피셔 그룹

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그룹 이론으로 알려진 현대 대수학 영역에서 피셔 그룹은 베른드 피셔(1971, 1976년)가₂₄ 소개한 산발적인 3대 단순 집단인₂₂ 피셔₂₃ 그룹이다.

3-변환군

피셔 그룹은 3개의 변환 그룹을 조사하다가 발견한 Bernd Fischer의 이름을 따서 명명되었다.다음과 같은 속성을 가진 G 그룹이다.

• G는 'Fischer transitions' 또는 3-transitions라고 불리는 순서 2의 요소의 결합 등급에 의해 생성된다.
• 어떤 두 개의 뚜렷한 전이의 산물에는 2 또는 3의 순서가 있다.

3-변환 집단의 대표적인 예는 대칭 집단으로, 피셔 전이가 진실로 전이되는 곳이다.대칭군 S는_n (12), (23), ..., (n - 1, n)의 n - 1 전이에 의해 생성될 수 있다.

피셔는 특정한 추가적인 기술적 조건을 만족시키는 3-변환 그룹을 분류할 수 있었다.그가 발견한 집단은 대부분 몇 개의 무한계급(대칭계급 외에, 동정계, 단일계, 직교계층의 특정계급)에 속했지만, 그는 또한 매우 큰 3개의 새로운 집단을 발견했다.이 그룹들은 보통 Fi₂₂, Fi₂₃, Fi로₂₄ 불린다.이 중 첫 번째 두 가지는 단순 그룹이며, 세 번째 그룹에는 지수 2의 단순 그룹 Fi₂₄′이 포함되어 있다.

피셔 그룹의 출발점은 9,196,830,720 = 2 =3¹⁵⁶⋅5⋅7⋅11의 피셔 그룹 시리즈에서 그룹 Fi로₂₁ 생각할 수 있는 단일 그룹 PSU₆(2)이다.사실 그것은 이중 커버 2이다.새로운 그룹의 하위 그룹이 되는 PSU₆(2).이것은 3510(= 2⋅3³⋅5⋅13)의 그래프에서 하나의 꼭지점의 스태빌라이저 입니다.이러한 정점은 그래프의 대칭군 Fi에서₂₂ 결합 3-변환으로 식별된다.

피셔 그룹은 큰 마티외 그룹과 유사하게 이름 지어진다.Fi에서는₂₂ 최대 3-트랜스포메이션의 최대 세트는 22사이즈를 가지고 있으며 기본 세트라고 불린다.특정 기본 세트에 어떤 것과도 통근하지 않는 아나바식이라고 불리는 1024개의 3-트랜스포메이션이 있다.헥사디치라고 불리는 다른 2364 중 어떤 것도 6개의 기본적인 것으로 통한다.6개의 세트는 S(3,6,22) Steiner 시스템을 형성하며, 대칭 그룹은 M₂₂. 기본 세트는 순서 2의¹⁰ 아벨리아 그룹을 생성하며, 이는 Fi에서₂₂ 하위 그룹 2¹⁰:M까지₂₂ 확장된다.

다음 피셔 그룹은 2에 대해 들른다.31671(= 3⁴⋅17⋅23) 정점의 그래프를 위한 원포인트 스태빌라이저로서, 이러한₂₂ 정점을 그룹 Fi에서₂₃ 3-변환으로 처리한다.3-변속기는 기본 23, 7 세트로 되어 있으며, 그 중 7 세트는 외부 3-변속기로 통근한다.

다음으로 Fi를₂₃ 취하여 306936(=2³⋅3³⋅7²⋅29) 정점의 그래프를 1점 안정제로 취급하여 그룹 Fi를₂₄ 만든다.3-변속기는 24의 기본 세트로 되어 있으며, 그 중 8개는 외부 3-변속기로 통근한다.그룹 Fi는₂₄ 단순하지 않지만 파생된 하위 그룹은 지수 2를 가지고 있고 산발적으로 단순한 그룹이다.

표기법

이들 집단에 대해 일률적으로 허용되는 표기법은 없다.일부 저자는 Fi(예를₂₂ 들어 F) 대신 F를 사용한다.피셔의 이들에 대한 표기법은 M(22), M(23) 및 M(24)24으로, 마티외 3대 그룹인 M₂₂, M, M₂₃₂₄(24)과의 친밀한 관계를 강조했다.

한 가지 특별한 혼란의 근원은 단순한 그룹 Fi₂₄′을 지칭하는 데 Fi가₂₄ 사용되기도 하고, 때로는 전체 3개 변환 그룹(두 배의 크기)을 지칭하는 데 사용되기도 한다는 것이다.

일반화 몬스트러스 문샤인

콘웨이와 노튼은 1979년 논문에서 괴물에게만 국한된 것이 아니라 다른 그룹에서도 비슷한 현상이 발견될 수 있다고 제안했다.이후 라리사 퀸 등은 산발적인 집단의 치수의 단순한 조합으로부터 많은 하우프트모듈른(주요 또는 주임모듈리)의 확장을 구성할 수 있다는 것을 발견했다.

참조

• Aschbacher, Michael (1997), 3-transposition groups, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 124, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511759413, ISBN 978-0-521-57196-8, MR 1423599 피셔의 정리에 대한 완전한 증거를 포함하고 있다.
• Fischer, Bernd (1971), "Finite groups generated by 3-transpositions. I", Inventiones Mathematicae, 13 (3): 232–246, doi:10.1007/BF01404633, ISSN 0020-9910, MR 0294487 이것은 피셔가 그의 그룹들의 건설에 대한 사전 인쇄의 첫 부분이다.논문의 나머지 부분은 미발표(2010년 기준)이다.
• Fischer, Bernd (1976), Finite Groups Generated by 3-transpositions, Preprint, Mathematics Institute, University of Warwick
• Wilson, Robert A. (2009), The finite simple groups, Graduate Texts in Mathematics 251, vol. 251, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl 1203.20012
• 윌슨, R. A. "유한집단표현의 ATLAS"
  https://web.archive.org/web/20171204142908/http:///for.mat.bham.ac.uk/atlas/html/contents.html#spo