몬스터 그룹
Monster group대수구조 → 그룹 이론 집단 이론 |
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집단 이론으로 알려진 추상 대수학 영역에서는 몬스터 그룹 M(Fischer-Griess Monster 또는 친근한 거인이라고도 함)이 가장 큰 산발적인 단순 집단으로 질서가 있다.
246· 320· 59· 76· 112· 133· 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71
= 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000
≈ 8×1053.
유한한 단순 집단은 완전히 분류되었다. 그러한 모든 집단은 헤아릴 수 없을 정도로 무한한 18개 가족 중 하나에 속하거나, 그러한 체계적 패턴을 따르지 않는 26개의 산발적인 집단 중 하나이다. 이 괴물 집단은 20개의 산발적인 집단(자체 포함)을 하위 쿼터로 포함하고 있다. 1982년 괴물의 존재를 증명했던 로버트 그리스는 이들 20개 집단을 행복한 가족으로, 나머지 6개 예외 집단을 파리아라고 불렀다.
그 괴물은 복잡하기 때문에 건설적인 정의를 내리기가 어렵다. 마틴 가드너는 1980년 6월 사이언티픽 아메리칸에 있는 그의 수학 게임 칼럼에서 이 괴물 그룹의 인기 있는 이야기를 썼다.[1]
역사
이 괴물은 베른드 피셔(미공개, 1973년경)와 로버트 그리스가[2] 피셔의 아기 괴물 집단의 이중 커버를 포함한 단순한 집단으로 비자발성의 중심축으로 예측했다. 몇 달 안에 그리스가 톰프슨 주문 공식을 이용하여 M의 순서를 알아냈고, 피셔, 콘웨이, 노턴, 톰슨도 알려진 산발적인 많은 집단을 포함한 다른 집단을 하위 쿼터로서 발견했으며, 톰슨 그룹과 하라다-노튼 그룹 두 개의 새로운 집단을 발견했다. 몬스터의 캐릭터 테이블인 194x-194 배열은 피셔와 도널드 리빙스톤이 1979년 마이클 소른이 쓴 컴퓨터 프로그램을 이용해 계산한 것이다. 그 괴물이 실제로 존재했는지는 1970년대에 분명하지 않았다. 그리스는[3] M을 그리이스 대수의 오토모르피즘 그룹으로 구성했는데, 이는 실제 숫자에 대한 196,884차원 교감 비연관 대수학이다. 그는 1980년 1월 14일 앤아버에서 처음 자신의 건축을 발표했다. 1982년 논문에서 그는 이 괴물을 '친절한 거인'이라고 언급했지만, 이 이름은 일반적으로 채택되지 않았다. 존 콘웨이와[4] 자크 티츠는[5][6] 이후 이 공사를 단순화했다.
그리스의 구조는 괴물이 존재한다는 것을 보여주었다. 톰슨은[7] 196,883차원 충실한 표현의 존재로부터 그 독특성(유한한 단순 집단의 분류에서 오는 일정한 조건을 만족하는 단순한 집단으로서)이 따를 것임을 보여주었다. 노튼은 비록 세부적인 내용을 발표한 적은 없지만,[8] 그러한 대표성의 존재에 대한 증거가 발표되었다. 그리이스, 마이어프랑켄펠트, 세게프는 괴물의 고유성에 대한 최초의 완전한 발표 증거를 제시하였다(더 정확히 말하면 괴물과 같은 비자발성의 중앙집중제를 가진 집단이 괴물에 이형화됨을 보여주었다).[9]
이 괴물은 산발적으로 단순한 집단의 발달의 정점이었고 피셔 그룹24 피, 아기 괴물, 콘웨이 그룹 주식회사1 등 세 가지 하위 집단의 어느 두 개에서든 만들 수 있다.
그 괴물의 슈르 승수와 외적인 오토모르피즘 집단은 둘 다 하찮은 것이다.
