공간 분류

수학에서, 특히 호모토피 이론에서 위상 그룹 G의 공간 BG를 분류하는 것은 G의 적절한 자유 작용에 의해 약하게 수축할 수 있는 공간 EG(즉, 호모토피 그룹이 모두 사소한 위상 공간)의 몫이다.그것은 파라콤팩트 다지관 위에 있는 G 주결합이 주결합 EG → BG의 풀백에 이형성이라는 특성을 가지고 있다.^[1]나중에 설명했듯이, 이는 공간을 분류하는 것이 위상 공간의 호모토피 범주에서 설정된 값 펑터를 나타낸다는 것을 의미한다.공간 분류라는 용어는 시에르피에스키 공간과 같이 위상학적 공간의 범주에 대해 설정된 값 펑터를 나타내는 공간에도 사용할 수 있다.이 개념은 토포들을 분류하는 개념에 의해 일반화된다.그러나 이 글의 나머지 부분에서는 공간을 호모토피까지 분류하는 것이 더 일반적으로 사용되는 개념에 대해 논하고 있다.null

이산형 그룹 G의 경우, BG는 대략적으로 X의 기본 그룹이 G에 이형화되어 있고 X의 상위 호모토피 그룹은 사소한 것, 즉 BG는 Eilenberg-MacLane 공간 또는 K(G,1)가 되는 경로연계 위상학적 공간 X이다.null

동기

무한순환군 G에 대한 분류공간의 예는 원 X이다.G가 이산형 그룹일 때, X에 조건을 명기하는 또 다른 방법은 X의 범용 커버 Y를 수축할 수 있다는 것이다.이 경우 투영 지도

\pi :Y\longrightarrow X\

구조 그룹 G와 함께 섬유 묶음이 되고, 사실 G의 주요 묶음이 된다.공간 개념 분류에 대한 관심은 실제로 이 경우 Y가 호모토피 범주에서 주된 G번들과 관련된 보편적 속성을 가지고 있다는 사실에서 비롯된다.이것은 사실 상위 호모토피 집단이 소멸하는 조건보다 더 기본적이다: 근본적인 아이디어는 G가 자유롭게 작용하는 그러한 수축 가능한 공간 Y를 찾는 것이다. (호모토피 이론의 약한 동등성 관념은 두 가지 버전과 관련이 있다.)서클의 예에서 말하는 것은 무한순환군 C가 실제 라인 R에서 자유롭게 행동한다고 말하는 것으로, 이는 수축이 가능하다.X를 지수 우주 원으로 받아들이면, 우리는 R = Y에서 X까지의 투영 π을 3차원에서 평면까지의 투영 과정을 거치면서 기하학적 용어의 나선형으로 간주할 수 있다.주장되고 있는 것은 π은 c 번들 사이에서 보편적인 속성을 가지고 있다는 것이다; 어떤 c 번들 역시 확실한 방법으로 '로부터' 얻어진다는 것이다.

형식주의

보다 공식적인 진술은 G가 위상학적 그룹일 수 있으며(단순히 분리된 그룹이 아님), G의 그룹 활동은 연속적으로 간주된다. 지속적인 조치가 없는 경우, 분류 우주 개념은 에일렌버그-매클레인 우주 건설을 통해 호모토피 방식으로 다룰 수 있다.호모토피 이론에서 주요 G번들을 위한 분류 공간인 위상학적 공간 BG의 정의는 BG 위에 있는 보편적 번들의 총 공간인 EG와 함께 주어진다.즉, 제공되는 것은 사실상 연속적인 매핑이다.

\pi :EG\longwrightarrow BG.\

지금부터 CW 콤플렉스의 호모토피 카테고리가 기초 카테고리라고 가정해 보자.실제로 BG가 요구하는 분류특성은 π과 관련이 있다.G번들 중 누구라도 그런 말을 할 수 있어야 한다.

