입자 필터

Particle filter

입자 필터 또는 순차적 몬테카를로 방법은 신호 처리 및 베이지안 통계 추론에서 발생하는 필터링 문제를 해결하기 위해 사용되는 몬테카를로 알고리즘 세트입니다.필터링 문제는 동적 시스템뿐만 아니라 센서에도 무작위 섭동이 존재할 때 동적 시스템의 내부 상태를 추정하는 것으로 구성된다.목표는 노이즈가 많고 부분적인 관측을 고려할 때 마르코프 과정의 상태에 대한 사후 분포를 계산하는 것이다."입자 필터"라는 용어는 1960년대 [1]초반부터 유체 역학에서 사용된 평균장 상호작용 입자 방법과 관련하여 델 모럴에 의해 1996년에 처음 만들어졌습니다."시퀀셜 몬테카를로"라는 용어는 1998년 [2]류와 첸에 의해 만들어졌다.

입자 필터링은 잡음 및/또는 부분 관측치가 주어진 확률적 과정후방 분포를 나타내기 위해 입자 집합(샘플이라고도 함)을 사용합니다.상태-공간 모델은 비선형일 수 있으며 초기 상태와 소음 분포는 필요한 모든 형태를 취할 수 있다.파티클 필터 기술은 상태 공간 모델 또는 상태 분포에 대한 가정을 필요로 하지 않고 필요한 분포에서 샘플을 생성하기 위한 잘 확립된 방법론을[1][3][4] 제공합니다.그러나 이 방법들은 매우 고차원적인 시스템에 적용되면 잘 수행되지 않습니다.

파티클 필터는 대략적인(통계적인) 방법으로 예측을 업데이트합니다.분포의 샘플은 일련의 입자로 표현됩니다.각 입자는 확률밀도함수에서 해당 입자가 샘플링될 확률을 나타내는 우도 가중치를 할당받습니다.무게의 불균형을 초래하는 무게의 불균형은 이러한 필터링 알고리즘에서 흔히 볼 수 있는 문제이지만 가중치가 균일하지 않게 되기 전에 재샘플링 단계를 포함시킴으로써 이를 완화할 수 있습니다.가중치의 [5]분산과 균일한 분포에 대한 상대적 엔트로피를 포함한 몇 가지 적응적 재샘플링 기준을 사용할 수 있다.재샘플링 공정에서는 중량 미달 입자를 중량 미달 입자에 근접한 새로운 입자로 치환한다.

통계적 및 확률론적 관점에서 입자 필터는 파인만-Kac 확률 [6][7][8][9][10]측정의 평균장 입자 해석으로 해석될 수 있다.이러한 입자 통합 기술은 테오도르 E에 의해 분자 화학과 계산 물리학에서 개발되었다. 1951년 HarrisHerman Kahn[11], 1955년 Marshall N. RosenbluthArianna W. Rosenbluth, 그리고 최근에는 Jack H.에 의해.1984년 [12]헤더링턴.계산 물리학에서, 이러한 파인만-Kac형 경로 입자 통합 방법은 양자 몬테 카를로,[13][14][15]구체적으로 확산 몬테 카를로 방법에도 사용된다.파인만-케이크 상호 작용 입자 방법은 또한 복잡한 최적화 문제를 해결하기 위해 진화 컴퓨팅에서 현재 사용되는 돌연변이 선택 유전 알고리즘과 강하게 관련되어 있다.

입자 필터 방법론은 숨겨진 마르코프 모델(HM) 및 비선형 필터링 문제를 해결하기 위해 사용됩니다.linear-Gaussian signal-observation 모델(칼만 필터)나 모델(Eduard베네시. filter[16])의 더 많은 수업의 주목할 만한 예외로 하고, 미레유 Chaleyat-Maurel과 도미니크 미셸 1984년에 있는 신호를 관찰(최적 필터 일명,)이 주어지는 것의 임의 국가의 후 분배를 시퀀스도 한정된 반복습니다.[17]고정 그리드 근사, 마르코프 연쇄 몬테 카를로 기법, 재래식 선형화, 확장 칼만 필터 또는 (예상 비용 오류 측면에서) 최상의 선형 시스템을 결정하는 다양한 다른 수치 방법은 대규모 시스템, 불안정한 프로세스 또는 비선형성이 충분히 평활하지 않은 경우에 대처할 수 없다.h.

입자 필터 및 Feynman-Kac 입자 방법론 신호와 이미지 프로세싱과 베이즈 추론, 기계 학습, 위험 분석과 희귀한 행사 샘플링, 공학, 로봇 공학, 인공 지능, bioinformatics,[18]phylogenetics, 통신 과학, 경제학과 수학적 금융, 분자 화학, 사에서 애플리케이션을 찾는다mput운동 물리학, 약동학 그리고 다른 분야들.

