프로호로프 정리

측정 이론에서 프로호로프의 정리는 확률 측정 공간에서 측정의 엄격함과 상대적인 조밀함(따라서 약한 수렴)을 연관시킵니다. 그것은 분리 가능한 완전한 미터 공간에 대한 확률 측정을 고려한 소련 수학자 유리 바실리예비치 프로호로프의 공으로 인정됩니다. "프로코로프의 정리"라는 용어는 직접 또는 역문에 대한 나중의 일반화에도 적용됩니다.

진술

$({\displaystyle S,}$ρ) {\$displaystyle$(S,\rho )}을(를) 분리 가능한 메트릭 공간으로 설정합니다. $P$ (${\displaystyle S)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$가 $S$ ${\displaystyle S}($보렐 σ 대수)에 정의된 모든 확률 측정값의 집합을 나타냅니다.

정리.

1. 약한 수렴의 토폴로지가 장착된${\displaystyle \mathrm{공간}}$ P$(S$)에서 $K$${\displaystyle$ K$\subset {\mathcal$ {P}}(S)의 확률 $측도$의 집합 K ⊂ P(S$)$ {\displaystyle K$\subset${\mathcal {P}}(S)}가 순차적으로 압축되는 경우에만 팽팽합니다.
2. 약한 수렴의 위상을 갖는$$ 공간 $P{\displaystyle \mathcal{}(S)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$는 가법적입니다.
3. 또한$$(${\displaystyle S,}$ρ) {\$displaystyle$(S,\rho )}이(${\displaystyle 가)}$ 완전한 메트릭 공간이라고 가정합니다. (S$,$ ρ)${\displaystyle$ (S,\rho)}이(가) 폴란드 공간이라고 가정합니다. There is a complete metric ${\displaystyle d_{0}}$ on ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ equivalent to the topology of weak convergence; moreover, ${\displaystyle K\subset {\mathcal {P}}(S)}$ is tight if and only if the closure of ${\displaystyle K}$ in ${\displaystyle (\mathcal{P}(S),}$${\displaystyle d_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle({\mathcal {P}}(S),d_{0}}$이(가) 콤팩트합니다.

코럴리

유클리드 공간의 경우 다음이 있습니다.

• $({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle (\mu _{n})}$가 $P{\displaystyle \mathcal{}({\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{m})}($$m{\displaystyle }${$displaystyle m}$ 차원$$ 유클리드 공간에 대한 확률 측정 집합)의 엄격한 시퀀스라면, then there exist a subsequence ${\displaystyle (\mu _{n_{k}})}$ and a probability measure ${\displaystyle \mu \in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{m})}$ such that ${\displaystyle \mu _{n_{k}}}$ converges weakly to ${\displaystyle \mu }$.
• If ${\displaystyle (\mu _{n})}$ is a tight sequence in ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{m})}$ such that every weakly convergent subsequence ${\displaystyle (\mu _{n_{k}})}$ has the same limit ${\displaystyle \mu \in {\mathcal {P}}(\mathbb$${R} ^{m}}.$그런 다음 시퀀스$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle(\mu_{n})}$이(가) $\mu {\displaystyle }${\$displaystyle \mu}$로 약하게 수렴합니다$.$

확장

프로코로프의 정리는 복잡한 측도 또는 유한 부호 측도를 고려하도록 확장될 수 있습니다.

정리: $({\displaystyle S,}$ρ) {\$displaystyle ($S,\rho )}이(가) 완전한 분리 가능 메트릭 $공간$이고$$π$$π${\$displaystyle \Pi}이(가) $S$displaystyle S}의 보렐$복소$ 측정 집합이라고 가정합니다. 다음 문장은 동등합니다.

• $π {\$${\displaystyle displaystyle}$ \Pi }은(는) 순차적으로 사전 압축됩니다. 즉, 모든 시퀀스 {μ${\displaystyle \mathrm{n}}$}${\displaystyle \mathrm{}}$⊂ π {\displaystyle \{\mu _{n}\}\subset \Pi }에는 약하게 수렴하는 하위 시퀀스가 있습니다.
• $π {\$displaystyle \Pi}은(는) 전체 변동 규범에서 엄격하고 균일하게 경계가 지정되어 있습니다.

평.

Prokhorov의 정리는 조밀성 측면에서 조밀함을 표현하기 때문에 Arzelà-Ascoli 정리는 조밀함을 대체하는 데 자주 사용됩니다: 함수 공간에서 이는 연속성 계수 또는 적절한 아날로그 측면에서 조밀함의 특성화로 이어집니다. 고전적인 위너 공간의 조밀함과 스코로호드 공간의 조밀함을 참조하십시오.

프로호로프의 정리에는 몇 가지 깊고 사소한 확장이 있습니다. 그러나 이러한 결과는 원래 결과의 중요성과 응용 프로그램과의 관련성을 무색하게 하지 않습니다.

참고 항목

• 레비-프로코로프 계량
• 사조노프 정리
• 측정의 엄격성 – 측정 이론에서의 개념
• 측정치의 수렴성이 약함

참고문헌

• Billingsley, Patrick (1999). Convergence of Probability Measures. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-19745-9.
• Bogachev, Vladimir (2006). Measure Theory Vol 1 and 2. Springer. ISBN 978-3-540-34513-8.
• Prokhorov, Yuri V. (1956). "Convergence of random processes and limit theorems in probability theory". Theory of Probability & Its Applications. 1 (2): 157–214. doi:10.1137/1101016.
• Dudley, Richard. M. (1989). Real analysis and Probability. Chapman & Hall. ISBN 0-412-05161-3.