프리드먼 검정

프리드먼 검정은 Milton ^[1]^[2]^[3]Friedman이 개발한 비모수 통계 검정입니다.모수 반복 측도 분산 분석과 유사하게 여러 검정 시도에서 처리의 차이를 탐지하는 데 사용됩니다.이 절차에는 각 행(또는 블럭)의 순위를 매긴 다음 열별 순위 값을 고려해야 합니다.완전한 블록 설계에 적용 가능하며, 따라서 Durbin 테스트의 특별한 경우이다.

일반적인 사용 예는 다음과 같습니다.

n 와인은 각각 k개의 다른 와인에 대한 평가를 내린다.다른 와인보다 일관되게 높은 순위와 낮은 순위가 매겨진 와인이 있나요?
n 용접 작업자는 각각 k개의 용접 토치를 사용하며, 이후 용접은 품질에 대한 평가를 받았습니다.k 토치 중 일관되게 더 나은 용접 또는 더 나쁜 용접이 이루어집니까?

Friedman 검정은 순위별 분산의 일원 반복 측도 분석에 사용됩니다.순위를 사용할 때는 Kruskal-Wallis 일방향 분산 분석과 유사합니다.

프리드먼 테스트는 많은 통계 소프트웨어 패키지에서 광범위하게 지원됩니다.

방법

데이터 $\{x_{ij}\}_{n\times k}$ { $\{x_{ij}\}_{n\times k}$ $\{x_{ij}\}_{n\times k}$ j $\{x_{ij}\}_{n\times k}$ × $\{x_{ij}\}_{n\times k}$ { \ $displaystyle$ \ { $x$ _ { $ij } _$ { n \ $times$ k $\{x_{ij}\}_{n\times k}$ {\、 n \ $displaystyle$ n $n$ } 행(블록),k \ $displaystyle$ k $}$ 열 $k$ (처리) $및$ 각 블록과 처리의 교차점에 대한 단일 관측치를 $가진$ 매트릭스로서 각 블록 내의 순위를 계산한다.동수 값이 있는 경우 동수 없이 할당되는 랭크 평균을 각 동수 값에 할당합니다.데이터를 새로운 매트릭스 $\{r_{ij}\}_{n\times k}$ { $\{r_{ij}\}_{n\times k}$ i $\{r_{ij}\}_{n\times k}$ $\{r_{ij}\}_{n\times k}$ $({$ \{ $r_{ij}_{n\times$ k})로 $\{r_{ij}\}_{n\times k}$ 바꿉니다.여기서 $r_{ij}$ $r_{ij}$ j $({$ $displaystyle r_$ {ij $})$ 는 블록i(\ $displaystyle$ i $i$ 내의 ${ij$ })의 $x_{ij}$ 순위입니다.
${\bar {r}}_{\cdot j}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{r_{ij}}$ r ${\bar {r}}_{\cdot j}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{r_{ij}}$ ${\bar {r}}_{\cdot j}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{r_{ij}}$ ${\bar {r}}_{\cdot j}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{r_{ij}}$ ${\bar {r}}_{\cdot j}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{r_{ij}}$ ${\bar {r}}_{\cdot j}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{r_{ij}}$ ${\bar {r}}_{\cdot j}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{r_{ij}}$ ${\bar {r}}_{\cdot j}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{r_{ij}}$ j { $displaystyle {r}_{\cdot$ j $} = sum _ {i=1$ }^{n $}{r_{ij}}}$ 을 찾습니다.
테스트 $Q={\frac {12n}{k(k+1)}}\sum _{j=1}^{k}\left({\bar {r}}_{\cdot j}-{\frac {k+1}{2}}\right)^{2}$ 는 Q $Q={\frac {12n}{k(k+1)}}\sum _{j=1}^{k}\left({\bar {r}}_{\cdot j}-{\frac {k+1}{2}}\right)^{2}$ $Q={\frac {12n}{k(k+1)}}\sum _{j=1}^{k}\left({\bar {r}}_{\cdot j}-{\frac {k+1}{2}}\right)^{2}$ ( $Q={\frac {12n}{k(k+1)}}\sum _{j=1}^{k}\left({\bar {r}}_{\cdot j}-{\frac {k+1}{2}}\right)^{2}$ + $Q={\frac {12n}{k(k+1)}}\sum _{j=1}^{k}\left({\bar {r}}_{\cdot j}-{\frac {k+1}{2}}\right)^{2}$ ) $Q={\frac {12n}{k(k+1)}}\sum _{j=1}^{k}\left({\bar {r}}_{\cdot j}-{\frac {k+1}{2}}\right)^{2}$ j $Q={\frac {12n}{k(k+1)}}\sum _{j=1}^{k}\left({\bar {r}}_{\cdot j}-{\frac {k+1}{2}}\right)^{2}$ $Q={\frac {12n}{k(k+1)}}\sum _{j=1}^{k}\left({\bar {r}}_{\cdot j}-{\frac {k+1}{2}}\right)^{2}$ $Q={\frac {12n}{k(k+1)}}\sum _{j=1}^{k}\left({\bar {r}}_{\cdot j}-{\frac {k+1}{2}}\right)^{2}$ $Q={\frac {12n}{k(k+1)}}\sum _{j=1}^{k}\left({\bar {r}}_{\cdot j}-{\frac {k+1}{2}}\right)^{2}$ $Q={\frac {12n}{k(k+1)}}\sum _{j=1}^{k}\left({\bar {r}}_{\cdot j}-{\frac {k+1}{2}}\right)^{2}$ $Q={\frac {12n}{k(k+1)}}\sum _{j=1}^{k}\left({\bar {r}}_{\cdot j}-{\frac {k+1}{2}}\right)^{2}$ - $Q={\frac {12n}{k(k+1)}}\sum _{j=1}^{k}\left({\bar {r}}_{\cdot j}-{\frac {k+1}{2}}\right)^{2}$ + $Q={\frac {12n}{k(k+1)}}\sum _{j=1}^{k}\left({\bar {r}}_{\cdot j}-{\frac {k+1}{2}}\right)^{2}$ ) 2 $Q={\frac {12n}{k(k+1)}}\sum _{j=1}^{k}\left({\bar {r}}_{\cdot j}-{\frac {k+1}{2}}\right)^{2}$ {\ $displaystyle$ Q = $displayfrac {12n}{k(k+1)}\sum$ _ {j $= 1$ ^{ $k}\left$ \ $bar {r}$ {\ $cdot$ j- ${k$ } { $cdot$ j-{k} {fr1} { $frcdot j-$ {k} {fr1} { $fr1}$ 로 표시됩니다.
마지막으로 n 또는 k가 클 경우(즉, n > 15 또는 k > 4), Q의 확률 분포는 카이 제곱 분포로 근사할 수 있다.이 경우 p-값은 P $\mathbf {P} (\chi _{k-1}^{2}\geq Q)$ k $\mathbf {P} (\chi _{k-1}^{2}\geq Q)$ - $\mathbf {P} (\chi _{k-1}^{2}\geq Q)$ 2 $\mathbf {P} (\chi _{k-1}^{2}\geq Q)$ Q $)(\displaystyle \mathbf {P}(\chi$ _ { $k-1}^{2}\geq$ Q $\mathbf {P} (\chi _{k-1}^{2}\geq Q)$ 에 의해 주어집니다.n 또는 k가 작을 경우 ki-제곱에 대한 근사치가 낮아지고 p-값은 프리드먼 테스트용으로 특별히 준비된 Q의 표에서 구해야 합니다.p-값이 유의하면 적절한 사후 다중 비교 검정이 수행됩니다.