역사

휴리스틱 알고리즘

통계적 및 확률론적 관점에서 입자 필터는 분기/유전자형 알고리즘평균장 유형 상호작용 입자 방법론의 클래스에 속한다.이러한 입자 방법의 해석은 과학 분야에 따라 달라집니다.진화 컴퓨팅에서 평균장 유전형 입자 방법론은 종종 경험적 및 자연적 검색 알고리즘(일명, k.a)으로 사용된다.메타 휴리스틱).계산물리학과 분자화학에서는 파인만-케이크 경로 통합 문제를 해결하거나 슈뢰딩거 연산자의 볼츠만-기브스 측정값, 상위 고유값 및 접지 상태를 계산하는 데 사용됩니다.생물학 유전학에서, 그것들은 일부 환경에서 개체군 또는 유전자의 진화를 나타냅니다.

평균장 유형 진화 계산 기술의 기원은 유전형 돌연변이 선택 학습[19] 기계에 대한 앨런 튜링의 연구뉴저지 [20][21]프린스턴 고등 연구소닐스바리첼리논문으로 1950년과 1954년으로 거슬러 올라갈 수 있다.통계적 방법론에서 입자 필터의 첫 번째 흔적은 1950년대 중반으로 거슬러 올라간다. 1954년 Hammersley 등이 제안한 '가난한 사람의 몬테 카를로'[22]는 오늘날 사용되는 유전자 유형 입자 필터링 방법의 힌트를 포함하고 있다.1963년, 닐스바리첼리는 간단한 게임을 [23]할 수 있는 개인의 능력을 모방하기 위해 유전자형 알고리즘을 시뮬레이션했다.진화 컴퓨팅 문헌에서 유전자형 돌연변이 선택 알고리즘은 1970년대 초 존 홀랜드의 중요한 연구, 특히 1975년에 출판된 그의 책을[24] 통해 인기를 끌었다.

생물학과 유전학에서 호주의 유전학자 알렉스 프레이저는 또한 1957년에 [25]유기체의 인위적인 선택에 대한 유전자 유형 시뮬레이션에 대한 일련의 논문을 발표했다.생물학자들에 의한 진화의 컴퓨터 시뮬레이션은 1960년대 초에 더욱 보편화되었고, 그 방법은 프레이저와 버넬(1970)[26]과 크로스비(1973)[27]의 책에 기술되었다.프레이저의 시뮬레이션은 현대 돌연변이 선택 유전 입자 알고리즘의 모든 필수 요소를 포함했다.

수학적 관점에서, 일부 부분적이고 노이즈가 많은 관측치가 주어진 신호의 랜덤 상태의 조건부 분포는 일련의 [6][7]우도전위함수에 의해 가중된 신호의 랜덤 궤적상의 파인만-Kac 확률에 의해 설명된다.양자 몬테 카를로, 그리고 보다 구체적으로 확산 몬테 카를로 방법은 파인만-Kac 경로 [6][7][8][12][13][28][29]적분의 평균장 유전형 입자 근사치로 해석될 수 있다.양자 몬테카를로 방법의 기원은 종종 엔리코 페르미와 로버트 리치트마이어가 1948년에 중성자 사슬 반응의 [30]평균장 입자 해석을 개발했지만, 최초의 발견적 유사하고 유전자 유형 입자 알고리즘(a.k.a)에 기인한다.(축소 매트릭스 모델에서) 양자 시스템의 지면 상태 에너지 추정을 위한 재샘플링 또는 재구성 몬테카를로 방법)은 잭 H에 기인한다.1984년 [12]헤더링턴.사람들은 또한 테오도르 E의 초기 주요 작품들을 인용할 수 있다. 1951년에 발표된 입자 물리학에서 Harris와 Herman Kahn은 입자 전달 [31]에너지를 추정하기 위해 평균장이지만 휴리스틱과 유사한 유전학적 방법을 사용했다.분자 화학에서, 유전적 발견적 입자 방법론(일명 가지치기 및 농축 전략)의 사용은 Marshall의 주요 연구로 1955년까지 거슬러 올라갈 수 있다.N. 로젠블루스와 아리아나.W.[11] 로젠블루스

고급 신호 처리와 베이지안 추론에 유전자 입자 알고리즘을 사용하는 은 보다 최근의 일이다.1993년 1월 기타가와 겐시로(北川 developed developed)는 1996년 [33]이 기사의 약간 변형된 버전인 "몬테 카를로 필터"[32]를 개발했다.1993년 4월, 고든 외 연구진은 베이지안 통계 추론의 유전자 유형 알고리즘의 적용을 그들의 주요[34] 연구에서 발표했다.저자들은 그들의 알고리즘을 '부트스트랩 필터'라고 이름 붙였고, 다른 필터링 방법과 비교했을 때, 그들의 부트스트랩 알고리즘은 그 상태 공간이나 시스템의 노이즈에 대한 어떠한 가정도 필요로 하지 않는다는 것을 증명했다.1990년대 중반에 발표된 입자 필터에 관한 피에르 델[1] 모랄과 히밀콘 카르발류, 피에르 델 모랄, 앙드레 모닌, 제라르[35] 살루트의 작품들은 독립적으로 발표되었습니다.입자 필터는 또한 1989-1992년 초에 P에 의해 신호 처리에서 개발되었습니다.델 모럴, J.C.STCAN(Service Technical des Constructions et Armes Navales), IT 기업인 DIGILOG 및 LAAS-CNRS(건축 및 시스템 연구소 분석)와 함께 일련의 제한 및 기밀 연구 보고서를 작성한 LAAS-CNRS의 Noyer, G. Rigal 및 G. Salut