표현
충실한 콤플렉스 대표성의 최소도는 196,883으로, M순서의 3대 주요 디비저의 산물이다. 어떤 분야보다 가장 작은 충실한 선형 표현은 두 개의 요소를 가진 필드 위에 196,882개의 치수를 가지고 있는데, 이는 가장 작은 충실한 복합 표현에 대한 치수보다 한 개 적은 것이다.
괴물의 가장 작은 충실한 순열 표현은 24·37·53·74·11·132·29·41·59·71(약 1020) 포인트에 있다.
괴물은 이성적인 숫자를 넘어 갈루아 집단으로,[10] 허위츠 집단으로 실현될 수 있다.[11]
이 괴물은 그 원소를 나타내는 쉬운 방법이 알려져 있지 않다는 점에서 단순한 집단들 사이에서 특이하다. 이것은 그 규모에 기인하는 것이 아니라 "작은" 표현의 부재에 기인한다. 예를 들어, 단순 그룹 A와100 SL20(2)은 훨씬 크지만 "작은" 순열 또는 선형 표현을 가지고 있기 때문에 계산하기 쉽다. 교대조는 집단의 크기에 비해 '작은' 순열표현이 있고, 모든 유한단순집단은 집단의 크기에 비해 '작은' 선형표현이 있다. 괴물을 제외한 모든 산발적인 집단도 컴퓨터에서 작업하기 쉬울 정도로 충분히 작은 선형 표현을 가지고 있다(괴물 다음으로 가장 어려운 경우는 차원 4370을 나타내는 아기 괴물이다).
컴퓨터 공사
로버트 A. Wilson은 명시적으로 (컴퓨터의 도움으로) 두 개의 변환 불가능한 196,882 X 196,882 매트릭스 (순서 2 분야의 원소 포함)를 발견했는데, 이 두 매트릭스는 행렬의 곱셈에 의해 함께 괴물 집단을 생성한다. 이는 특성 0의 196,883차원 표현보다 한 차원 낮다. 이러한 행렬로 계산을 수행하는 것은 가능하지만, 각 행렬이 4.5기가바이트 이상을 차지하기 때문에 시간과 저장 공간 측면에서 너무 비싸 유용하지 않다.[12]
윌슨은 이 괴물에 대한 가장 좋은 설명은 "괴물 꼭대기 대수학의 자동모형 그룹"이라고 말하는 것이라고 단언한다. 그러나 아무도 "괴물 꼭지점 대수의 정말 단순하고 자연스러운 구조"[13]를 발견하지 못했기 때문에 이것은 큰 도움이 되지 않는다.
협력자들과 함께 윌슨은 상당히 빠른 몬스터로 계산을 수행하는 방법을 찾아냈다. V는 두 개의 원소를 가진 필드 위의 196,882차원 벡터 공간이 되도록 한다. 몬스터의 큰 부분군 H(특히 최대 부분군)가 선택되어 계산을 쉽게 수행할 수 있다. 선택한 부분군 H는 3.2이다1+12.Suz.2, 수즈가 스즈키 그룹인 곳. 괴물의 원소는 H와 여분의 발전기 T의 원소에 단어로 저장된다. V의 벡터에 있는 이들 단어 중 하나의 작용을 계산하는 것은 합리적으로 빠르다. 이 동작을 사용하면 (괴물의 원소의 순서 등) 계산을 수행할 수 있다. 윌슨은 공동 스태빌라이저가 사소한 그룹인 벡터 u와 v를 전시했다. 따라서 (예를 들어) gui = u, gvi = v와 같이 가장 작은 i > 0을 찾아 괴물의 원소 g의 순서를 계산할 수 있다.
이 구조와 유사한 구조(다른 특성)는 비 국부 최대 하위 그룹 중 일부를 찾는 데 사용되어 왔다.
문샤인
몬스터 그룹은 이산수학과 비분해수학을 연관시킨 [14]콘웨이와 노튼의 괴물적 밀주 추측의 두 주요 성분 중 한 명이며, 마침내 1992년 리처드 보처스에 의해 증명되었다.
