수학에서의 대칭성

대칭은 기하학뿐만 아니라 수학의 다른 분야에서도 발생합니다.대칭은 불변의 한 종류입니다: 수학적인 물체는 연산이나 변환의 ^[1]집합에서 변하지 않는 특성입니다.

어떤 종류의 구조화 객체 X가 주어졌을 때, 대칭은 구조를 보존하는 객체 그 자체에 대한 매핑이다.예를 들어, X가 추가 구조가 없는 집합인 경우 대칭은 집합에서 집합 자체로의 바이젝티브 맵으로 치환 그룹을 발생시킵니다.물체 X가 미터법 구조 또는 다른 미터법 공간을 가진 평면 내의 점 집합인 경우, 대칭은 각 점 쌍 사이의 거리를 보존하는 집합의 분사(즉, 등각)이다.

일반적으로, 수학의 모든 종류의 구조들은 그들만의 대칭성을 가질 것이고, 그 중 많은 것들이 위에서 언급한 주어진 점들에 나열되어 있다.

기하학의 대칭성

기본 기하학에서 고려되는 대칭의 유형은 반사 대칭, 회전 대칭, 번역 대칭 및 활공 반사 대칭을 포함하며, 이는 본문 대칭(기하학)에서 보다 자세히 설명된다.

미적분학의 대칭성

짝수 및 홀수 함수

균일한 기능

f(x)를 실수 변수의 실수값 함수라고 가정하면, f는 다음 방정식이 f의 영역 내 모든 x와 -x에 대해 유지된다고 가정합니다.

${\displaystyle f(x)=f440x}$

기하학적으로 말하면, 짝수 함수의 그래프면은 Y축에 대해 대칭이며, 이는 Y축에 대한 반사 후에도 그래프가 변경되지 않음을 의미합니다.짝수 함수의 예로는 x, x², x⁴, cos(x), cosh(x) 등이 있습니다.

홀수 함수

다시, f(x)를 실수 변수의 실수값 함수라고 가정하면, 다음 방정식이 f 영역의 모든 x와 -x에 대해 유지된다면 f는 홀수이다.

${\displaystyle -f(x)=f440x}$

그것은,

$(\displaystyle f(x)+f440x)=0,}$

기하학적으로, 홀수 함수의 그래프는 원점에 대한 회전 대칭을 가지며, 원점에 대해 180도 회전해도 그래프가 변경되지 않습니다.홀수 함수의 예로는 x, x³, sin(x), sinh(x) 및 erf(x)가 있습니다.

통합 중

A가 유한하고 함수가 적분 가능한 경우(예: -A와 ^[3]A 사이에 수직 점근선이 없음) -A에서 +A까지의 홀수 함수의 적분은 0입니다.

-A에서 +A까지의 짝수 함수의 적분은 A가 유한하고 함수가 적분할 수 있는 경우(예: -A와 ^[3]A 사이에 수직 점근선이 없음) 0에서 +A까지의 적분의 2배이다.이는 A가 무한대인 경우에도 해당되지만 적분이 수렴되는 경우에만 해당됩니다.

시리즈

• 짝수 함수의 맥로린 시리즈는 짝수 파워만을 포함합니다.
• 홀수함수의 맥로린 급수는 홀수함수만을 포함한다.
• 주기 짝수 함수의 푸리에 급수는 코사인 항만 포함합니다.
• 주기 홀수 함수의 푸리에 급수는 사인 항만 포함합니다.

선형대수의 대칭

행렬의 대칭성

선형대수에서 대칭행렬은 전치행렬과 같은 정사각형행렬이다.공식적으로는, 행렬 A는 다음과 같은 경우 대칭이다.

$(\displaystyle A=A^{T}).}$

모든 대응하는 위치의 엔트리가 동일해야 하는 행렬 등식의 정의에 따르면, 동일한 행렬은 동일한 차원을 가져야 합니다(다른 크기 또는 모양의 행렬은 동일할 수 없습니다).따라서 정사각형 행렬만 대칭이 될 수 있습니다.

대칭 행렬의 항목은 주 대각선에 대해 대칭입니다.따라서 항목이 A = (a_ij)로 작성되면 모든_ji 지수 i와 j에 대해 a = a로 작성됩니다_ij.

예를 들어, 다음 3×3 행렬은 대칭입니다.

$(\displaystyle {bmatrix}1&3\7&4&-5\3&5&6\end {bmatrix})$

모든 사각형 대각행렬은 대칭입니다. 왜냐하면 모든 비대각행렬은 0이기 때문입니다.마찬가지로, 스큐-대칭 행렬의 각 대각 원소는 각각 음수이므로 0이어야 합니다.

