홀 부분군

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대수군 선형대수군 환원군 아벨 품종 타원곡선
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수학에서 유한군 G의 홀 부분군은 지수에 대한 순서가 일치한 부분군이다.그룹 이론가인 필립 홀(1928년)에 의해 소개되었다.null

정의들

정수 n의 홀 구분자(일체 구분자라고도 함)는 d와 n/d가 같은 n의 구분자 d이다.홀 디비저를 찾는 가장 쉬운 방법은 해당 숫자에 대한 프라임 인자를 작성하고, 1의 곱에 대해 0을 포함하거나 원래 숫자에 해당하는 제품에 대해 모두 포함, 승수 조건(일괄 인자의 최대 힘)의 어떤 곱을 취하는 것이다.예를 들어, 홀 구분점 60을 찾으려면 프라임 요인화 2²/3/5를 보여주고 {3,4,5}의 제품을 취하십시오.따라서 60의 홀 구분자는 1, 3, 4, 5, 12, 15, 20, 60이다.null

G의 홀 부분군(Hall subgroup)은 G의 홀 구분자(Hall divisor of G)의 순서가 되는 부분군이다.즉, 지수와 순서가 일치한 부분군이다.null

만약 π이 소수집합이라면, 홀 sub 하위집단은 pr에서 소수집합물이며, pr에서 어떤 소수집합으로도 분리할 수 없는 지수를 가진 하위집단이다.

예

• 그룹의 Sylow 하위 그룹은 홀 하위 그룹이다.
• 순서 12의 교번군₄ A는 해결이 가능하나, 6이 12를 나누어도 순서 6의 하위군이 없어, 홀의 정리(아래 참조)가 해결군 순서의 모든 구분자에게 확대될 수 없음을 보여준다.
• G = A₅, 순서가 60인 유일한 단순 그룹인 경우, 15와 20은 G 순서의 홀 구분자지만 G는 이러한 순서의 하위 그룹이 없다.
• 단순 순서 168은 순서가 24인 홀 하위 그룹의 두 가지 다른 결합 등급(G의 외부 자동모형으로 연결됨)을 가지고 있다.
• 단순한 순서 660은 이형체도 아닌 두 개의 홀 하위그룹 12를 가지고 있다.순서 4의 Sylow 2 하위 그룹의 정규화기는 순서 12의 교류 그룹 A와₄ 이형화되며, 순서 2 또는 3의 하위 그룹의 정규화기는 순서 12의 이형화 그룹과 이형화된다.

홀의 정리

홀(1928년)은 G가 유한한 해결 가능한 그룹이고 π이 어떤 프라임의 집합이라면 G는 홀 π-부분군을 가지고 있고, 어떤 홀 π-부분군도 결합되어 있다는 것을 증명했다.또한, π에서 프라임의 산물인 모든 부분군은 일부 홀 π 부분군에 포함되어 있다.이 결과는 실로우의 정리를 홀 하위그룹에 일반화한 것으로 생각할 수 있지만, 위의 예들은 그룹이 해결할 수 없을 때 그러한 일반화가 거짓이라는 것을 보여준다.null

홀 하위 그룹의 존재는 모든 유한한 해결 가능한 그룹이 정상적인 초등 아벨리안 하위 그룹을 가지고 있다는 사실을 이용하여 G의 순서에 따라 유도함으로써 증명될 수 있다.보다 정확하게는 G가 π 구분할 수 있는 ,-그룹 또는 π'-그룹인 최소 정상 부분군 A를 수정한다.유도에 의해 H/A가 G/A의 홀 π 부분군인 G의 부분군 H가 있다.만약 A가 π 그룹이라면 H는 G의 홀 π 하위 그룹인 반면, A가 π' 그룹이라면 슈르-자센하우스 정리 A에 의해 H에 보완이 있는데, 이것은 G의 홀 π 하위 그룹이다.

홀의 정리와의 대화

모든 프라임 π에 대해 홀 π-부분군을 가지는 유한 그룹은 해결 가능하다.실로우의 정리는 모든 홀 하위그룹이 존재한다는 것을 내포하고 있기 때문에, 프리타임 p와 q의 형식 pq의 ^{a b} 순서가 되는 모든 집단이 해결 가능하다는 번사이드의 정리를 일반화한 것이다.번사이드의 정리가 이 역설을 증명하는 데 사용되기 때문에, 이것이 번사이드의 정리에 대한 또 다른 증거를 (현재) 주는 것은 아니다.null

실로우 시스템

Sylow 시스템은 모든 p와 q에 대해 SS_pq = SS_qp = SS가 되도록 각 p 프라임 p에 대한 Sylow_p p-subgroups의 집합이다. 만약 우리가 Sylow 시스템을 가지고 있다면, π에서 p에 대해_p S 그룹에 의해 생성된 하위 그룹은 홀 sub-subgroup이다.홀의 정리의 보다 정확한 버전은 어떤 해결 가능한 집단이든 시로우 시스템을 가지고 있고, 어떤 두 개의 시로우 시스템은 결합되어 있다고 말한다.null

일반 홀 부분군

유한군 G의 모든 정상 홀 부분군 H는 H를 사소한 것으로 교차하는 G의 일부 부분군 K가 있고, HK = G가 H와 K의 반간접적인 제품이다(그래서 G는 H와 K의 반간접적인 제품이다.이것이 슈르-자센하우스의 정리다.null

참고 항목

• 포메이션

참조

• Gorenstein, Daniel (1980), Finite groups, New York: Chelsea Publishing Co., ISBN 0-8284-0301-5, MR 0569209.
• Hall, Philip (1928), "A note on soluble groups", Journal of the London Mathematical Society, 3 (2): 98–105, doi:10.1112/jlms/s1-3.2.98, JFM 54.0145.01, MR 1574393