이 설정에서 몬스터 그룹은 몬스터 모듈의 오토모피즘 그룹, 정점 연산자 대수학, 그리이스 대수학을 포함하는 무한 치수 대수학으로 볼 수 있으며, 일반화된 카-무디 대수학인 몬스터 리 대수학에서 작용한다.
콘웨이를 포함한 많은 수학자들은 이 괴물을 아름답고 여전히 신비로운 물체로 보아왔다.[15] 콘웨이는 괴물 집단에 대해 "그것이 왜 거기에 있는지 어떤 종류의 설명도 없었고, 단지 우연에 의해서만 존재하는 것이 분명하지 않다. 모두 단순한 사고라고 하기에는 너무 많은 호기심을 자극하는 성질이 있어."[16] 사이먼 P. 괴물집단의 성질에 관한 전문가 노튼은 "몬스트러스 문샤인이 무엇인지 한 문장으로 설명할 수 있는데, 그것은 신의 목소리"라고 말한 것으로 전해졌다.[17]
맥케이의8 E 관측
또한 몬스터와 확장된 Dynkin 다이어그램 ~ , 특히 다이어그램의 노드들과 맥케이의8 E 관찰이라고 알려진 몬스터의 특정 결합 클래스 사이에 연결이 있다.[18][19][20] 그런 다음 확장된 다이어그램 ~ ,~ ~ 과(와) 그룹 3 사이의 관계로 확장된다.피셔 그룹, 아기 몬스터 그룹, 몬스터의 (3/2/1배 중앙 확장)인 Fi24,, 2.B, M. 이들은 몬스터에 있는 타입 1A, 2A, 3A의 원소의 중앙집중기와 연관된 산발적인 집단이며, 확장 순서는 다이어그램의 대칭에 해당한다. (괴물의 경우) 다소 작은 단순 그룹 PSL(2,11) 및 Bring's curve라고 알려진 속 4의 카논 섹스트 곡선의 120 삼중수소 평면과의 추가 연결을 위한 ADE 분류: (McKay 대응 유형)를 참조한다.
최대 부분군
이 괴물은 최소 44개의 최대 부분군 결합 등급이 있다. 60여 개의 이형성 유형의 비-아벨라 단순 집단은 부분군 또는 부분군의 인용구로 발견된다. 가장 큰 교대조는 A이다12. 이 괴물은 26개의 산발적인 집단 중 20개를 하위 쿼터로 포함하고 있다. 마크 로난의 "대칭성과 괴물"이라는 책에 있는 것을 바탕으로 한 이 도표는 그들이 어떻게 서로 잘 맞는지를 보여준다.[21] 이 선은 하위 그룹을 상위 그룹에 하위 계수로 포함한다는 것을 의미한다. 동그라미 모양의 기호는 더 큰 산발적인 그룹에는 관여하지 않는 그룹을 의미한다. 명확성을 위해 중복 포함은 표시하지 않는다.
몬스터의 최대 하위군 등급 중 44개 등급이 다음2 목록에 의해 주어지는데, L(133), U(43), U(8) 형식의 비아벨적 단순 소켓을 가진 거의 단순한 하위군을 제외하고 (2016년 기준) 완성되었다고 생각된다.[22][23][24] 그러나 최대 하위 그룹의 표는 종종 미묘한 오류를 포함하고 있으며, 특히 아래 목록에 있는 하위 그룹 중 적어도 두 개 이상이 이전의 일부 목록에서 잘못 누락되었다.
- 2.B 비자발성의 중앙집중기; Sylow 47 하위 그룹의 노멀라이저(47:23) × 2 포함
- 21+24.불수의1 코 중앙집중기
- 3.순서 3의 하위 그룹의 파이24 정규화기; Sylow 29 하위 그룹의 정규화기 ((29:14) × 3.2) 포함
- 22.2E6(22):클라인3 4-그룹의 S 노멀라이저
- 210+16.O10+(2)
- 22+11+22.(M24 × S3) 클라인 4-그룹의 노멀라이저(23:11) × S를4 포함한다.