선형대수에서, 실대칭행렬은 실내적 공간상의 자기접합 연산자를 나타낸다.복소수 내부 곱 공간에 대응하는 객체는 복소수 값을 가진 에르미트 행렬이며, 이는 공역 전치(conjuate transpose)와 같다.그러므로, 복소수 위의 선형 대수학에서, 대칭 행렬은 종종 실값 엔트리를 갖는 행렬을 참조한다고 가정한다.대칭행렬은 다양한 응용 프로그램에서 자연스럽게 나타나며, 전형적인 수치 선형 대수 소프트웨어는 이러한 행렬에 특별한 적응을 제공합니다.

추상대수의 대칭

대칭군

대칭군_n S(유한 집합의 n개 기호)는 요소가 n개 기호의 모든 순열인 군이며, 그 군 연산은 기호 집합에서 ^[4]그 자체로 생물적 함수로 취급되는 그러한 순열의 구성이다.n개의 기호 집합에는 n!(n 요인)의 가능한 배열이 있으므로 대칭 그룹_n S의 순서(즉, 원소 수)는 n!입니다.

대칭 다항식

대칭 다항식은 n개의 변수에서 다항식 P(X₁, X₂, ..., X_n)로, 변수 중 하나가 교환되면 동일한 다항식을 얻을 수 있습니다.형식적으로, 첨자 1, 2, ..., n의 임의의 치환 θ에 대해 P(X_σ(1), X_σ(2), ..., X_σ(n)) = P(X₁, X₂, ..., X_n)를 갖는다면 P는 대칭 다항식이다.

대칭 다항식은 하나의 변수에서 다항식의 근과 그 계수 사이의 관계에 대한 연구에서 자연스럽게 발생한다. 왜냐하면 계수는 근의 다항식에 의해 주어질 수 있고 이 설정에서 모든 근이 유사한 역할을 하기 때문이다.이러한 관점에서, 초등 대칭 다항식은 가장 기본적인 대칭 다항식이다.정리는 어떤 대칭 다항식이든 기본 대칭 다항식의 관점에서 표현될 수 있다는 것을 나타내며, 이는 모노 다항식의 근에 있는 모든 대칭 다항식이 다항식의 계수에 있는 다항식으로 대체적으로 주어질 수 있음을 의미한다.

예

두 변수₁ X와₂ X에서 하나는 다음과 같은 대칭 다항식을 가집니다.

• ${\displaystyle X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7}$
• $({displaystyle 4X_{1}^{2}^{2}+X_{1}^{3}X_{2}+X_{1}X_{3}+(X_{2}^4})$

세₁ 개의 변수₂ X, X 및 X에서₃ 하나는 대칭 다항식으로 지정됩니다.

• ${{1}X_{2}X_{3}-2X_{1}X_{2}-2X_{1}X_{3}-2X_{2}X_{3},}$

대칭 텐서

수학에서 대칭 텐서는 벡터 인수의 치환 하에서 불변하는 텐서이다.

$\displaystyle T(v_{1},v_{2},\dots,v_{r}=T(v_{\sigma 1, v_{\sigma 2,\dots,v_{\sigma r})$

기호 {1,2,...,r}의 모든 치환 θ에 대해.또는, r 지수를 갖는 양으로서 좌표로 표현되는 r차^th 대칭 텐서는 다음을 만족한다.

${\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\dots i_{r}}=T_{i_{\sigma1}i_{\sigma2}\dots i_{\sigma r}.}$

유한 차원 벡터 공간에서의 순위 r의 대칭 텐서들의 공간은 V의 차수 r의 균질 다항식 공간의 쌍수와 자연스럽게 동형이다.특성 0의 필드에 걸쳐 모든 대칭 텐서의 등급 벡터 공간은 V 위의 대칭 대수로 자연스럽게 식별될 수 있다.관련된 개념은 반대칭 텐서 또는 교대 형식의 개념이다.대칭 텐서는 공학, 물리학 및 수학에서 광범위하게 발생합니다.

갈로아 이론

다항식이 주어졌을 때, 어떤 근들은 다양한 대수 방정식으로 연결되어 있을 수 있다.예를 들어, A와 B의 두 근에 대해 A + 5B³ = 7일² 수 있습니다.갈로아 이론의 중심 사상은 뿌리에 의해 충족되는 어떤 대수 방정식이 뿌리가 치환된 후에도 여전히 충족되는 특성을 가진 뿌리의 배열(또는 재배열)을 고려하는 것이다.중요한 전제조건은 계수가 유리수인 대수 방정식으로 제한한다는 것이다.따라서, 갈로아 이론은 대수 방정식에 내재된 대칭을 연구한다.

