대한 직접적인 합이므로, 투영적이다.

브라워의 등장인물

모듈형 표현 이론은 Richard Brauer에 의해 약 1940년부터 개발되어 G의 특징적인 p 표현 이론, 일반적인 문자 이론 및 구조 사이의 관계를 보다 심층적으로 연구하기 위해 특히 후자가 그것의 p-subgroups의 내장 및 관계와 관련되어 있을 때 개발되었다. 그러한 결과는 집단 이론에서 표현에 있어서 직접적으로 표현되지 않은 문제들에 적용될 수 있다.

브라워는 현재 브라워 캐릭터로 알려진 개념을 소개했다. K가 양성 특성 p의 대수적으로 닫힐 때 K의 단결의 뿌리와 순서 prime의 단결의 복잡한 뿌리 사이에 편차가 생긴다. 일단 그러한 바이어싱의 선택이 고정되면, 표현의 Brauer 문자는 주어진 표현에서 그 요소의 고유값(승수 포함)에 해당하는 통합의 복잡한 뿌리의 합을 각 그룹 요소에 할당한다.

표현의 브라워 캐릭터는 그것의 구성 요소를 결정하지만, 일반적으로 그것의 동등성 유형은 아니다. 돌이킬 수 없는 브루어 캐릭터는 단순한 모듈이 제공하는 캐릭터들이다. 이러한 조합은 일반 불분명한 문자의 p에 대한 주문 복사물의 제한에 대한 필수 조합(비음성 조합은 아님)이다. 반대로, 일반적인 각 불분명한 캐릭터의 p에 대한 순서 조합 요소에 대한 제한은 불분명한 브라워어 캐릭터의 비음수 정수 조합으로서 독특하게 표현할 수 있다.

감소(mod p)

브라워에 의해 처음 개발된 이론에서, p-adi와 같이 양성 특성 p의 잔류장 K와 특성 0의 F 분수장 F를 가진 완전한 이산 평가 링 R에 대해 그룹 G의 그룹 대수학을 고려함으로써 일반적인 표현 이론과 모듈화 표현 이론의 연계를 가장 잘 예시하고 있다.c 정수 R[G]의 구조는 그룹 대수 K[G]의 구조와 세미 구현 그룹 대수 F[G]의 구조 둘 다에 밀접하게 연관되어 있으며, 세 알헤브라의 모듈 이론 사이에는 많은 상호작용이 있다.

각 R[G]-모듈은 자연적으로 F[G]-모듈을 발생시키고, 비공식적으로 환원(mod p)이라고 알려진 프로세스에 의해 K[G]-모듈을 발생시킨다. 한편, R은 주요한 이상적인 영역이기 때문에, 각각의 유한차원 F[G]-모듈은 R[G]-모듈의 스칼라 확장에 의해 발생한다. 그러나 일반적으로 모든 K[G]-모듈이 R[G]-모듈의 감소(mod p)로 발생하는 것은 아니다. 그렇게 하는 것은 들어올릴 수 있다.

단순 모듈 수

일반적인 표현 이론에서 단순모듈 k(G)의 수는 G의 결합 등급 수와 같다. 모듈형의 경우, 단순모듈의 l(G) 수는 해당 요소들이 관련 primary p, 이른바 p-정규계급에 대한 coprime을 주문하는 결합계급의 수와 같다.

그룹 대수학의 블록과 구조

모듈형 표현 이론에서, 마슈케의 정리는 특성이 그룹 질서를 나눌 때 보유하지 않는 반면, 그룹 대수학은 블록으로 알려진 양면 이상들의 최대 집합의 직접적인 합으로 분해될 수 있다. 필드 F에 특성이 0이거나 그룹 순서에 따른 특성이 있을 때, 그룹 대수 F[G]가 블록의 합으로 분해되는 현상이 여전히 존재하지만(단순 모듈의 각 이형성 유형에 대해 하나씩), F가 충분히 클 때 상황은 비교적 투명하다: 각 블록은 엔도모르피 F에 대한 완전 행렬 대수다.관련 단순 모듈의 밑면에 있는 벡터 공간의 sm 링.

블럭을 얻기 위해, 그룹 G의 ID 요소는 F의 최대 순서 R에 대한 그룹 대수 중심인 Z(R[G])에서 원시적인 특이점의 합으로 분해된다. 원시 idempotent e에 해당하는 블록은 양면 이상 e R[G]이다. 각각의 외설적인 R[G]-모듈에 대해, 그것을 전멸시키지 않는 그러한 원시적인 idempotent는 단 하나뿐이며, 모듈은 해당 블록에 속한다고 한다(이 경우, 그 모든 구성 요소도 그 블록에 속한다고 한다). 특히 각 단순 모듈은 고유한 블록에 속한다. 또한 각 일반적 불가해한 캐릭터는 불가해한 브라워어 캐릭터의 합으로 분해에 따라 고유 블록에 할당될 수 있다. 사소한 모듈을 포함하는 블록을 주 블록이라고 한다.