수학적 기초

1950년부터 1996년까지, 컴퓨터 물리학과 분자 화학에서 도입된 몬테 카를로 가지치기 및 재표본 방법을 포함한 입자 필터, 유전 알고리즘에 대한 모든 출판물은 일관성에 대한 단일 증명이나 편견에 대한 논의 없이 다른 상황에 적용된 자연적이고 휴리스틱한 알고리즘을 제시한다.f 추정치 및 족보 및 조상 수목 기반 알고리즘에 기초한다.

이 입자 알고리즘의 수학적 기초와 첫 번째 엄격한 분석은 1996년 피에르[1][3] 델 모랄에 기인한다.이 기사는[1] 또한 우도 함수와 비정규화된 조건부 확률 측정의 입자 근사치의 편향되지 않은 특성에 대한 증거를 포함하고 있다.이 기사에 제시된 우도 함수의 편향되지 않은 입자 추정기는 오늘날 베이지안 통계 추론에서 사용된다.

다양한 모집단 크기를 가진 분기형 입자 방법론도 1990년대 말에 댄 크리스찬, 제시카 게인스,[42][43][44] 테리 라이언스와 댄 크리스찬, 피에르 델 모럴, 테리 [45]라이언스에 의해 개발되었다.P사는 2000년에 이 분야에 대한 추가 개발을 실시했다.델 모럴, AGuionnet과 L.미클로.[7][46][47] 첫 번째 중심 한계 정리는 1999년 피에르 델 모럴과 앨리스 기온넷[48] 그리고 2000년 피에르 델 모럴과 로랑[7] 미클로입니다.입자 필터의 시간 매개변수에 관한 최초의 균일한 수렴 결과는 1990년대 말에 피에르 델 모럴과 앨리스 귀옹넷에 [46][47]의해 개발되었다.계통수 기반 입자 필터 평활기에 대한 첫 번째 엄격한 분석은 P 때문이다.델 모럴과 L.2001년[49] 미클로

파인만-케이크 입자 방법론과 관련 입자 필터 알고리즘에 대한 이론은 2000년과 2004년에 책들에서 [7][4]개발되었다.이러한 추상적 확률론적 모델은 유전자 유형 알고리즘, 입자 및 부트스트랩 필터를 캡슐화하여 Kalman 필터(일명 Kalman 필터)를 상호 작용시킨다.Rao-Blackwellized 입자[50] 필터), 필터링 및 스무딩 문제를 해결하기 위한 계보 트리 기반 및 입자 역방향 방법론을 포함한 중요도 샘플링 및 재샘플링 스타일의 입자 필터 기술.다른 종류의 입자 필터링 방법론에는 계보 트리 기반 모델,[9][4][51] 역 마르코프 입자 모델,[9][52] 적응형 평균장 입자 모델,[5] 섬형 입자 [53][54]모델 및 입자 마르코프 연쇄 몬테 카를로 [55][56]방법론이 포함된다.

필터링 문제

객관적으로

입자 필터의 목적은 관측 변수가 주어진 상태 변수의 후방 밀도를 추정하는 것이다.입자 필터는 숨겨진 마르코프 모델을 위해 설계되었으며, 여기서 시스템은 숨겨진 변수와 관측 가능한 변수 둘 다로 구성됩니다.관측 가능한 변수(관측 공정)는 알려진 함수 형식으로 숨겨진 변수(상태 공정)와 관련이 있습니다.마찬가지로 상태 변수의 진화를 설명하는 동적 시스템도 확률적으로 알려져 있다.

범용 입자 필터는 관측 측정 프로세스를 이용해 은닉 상태의 후방 분포를 추정한다.다음과 같은 상태 공간에 대해:

필터링 문제는 관찰 0 , , k, \ _, \ ,_ { } 의 값을 바탕으로 단계 k 의 숨겨진 k 의 값을 순차적으로 추정하는 것입니다.

k(\ 베이지안 추정치는 후방 p( k 0 1,. . , )(\},1}, ...k에서 나옵니다.입자 필터 방법론은 유전자 유형 입자 알고리즘과 관련된 경험적 측정을 사용하여 이러한 조건부 확률의 근사치를 제공합니다.반대로 마르코프 연쇄 몬테카를로 또는 중요도 샘플링 접근법은 완전한 사후 ( ,., 0, ,., . , k p ,} ,1}, ., 를 모델링한다.