- 31+12.2Suz.2 순서 3의 부분군 정규화기
- 25+10+20.(S3 × L(25)
- S3 × 순서 3의 부분군 정규화기; Sylow 31 부분군의 정규화기(31:15) × S 포함3
- 23+6+12+18.(L3(2)× 3S6)
- 38.O8− (3.23)
- (D10 × HN).2 순서 5의 부분군 정규화기
- (32:2 × O8+(3)).S4
- 32+5+10.(M11 × 2S4)
- 33+2+6+6:(L3(3) × SD16)
- 51+6:2J2:4 순서 5의 부분군 정규화기
- (7:3 × He):순서 7의 부분군 정규화기 2개
- (A5 × A12):2
- 53+3.(2 × L(53)
- (A6 × A6 × A6).(2 × S4)
- (A5 × U3(8):31):2는 노멀라이저 ((19:9) × A5):2를 포함한다.Sylow 19-subgroup.
- 52+2+4:(S3 × GL2(5)
- (L3(2) × S(44:2):2.2는 Sylow 17-subgroup의 노멀라이저 (17:8) × L3(2)를 포함한다.
- 71+4:(3 × 2S7) 순서 7의 부분군 정규화기
- (52:4.22 × U3(5)).S3
- (L2(11) × M12):2는 노멀라이저(11:5 × M12):2 순서 11의 부분군 2를 포함한다.
- (A7 × (A5 × A5):22:2
- 54:(3 × 2L2(25)):22
- 72+1+2:GL2(7)
- M11 × A6.22
- (S5 × S5 × S5):S3
- (L2(11) × L2(11)):4
- 132:2L2(13.4)
- (72:(3 × 2A4) × L2(7)):2
- (13:6 × L3 (3)).2 순서 13의 부분군 정규화기
- 131+2:(3 × 4S4) 순서 13 하위 그룹의 정규화자; Sylow 13 하위 그룹의 정규화자
- L2(71)에는 Sylow 71 하위[25] 그룹의 Normalizer 71:35가 포함됨
- L2(59)에는 Sylow 59 하위[26] 그룹의 노멀라이저 59:29가 포함됨
- 112:(5 × 2A5) Sylow 11 하위 그룹의 Normalizer.
- L2(41) Norton과 Wilson은 이 형태의 최대 하위 그룹을 발견했다; Zavarnitsine이 지적한 미묘한 오류로 인해 이전의 일부 목록과 논문에서 그러한 최대 하위 그룹은 존재하지[23] 않는다고 밝혔다.
- L2(29):2 [27]
- 72:SL2(7) 이전의 7-local 하위 그룹 목록에서 실수로 누락됨
- L2(19):2 [25]
- 41:40 Sylow 41-subgroup의 Normalizer
참고 항목
- 초대칭 소수, 괴물의 순서를 나누는 소수
인용구
- ^ 가드너 1980, 페이지 20~33.
- ^ 그리이스 1976, 페이지 113–118.
- ^ 그리이스 1982, 페이지 1-102.
- ^ 콘웨이 1985, 페이지 513–540.
- ^ Tits 1983, 페이지 105–122.
- ^ Tits 1984, 페이지 491–499.
- ^ 톰슨 1979, 페이지 340–346.
- ^ Norton 1985, 페이지 271–285.
- ^ 그리이스, 마이어프랑켄펠트 & 세게프 1989, 페이지 567–602.
- ^ 톰슨 1984, 페이지 443.
- ^ 윌슨 2001, 페이지 367–374.
- ^ Borcherds 2002, 페이지 1076.
- ^ Borcherds 2002, 페이지 1077.
- ^ 콘웨이 & 노턴 1979, 페이지 308–339.
- ^ 로버츠 2013.
- ^ 하란 2014년 7시 57분.
- ^ 마스터스 2019.
- ^ 던컨 2008.