투영 모듈

일반적인 표현 이론에서, 모든 외설적인 모듈들은 수정할 수 없고, 그래서 모든 모듈들은 투영적이다. 그러나 그룹 순서를 나누는 특성이 있는 단순 모듈은 거의 투영적이지 않다. 실제로 단순한 모듈이 투영적이라면, 그것은 그것의 블록에서 유일한 단순한 모듈로서, 이것은 그 다음에 완전한 매트릭스 대수인 기초 벡터 공간의 내형성 대수학으로 이형화된다. 그럴 경우 블록에는 '결함 0'이 있다고 한다. 일반적으로 투영 모듈의 구조는 결정하기 어렵다.

유한집단의 집단대수학에서 투영성 외설모듈의 (이형성유형)은 (이형성유형) 단순모듈과 일대일 일치한다: 각 투영성 외설모듈의 소클은 단순하다(그리고 위로는 이형성유형), 이것은 비이형성 프로젝트 외설성이 있기 때문에 편차를 제공한다. 비이형적 사회 그룹 대수학(일반 모듈로 표시)의 합계로서 돌출적 외설적 모듈의 다중성은 소클의 치수(특성 0의 충분히 큰 영역에 대해, 이것은 각 단순 모듈이 정규 모듈의 직접 합계로서 그 치수와 동일한 다중성으로 발생한다는 사실을 회복한다).

양성 특성 p의 각 돌출적 외설적 모듈(따라서 각 돌출적 모듈)은 특성 0의 모듈로 들어올릴 수 있다. 위와 같이 R 링을 사용하여 잔류물장 K와 함께 G의 ID 요소는 K[G]의 상호 직교 원시 idempotents(필수 중심은 아님)의 합으로 분해될 수 있다. 각각의 돌출성 외설성 K[G]-모듈은 e와 이형성이다.이 분해에서 발생하는 원시 idempotent e에 대한 K[G] idempotent e는 R[G]의 E라고 하는 원시 idempotent와 왼쪽 모듈 E로 상승한다.R[G]은 e로 이형성 감소(mod p)가 있다.케이[지]

브루어 캐릭터에 대한 직교 관계

투사 모듈을 들어올리면 p로 구분할 수 없는 질서의 모든 요소에서 관련 특성이 사라지고, (단결의 뿌리의 일관된 선택으로) p-정규 요소에 대한 원래의 특성 p 모듈의 브라워 문자와 일치한다. 따라서 다른 어떤 브라워 캐릭터와 함께 투영할 수 없는 외설적인 브라워 캐릭터의 (현재의 캐릭터 링) 내적인 제품은 정의될 수 있다: 이것은 두 번째 브라워 캐릭터가 비 이등형 투영적 외설적 외설물의 소클의 것이고, 두 번째 브라워 캐릭터가 자신의 소클의 소클인 경우 1이다. 투사적 외설적 요소를 들어 올리는 성격에서 일반적 불가해한 캐릭터의 다중성은 일반적 성격을 p-정규적 요소로 제한한 경우 프로젝트적 외설적 요소인 소클의 브라워 캐릭터의 발생 횟수와 동일하다.

분해 행렬 및 카르탄 행렬

돌출적 외설 모듈의 구성 요소는 다음과 같이 계산할 수 있다:특정 유한 집단의 일반적 불침투 및 불침투성 브라워 문자로 볼 때, 불침투성 일반 문자는 불침투성 브라워 문자의 비음수 정수 조합으로 분해될 수 있다. 관련된 정수는 매트릭스에 배치할 수 있으며, 일반적인 수정 불가능한 문자는 행을 할당하고, 수정 불가능한 브라워어 문자는 열을 할당한다. 이것을 분해 행렬이라고 하며, 자주 D라고 표기한다. 하찮은 평범한 평범한 인물과 브루어 캐릭터를 첫 번째 줄과 열에 각각 배치하는 것이 관례다. D 자체의 전치 산물은 보통 C로 표기되는 카르탄 행렬을 낳는다. 이는 j번째 행의 항목이 j번째 돌출적 외설적 모듈의 구성 요소로서 각각의 단순 모듈의 곱하기와 같은 대칭 행렬이다. 카르탄 행렬은 비성격이다. 사실, 그 결정인자는 K의 특성의 힘이다.

특정 블록의 돌출적 외설적 모듈에는 동일한 블록의 모든 구성 요소가 있기 때문에 각 블록에는 자체적인 카르탄 매트릭스가 있다.