신호-관찰 모델

파티클 방법은 종종 X })와 k 다음과 같은 형태로 모델링할 수 있다고 합니다.

  • 0 , 1 , { \ X { 0 ,_ { 1 , \ dx \ \ {} { d { _ { x } ( { x \ 1 \ displaystyle { x x x x 1 qabilityability according according according according according according1 q1 q according according according according according according according1 q according according 、 k- k - 1또한 이 모델은 종종 합성 방식으로 작성됩니다.
초기 확률 p ( 0 p를 사용합니다.
  • Y , 1 ,{\ \ Y { 0 , Y _ { 1 , \ } dy \ \{ R } ^ { _ { y} {) { , , , , , , , , , , , , , , , , , , X, , , , , , , , , , , , , , , , , , , some some some in in in in some some some some 。(가) 알려져 있습니다., 에만 의존하며, k x k= xk= x _{ k}= x { k } = x _ { } = X _ { } = x _ { k } way way way way way way way way way way way way way way way way way way way way way way way way way way way way way way x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

이러한 속성을 가지는 시스템의 예를 다음에 나타냅니다.

서 W k k 알려진 확률 밀도 함수를 가진 상호 독립적인 시퀀스이고 g와 h는 알려진 함수입니다.이 두 방정식은 상태 공간 방정식으로 볼 수 있으며 Kalman 필터의 상태 공간 방정식과 유사합니다.위의 예에서 함수 g와 h가 선형이며 가우스인 경우 Kalman 필터는 정확한 베이지안 필터링 분포를 찾습니다.그렇지 않은 경우 Kalman 필터 기반 방법은 1차 근사(EKF) 또는 2차 근사(일반적으로 UKF이지만 확률 분포가 가우스인 경우 3차 근사 가능)입니다.

마르코프 사슬의 초기 분포와 전이가 르베게 측정과 관련하여 절대적으로 연속적이라는 가정은 완화될 수 있다.파티클 필터를 설계하기 위해서는 X {\displaystyle k}의 X k - k - { \ to 천이를 샘플링하고 우도 x p( ) { x_ psty psty \}를 계산할 수 있다고 가정하면 됩니다.nstance 아래에 제시된 입자 필터의 유전자 선택 돌연변이 설명). 마르코프 전이에 절대적으로 연속적인 은 조건부 밀도에 대한 베이즈 규칙을 사용하여 사후 분포 간에 비공식적으로(그리고 다소 남용적인 다른 공식을 도출하는 데만 사용된다.

대략적인 베이지안 계산 모델

특정 문제에서는 신호의 랜덤 상태가 주어진 관측치의 조건부 분포가 밀도를 갖지 못할 수 있으며, 후자는 계산이 [18]불가능하거나 너무 복잡할 수 있습니다.이 상황에서 우리는 추가적인 근사치에 의지할 필요가 있다.한 가지 전략은 X k(\ 마르코프 k ( k {\})로 대체하는 것입니다. 폼의 가상 관찰을 도입합니다.

알려진 확률 밀도 함수를 가진 독립 랜덤 Vk }}에 대해.중요한 생각은 을 관찰하는 것이다.

마르코프 k ( k , ) { \ } { k } = \ left ( _ { ) } 。 부분 0 , , , { { _ , \ , { \ { _ { k} display { bbb ( kk ) { style p ( { \ { } } } } { { } { k}} p p abusive abusive abusive abusive abusive abusive abusive given notation notation notation notation notation notation by by by by by by by by by by by by by by given notation by by by by by by given given given given given이러한 확률론적 기법은 근사 베이지안 계산(ABC)과 밀접한 관련이 있다.입자 필터의 맥락에서, 이러한 ABC 입자 필터링 기술은 P에 의해 1998년에 도입되었다.델 모럴, J. Jacod, P.프로터.[57]그것들은 P에 의해 한층 더 개발되었습니다.델 모럴, ADoucet과 A.자스라.[58][59]

비선형 필터링 방정식

조건부 확률에 대한 베이즈의 규칙은 다음을 제공한다.

어디에

입자 필터도 근사치이지만 입자가 충분하면 훨씬 [1][3][4][46][47]더 정확할 수 있습니다.비선형 필터링 방정식은 재귀에 의해 제공됩니다.

(제1호)

( 0 , , , - 1) ( 0 )= p ( x 0 ){0}) } (k = 0).비선형 필터링 문제는 이러한 조건부 분포를 순차적으로 계산하는 데 있습니다.

파인만-카크 제제

시간 수평선 n과 일련의 Y , , n \ } =} =을 고정하고 k = 0, ...에 대해 n을 설정합니다.

이 표기법에서, 원점 k = 0부터 시간 k n까지 궤적 집합에 대한 경계 함수 F에 대해, 파인만-Kac 공식이 있다.

