돈스커 정리

확률론에서 먼로 D의 이름을 딴 돈스커 정리(Donsker's invironance principle, 또는 함수 중심 극한 정리). Donsker는 경험적 분포 함수에 대한 중심 극한 정리의 함수적 확장입니다. 구체적으로, 이 정리는 경험적 분포 함수의 적절하게 중심화되고 축척된 버전이 가우시안 프로세스로 수렴한다는 것을 나타냅니다.

$X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$… ${\displaystyle X_{1}, X_{2}, X_{3},\ldots }$를 평균 0 및 분산 1을 갖는 독립적이고 동일한 분포(즉, 분산 1) 랜덤 변수의 시퀀스라고 가정합니다. ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{S}}}$ : =${\displaystyle }$∑ ${\displaystyle i_{}\underset{}{\overset{}{}}}$= 1 n $X$i {\$displaystyle$ S_{n$}:$=$\$sum _{i=1}^{n}X_{i}라고 합니다. 확률적 과정 $S$:=${\displaystyle }$($)$ n ∈ $N$ {\displaystyle S:= (S_{n})_{n\in \mathbb {N}}}를 랜덤 워크라고 합니다. 확산 재설정된 랜덤 워크(부분 합계 프로세스)를 다음과 같이 정의합니다.

${\displaystyle W^{(n)}(t):={\frac {S_{\lfloor nt\rfloor }}{\sqrt {n}}},\qquad t\in [0,1].}$

중앙 한계 정리는 $W{\displaystyle {(n)}^{}}$(${\displaystyle 1)}$ ${\displaystyle W^{(n)}(1)}$가 $표준$ 가우스 랜덤 변수 W${\displaystyle (1)}$ ${\displaystyle W(1)}$에 분포적으로 수렴하는 것을 n → ${\displaystyle$ n\$to$infty}라고 주장합니다. 돈스커의 불변성 원리는 이 수렴을 전체 함수 $W$로 확장합니다${\displaystyle {.}^{}}$ = ( ${\displaystyle {}^{}}$($$ ) ( t ) ${\displaystyle \mathrm{t}}$ ∈ [ 0, 1 ] {\displaystyle W^{(n)}:= (W^{(n)}(t)_{t\in [0,1]}}. 더 정확하게, 현대적인 형태에서 돈스커의 불변성 원리는 다음과 같습니다. 스코로호드 공간 D [ 0,]에서 값을 취하는 랜덤 변수로서,${\displaystyle {\mathcal {D}}[0,1]}$, the random function ${\displaystyle W^{(n)}}$ converges in distribution to a standard Brownian motion ${\displaystyle W:=(W(t))_{t\in [0,1]}}$ as ${\displaystyle n\to \infty .}$

정식명세서

F를_n 분포 함수 F를 갖는 i.i.d. 랜덤 변수 X ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ X ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ 3${\displaystyle {}_{}}$… {\$displaystyle X_{$1}, $X_{2}, X_{3},\ldots}$의 순서의 경험적 분포 함수라고 가정합니다. F의_n 중앙 및 확장 버전 정의:

${\displaystyle G_{n}(x)={\sqrt {n}}(F_{n}(x)-F(x))}$

인덱스는 x ∈ R입니다. 고전적인 중심 한계 정리에 의해 고정 x의 경우 랜덤 변수 G(x)는_n 표본 크기 n이 증가함에 따라 평균과 분산 F(x)(1 - F(x))가 0인 가우스(정규) 랜덤 변수 G(x)로 분포가 수렴됩니다.

정리 (Donsker, Skorokhod, Kolmogorov) Skorokhod $공간$ $D$(${\displaystyle }$-$$∞, ∞) {\$displaystyle${\$mathcal$ {$D$infty,\infty)}의 임의의 원소인 G(x)의 수열은 평균과 공분산이 0인 가우스 과정 G로 분포에서 수렴합니다.

${\displaystyle \operatorname {cov} [G(s),G(t)]=E[G(s)G(t)]=\min\{F(s),F(t)\}-F(s)}$${\displaystyle {F}(t).}$

공정 G(x)는 B(F(x)로 표기할 수 있습니다. 여기서 B는 단위 구간의 표준 브라운 브리지입니다.

이력 및 관련 결과

Kolmogorov(1933)는 F가 연속일 때, 최상위 ${\displaystyle \underset{}{지지}}$ ${\displaystyle {Gn}_{}t)}$ ${\$ 및 최상위$$ 절댓값, ${\displaystyle \underset{}{}\mathrm{지원}}$ ${\displaystyle Gn\underset{}{}{}_{}}$(${\displaystyle t_{})}$ $displaystyle \scriptstyle \sup_{t} G_{n}(t) }$ 분포에서 브라운 브리지 B(t)의 동일한 함수의 법칙으로 수렴합니다. 콜모고로프-스미르노프 테스트를 참조하십시오. 1949년 두브는 분포의 수렴이 더 일반적인 함수에 대해 유지되는지 여부를 질문했고, 따라서 적절한 함수 공간에서 난수 함수의 약한 수렴 문제를 공식화했습니다.^[3]

1952년 돈스커는 두브-콜모고로프 휴리스틱 접근법의 일반적인 확장을 언급하고 증명했습니다.^[4] 원래 논문에서 Donsker는 브라운 다리에 대한 G의_n 법적 수렴이 간격 [0,1]에서 t의 균일한 수렴과 관련하여 균일한 [0,1] 분포를 유지한다는 것을 증명했습니다.^[2]

그러나 돈스커의 공식은 불연속 공정의 함수에 대한 측정 가능성의 문제 때문에 정확하지 않았습니다. 1956년 Skorokhod와 Kolmogorov는 [0,1]의 caddlàg 함수 공간에 Skorokhod 메트릭이라고 불리는 분리 가능한 메트릭 d를 정의하여 연속 함수에 대한 수렴이 sup norm에 대한 수렴과 동일하다는 것을 보여주었고, G가_n $D{\displaystyle \mathcal{}}$[${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}[0,$$1]}$번$$ 브라운 다리로.

나중에 더들리는 측정 가능성과 스코로코드 계량의 필요성 문제를 피하기 위해 돈스커의 결과를 재구성했습니다. [0,1]에 X가_i 존재하고, [0,1]에 id가 균일하며, 다음과 같은 표본 연속 브라운교_n B가 존재함을^[4] 증명할 수 있습니다.

${\displaystyle \ G_{n}-B_{n}\ _{\infty}}$

측정 가능하며 확률은 0으로 수렴합니다. 수렴 속도에 대한 더 자세한 정보를 제공하는 이 결과의 개선된 버전은 Komlós-major-입니다.투스나디 근사치.

참고 항목

• 글리벤코-칸텔리 정리
• Kolmogorov–Smirnov test

참고문헌