사후 분석

그룹의 평균 순위 차이를 바탕으로 서로 유의하게 다른 그룹을 결정하기 위해 Schaich와 Hamerle(1984)^[7] 및 Conover(1971, 1980)^[8]에 의해 사후 테스트가 제안되었다.이러한 절차는 Bortz, Lienert 및 Bohnke(2000, 페이지 275).^[9]Eisinga, Heskes, Pelzer 및 Te Grotenhuis(2017)^[10]는 R에서 구현된 프리드먼 순위 합계의 쌍별 비교를 위한 정확한 검정을 제공한다.Eisinga c.s.의 정확한 테스트는 사용 가능한 대략적인 테스트보다 상당히 개선됩니다. 특히 그룹 수( $\displaystyle$ k $k$ 가 많고 블록 수( $\displaystyle$ n $n$ 가 적은 경우에는 더욱 그렇습니다.

모든 통계 패키지가 프리드먼의 테스트에 대한 사후 분석을 지원하는 것은 아니지만, 이러한 기능을 제공하는 사용자 기여 코드(예: SPSS ^[11]및 R)^[12]가 존재한다.또한,^[13] 프리드먼 이후의 사후 분석을 위한 수많은 비모수적 방법을 포함하는 R에서 사용할 수 있는 특수 패키지가 있다.