- ^ 르 브뤼윈 2009.
- ^ 그는 맥케이 2015년.
- ^ 로난 2006.
- ^ 윌슨 2010, 페이지 393–403.
- ^ a b Norton & Wilson 2013, 페이지 943–962.
- ^ 윌슨 2016, 페이지 355–364.
- ^ a b 홈즈 & 윌슨 2008, 페이지 2653–2667.
- ^ 홈즈 & 윌슨 2004 페이지 141–152.
- ^ 홈즈 & 윌슨 2002 페이지 435-447.
원천
- Borcherds, Richard E. (October 2002). "What is... The Monster?" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 49 (9).
- le Bruyn, Lieven (22 April 2009). "The monster graph and McKay's observation". neverendingbooks.
- Conway, John Horton (1985). "A simple construction for the Fischer–Griess monster group". Inventiones Mathematicae. 79 (3): 513–540. Bibcode:1985InMat..79..513C. doi:10.1007/BF01388521. MR 0782233. S2CID 123340529.
- Conway, John Horton; Norton, Simon P. (1979). "Monstrous Moonshine". Bulletin of the London Mathematical Society. 11 (3): 308–339. doi:10.1112/blms/11.3.308.
- Duncan, John F. (2008). "Arithmetic groups and the affine E8 Dynkin diagram". arXiv:0810.1465 [RT math. RT].
- Gardner, Martin (1980). "Mathematical games". Scientific American. Vol. 242 no. 6. pp. 20–33. ISSN 0036-8733. JSTOR 24966339.
- Griess, Robert L. (1976). "The structure of the monster simple group". In Scott, W. Richard; Gross, Fletcher (eds.). Proceedings of the Conference on Finite Groups (Univ. Utah, 1975). Boston, MA: Academic Press. pp. 113–118. ISBN 978-012633650-4. MR 0399248.
- Griess, Robert L. (1982). "The friendly giant" (PDF). Inventiones Mathematicae. 69 (1): 1–102. Bibcode:1982InMat..69....1G. doi:10.1007/BF01389186. hdl:2027.42/46608. MR 0671653. S2CID 123597150.
- Griess, Robert L.; Meierfrankenfeld, Ulrich; Segev, Yoav (1989). "A uniqueness proof for the Monster". Annals of Mathematics. Second Series. 130 (3): 567–602. doi:10.2307/1971455. JSTOR 1971455. MR 1025167.
- Haran, Brady (2014). Life, Death and the Monster (John Conway). Numberphile – via YouTube.
- He, Yang-Hui; McKay, John (25 May 2015). "Sporadic and Exceptional". arXiv:1505.06742 [AG math. AG].
- Holmes, Petra E.; Wilson, Robert A. (2002). "A new maximal subgroup of the Monster". Journal of Algebra. 251 (1): 435–447. doi:10.1006/jabr.2001.9037. MR 1900293.
- Holmes, Petra E.; Wilson, Robert A. (2004). "PSL2(59) is a subgroup of the Monster". Journal of the London Mathematical Society. Second Series. 69 (1): 141–152. doi:10.1112/S0024610703004915. MR 2025332.
- Holmes, Petra E.; Wilson, Robert A. (2008). "On subgroups of the Monster containing A5's". Journal of Algebra. 319 (7): 2653–2667. doi:10.1016/j.jalgebra.2003.11.014. MR 2397402.
- Masters, Alexander (22 February 2019). "Simon Norton obituary". The Guardian.
- Norton, Simon P. (1985). "The uniqueness of the Fischer–Griess Monster". Finite groups—coming of age (Montreal, Que., 1982). Contemp. Math. 45. Providence RI: American Mathematical Society. pp. 271–285. doi:10.1090/conm/045/822242. ISBN 978-082185047-3. MR 0822242.
- Norton, Simon P.; Wilson, Robert A. (2013). "A correction to the 41-structure of the Monster, a construction of a new maximal subgroup L2(41) and a new Moonshine phenomenon" (PDF). J. London Math. Soc. Second Series. 87 (3): 943–962. doi:10.1112/jlms/jds078.