이러한 Feyman-Kac 경로 통합 모델은 컴퓨터 물리학, 생물학, 정보 이론 및 컴퓨터 [7][9][4]과학 등 다양한 과학 분야에서 발생합니다.이러한 해석은 애플리케이션 도메인에 따라 달라집니다.예를 들어, 상태 공간의 일부 부분 집합의 Gn ( ) ( ) { (n}) = (x_{ 선택하면, 이는 주어진 튜브에 있는 마르코프 사슬의 조건부 분포를 나타냅니다.

그리고.

정규화 상수가 완전히 양수인 경우.

파티클 필터

유전형 입자 알고리즘

처음에 이러한 알고리즘은 공통 확률밀도 p\ _ iN}(\ 시작합니다.유전자 알고리즘 선택-변환 전환[1][3]

최적의 필터 진화의 업데이트 예측 전환을 모방/전이를 모방/대략한다.

  • 선택-선택 전환독립 변수ally ^ k : ( N \ { style \\ }k {{ki\ N(조건부) 분포

여기서 \ _ 특정 상태 a에서의 Dirac 측정값을 나타냅니다.

  • 돌연변이-예측 전이 된 각 입자 {\ {\}}에서 독립적으로 전이를 샘플링한다.

위에 표시된 공식 k i에서 { p \ _ x p })에서 평가된 우도 x kp ( k를 나타냅니다.i p} {i k 평가되는 밀도 p k + 1 k. {xi } wide hat { } {xi}

k마다, 우리는 입자의 근사치를 가지고 있다.

그리고.

유전자 알고리즘과 진화 컴퓨팅 커뮤니티에서는 위에서 설명한 돌연변이 선택 마르코프 사슬을 종종 비례 선택 유전 알고리즘이라고 부른다.랜덤 모집단 크기를 포함한 몇 가지 분기 변종도 [4][42][45]기사에서 제안되었다.

몬테카를로의 원리

입자 방법은 모든 샘플링 기반 접근법(예: 마르코프 연쇄 몬테 카를로)과 마찬가지로 필터링 밀도에 근사한 샘플 세트를 생성한다.

예를 들어 X displaystyle 의 대략적인 후방 분포에서 N개의 샘플이 있을 수 있습니다.여기서 샘플에는 다음과 같은 슈퍼스크립트가 붙어 있습니다.

필터링 분포에 관한 기대치는 다음과 같이 근사한다.

(제2호)

와 함께

여기서 \ _ 특정 상태 a에서의 Dirac 측정값을 나타냅니다.함수 f는 몬테카를로의 일반적인 방법으로 분포의 모든 모멘트 등을 근사 오차까지 제공할 수 있다.근사 방정식(Eq. 2)이 유계 함수 f에 대해 충족될 때

입자 필터는 돌연변이와 선택 전환에 따라 진화하는 유전형 입자 알고리즘으로 해석할 수 있다.우리는 조상의 혈통을 추적할 수 있다.

{ i =1 \ ,} 。 임의 ^ , i { , } , xi ^ i}}레벨 l=0,…,k. 이 경우 근사식이 있습니다

(제3호)

경험적 척도로

여기서 F는 신호의 경로 공간에서 확립된 함수를 나타냅니다.보다 합성적인 형태(Eq.3)는 다음과 같다.

파티클 필터는 다양한 방법으로 해석할 수 있습니다.확률론적 관점에서 그것들은 비선형 필터링 방정식의 평균장 입자 해석과 일치한다.최적의 필터 진화의 업데이트-예측 전환은 개인의 고전적인 유전자 유형 선택-변환 전환으로도 해석될 수 있다.시퀀셜 중요도 재샘플링 기술은 중요도 샘플링을 부트스트랩 재샘플링 스텝과 결합하는 필터링 천이에 대한 또 다른 해석을 제공합니다.마지막으로 파티클 필터는 재활용 메커니즘을 [9][4]갖춘 수용 거부 방법론이라고 볼 수 있습니다.

평균장 입자 시뮬레이션

일반적인 확률론적 원칙

비선형 필터링 진화는 다음과 같은 형식의 확률 측정 세트에서의 동적 시스템으로 해석할 수 있다. n + n + ( n) { _} \(\}\right +1 \n+1})은 확률 분포 집합에서 확률 분포 자체에 대한 매핑을 나타냅니다.예를 들어, 1단계 최적 예측 변수 ( n ) p ( 0 , ,y - ) dx \ \_ { n ( _ { n } ( x _ { y0 , \ , _ { n - 1} 의 진화

는 확률분포 0 ( 0 ) ( x ) 0 ( \ _ {} ( _ {0} ) ( x _ { ) p ( x { ) displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay _ iN}, 공통 확률 분포 ution 0 ( d) ( \_ } (})=p})의 랜덤한 가 정의되어 있다고 가정합니다.N}}: 다음과 같이 설정합니다.

다음 단계에서는 (로) N개의 독립 랜덤 변수 n + : ( n + i )i N { i N 공통법칙으로 샘플링합니다.