레퍼런스

^ Friedman, Milton (December 1937). "The use of ranks to avoid the assumption of normality implicit in the analysis of variance". Journal of the American Statistical Association. 32 (200): 675–701. doi:10.1080/01621459.1937.10503522. JSTOR 2279372.
^ Friedman, Milton (March 1939). "A correction: The use of ranks to avoid the assumption of normality implicit in the analysis of variance". Journal of the American Statistical Association. 34 (205): 109. doi:10.1080/01621459.1939.10502372. JSTOR 2279169.
^ Friedman, Milton (March 1940). "A comparison of alternative tests of significance for the problem of m rankings". The Annals of Mathematical Statistics. 11 (1): 86–92. doi:10.1214/aoms/1177731944. JSTOR 2235971.
^ "FRIEDMAN TEST in NIST Dataplot". August 20, 2018.
^ Wittkowski, Knut M. (1988). "Friedman-Type statistics and consistent multiple comparisons for unbalanced designs with missing data". Journal of the American Statistical Association. 83 (404): 1163–1170. CiteSeerX 10.1.1.533.1948. doi:10.1080/01621459.1988.10478715. JSTOR 2290150.
^ "muStat package (R code)". August 23, 2012.
^ Schaich, E. & Hamerle, A. (1984)Vertilungsfreie statistische Prüfverfahren.베를린: 스프링거.ISBN 3-540-1376-9.
^ 코노버, W. J.(1971년, 1980년)실제 비모수 통계량입니다.뉴욕: 와일리.ISBN 0-471-16851-3.
^ Bortz, J., Lienert, G. & Bohnke, K. (2000)Vertilungsfreie Methoden, der Biostatistik의 Vertilungsfreie Methoden.베를린: 스프링거.ISBN 3-540-67590-6.
^ Eisinga, R.; Heskes, T.; Pelzer, B.; Te Grotenhuis, M. (2017). "Exact p-values for pairwise comparison of Friedman rank sums, with application to comparing classifiers". BMC Bioinformatics. 18: 68. doi:10.1186/s12859-017-1486-2. PMC 5267387. PMID 28122501.
^ "Post-hoc comparisons for Friedman test". Archived from the original on 2012-11-03. Retrieved 2010-02-22.
^ "Post hoc analysis for Friedman's Test (R code)". February 22, 2010.
^ "PMCMRplus: Calculate Pairwise Multiple Comparisons of Mean Rank Sums Extended".

추가 정보

Daniel, Wayne W. (1990). "Friedman two-way analysis of variance by ranks". Applied Nonparametric Statistics (2nd ed.). Boston: PWS-Kent. pp. 262–74. ISBN 978-0-534-91976-4.
Kendall, M. G. (1970). Rank Correlation Methods (4th ed.). London: Charles Griffin. ISBN 978-0-85264-199-6.
Hollander, M.; Wolfe, D. A. (1973). Nonparametric Statistics. New York: J. Wiley. ISBN 978-0-471-40635-8.
Siegel, Sidney; Castellan, N. John Jr. (1988). Nonparametric Statistics for the Behavioral Sciences (2nd ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-100326-1.

[1] Friedman, Milton (December 1937). "The use of ranks to avoid the assumption of normality implicit in the analysis of variance". Journal of the American Statistical Association. 32 (200): 675–701. doi:10.1080/01621459.1937.10503522. JSTOR 2279372.

[2] Friedman, Milton (March 1939). "A correction: The use of ranks to avoid the assumption of normality implicit in the analysis of variance". Journal of the American Statistical Association. 34 (205): 109. doi:10.1080/01621459.1939.10502372. JSTOR 2279169.

[3] Friedman, Milton (March 1940). "A comparison of alternative tests of significance for the problem of m rankings". The Annals of Mathematical Statistics. 11 (1): 86–92. doi:10.1214/aoms/1177731944. JSTOR 2235971.

[4] "FRIEDMAN TEST in NIST Dataplot". August 20, 2018.

[5] Wittkowski, Knut M. (1988). "Friedman-Type statistics and consistent multiple comparisons for unbalanced designs with missing data". Journal of the American Statistical Association. 83 (404): 1163–1170. CiteSeerX 10.1.1.533.1948. doi:10.1080/01621459.1988.10478715. JSTOR 2290150.

[6] "muStat package (R code)". August 23, 2012.

[7] Schaich, E. & Hamerle, A. (1984)Vertilungsfreie statistische Prüfverfahren.베를린: 스프링거.ISBN 3-540-1376-9.

[8] 코노버, W. J.(1971년, 1980년)실제 비모수 통계량입니다.뉴욕: 와일리.ISBN 0-471-16851-3.

[9] Bortz, J., Lienert, G. & Bohnke, K. (2000)Vertilungsfreie Methoden, der Biostatistik의 Vertilungsfreie Methoden.베를린: 스프링거.ISBN 3-540-67590-6.

[10] Eisinga, R.; Heskes, T.; Pelzer, B.; Te Grotenhuis, M. (2017). "Exact p-values for pairwise comparison of Friedman rank sums, with application to comparing classifiers". BMC Bioinformatics. 18: 68. doi:10.1186/s12859-017-1486-2. PMC 5267387. PMID 28122501.

[11] "Post-hoc comparisons for Friedman test". Archived from the original on 2012-11-03. Retrieved 2010-02-22.

[12] "Post hoc analysis for Friedman's Test (R code)". February 22, 2010.

[13] "PMCMRplus: Calculate Pairwise Multiple Comparisons of Mean Rank Sums Extended".

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v t 밀턴 프리드먼
학력	통계 정보 프리드먼 검정 결정론 Friedman-Savage 효용 함수 경제학 통화주의 프리드먼 법칙 프리드먼의 k-퍼센트 규칙 칠레의 기적 영구소득가설
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