오른슈타인-울렌벡 과정

Ornstein–
θ = 1, σ = 1 및 μ = 0인 5개의 시뮬레이션.
θ = 1, σ = 3, μ = (0, 0, 0) 및 초기 위치 (10, 10, 10)를 갖는 3D 시뮬레이션.

수학에서, 오른슈타인-울렌벡 프로세스는 금융 수학과 물리 과학에 적용되는 확률적 프로세스입니다. 물리학에서 그것의 원래 응용은 마찰의 영향을 받는 거대한 브라운 입자의 속도에 대한 모델이었습니다. 그것의 이름은 레너드 오언스타인과 조지 유진 울렌벡의 이름을 따서 지어졌습니다.

오른슈타인-울렌벡 과정은 가우스-마르코프 과정으로, 가우스 과정, 마르코프 과정이며, 시간적으로 동차임을 의미합니다. 실제로 공간 및 시간 변수의 선형 변환을 허용하는 것까지 이 세 가지 조건을 만족시키는 것은 사소한 프로세스가 유일합니다.[1] 시간이 지남에 따라 공정은 평균 함수로 이동하는 경향이 있습니다. 이러한 공정을 평균 회귀라고 합니다.

프로세스는 연속 시간에서 임의 보행을 수정한 것 또는 위너 프로세스로 간주될 수 있는데, 이 프로세스의 속성이 변경되어 보행이 중앙 위치로 다시 이동하는 경향이 있으며, 프로세스가 중앙에서 더 멀어질 때 더 큰 매력을 갖게 됩니다. 오른슈타인-울렌벡 프로세스는 이산 시간 AR(1) 프로세스연속 시간 아날로그로도 간주될 수 있습니다.

정의.

오른슈타인에 대한 단순화된 공식-아래에 있는 벽화에서 나온 울렌벡 과정.
네덜란드 예술가 집단 De Strakke Hand: Leonard Ornstein 벽화, 1921년 네덜란드 물리학회(Netherlands Physical Society)의 공동 창립자로서 Ornstein을 책상에서 보여주었고, Ornstein을 위한 간단한 공식으로 술꾼의 두 배의 무작위 산책을 묘사했습니다.울렌벡 과정. 네덜란드 위트레흐트의 우스터카데, 오른슈타인의 실험실에서 멀지 않은 곳에 있습니다. 번역문 : 교수님 Ornstein은 1930년 무작위 운동을 연구합니다.

오른슈타인-울렌벡 다음과 같은 확률 미분 방정식으로 정의됩니다.

여기서θ > 0 > σ > 0 \sigma > 0}은 W_{t}는 위너 프로세스를 나타냅니다.

드리프트 항이 추가되는 경우가 있습니다.

서 μ 상수입니다. 오른슈타인-울렌벡 과정은 때때로 형식의 랑게빈 방정식으로 쓰이기도 합니다.

여기서η(t) etat)}(화이트 노이즈라고도 함)는 위너 프로세스의 추정 / dW_{t}/dt}를 나타냅니다. d / 는 위너 과정이 미분할 수 없기 때문에 존재하지 않으며, 따라서 랑게빈 방정식은 엄밀히 말하면 휴리스틱에 불과합니다.[6] 물리학과 공학 분야에서, 그것은 오른슈타인을 대표하는 일반적인 표현입니다.잡음 항이 위너 프로세스의 미분 가능한(예: 푸리에) 보간의 도함수라고 암묵적으로 가정함으로써 울렌벡 프로세스 및 유사한 확률적 미분 방정식.

포커-플랑크 방정식 표현

오른슈타인-울렌벡 프로세스는 확률 밀도 함수인 t 의 관점에서 설명할 수도 있는데 이는 시간 에서 상태 x에서 프로세스를 찾을 확률을 지정합니다[5] 함수는 포커-플랑크 방정식을 만족합니다.

여기서 = σ2 / 2 {\displaystyle D =\sigma ^{2}/2}. 이는 다양한 기법으로 풀 수 있는 선형 포물선 편미분 방정식입니다. 전이 확률(Green's function), x t'), P( t\mid x'),은 평균 x - - displaystyle x'e^{-\theta(t - t')} 및 분산 D (1 - e - 2 (t - t') {\displaystyle {\frac {D}{\theta }}\left(1-e^{-2\theta(t - t')}\right)}:

This gives the probability of the state occurring at time given initial state at time . Equivalently, 는 초기 P x- x') P (x,t') \delta (x-x')}인 Fokker-Planck 방정식의 해입니다.