[\displaystyle \property :Y\longrightarrow Z\ }

공간 Z에 걸쳐서, Z에서 BG까지 분류 지도 φ이 있는데, γ은 φ을 따라 π의 풀백이다.덜 추상적인 용어로 '틀림'에 의한 γ의 구성은 construction을 통해 이미 construction의 구성에 의해 표현된 꼬임으로 축소될 수 있어야 한다.

이것이 유용한 개념이 되려면, 분명히 그러한 공간 BG가 존재한다고 믿을 만한 어떤 이유가 있어야 한다.공간 분류에 관한 초기 연구는 BG를 임의의 이산형 집단을 위한 단순화 콤플렉스로서 구체적으로 기술하는 시공(예: 막대 구조)을 도입하였다.그러한 구조는 그룹 코호몰로지와의 연관성을 분명히 보여준다.null

구체적으로, EG는 n-단순함이 G의 원소들의 $[g_{0},\ldots ,g_{n}]$ 순서 (n+1)-tuple $[g_{0},\ldots ,g_{n}]$ $[g_{0},\ldots ,g_{n}]$ , $[g_{0},\ldots ,g_{n}]$ , $[g_{0},\ldots ,g_{n}]$ , $[g_{0},\ldots ,g_{n}]$ $[g_{0},\ldots ,g_{n}]$ ${\displaystyle[g_{0},\ldots ,g_{n}}}}$ 인 약한 단순화 복합체로서 여기서 ${\hat {g}}_{i}$ ${\hat {g}}_{i}$ ${\$ 는 이 꼭지점이 삭제되었음을 의미한다 ${\hat {g}}_{i}$ .이러한 n-simplex는 $[g_{0},\ldots ,{\hat {g}}_{i},\ldots ,g_{n}]$ simplex가 $[g_{0},\ldots ,{\hat {g}}_{i},\ldots ,g_{n}]$ 에 부착되는 것과 같은 방식으로 $[g_{0},\ldots ,{\hat {g}}_{i},\ldots ,g_{n}]$ $[g_{0},\ldots ,{\hat {g}}_{i},\ldots ,g_{n}]$ (n-1) 단순 [ $[g_{0},\ldots ,{\hat {g}}_{i},\ldots ,g_{n}]$ 0 , , $[g_{0},\ldots ,{\hat {g}}_{i},\ldots ,g_{n}]$ g $[g_{0},\ldots ,{\hat {g}}_{i},\ldots ,g_{n}]$ $[g_{0},\ldots ,{\hat {g}}_{i},\ldots ,g_{n}]$ , $[g_{0},\ldots ,{\hat {g}}_{i},\ldots ,g_{n}]$ $[g_{0},\ldots ,{\hat {g}}_{i},\ldots ,g_{n}]$ ${\displaystyle [g_{0},\ldots,{g}},\ldots, g_{n}]$ 에 부착된다.그 복합 EG는 수축할 수 있다.그룹 G는 $g\cdot [g_{0},\ldots ,g_{n}]=[gg_{0},\ldots ,gg_{n}]$ $g\cdot [g_{0},\ldots ,g_{n}]=[gg_{0},\ldots ,gg_{n}]$ [ $g\cdot [g_{0},\ldots ,g_{n}]=[gg_{0},\ldots ,gg_{n}]$ $g\cdot [g_{0},\ldots ,g_{n}]=[gg_{0},\ldots ,gg_{n}]$ , $g\cdot [g_{0},\ldots ,g_{n}]=[gg_{0},\ldots ,gg_{n}]$ … , $g\cdot [g_{0},\ldots ,g_{n}]=[gg_{0},\ldots ,gg_{n}]$ $g\cdot [g_{0},\ldots ,g_{n}]=[gg_{0},\ldots ,gg_{n}]$ = $g\cdot [g_{0},\ldots ,g_{n}]=[gg_{0},\ldots ,gg_{n}]$ [ $g\cdot [g_{0},\ldots ,g_{n}]=[gg_{0},\ldots ,gg_{n}]$ $g\cdot [g_{0},\ldots ,g_{n}]=[gg_{0},\ldots ,gg_{n}]$ 0 $g\cdot [g_{0},\ldots ,g_{n}]=[gg_{0},\ldots ,gg_{n}]$ , … $g\cdot [g_{0},\ldots ,g_{n}]=[gg_{0},\ldots ,gg_{n}]$ = [ g $g\cdot [g_{0},\ldots ,g_{n}]=[gg_{0},\ldots ,gg_{n}]$ 0 , , , $g\cdot [g_{0},\ldots ,g_{n}]=[gg_{0},\ldots ,gg_{n}]$ ] $g\cdot [g_{0},\ldots ,g_{n}]=[gg_{0},\ldots ,gg_{n}]$ {\ $displaystyle$ g\ $cdot [g_{$ 0},\ $ldots, g_{$ n}]=[ $g_$ {0 $},\ldots, g_{n}]$ 에 의해 EG에 작용하며 $g\cdot [g_{0},\ldots ,g_{n}]=[gg_{0},\ldots ,gg_{n}]$ 오직 정체성 e만이 단순한x를 가져간다.따라서 EG에 대한 G의 작용은 커버 우주 작용이며, 지수 지도 EG → EG/G는 궤도의 우주 공간 BG = EG/G의 범용 커버이며, BG는 K(G,1)이다.^[2]null