필터링 방정식의 입자 해석

우리는 1단계 최적 예측 변수의 진화의 맥락에서 이 평균장 입자 원리를 설명한다.

(제4호)

k = 0의 경우 ( , , -) : ( 0 ){ p ( _ { ) _ { , \ , y { - 1 } : ( x { } )

큰 숫자의 법칙에 따라, 우리는

라는 의미에서

모든 제한 함수 {\ f에 대하여. 또한 순위에서 일련의 입자 ( i) iN {\ _ iN})를 구성했다고 가정합니다.

f f\ f 경계 에 대해

이 경우 p( x 0 ,", - ) k( p ( _ { } y 0 , \ , y { k - 1 ) } 를 경험적 p^ ( k y , " , - style { { hatp } ( _ 0 . 0 . _ cd _ _ cd _ cd _ cd _ cd _ cd _ cd _ k } { k _ 0 } { k } { k } {(4번 문항)에 기재되어 있습니다.

위의 공식에서 오른쪽은 가중 확률 혼합물입니다.

p ( k) { ( y { \ { }^{ i} } ( y ) { ( { ) _ { } \ { }^{ } + p k + k k}))는 x {}=\ _ 되며 i , { i=N}).

다음으로 공통 k + 의 N개 독립 랜덤변수(' + i ) iN ( \ \ left ( \ _ {+ }^{ } \ ) 1 \ \ } )_ 1 \ styleq + 0} { k + hat )를 샘플로 합니다

이 절차를 반복하면서, 우리는 다음과 같이 마르코프 체인을 설계한다.

최적 필터는 각 시간 단계 k에서 베이즈 공식을 사용하여 근사됩니다.

'평균장 근사'라는 용어는 각 시간 단계에서 확률 p y , , - 1를 경험적 p^ ( x0 , \ , - 대체한다는 사실에서 필터링 문제의 평균 필드 입자 근사치는 고유하지 않습니다.[9][4]책에는 몇 가지 전략이 나와 있다.

일부 컨버전스 결과

입자 필터의 수렴 분석은 1996년과[1][3] 2000년에 책과[7] 일련의 [45][46][47][48][49][60][61]기사에서 시작되었다.보다 최근의 발전은 [9][4]책에서 찾을 수 있다. 필터링 방정식이 안정적일 때(그것이 잘못된 초기 조건을 수정한다는 의미), 입자 추정의 편향과 분산은

비점근 균일한 추정치에 의해 제어된다.

f가 1로 한정되어 있는 경우 일부 유한 {{}, 또한 0 {\ x 0 대해서는 다음과 같습니다.

입자 추정치의 점근적 바이어스 및 분산과 관련된 유한 c1 ({2}) 및 일부 유한 상수 c.1단계 최적 예측 변수를 최적 필터 근사치로 대체해도 동일한 결과가 충족됩니다.

족보적 나무와 편견의 특성

계보수 기반 입자 평활

조상의 혈통을 거슬러 올라가다

^ i {{\} {(= = = \}^i ^i ^{i} {i} {xi} \ {

이러한 경험적 근사치는 입자 적분 근사치와 같다.

신호의 임의 궤적에서 경계 함수 F에 대해 설명합니다.계보목의 진화에 나타나[51] 있듯이 신호 궤적의 후방 밀도와 관련된 진화 방정식의 평균장 입자 해석과 일치한다.이러한 경로 공간 모델에 대한 자세한 내용은 [9][4]책을 참조하십시오.

우도 함수의 편향되지 않은 입자 추정치

우리는 제품 공식을 사용한다.

와 함께

( y 0 , ,, - ) (y 0 ) = p ( y 0 ) 、 \ ( y { ) , \, y{ - } ( ), \ px \ _ 0 } 0style p근사치

위에 표시된 공식에서, 우리는 우도 함수의 다음과 같은 편향되지 않은 입자 근사치를 설계한다.

와 함께

서 p k { p \ _ x k (\})에서 p( k { p { 나타냅니다.이 입자 추정의 설계와 편파성은 1996년 [1]기사에서 증명되었다.자세한 분산 추정치는 [9]및 에서 확인할[4] 수 있습니다.

후방 입자 평활기

베이즈의 법칙을 이용하여, 우리는 공식을 가지고 있다.

주의해 주세요

이는 을 암시한다.

1단계 최적 p ( k - ( 0 , , -) x - ( \ p ( x { k - _ { , \ , y { k - 2 )_ { k -1 } )를 입자 경험적 측정으로 대체한다.

라는 것을 알 수 있다

라고 결론짓다

역입자 근사에 따라

확률 측도

는 마르코프 체인 k ) \ style \(\}\ k n_{0\right})_{0\leqslant k\leqslant n}_n}의 랜덤 패스가 시간에서 시간 k=n까지 거꾸로 실행되어 각 시간과 관련된 각 시간에서 관련되는 확률이다.