- Roberts, Siobhan (2013). Curiosities: Pursuing the Monster. Institute for Advanced Study.
- Ronan, M. (2006). Symmetry and the Monster. Oxford University Press. ISBN 019280722-6.
- Thompson, John G. (1979). "Uniqueness of the Fischer-Griess monster". The Bulletin of the London Mathematical Society. 11 (3): 340–346. doi:10.1112/blms/11.3.340. MR 0554400.
- Thompson, John G. (1984). "Some finite groups which appear as Gal L/K, where K ⊆ Q(μn)". Journal of Algebra. 89 (2): 437–499. doi:10.1016/0021-8693(84)90228-X. MR 0751155.
- Tits, Jacques (1983). "Le Monstre (d'après R. Griess, B. Fischer et al.)". Astérisque (121): 105–122. MR 0768956. Zbl 0548.20010.
- Tits, Jacques (1984). "On R. Griess' "friendly giant"". Inventiones Mathematicae. 78 (3): 491–499. Bibcode:1984InMat..78..491T. doi:10.1007/BF01388446. MR 0768989. S2CID 122379975.
- Wilson, Robert A. (2001). "The Monster is a Hurwitz group". Journal of Group Theory. 4 (4): 367–374. doi:10.1515/jgth.2001.027. MR 1859175. Archived from the original on 2012-03-05.
- Wilson, Robert A. (2010). "New computations in the Monster". Moonshine: the first quarter century and beyond. London Math. Soc. Lecture Note Ser. 372. Cambridge University Press. pp. 393–403. ISBN 978-052110664-1. MR 2681789.
- Wilson, Robert A. (2016). "Is the Suzuki group Sz(8) a subgroup of the Monster?" (PDF). Bull. London Math. Soc. 48 (2): 355–364. doi:10.1112/blms/bdw012. MR 3483073.
추가 읽기
- Conway, J. H.; Curtis, R. T.; Norton, S. P.; Parker, R. A.; Wilson, R. A. (1985). Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups. with computational assistance from J. G. Thackray. Oxford University Press. ISBN 978-019853199-9.
- Harada, Koichiro (2001). "Mathematics of the Monster". Sugaku Expositions. 14 (1): 55–71. MR 1690763.
- Holmes, P. E.; Wilson, R. A. (2003). "A computer construction of the Monster using 2-local subgroups". Journal of the London Mathematical Society. 67 (2): 346–364. doi:10.1112/S0024610702003976.
- Holmes, Petra E. (2008). "A classification of subgroups of the Monster isomorphic to S4 and an application". Journal of Algebra. 319 (8): 3089–3099. doi:10.1016/j.jalgebra.2004.01.031. MR 2408306.
- Ivanov, A.A. (2009). The Monster Group and Majorana Involutions. Cambridge tracts in mathematics. 176. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511576812. ISBN 978-052188994-0.
- Norton, Simon P. (1998). "Anatomy of the Monster. I". The atlas of finite groups: ten years on (Birmingham, 1995). London Math. Soc. Lecture Note Ser. 249. Cambridge University Press. pp. 198–214. doi:10.1017/CBO9780511565830.020. ISBN 978-052157587-4. MR 1647423.
- Norton, Simon P.; Wilson, Robert A. (2002). "Anatomy of the Monster. II". Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series. 84 (3): 581–598. doi:10.1112/S0024611502013357. MR 1888424.
- du Sautoy, Marcus (2008). Finding Moonshine. Fourth Estate. ISBN 978-000721461-7. HarperCollins가 Symmetry, ISBN 978-006078940-4)로 미국에서 발행함.
- Wilson, R. A.; Walsh, P. G.; Parker, R. A.; Linton, S. A. (1998). "Computer construction of the Monster". Journal of Group Theory. 1 (4): 307–337. doi:10.1515/jgth.1998.023.