추상적인 용어(이 아이디어가 처음 소개된 1950년 경에 원래 사용된 것은 아님) 이것은 특정 펑터가 표현 가능한가에 대한 질문이다: 호모토피 범주에서 세트의 범주로 정의되는 왜곡된 펑터.

h(Z) = Z에 있는 주 G번들의 이형성 등급 집합.

이것에 대해 알려지고 있는 추상적 조건(브라운의 대표성 정리)은 존재의 정리로서 결과가 긍정적이고 너무 어렵지 않다는 것을 보장한다.null

예

$원 1$ S는 무한 순환 그룹 $\mathbb {Z} .$ . $\mathb {Z} .$ 의 분류 공간이며, 총 $\mathbb {Z} .$ 공간은 $E\mathbb {Z} =\mathbb {R} .$ $E\mathbb {Z} =\mathbb {R} .$ = $E\mathbb {Z} =\mathbb {R} .$ $E\mathb {Z} =\mathb {R}.$ 이다.
n-torus $\mathbb {T} ^{n}$ $\mathbb {T} ^{n}$ ${\$ $\$ $mathb {T}$ ^{ $n}}}$ 은(는) $\mathbb {Z} ^{n}$ n {\ $displaystyle$ \ $mathb$ {Z $} ^{n$ }}의 분류 공간으로서 $\mathbb T^n$ $\mathbb {Z} ^{n}$ n 등급의 자유 아벨리아 그룹이다.총 공간은 $E\mathbb {Z} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}.$ $E\mathbb {Z} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}.$ $E\mathbb {Z} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}.$ = $E\mathbb {Z} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}.$ $E\mathbb {Z} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}.$ . ${\displaystyle E\mathb {Z} ^{n}=\mathb {R} ^{n}.$ $}$
n 원의 쐐기는 n등급의 자유 집단을 위한 분류 공간이다.
최소 1개의 속(소형이고 경계가 없는 폐쇄형) 연결 표면 S는 그 기본 그룹 $\pi _{1}(S).$ $\pi _{1}(S).$ ( $\pi _{1}(S).$ ) $\pi _{1}(S).$ . ${\displaystyle \pi _{1}(S$ )의 분류 공간이다 $.$ $}$
닫힌(작고 경계가 없는) 연결 쌍곡 다지관 M은 기본 $\pi _{1}(M)$ $\pi _{1}(M)$ 1 $\pi _{1}(M)$ ( $\pi _{1}(M)$ ) $\pi _{1}(M)$ 의 분류 공간이다 $\pi _{1}(M)$
국부적으로 연결된 유한 CAT(0) 입체복합체는 그 기본집단의 분류공간이다.
The infinite-dimensional projective space $\mathbb {RP} ^{\infty }$ is a classifying space for the cyclic group $\mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .$ The total space is $E\mathbb {Z} _{2}=S^{\infty }$ (this is the구 $S^{n},$ $S^{n},$ , ${\displaystyle$ S $^{n}}$ 의 $S^{n},$ 직접 한계와 동등하게, 원점이 제거된 힐버트 공간은 수축 가능하다.
공간 $B\mathbb {Z} _{n}=S^{\infty }/\mathbb {Z} _{n}$ $B\mathbb {Z} _{n}=S^{\infty }/\mathbb {Z} _{n}$ n $B\mathbb {Z} _{n}=S^{\infty }/\mathbb {Z} _{n}$ = $B\mathbb {Z} _{n}=S^{\infty }/\mathbb {Z} _{n}$ $B\mathbb {Z} _{n}=S^{\infty }/\mathbb {Z} _{n}$ / $B\mathbb {Z} _{n}=S^{\infty }/\mathbb {Z} _{n}$ $B\mathbb {Z} _{n}=S^{\infty }/\mathbb {Z} _{n}$ ${\$ 은 순환 그룹 Z $\mathbb {Z} _{n}.