  • 처음에(시간 k=n) X, n \ {n}^{\flat 분포가 있는 상태를 무작위로 선택한다.
  • 시간 k에서 시간 (k-1)까지 , 1, , {\ } =\i}에 대한 체인은 시간 로 이동합니다(\이산 가중 확률과 함께

의 식에서 p ( - k, ( 0 ," , -){ { p } ( _ { k - 1 } _ { 0 , \ ,{ )는 조건부 ^(d - - )를 }k-1})) x k= k i {{k} = _i에서 평가됨. 에서p( y - - - j ) { p _ k - - { } \xi _ xi - { k - { } } } } { k - { k - { k - { k-1} } } } } p - x -)({ p k (\ =\에서 평가됨)} 이 모델들은 위의 마르코프 체인에 [52]대한 매트릭스 연산의 관점에서 p ( (x 0 ,, ,n - 1) (0 , , - 1) , , )에 대한 통합을 줄일 수 있다예를 들어 대해 입자 추정치가 있습니다.

어디에

또, 이것은,

그리고나서

일부 컨버전스 결과

필터링 방정식은 잘못된 초기 조건을 수정한다는 점에서 안정적이라고 가정합니다.

이 상황에서, 우도 함수의 입자 근사는 치우치지 않고 상대적인 분산은 다음과 같이 제어된다.

어떤 유한 상수 c에 대해서.또한 임의의 x 0의 경우:

입자 추정치의 점근 편향 및 분산과 관련된 일부 유한 및 일부 유한 상수 c에 대해.

계통수의 조상 계통에 따른 입자 추정의 편중과 차이

비점근 균일한 추정치에 의해 제어된다.

1로 묶인 임의의 함수 F 및 일부 유한 c1 {{}, }에 대해서는 0(\ x 0에 대해 다음과 같이 입력합니다.

입자 추정치의 점근 편향 및 분산과 관련된 일부 유한 및 일부 유한 상수 c에 대해.역방향 입자 평활기에는 동일한 유형의 치우침 및 분산 추정치가 적용됩니다.양식의 가법 함수의 경우

와 함께

{\ 1로 제한되면 다음과 같이 됩니다.

그리고.

일부 유한 {{ 지수적으로 작은 오차 확률을 포함한 보다 정교한 추정치가 [9]개발됩니다.

시퀀셜 중요도 재샘플링(SIR)

Monte Carlo 필터 및 부트스트랩 필터

는 p는 필터링 확률 밀도 근사Sequential 중요성 Resampling(주요 사건 보고), 몬테 카를로 필터링(기타가와 1993[32])과 부트 스트랩 필터링 알고리즘(고든 44.1이상. 1993[34]), 또한 일반적으로 적용들에는 필터링 알고리즘,(y 0k, ⋯, ykm그리고 4.9초 만) 무게로{\displaystyle p(x_{k}y_{0}일 경우 ,\cdots ,y_{k})}.교육하는 o세트f N개의 샘플

중요도 k () {{{k 표본의 상대적 후방 확률(또는 밀도)에 대한 근사치이다.

순차적 중요도 샘플링(SIS)은 중요도 샘플링의 순차적(재귀적) 버전이다.중요도 샘플링과 마찬가지로 함수 f의 기대치를 가중평균으로 근사할 수 있다.

한정된 표본 집합의 경우 알고리즘 성능은 제안 분포 선택에 따라 달라집니다.

x : - , : k ){ ( x _ { k } : k - , _ { 0 : k , } 。

"최적의" 제안 분포가 목표 분포로 제공됩니다.

이 특별한 제안 전환 선택은 P에 의해 제안되었습니다.1996년과 [3]1998년 델 모럴.분포 p -1 , ) { p 따라 전이를 샘플링하기 어려운 경우, 하나의 자연스러운 전략은 다음과 같은 입자 근사치를 사용하는 것입니다.

경험적 근사치에 따라

N(또는 다른 많은 수의 샘플) X kik -), 1,δ, {{}), ,\N}에 관련되며, X k{\ 조건부 이 근사치 및 기타 확장치의 결과 입자 필터의 일관성은 [3]에서 개발됩니다.에서 \ _특정 상태 a에서의 Dirac 측정값을 나타냅니다.

단, 입자(또는 샘플)를 그려 후속 중요도 가중치 계산을 수행하는 것이 더 쉽기 때문에 전이 사전 확률 분포는 종종 중요도 함수로 사용됩니다.

전이 사전 확률 분포를 중요도 함수로 하는 순차적 중요도 재샘플링(SIR) 필터는 일반적으로 부트스트랩 필터 및 응축 알고리즘으로 알려져 있습니다.

재샘플링은 알고리즘의 퇴화 문제를 피하기 위해 사용됩니다.즉, 하나의 중요도 가중치를 제외한 모든 중요도가 0에 가까운 상황을 피하기 위해 사용됩니다.알고리즘의 퍼포먼스는 적절한 재샘플링 방법에 의해서도 영향을 받을 수 있습니다.기타가와(1993)가[32] 제안한 계층화 표본 추출은 분산 측면에서 최적이다.

