균일 통합성

수학에서 획일적인 통합성은 실제 분석, 기능 분석, 측정 이론에서 중요한 개념이며, 마팅게일즈 이론에서 중요한 역할을 한다. 측정 이론에 사용된 정의는 일반적으로 확률에 사용되는 정의와 밀접하게 관련되어 있지만 동일하지는 않다.

측정-이론적 정의

실제 분석과 측정 이론에 관한 교과서는 종종 다음과 같은 정의를 사용한다.^[1]^[2]

$(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ , $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ , $){\displaystyle (X,{\mathfrak{M},\mu )}$ 은 $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ 양의 측정 공간이다. $\Phi \subset L^{1}(\mu )$ $\Phi \subset L^{1}(\mu )$ ⊂ $\Phi \subset L^{1}(\mu )$ 1 $\Phi \subset L^{1}(\mu )$ ) ${\$ $displaystyle$ $\Phi \subset L^{1}(\mu )}$ 이(가) 각 $\delta >0$ $\varepsilon >0$ > $\delta >0$ ${\$ $displaystyle$ $\varepsilon >0}$ 에 $\varepsilon>0$ 해당하는 $\delta >0$ 경우 균일하게 통합 가능하다고 한다 $\Phi \subset L^{1}(\mu )$ .

\int _{E} f \,d\mu <\varepsilon

$f\in \Phi$ $f\in \Phi$ \ ${\displaystyle f\in$ $\Phi }$ 및 $\mu (E)<\delta .$ ) $\mu (E)<\delta .$ < $\mu (E)<\delta .$ {\ $displaystyle \mu(E)<\delta .}$

확률 정의

확률론에는 다음과 같은 정의가 적용된다.^[3]^[4]^[5]

A반 C{\displaystyle{{C\mathcal}}}확률 변수의 균일하게 적분 가능한(UI)만약 주어진 ε>0{\displaystyle \varepsilon>0}, K∈는 경우에는 0, ∞){\displaystyle K\in -LSB- 0,\infty)}가 E모두 X∈ C(X나는 X≥ K)≤ ε ⁡{\displaystyle \operatorname{E. 존재하라고 불린다}(X나는 X≥ K){1만약 X≥ K, 0만약 X<>K.{\displaystyle I_{X\geq K}={\begin{경우}1& I_{X\geq K})\leq \varepsilon){\text{에 대한 모든 X}}\in{{C\mathcal}}}, 내가 X≥ K{\displaystyle I_{X\geq K}}은 지표 함수{\text{만약}}X\geq K,\\0&,{\text.{만약}}X<>K $.\end{case}}}$
두 개의 조항이 포함된 대체 정의는 다음과 같이 제시될 수 있다. 랜덤 변수의 클래스 ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}$ ${\$ 은(는) 다음과 같은 경우 균일하게 통합 가능하다고 한다.
- ${\mathcal {C}}$ ${\$ $\operatorname {E} (|X|)\leq M$ $⁡$ ( $\operatorname {E} (|X|)\leq M$ )의 $X$ $모든$ X $X$ 에 대해 유한 $M$ ${\$ $displaystyle \operatorname {E}(X )\leq M}$ 및 유한 $M$ $\operatorname {E} (|X|)\leq M$ M {\ $displaystystylestyle$ X $}$ 이 있다.
- 모든 ε<>를 사용하여 들어 0{\displaystyle \varepsilon>0}이 δ>0{\displaystyle \delta>0}과 같이 모든 측정 가능한 A{A\displaystyle}은 PC{\displaystyle{{C\mathcal}}≤δ{P(A)\leq \delta\displaystyle}과 X{X\displaystyle}(A)} 같은 E⁡(X가 존재하 A)≤ $【\displaystyle \operatorname {E}(XI_{A})】\leq \varepsilon$ $\operatorname {E} (|X|I_{A})\leq \varepsilon$

두 가지 확률론적 정의는 동등하다.^[6]

정의 간의 관계

그 두 정의는 밀접한 관련이 있다. 확률 공간은 총 측정값 1을 가진 측정 공간이다. 무작위 변수는 이 공간에 대한 실제 측정 가능한 함수로서, 무작위 변수의 기대치는 확률 측정과 관련하여 이 함수의 적분으로 정의된다.^[7] 구체적으로 말하자면

Let $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ ( $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ , $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ , $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ ) $(\Oomega ,{\mathcal{F},P)$ 은 확률공간이다 $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ . 랜덤 변수 $X$ $X$ 을(를) 실제 ${\mathcal {F}}$ F ${\$ - 측정 ${\mathcal {F}}$ 가능한 함수로 한다 $X$ . $그런$ 다음 X{\ $displaystyle X}$ 의 기대치가 다음과 같이 정의된다 $X$ .

\operatorname {E}(X)=\int _{\Oomega }X\,dP

적분이 존재한다면.