$ . $\mathb {Z} _{n$ 의 분류 공간이다 $B\mathbb {Z} _{n}=S^{\infty }/\mathbb {Z} _{n}$ . $}}$ $S^{\infty }$ 서 $\mathbb {Z} _{n}.$ S ${{\$ 는 원점이 제거된 $\mathbb {C} ^{\infty }$ 무한 치수 힐버트 $\mathbb {C} ^{\infty }$ C ${{\$ 의 어떤 부분 집합으로 이해되며 $S^{\infty }$ , 순환 그룹은 통일의 뿌리를 가진 곱셈으로 작용하는 것으로 간주된다.
Bn{\displaystyle B_{n}},[3]고 주문한 구성 공간 Conf n⁡(미국의 2){\displaystyle \operatorname{Conf}_ᆱ(\mathbb{R}^{2})은 아르틴. Emil. 끈 그룹의 순서가 없는 배 위 공간 UConf n⁡(미국의 2){\displaystyle \operatorname{UConf}_ᆮ(\mathbb{R}^{2})}은 분류하는 공간이다.}순수 Artin 브레이드 그룹 $P_{n}.$ . $P_{n$ 의 분류 공간이다. $}$
(순서가 없는) 구성 공간 $\operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{\infty })$ n $S_{n}.$ $\operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{\infty })$ ( $\operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{\infty })$ $\operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{\infty })$ ) $displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathb {R} ^{\infty })$ 은 대칭 그룹 $S_{n}.$ . {\ $displaysty S_{n}$ 의 분류 공간이다 $\operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{\infty })$ . $}$ ^[4]
무한 치수 복합 투영 공간 $\mathbb {CP} ^{\infty }$ $∞{\$ }}}은¹ S가 콤팩트 위상학 그룹으로 생각하는 원의 $분류 1$ 공간 BS이다 $\mathbb {CP} ^{\infty }$ .
Grassmannian $Gr(n,\mathbb {R} ^{\infty })$ $Gr(n,\mathbb {R} ^{\infty })$ $Gr(n,\mathbb {R} ^{\infty })$ , R $Gr(n,\mathbb {R} ^{\infty })$ ) ${\displaystyle Gr(n,\mathb {R} ^{\infit }})$ 은 R $\mathbb {R} ^{\infty }$ ${\$ { $R$ $} ^{\nft$ }}에 있는 $\mathbb {R} ^{\infty }$ n-planes의 $Gr(n,\mathbb {R} ^{\infty })$ 분류 $\mathbb {R} ^{\infty }$ 총 $EO(n)=V(n,\mathbb {R} ^{\infty })$ 은 $EO(n)=V(n,\mathbb {R} ^{\infty })$ O $EO(n)=V(n,\mathbb {R} ^{\infty })$ ( n $EO(n)=V(n,\mathbb {R} ^{\infty })$ ) $EO(n)=V(n,\mathbb {R} ^{\infty })$ = V $EO(n)=V(n,\mathbb {R} ^{\infty })$ $EO(n)=V(n,\mathbb {R} ^{\infty })$ R $EO(n)=V(n,\mathbb {R} ^{\infty })$ ) ${\displaystyle EO(n)=V(n,\mathb {R} ^{\infit }}},$ $\mathbb {R} ^{\infty }.$ $\mathbb {R} ^{\infty }.$ ${\displaysty \mathb {R} ^{\infit$ }}}}}이다 $.$