시퀀셜 중요도 재샘플링의 1단계는 다음과 같습니다.

1) i , , i 경우 제안 분포에서 샘플을 추출합니다.
2) i , , {\ i 경우 중요도 가중치를 정규화 상수까지 업데이트합니다.
전이 사전 확률 분포를 중요도 함수로 사용할 경우,
그러면 다음과 같이 단순해집니다.
3) i , i 정규화된 중요도 가중치를 계산합니다.
4) 유효입자수의 추정치는 다음과 같이 계산한다.
이 기준은 체중의 분산을 반영한다.엄격한 분석과 중심 한계 정리를 포함한 다른 기준은 이 [5]기사에서 찾을 수 있다.
5) 유효입자수가 소정의 N f < r { {{ } }_ { \ { } <N _ { } e 5 5 5 5am 5 :
a) 무게에 비례하는 확률로 전류 입자 집합에서 N개의 입자를 추출한다.현재 파티클 세트를 이 새 파티클 세트로 교체합니다.
b) i , {\ i w / {\)}=합니다.

SIR 필터를 참조할 때 "샘플링 중요도 재샘플링"이라는 용어를 사용하는 경우도 있지만 "재샘플링"이라는 단어는 초기 샘플링이 [62]이미 수행되었음을 의미하므로 중요도 재샘플링이라는 용어가 더 정확합니다.

순차 중요도 샘플링(SIS)

  • 순차적 중요도 재샘플링과 동일하지만 재샘플링 단계는 없습니다.

다이렉트 버전 알고리즘

"direct version" 알고리즘은[citation needed] (다른 파티클필터링 알고리즘에 비해) 비교적 단순하며 구성 및 거부를 사용합니다. 1 :k ( y :) { _ { x { { 1 : k } (_ { 1 :k )에서 단일 샘플x생성하려면 , 다음의 순서를 실행합니다.

  1. set n = 0(지금까지 생성된 입자 수를 카운트합니다)
  2. i를 {1.,, 범위에서 균일하게 선택합니다.
  3. k - -() x - ( )= x _ { - 1 ) = x _ { k - 1 } = x _ { k - 1 ( i) ( { k - 1 }^* k - 1 }^{ k - 1 } } }
  4. { p} ~ {\}= { p k k에서 x {\ { 확률을 합니다. 서 y y의 값은 다음과 같습니다
  5. [ , k { , m { k} 에서 다른 균일한 u 를 생성합니다.서 m k ( x ) \ _ { x{ } ( _ { } ) }
1) n = 0 으로 설정합니다(지금까지 생성된 입자 수를 카운트합니다).
2) 인덱스 i를 { {, 범위에서 균일하게 선택합니다.
3) x - k - - () ( { style x { { } )의 p ( k -1 )로부터 x ( \ x _ { - 1 = x { k - 1 ( i ) ( i )
) x x ( k ), ~ { { } ~ x _ { k }, ~ { \ { with } ~ x _ { k }, p )로부터 x { { } 를 하여y { 을 생성합니다. { k }는 y { k} 입니다.
5) [ k { {displaystyle [0,m_}}에서다른 를 생성합니다.서 m x ( x ) \ _ { { k } p ( _ { } } }
6) p ( ){ p( { \ { } \right )를 비교합니다.
6a) u가 클 경우 2단계부터 반복합니다.
6b) 사용자가 작을 경우x 하고 n을 늘립니다.
7) n == N이면 종료합니다.

목표는 k- 의 입자만을 사용하여 k에서 P개의 "입자"를 생성하는 것입니다. 이를 위해서는 xk - 만을 으로 x({ 작성(계산)할 수 있어야 합니다.이 알고리즘은 k P 입자의 조성을 사용하여 k에서 입자를 생성하고 k에서 P 입자가 생성될 때까지 반복한다(2~6단계).

이것은 x를 2차원 배열로 볼 때 더 쉽게 시각화할 수 있습니다.한 차원은 k이고 다른 차원은 입자 번호입니다.를 들어 x(k , x ( , )는 k\ k}의th i 파티클이며, ( i){ x _ { k( i ) } ( in 。 (알고리즘에서와 같이)스텝 3에서는 으로 선택된 입자k - () { x _ - 1 } { { } 에 근거해, x k({ x { k - } )를 생성해, 스텝 6에서 거부 또는 받아들입니다.즉, x(\ style 이전에 k - style 을 사용하여 생성됩니다.

적용들

입자 필터와 파인만-Kac 입자 방법론은 다음과 같은 잡음 관측 또는 강한 비선형성을 다루기 위한 효과적인 수단으로 여러 맥락에서 응용된다.

기타 입자 필터

「 」를 참조해 주세요.

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참고 문헌

외부 링크