${\mathcal {C}}$ 다음 위의 대안적 확률론적 정의를 측정 이론적 용어로 다시 쓸 수 있다: A 집합 C ${\$ {C $}$ 은(는) 다음과 같은 경우 ${\mathcal {C}}$ 균일하게 통합 가능하다고 한다.

${\mathcal {C}}$ ${\$ ${\textstyle \int _{\Omega }|X|\,dP\leq M}$ ${\mathcal {C}}$ ${\textstyle \int _{\Omega }|X|\,dP\leq M}$ ${\textstyle \int _{\Omega }|X|\,dP\leq M}$ ${\textstyle \int _{\Omega }|X|\,dP\leq M}$ P ${\text \int _{\Oomega}$ X $\dP\leq M}$ 의 $X$ 모든 $X$ $X$ 에 대해 유한한 $M$ $M$ ${\displaystystyle$ M $}$ 이 있다 ${\textstyle \int _{\Omega }|X|\,dP\leq M}$
모든 ε<>를 사용하여 들어 0{\displaystyle \varepsilon>0}이 δ>0{\displaystyle \delta>0}과 같이 영화를 위해 측정 가능한 A{A\displaystyle}은 P}}≤δ{P(A)\leq \delta\displaystyle}과 X{X\displaystyle}C{\displaystyle{{C\mathcal}에(A),∫ A. 존재하 X진동계 측 P≤ ${\textstyle \int _{A}|X|\,dP\leq \varepsilon }$ ${\textstyle \int$ _ ${A}$ X $\,dP\leq \varepsilon$ ${\textstyle \int _{A}|X|\,dP\leq \varepsilon }$

상기 주어진 측정 이론적 정의와 이 정의를 비교한 결과 측정 이론적 $L^{1}(\mu )$ 는 각 $L^{1}(\mu )$ 이 $L^{1}(\mu )$ L 1 ( $L^{1}(\mu )$ ) {\ $displaystyle L^{$ 1}(\ $mu )$ 에 있을 때만 필요하다는 것을 알 수 있다 $L^{1}(\mu )$ 즉, ${\textstyle \int _{X}|f|\,d\mu }$ ${\textstyle \int _{X}|f|\,d\mu }$ f ${\textstyle \int _{X}|f|\,d\mu }$ ${\textstyle \int _{X}|f|\,d\mu }$ ${\textstyle \int_{X}$ f $\,d\mu$ $}$ 는 각 $}$ 에 대해 유한하지만 ${\textstyle \int _{X}|f|\,d\mu }$ , 그 이상이다 $f$ e는 반드시 이러한 통합의 값에 대한 상한은 아니다. 대조적으로 확률론적 정의는 통합이 상한을 갖도록 요구한다.

이것의 한 가지 결과는 균일하게 통합될 수 있는 무작위 변수(확률론적 정의에 따라)가 팽팽하다는 것이다. 즉, $\delta >0$ $\delta >0$ > 0 ${\displaystyle \delta >0$ 에 대해 다음과 같은 $a>0$ > $a>0$ $a>0$ 이(가) 존재한다.

\displaystyle P(X >a)\leq \delta }

모든

X

X

에 대해

X

^[8]

이와는 대조적으로 (측정 이론적 정의에 따라) 균일하게 통합할 수 있는 기능이 반드시 엄격한 것은 아니다.^[9]

그의 저서에서 배스는 대체 정의의 두 번째 절을 만족시키는 무작위 변수(또는 함수)의 집합을 가리키기 위해 한결같이 절대적으로 연속적인 용어를 사용한다. 그러나 이 정의는 각각의 기능이 유한한 적분을 갖도록 요구하지 않는다.^[10] 통일적 절대 연속성이라는 용어는 표준이 아니라 일부 다른 저자들이 사용하고 있다.^[11]^[12]

관련 Corolar(관상)

다음 결과는 확률론적 정의에 적용된다.^[13]

정의 1은 다음과 같이 한도를 취함으로써 다시 쓸 수 있었다. $\lim _{K\to \inflt }\sup_{X\in {\mathcal {C}\operatorname {E}(X \,I_{ X \geq K}=0).$
UI가 아닌 시퀀스. $\Omega =[0,1]\subset \mathbb {R}$ = $\Omega =[0,1]\subset \mathbb {R}$ [ 0 $\Omega =[0,1]\subset \mathbb {R}$ , $\Omega =[0,1]\subset \mathbb {R}$ $\Omega =[0,1]\subset \mathbb {R}$ $\Omega =[0,1]\subset \mathbb {R}$ $\Omega =[0,1]\subset \mathbb {R}$ ${\$ 을 $\Omega =[0,1]\subset \mathbb {R}$ 를) 설정하고 정의하십시오. $X_{n}(\omega )={\begin{case}n,&\omega \in (0,1/n),\0,&{\text{otherwise.}}}\end{case}$ 분명히 $X_{n}\in L^{1}$ $X_{n}\in L^{1}$ $X_{n}\in L^{1}$ $X_{n}\in L^{1}$ $X_{n}\in L^{1}$ ${\$ 그리고 실제로 $\operatorname {E} (|X_{n}|)=1\ ,$ $\operatorname {E} (|X_{n}|)=1\ ,$ $\operatorname {E} (|X_{n}|)=1\ ,$ ( X $\operatorname {E} (|X_{n}|)=1\ ,$ ) $\operatorname {E} (|X_{n}|)=1\ ,$ = $\operatorname {E} (|X_{n}|)=1\ ,$ , ${\displaystyle \operatorname {E} (X_{n} )=1\ ,}.$ 하지만 $\operatorname {E}(X_{n}, X_{n} \geq K)=1\{\text{모든 }$ 그리고 정의 1과 비교했을 때, 시퀀스가 균일하게 통합될 수 없는 것으로 보인다.