결점 그룹

그룹 대수 K[G]의 각 블록 B에 대해 브라워는 결점 그룹으로 알려진 특정 p-subgroup을 연결했다(여기서 p는 K의 특성이다). 형식적으로는 G의 가장 큰 p-부분군 D ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle G_{}}$( D${\displaystyle }$) ${\displaystyle DC_{G}(D)}$에 대한 B의 B의 Bauer 특파원이 있는 경우$,$ $여기$서 ${\displaystyle C_{}}$ G${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle D}$) ${\displaystyle C_{G}(D)$는 G에서 D의 중심 인물이다.

블록의 결점 그룹은 결합까지 독특하며 블록 구조에 강한 영향을 미친다. 예를 들어 결점 그룹이 사소한 경우 블록은 단순한 모듈 하나만 포함하고, 보통 문자 하나와 브루어 문자 하나, 일반 문자 및 브루어 무reducable 문자는 관련 특성 p에 대한 순서 prime의 요소에 동의하며, 단순 모듈은 투영적이다. 다른 극단에서는 K가 특성 p를 가질 때 유한집단 G의 시로우 p-분군은 K[G]의 주 블록에 대한 결점군이다.

블록의 결점 그룹의 순서는 표현 이론과 관련된 산술적 특성화가 많다. 블록의 카르탄 매트릭스 중 가장 큰 불변인자로 다중성 매트릭스와 함께 발생한다. 또한, 블록의 결점 집단의 지수를 나누는 p의 힘은 그 블록에 있는 단순 모듈의 치수를 나누는 p의 힘의 최대 공통점이며, 이것은 그 블록에 있는 일반 불가해한 문자의 정도를 나누는 p의 힘의 최대 공통점과도 일치한다.

블럭의 결점 그룹과 캐릭터 이론 사이의 다른 관계에는 그룹 요소 g의 p- 부분의 결합이 주어진 블럭의 결점 그룹에 없다면, 그 블럭의 각 불가해한 캐릭터는 g에서 사라지게 된다는 브라워의 결과가 포함된다. 이것은 브라워의 제2차 본정리의 많은 결과 중 하나이다.

블록의 결점 그룹은 또한 블록 이론에 대한 모듈-이론적 접근방식에 있어서 모듈의 상대적 투영성 측면에서 정의되는 외설적 모듈에 정점이라고 알려진 p-부분군을 연결하는 J. A. Green의 작업을 기반으로 하는 여러 특성을 가지고 있다. 예를 들어, 블록의 각 외설적 모듈의 정점은 블록의 결점 그룹에 (결합까지) 포함되어 있으며, 결점 그룹의 적절한 하위 그룹은 그러한 속성을 가지고 있지 않다.

브라워의 첫 번째 주 정리는 주어진 p-sub 그룹을 결점 그룹으로 가지고 있는 유한 그룹의 블록 수는 해당 p-subgroup 그룹에 있는 normalizer에 해당하는 수와 동일하다고 명시한다.

비삼각 결점 그룹으로 분석하기 가장 쉬운 블록 구조는 후자가 주기적인 경우다. 그렇다면 블록에는 외설적인 모듈의 이형성 유형만 미세하게 많을 뿐이며, 블록의 구조는 브루어, E.C.데이드, J.A.그린, J.G의 작업으로 인해 지금쯤 잘 이해되고 있다. 톰슨, 그 중에서도. 다른 모든 경우에서, 블록에는 외설적인 모듈들의 이형성 유형이 무한히 많다.

결점 그룹이 주기적이지 않은 블록은 길들인 블록과 야생 블록의 두 가지 유형으로 나눌 수 있다. 길들여진 블록들(Prime 2에서만 일어나는 것)은 결점 집단으로서 이단 그룹, 반면체 그룹 또는 (일반화된) 쿼터니온 그룹을 가지고 있으며, 이들의 구조는 카린 에르드만의 일련의 논문에서 광범위하게 결정되어 왔다. 야생 블록의 외설적인 모듈들은 원칙적으로 분류하기가 매우 어렵다.

참조

• Brauer, R. (1935), Über die Darstellung von Gruppen in Galoisschen Feldern, Actualités Scientifiques et Industrielles, vol. 195, Paris: Hermann et cie, pp. 1–15, review
• Dickson, Leonard Eugene (1902), "On the Group Defined for any Given Field by the Multiplication Table of Any Given Finite Group", Transactions of the American Mathematical Society, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 3 (3): 285–301, doi:10.2307/1986379, ISSN 0002-9947, JSTOR 1986379
• Jean-Pierre Serre (1977). Linear Representations of Finite Groups. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90190-6.
• Walter Feit (1982). The representation theory of finite groups. North-Holland Mathematical Library. Vol. 25. Amsterdam-New York: North-Holland Publishing. ISBN 0-444-86155-6.