적용들

이것은 여전히 BG와 함께 효과적인 계산을 하는 문제를 남긴다. 예를 들어, 특성계급의 이론은 적어도 Lie 그룹(H. Cartan의 정리)과 같은 흥미로운 그룹 G에 대해 적어도 호모토피 이론의 제한적 용어 내에서 BG의 동족학 집단을 계산하는 것과 본질적으로 동일하다.^{[clarification needed]}Bott의 주기성 정리에서도 알 수 있듯이, BG의 호모토피 그룹도 근본적인 관심사다.null

분류공간의 예로는 G가 순서 2의 순환일 때 BG는 무한차원의 실제 투영공간으로, 무한차원의 힐버트공간의 원점을 제거하여 EG를 수축공간으로 가져갈 수 있다는 관측에 해당하며, G는 v를 거쳐 -v로 가고 호모토피적 등식을 허용한다.BG를 선택할 수 있는 능력이 예는 공간을 분류하는 것이 복잡할 수 있다는 것을 보여준다.null

미분 기하학(북-웨이일 이론) 및 그라스만 이론과 관련하여, 가장 관심이 많은 단일 집단과 같은 사례에 대해서는 이론에 대한 훨씬 더 실질적인 접근이 가능하다.톰 콤플렉스 MG의 건설은 BG 공간도 거미줄 이론에 연루되어 있다는 것을 보여주었고, 그래서 그들은 대수학적 위상에서 나오는 기하학적 고려의 중심 위치를 차지했다.집단 코호몰로지(cogroup chomology)는 (많은 경우에) 공간 분류의 사용에 의해 정의될 수 있기 때문에, 그것들은 또한 많은 호몰로지 대수학에서 기초적인 것으로 볼 수 있다.null

일반화에는 '모형의 공간'을 대신하는 직관적 논리학에서 서술적 미적분학의 논리적 이론에 대한 상표가 포함된다.null

참고 항목

메모들

^ Stasheff, James D. (1971), "H-spaces and classifying spaces: foundations and recent developments", Algebraic topology (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1970), Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 247–272, 정리 2
^ Hatcher, Allen. (2002). Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press. p. 89. ISBN 0-521-79160-X. OCLC 45420394.
^ Arnold, Vladimir I. (1969). "The cohomology ring of the colored braid group". Vladimir I. Arnold - Collected Works. Springer, Berlin, Heidelberg. pp. 183–186. doi:10.1007/978-3-642-31031-7_18. ISBN 978-3-642-31030-0.
^ "classifying space in nLab". ncatlab.org. Retrieved 2017-08-22.

참조

J.P. 5월, 대수적 위상에서의 간결한 과정
nLab의 공간 분류
"Classifying space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Stasheff, James D. (1971), "H-spaces and classifying spaces: foundations and recent developments", Algebraic topology (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1970), Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 247–272, 정리 2

[2] Hatcher, Allen. (2002). Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press. p. 89. ISBN 0-521-79160-X. OCLC 45420394.

[3] Arnold, Vladimir I. (1969). "The cohomology ring of the colored braid group". Vladimir I. Arnold - Collected Works. Springer, Berlin, Heidelberg. pp. 183–186. doi:10.1007/978-3-642-31031-7_18. ISBN 978-3-642-31030-0.

[4] "classifying space in nLab". ncatlab.org. Retrieved 2017-08-22.

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