RV의 UI가 아닌 시퀀스. 스트립 아래 영역은 항상 1과 동일하지만,

X_{n}\to 0

n →

X_{n}\to 0

{\

displaystyle X_{n}\pointwise

0}.

위의 예에서 Definition 2를 사용함으로써, $X_{n}$ X $X_{n}$ {\ $displaystyle X_{n$ } $L^{1}$ 의 $L^{1}$ {\ $displaystyle L$ ^{ $1}:{$ n $}$ 가 $L^{1}$ $X_{n}$ 1 즉, 경계이므로 첫 번째 절이 충족됨을 알 수 있다. But the second clause does not hold as given any $\delta$ positive, there is an interval $(0,1/n)$ with measure less than $\delta$ and $E[ X_{m} :(0,1/n)]=1$ for all ${\displaystyle m\$ $geq n}$ .
$X$ $X$ 이 $X$ (가) UI 랜덤 변수인 경우 분할 ${\displaystyle \operatorname {E}(X )=\operatorname {E}(X , X >K)+\operatorname {E}(X , X <K)})$ 그리고 두 개 각각을 경계로 하여 균일하게 통합할 수 있는 랜덤 변수가 항상 $L^{1}$ $L^{1}$ ${\$ 로 경계되어 있음을 알 수 있다 $L^{1}$
임의 변수 X $X_{n}$ ${\$ 의 시퀀스가 음이 아닌 통합형 $Y$ ${\displaystyle Y$ 에 의해 지배되는 $X_{n}$ 경우, 즉 모든 Ω과 n에 대해 ${\displaystyle X_{n}(\omega) \leq Y(\omega ),\ Y(\omega )\geq 0,\\ \operatorname {E}(Y)(\infitty ,})$ 그런 다음 무작위 $\{X_{n}\}$ 변수 { $\{X_{n}\}$ ${\$ $displaystyle$ $\{X_{n}\}$ \{ $X_{n}\}}$ 의 ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}$ C ${\mathcal {C}}$ {\ $displaystyle$ ${C}$ 을(를) 균일하게 통합할 수 있다 $\{X_{n}\}$ .
$L^{p}$ $L^{p}$ ${\$ $p>1$ > $p>1$ ${\displaystyle p>$ 1 $p>1$ 로 경계된 랜덤 변수 클래스는 균일하게 통합할 수 있다.

랜덤 변수의 수렴에 대한 관계

시퀀스 $\{X_{n}\}$ { $\{X_{n}\}$ $\{X_{n}\}$ $\{X_{n}\}}\}$ 은(는) L $L_{1}$ ${\$ 표준에서 $X$ $L_{1}$ $X$ ${\displaystyle X}($ )로 수렴되며 $X$ 균일하게 통합할 수 있는 경우에만 X로 수렴된다 $\{X_{n}\}$ . 확률 측면에서, 확률로 수렴되는 일련의 랜덤 변수들이 균일하게 통합될 수 있는 경우에만 평균으로 수렴된다.^[18] 이것은 르베그 지배적인 수렴 정리를 일반화한 것이다. 비탈리 수렴 정리를 보라.

인용구

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참조

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[1] Rudin, Walter (1987). Real and Complex Analysis (3 ed.). Singapore: McGraw–Hill Book Co. p. 133. ISBN 0-07-054234-1.

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[12] Burrill, C. W. (1972). Measure, Integration, and Probability. McGraw-Hill. p. 180. ISBN 0-07-009223-0.

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[14] Dunford, Nelson (1938). "Uniformity in linear spaces". Transactions of the American Mathematical Society. 44 (2): 305–356. doi:10.1090/S0002-9947-1938-1501971-X. ISSN 0002-9947.

[15] Dunford, Nelson (1939). "A mean ergodic theorem". Duke Mathematical Journal. 5 (3): 635–646. doi:10.1215/S0012-7094-39-00552-1. ISSN 0012-7094.

[16] 마이어, P.A. (1966년) 확률과 잠재력, Blaisdell 출판사, N. Y. (p.19, 정리 T22)

[17] Poussin, C. De La Vallee (1915). "Sur L'Integrale de Lebesgue". Transactions of the American Mathematical Society. 16 (4): 435–501. doi:10.2307/1988879. hdl:10338.dmlcz/127627. JSTOR 1988879.

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