수학적 성질

의 특정 값을 기준으로 평균은 다음과 같습니다

공분산은 다음과 같습니다.

For the stationary (unconditioned) process, the mean of is , and the covariance of and is .

오른슈타인-울렌벡 공정은 제한된 분산을 가지며 위너 공정과 대조적으로 정지 확률 분포를 허용하는 가우스 공정의 한 예입니다. 둘 사이의 차이는 "드리프트" 항에 있습니다. 위너 과정에서는 표류항이 일정한 반면, 오른슈타인-Uhlenbeck 공정은 공정의 현재 값에 따라 달라집니다. 공정의 현재 값이 (장기) 평균보다 작으면 드리프트가 양수이고, 공정의 현재 값이 (장기) 평균보다 크면 드리프트가 음수입니다. 즉, 평균이 공정의 균형 수준으로 작용합니다. 이것은 프로세스에 "mean-reverting"이라는 유익한 이름을 부여합니다.

샘플 경로의 속성

일시적으로 균질한 오른슈타인-Uhlenbeck 프로세스는 확장되고 시간 변환된 위너 프로세스로 표현될 수 있습니다.

여기서 {\t}}는 표준 위너 프로세스입니다. 이것은 대략적으로 Doob 1942의 정리 1.2입니다. 이와 하게, 변수 = e 2 θ t {\displaystyle s = e^{2\theta}가 변경되면 이는

이 매핑을 사용하면 의 알려진 속성을 에 대응하는 문장으로 변환할 수 있습니다 예를 들어 에 대한 반복 로그의 법칙은 다음과[1] 같습니다.

공식해

에 대한 확률적 미분 방정식은 매개 변수의 변화로 공식적으로 풀 수 있습니다.[7] 쓰기

저희가.

에서 )로 통합할 경우

이쯤에서 보아도

이 표현에서 첫 번째 순간(즉, 평균)은 다음과 같습니다.

일정하다고 가정합니다. 또한 이토이소메트리를 사용하여 공분산 함수를 계산할 수 있습니다.

결정론적 적분의 Itô 적분은 정규분포를 따르므로,

콜모고로프 방정식

공정의 무한소 생성기는[8]

= μσ 2 {\displaystyle y = x{\sqrt {\frac {2\mu}{\sigma ^{2}}}라고 하면 고유값 방정식은 다음과 같이 단순화됩니다.
이것은 에르미트 다항식의 정의식입니다. 솔루션은ϕ(y) =y) {\displaystyle \phi(y)= n μ displaystyle \ n\mu }, 즉 입자가 경계의 한 점에 도달하는 평균 첫 통과 시간은 μ - 1 {\displaystyle \mu ^{-1} 정도임을 의미합니다.

수치 시뮬레이션

너비 의 시간 간격으로 이산 샘플링된 데이터를 사용하여Ornstein의 매개변수에 대한 최대 가능성 추정기-울렌벡 공정은 점근적으로 참값에 정규적입니다.[9] 좀 더 정확하게는.[failed verification]

θ = 1, σ = 2 {\displaystyle sqrt {2}}을(를) 사용하여 서로 다른 OU 프로세스의 네 가지 샘플 경로:
파란색: 초기값 a = 10, μ = 0
주황색 : 초기값 a = 0, μ = 0
녹색: 초기값 a = -10, μ = 0
빨간색: 초기값 a = 0, μ = -10

표준 편차σ \Sigma} 및 시간θ θ \Theta}를 사용하여 OU 프로세스를 수치적으로 시뮬레이션하려면 한 가지 방법이 유한 차분 공식을 적용하는 것입니다.

