복합 포아송 공정

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복합 포아송 공정은 점프를 이용한 연속 시간(랜덤) 확률적 공정이다. 점프는 포아송 프로세스에 따라 랜덤하게 도착하며, 점프의 크기 또한 랜덤하며, 지정된 확률 분포가 있다. 포아송 프로세스는 비율 >> 0 ${\displaystyle \lambda >0}$과 점프 크기 분포 G로 매개변수화된 것으로$,{\displaystyle }$ 프로세스 { ${\displaystyle Y(}$ ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle \mathrm{t}}$ ${\displaystyle \ge }$ 0${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{\,Y(t):t\geq$ 0$\,\}}}$이 주어진다.

${\displaystyle Y(t)=\sum _{i=1}^{N(t)}D_{i}}$

where, ${\displaystyle \{\,N(t):t\geq 0\,\}}$ is a counting of a Poisson process with rate ${\displaystyle \lambda }$, and ${\displaystyle \{\,D_{i}:i\geq 1\,\}}$ are independent and identically distributed random variables, with distribution function G, which are also independent of $$${\$

${\displaystyle {Di}_{}}$ ${\$가 음수가 아닌 정수 값의 랜덤 변수인$$ 경우, 이 복합 포아송 공정은 매우 짧은 시간에 두 개 이상의 사건이 발생한다는 특징을 가진 더듬는 포아송 공정으로 알려져 있다.

복합 포아송 공정의 특성

복합체 포아송 공정의 기대값은 다음과 같이 월드의 방정식이라고 알려진 결과를 사용하여 계산할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {E}(Y(t))=\operatorname {E} (D_{1}+\cdots +D_{N(t)})=\operatorname {E} (N(t))\operatorname {E} (D_{1})=\operatorname {E} (N(t))\operatorname {E} (D)=\lambda t\operatorname {E} (D).}$

총분산의 법칙을 유사하게 사용하여 분산을 다음과 같이 계산할 수 있다.

${\displaystyle {\begin}\operatorname {var}(Y(t)&=\operatorname {var}(Y(t)\mid N(t)+\operatorname {var}(\operatorname {E})(Y(t)\mid N(t)\[5pt]=\operatorname {E}(N)(t)\operatorname {var}(D)+\operatorname {var}(N)(t)\operatorname {E}(D)\[5pt]&=\operatorname {var}(D)\operatorname {E}(N)(t)+\operatorname {E}(D)^{2}\operatorname {var}(N)(t)\\[5pt]&=\operatorname {var} (D)\lambda t+\operatorname {E} (D)^{2}\lambda t\\[5pt]&=\lambda t(\operatorname {var} (D)+\operatorname {E} (D)^{2})\\[5pt]&=\lambda t\operatorname {E} (D^{2}).\end{정렬}}}$

마지막으로, 총 확률의 법칙을 이용하여 모멘트 생성 함수는 다음과 같이 부여할 수 있다.

${\displaystyle \Pr(Y(t)=i)=\sum _{n}\Pr(t)=i\mid N(t)=n)\Pr(N(t)=n)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (e^{sY})&=\sum _{i}e^{si}\Pr(Y(t)=i)\\[5pt]&=\sum _{i}e^{si}\sum _{n}\Pr(Y(t)=i\mid N(t)=n)\Pr(N(t)=n)\\[5pt]&=\sum _{n}\Pr(N(t)=n)\sum _{i}e^{si}\Pr(Y(t)=i\mid N(t)=n)\\[5pt]&=\sum _{n}\Pr(N(t)=n)\sum _{i}e^{si}\Pr(D_{1}+D_{2}+\cdots +D_{n}=i)\\[5pt]&=\sum _{n}\Pr(N(t)=n)M_{D}^{n}\[5pt]&=\sum _{n}\Pr(N(t)=n)e^{n\ln(M_{D}s)}\\[5pt]&=M_{N(t)}(\ln(M_{D}s))\\[5pt]&=e^{\lambda t\left(M_{D}-1\right)}.\end{정렬}}}$

측정값의 표현

N, Y, D를 위와 같이 두어라. μ는 D를 분포하는 확률 측정값으로 한다.

$\displaystyle \mu(A)=\Pr(D\in A).\,}$

Δ를₀ 모든 질량을 0으로 하는 사소한 확률 분포로 하자. 그 다음 Y(t)의 확률 분포가 측정값이다.

${\displaystyle \exp(\mu -\filename _{0})\,}$

여기서, 실제 선의 보렐 하위 집합에 대한 유한 측정값 exponential의 지수 exp(exp)는 다음과 같이 정의된다.

$\displaystyle \exp(\nu )=\sum _{n=0}^{\ft }{\nu ^{*n} \overn!}}$

그리고

${\displaystyle \nu ^{*n}=\underbrace {\nu *\cdots *\nu } _{n{\text{factors}}}}}}}}$

조치들의 조합이고, 시리즈는 약하게 수렴된다.

참고 항목

• 포아송 공정
• 포아송 분포
• 복합 포아송 분포
• 비균형 포아송 공정
• 분수 포아송 공정
• 복합 포아송 공정의 모멘트 생성 함수에 대한 캠벨 공식