대수적 객체의 자기동형

추상대수학에서, 자기동형은 수학적 객체에서 그 자신으로의 동형사상이다.이것은 어떤 의미에서는 물체의 대칭성이며, 모든 구조를 보존하면서 그 물체와 그 물체를 매핑하는 방법이다.객체의 모든 자기동형 집합은 자기동형 그룹이라고 불리는 그룹을 형성합니다.대략적으로 말하면 물체의 대칭군입니다.

예

• 집합론에서 집합 X의 원소의 임의의 배열은 자기동형이다.X의 자기동형군은 X의 대칭군이라고도 불린다.
• 기본 산술에서, 덧셈 대상 군으로 간주되는 정수 집합 Z는 고유한 비정형성 즉 부정(negration)을 가지고 있다.그러나 고리로 간주되는 것은 사소한 자기동형성만을 가지고 있다.일반적으로 부정은 어떤 아벨군의 자기동형이지만 고리나 필드의 자기동형성은 아니다.
• 그룹 자기동형은 그룹에서 그 자신으로의 그룹 동형입니다.비공식적으로, 이것은 구조가 변경되지 않도록 그룹 요소를 치환한 것입니다.모든 그룹 G에 대해, 이미지가 내부 자기 동형의 그룹 Inn(G)이고 커널이 G의 중심인 자연 군 동형 G → Aut(G)가 있다.따라서, 만약 G가 사소한 중심을 가지고 있다면, 그것은 그 자신의 자기동형 ^[5]그룹에 포함될 수 있다.
• 선형 대수학에서, 벡터 공간 V의 내형사상은 선형 연산자 V → V이다. 자기동형은 V 위의 가역 선형 연산자이다.벡터 공간이 유한 차원일 때, V의 자기동형군은 일반 선형군인 GL(V)과 같다.
• 자기장 자기동형성은 자기장으로부터 자기 자신으로의 비사환 동형성이다.유리수(Q)와 실수(R)의 경우 중요하지 않은 필드 자기동형이 존재하지 않는다.R의 일부 서브필드는 중요하지 않은 필드 자기동형을 가지지만 R의 모든 부분까지 확장되지는 않습니다(R에 제곱근을 가진 숫자의 속성을 유지할 수 없기 때문입니다).복소수 C의 경우, R을 R: 복소 활용으로 보내는 고유한 비자명적 자기동형이 존재하지만, 무한히 많은 "야생" 자기동형이 존재한다(^[6]선택의 공리 가정).필드 자기동형은 필드 확장 이론, 특히 갈로아 확장 이론에서 중요합니다.갈로아 확장 L/K의 경우, K를 점으로 고정하는 L의 모든 자기동형의 부분군을 갈로아 확장의 갈로아 군이라고 한다.

표현 이론의 대칭성

양자역학에서의 대칭: 보손과 페르미온

양자역학에서, 보손은 치환 연산자 아래에서 대칭인 표현들을 가지고 있고 페르미온은 반대칭적인 표현들을 가지고 있다.

이것은 페르미온에 대한 파울리 배타 원리를 암시한다.실제로 단가 다입자파 함수를 갖는 파울리 배제 원리는 파동 함수를 반대칭으로 요구하는 것과 같다.반대칭 2 입자 상태는 한쪽 입자가 ${\displaystyle x}$ ${\$ \ $display$style \ $script style$x \ rangle$$상태이고$$ 다른 한쪽 입자가 ${\displaystyle y}$ $\{\backslash$ \ $display style y$\ $rangle$상태인 상태의 합계로 나타납니다.

$\displaystyle \psi \rangle = \sum _{x,y}A(x,y)x,y\rangle }$

A(x,y) = -A(y,x)임을 의미합니다.이는 A(x,x) = 0, 즉 Pauli 제외임을 의미합니다.엄밀히 말하면 A(x,y)의 양은 행렬이 아니라 2위 텐서이지만 기저의 유니터리 변화는 반대대칭 행렬을 유지하기 때문에 어떤 기초에서도 사실이다.

반대로, 만약은 대각선 양 A(x,x)이 모두 0모든 기준에 wavefunction 구성 요소:.

${\displaystyle A(x, y)=\langle \psi=\langle \psi x,y\rangle(x\rangle \otimes y\rangle)}.$

반드시 반대칭이다., 행렬 요소 고려해 보십시오. 그것을 증명하기 위해.

${\displaystyle \langle \psi((x\rangle + y\rangle)\otimes(x\rangle+y\rangle))\와 같이,}.$

이것은 0, 때문에 두 입자 0확률은 중첩 상태에) ⟩+y⟩{\scriptstyle x\rangle+y\rangle\displaystyle}을 가지고 있다. 그러나 이번과 같습니다.