νi \n스타일 \n 평균과 단위 분산이 0인 정규 분포 난수로 모든 시간 단계 에서 독립적으로 샘플링됩니다[10]

스케일링 한계 해석

오른슈타인-울렌벡 과정은 브라운 운동임의 보행의 스케일링 한계인 것과 같은 방식으로 이산 과정의 스케일링 한계로 해석될 수 있습니다. 개의 파란색 및 노란색 공을 포함하는 유골함을 생각해 보십시오. 각 단계에서 공은 임의로 선택되고 반대 색상의 공으로 대체됩니다. 를 k 단계 이후의 번의 파란색 공의 개수라고 합니다. 다음 X[ n]- n/ n 법에서 Ornstein으로 수렴합니다.이(가) 무한대인 경향이 있으므로 울렌벡 프로세스. 이것은 마크 케이씨가 입수한 것입니다.[11]

휴리스틱적으로 다음과 같이 얻을 수 있습니다.

( ) := X[ t ] - n / 2 n {\ X_{t}^{(n)}:={\frac {X_{[nt]}-n/2}{\sqrt {n}}}라고 하자. n → ∞ {\displaystyle n\ to \infty} 극한에서 확률적 미분 방정식을 구합니다. 첫 번째 추론

이를 통해δX tn) \tn)}의 평균과 분산을 계산할 수 있습니다 X (δ tt}^{( t} 및δ t displaystyle \Delta t}입니다. Thus at the limit, we have , with solution (assuming distribution is standard normal)

적용들

시끄러운 휴식

오른슈타인-울렌벡 공정은 시끄러운 이완 공정의 원형입니다. 표준적인 예로는 상수 k k가 있는 후크 스프링(하모닉 발진기)이며, 동적이 마찰 계수γ {\displaystyle\gamma로 과도하게 감쇠됩니다. TT}가 있는 열 변동이 있는 경우, 스프링의 길이 x는 스프링 휴식 길이 x 주변에서 변동합니다 Ornstein은 스프링의 확률적 역학을 설명합니다.울렌벡 프로세스는 다음과 같습니다.

여기서σ \sigma }는 유효 확산 상수에 대한 방정식 = σ 2 / = k BT / γ {\displaystyle D =\sigma ^{2}/2 = k_{B}T/\gamma }에서 파생됩니다. 모델은 광학 트랩에서 브라운 입자의 움직임을 특성화하는 데 사용되었습니다.[13][14]

평형 상태에서 스프링은 등분할 정리에 따라 평균 ⟩ =(x - x ) ⟩ / 2 = k/ 2 {\ \ lang E\rangle = k\ lang (x-x_{0})^{2}\rangle / 2= k_{B}T/2}를 저장합니다.

금융수학에서

오른슈타인-Uhlenbeck 프로세스는 이자율의 Vasicek 모델에서 사용됩니다.[16] 오른슈타인-울렌벡 프로세스는 금리, 환율 및 상품 가격을 확률적으로 모델링하는 데 사용되는 여러 가지 접근 방식 중 하나입니다. 파라미터 기본값이 지원하는 평형 또는 평균값을 나타내며,σ {\displaystyle\sigma}는 에 의해 발생하는 주변의 변동성 정도를 나타내며 θ {\displaystyle \theta}는 이러한 충격이 분산되어 변수가 평균으로 돌아오는 속도를 나타냅니다. 프로세스의 한 가지 응용 프로그램은 쌍 거래로 알려진 거래 전략입니다.[17][18][19]

오른슈타인의 추가적인 구현-울렌벡 프로세스는 로그 정규 분포 역학 하에서 주식 수익률을 모델링하기 위해 Marcello Minenna에 의해 유도됩니다. 이 모델링은 시장 남용 현상을 예측하기 위해 신뢰 구간을 결정하는 것을 목표로 합니다.

진화생물학에서

오른슈타인-Uhlenbeck 과정은 시간이 지남에 따라 유기체 표현형의 변화를 모델링하기 위한 브라운 운동 모델보다 개선된 것으로 제안되었습니다.[22] 브라운 운동 모델은 표현형이 제한 없이 움직일 수 있다는 것을 의미하는 반면, 대부분의 표현형에서 자연 선택은 어느 방향으로든 너무 멀리 이동하는 비용을 부과합니다. 250개의 화석 표현형 시계열을 메타 분석한 결과, Ornstein-이 발견되었습니다.Uhlenbeck 모델은 조사된 시계열 중 115개(46%)에 가장 적합하여 일반적인 진화 패턴으로 안정성을 뒷받침했습니다.[23] 즉, 모델 선택 메커니즘은 종종 충분한 지원 없이 OU 프로세스를 선호하는 쪽으로 편향되며 잘못된 해석은 의심하지 않는 데이터 과학자에게 쉽습니다.[24]