${\displaystyle \langle \psi+\langle \psi+\langle \psi y,x\rangle+\langle \psi y,y\rangle)x,y\rangle x,x\rangle,}.$

오른쪽은 처음이자 마지막 조건은 대각선 원소와 영화 볼 수 있는데 그 전액 0과 같습니다.그래서 wavefunction 매트릭스 요소:복종한다.

⟨ ψ x, y⟩+⟨ ψ는 y,)⟩)0{\displaystyle \langle \psi+\langle\psi y,x\rangle =0\ x,y\rangle,}.

또는

${\displaystyle A(x, y)=-A(y,x)\,}$

집합론의 대칭성

대칭 관계

만약 관계 A에서 B까지 설 때마다 B도 A로에서 들어앉우리는 관계 대칭이라고 부른다antisymmetry의 대칭이 아니다 정확한 반댑니다.

미터법 공간에서의 대칭성

공간의 등각선

계량 공간 사이에 균등은 distance-preserving 지도입니다.메트릭 공간 또는 세트 요소 간의 거리를 할당하기 위한 세트 및 스킴이 주어졌을 때 등각은 새로운 메트릭 공간 내의 요소 간의 거리가 원래 메트릭 공간 내의 요소 간의 거리와 동일하도록 요소를 다른 메트릭 공간에 매핑하는 변환이다.2차원 또는 3차원 공간에서 두 기하학적 도형이 등각계에 의해 관련되면 일치한다. 즉, 강체 운동이나 강체 운동과 반사의 구성에 의해 관련된다.강성운동에 의한 관계까지는 직접 등각계에 의한 관계일 경우 동일하다.

등각선은 기하학 및 함수, 확률 분포, 행렬, 문자열, 그래프 ^[7]등에서 대칭의 작동 정의를 통합하기 위해 사용되어 왔다.

미분방정식의 대칭성

미분방정식의 대칭은 미분방정식을 불변하게 하는 변환이다.이러한 대칭에 대한 지식은 미분 방정식을 푸는 데 도움이 될 수 있습니다.

미분 방정식 시스템의 선 대칭은 미분 방정식 시스템의 연속 대칭입니다.선 대칭에 대한 지식은 순서 ^[8]축소를 통해 일반 미분 방정식을 단순화하는 데 사용할 수 있습니다.

일반 미분 방정식의 경우 적절한 Lie 대칭 집합을 알면 첫 번째 적분 집합을 명시적으로 계산할 수 있으며, 적분 없이 완전한 해를 산출할 수 있습니다.

대칭은 관련된 일련의 상미분 ^[8]방정식을 풀어서 찾을 수 있다.이러한 방정식을 푸는 것이 원래의 미분 방정식을 푸는 것보다 훨씬 더 간단할 때가 많습니다.

확률의 대칭

가능한 결과의 수가 유한한 경우, 순열(라벨링)에 대한 대칭은 이산적인 균일한 분포를 의미합니다.

가능한 결과의 실제 간격의 경우, 같은 길이의 상호 교환 하위 간격에 대한 대칭은 연속적인 균일한 분포에 대응한다.

"임의의 정수 취하기" 또는 "임의의 실수 취하기"와 같은 다른 경우, 재라벨링 또는 동등하게 긴 하위간격의 교환과 관련하여 확률 분포가 전혀 대칭적이지 않다.다른 합리적인 대칭은 하나의 특정 분포를 제외하지 않습니다. 즉, 최대 대칭을 제공하는 고유한 확률 분포가 없습니다.

한 차원에는 확률 분포를 변경하지 않는 등각계의 한 가지 유형이 있다. 즉, 점에서의 반사이다(예: 0).

양의 결과를 갖는 무작위성에 대한 가능한 대칭성은 전자가 대수에 적용된다는 것이다. 즉, 결과와 그 역수는 동일한 분포를 갖는다.그러나 이 대칭은 특정 분포를 고유하게 제외하지 않습니다.

평면이나 공간의 "랜덤 점"에 대해서는 원점을 선택하고 각각 원형 또는 구형 대칭을 갖는 확률 분포를 고려할 수 있다.

「 」를 참조해 주세요.

• 통합 시 대칭 사용
• 불변성(수학)

레퍼런스

참고 문헌

• Weyl, Hermann (1989) [1952]. Symmetry. Princeton Science Library. Princeton University Press. ISBN 0-691-02374-3.
• Ronan, Mark (2006). Symmetry and the Monster. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-280723-6. (일반 독자를 위한 배려 소개)
• du Sautoy, Marcus (2012). Finding Moonshine: A Mathematician's Journey Through Symmetry. Harper Collins. ISBN 978-0-00-738087-9.