일반화

Levy-driven Ornstein을 정의할 수 있습니다.Uhlenbeck 공정, 배경 주행 공정은 Wiener 공정 대신 Levy 공정입니다.[25][26]

여기서 위너 프로세스 의 디퍼렌셜이 Lévy 프로세스 {\의 디퍼렌셜로 대체되었습니다

또한 금융에서는 값이 클수록 변동성이 증가하는 확률적 프로세스를 사용합니다 특히 변동성 항이 σ xγ d W \sigma \,x^{\gamma }\로 대체된 CKLS 프로세스(Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders)는는 기존의 OU 프로세스에 해당하는 1 {\ \1} 및 0displaystyle \0}에 대해 닫힌 형태로 해결할 수 있습니다. 다른 특수한 는 γ =1/2 {\displaystyle \ gamma = 1/2}이며, 이는 콕스-인저솔-로스 모델(CIR-model)에 해당합니다.

고차원

오른슈타인의 다차원 버전-N차원 벡터 _로 표시되는 울렌벡 과정은 다음으로부터 정의될 수 있습니다

여기서 는 N차원 위너 프로세스이고, σdisplaystyle sigma}}는 상수 N×N 행렬입니다. 해결책은.

그리고 평균은.

이 식들은 행렬 지수를 사용합니다.

이 과정은 또한 확률 함수P (x,) (\의 관점에서 설명될 수 있으며 이는 Fokker-Planck 방정식을[29] 만족합니다.

여기서, {\를 갖는 D{\{\ =σ σT / {\displaystyle boldsymbol {D}}={\boldsymbol {\sigma }{\sigma }^{T}/2}로 정의됩니다. 1d의 경우, 프로세스는 가우시안 랜덤 변수의 선형 변환이며, 따라서 그 자체는 가우시안이어야 합니다. 이 때문에 전이 P x', t') P t\x}, 't')}는 명시적으로 적을 수 있는 가우시안입니다. 의 고유값의 실수 부분이 0보다 크면, 고정해 ( {존재하며, 이는 다음과 같습니다.

여기서 행렬ω omega }}는 랴푸노프 ω + ω β T = 2 D {\beta }{\}}+{\ {\omega}}{\boldsymbol {\beta }^{.[5]

참고 항목

메모들

  1. ^ a b 1942년 두브.
  2. ^ Karatzas & Shreve 1991, 358쪽.
  3. ^ 가드 1988, 115쪽.
  4. ^ 가디너 1985년
  5. ^ a b c 1989년 위험부담.
  6. ^ Lawler 2006.
  7. ^ 가디너 1985, 106쪽.
  8. ^ Holmes-Cerfon, Miranda (2022). "Lecture 12: Detailed balance and Eigenfunction methods" (PDF).
  9. ^ Aït-Sahalia 2002, pp. 223–262.
  10. ^ Cloeden, Platen & Schurz 1994.
  11. ^ 이글하트 1968.
  12. ^ Nørrelykke & Flyvbjerg 2011.
  13. ^ a b Goerlich et al. 2021.
  14. ^ Li et al. 2019.
  15. ^ 넬슨 1967.
  16. ^ Björk 2009, 페이지 375, 381.
  17. ^ 렁앤리 2016.
  18. ^ 쌍거래의 장점: 시장중립성
  19. ^ 안 오른슈타인-Uhlenbeck 쌍거래 프레임워크
  20. ^ "Detecting Market Abuse". Risk Magazine. 2 November 2004.
  21. ^ "The detection of Market Abuse on financial markets: a quantitative approach". Consob – The Italian Securities and Exchange Commission.
  22. ^ 마틴스 1994, pp. 193–209.
  23. ^ 2007년 사냥.
  24. ^ 코누아 2022.
  25. ^ 1999년까지 Jespersen, Metzler & Foged.
  26. ^ 핑크 & 클뤼펠베르크 2011.
  27. ^ Chan et al. 1992.
  28. ^ 가디너 1985, 페이지 109.
  29. ^ 가디너 1985, 페이지 97.

참고문헌

외부 링크