출생-사망과정

출생-사망 과정(birth-death process)은 상태 전환이 상태 변수를 1개 증가시키는 "births"와 상태를 1개 감소시키는 "deaths"의 두 가지 유형만 있는 연속 시간 마르코프 과정의 특별한 경우입니다. 그것은 윌리엄 펠러에 의해 소개되었습니다.^[1] 모델의 이름은 일반적인 응용 프로그램에서 비롯되었는데, 이러한 모델을 사용하여 문자 그대로 출생과 사망으로 전환되는 모집단의 현재 크기를 나타냅니다. 출생-사망 과정은 인구 통계학, 대기열 이론, 성능 공학, 역학, 생물학 및 기타 분야에서 많은 응용 분야가 있습니다. 예를 들어, 박테리아의 진화, 개체군 내 질병을 가진 사람들의 수 또는 슈퍼마켓에서 줄을 선 고객의 수를 연구하는 데 사용될 수 있습니다.

정의.

출산이 일어나면, 그 과정은 n에서 n+1로 진행됩니다. 사망이 발생하면 프로세스는 상태 n에서 상태 n - 1로 진행됩니다. The process is specified by positive birth rates ${\displaystyle \{\lambda _{i}\}_{i=0\dots \infty }}$ and positive death rates ${\displaystyle \{\mu _{i}\}_{i=1\dots \infty }}$. Specifically, denote the process by ${\displaystyle X(t)}$, and ${\displaystyle P_{i,}}$${\displaystyle P_{i,j}(t)={\mathsf {P}}\{X(t+s)=j X(s)=i\}}$. Then for small ${\displaystyle \triangle t>0}$, the function ${\displaystyle P_{i,j}(\triangle t)}$ is assumed to satisfy the following properties:

${\displaystyle P_{i,i+1}(\triangle t)=\lambda _{i}\triangle t+o(\triangle t),\quad i\geq 0,}$

${\displaystyle P_{i,i-1}(\triangle t)=\mu_{i}\triangle t+o(\triangle t),\quad i\geq 1,}$

${\displaystyle P_{i,i}(\triangle t)=1-(\lambda _{i}+\mu _{i})\triangle t+o(\triangle t),\quad i\geq 1.}$

재발과 일시성

마르코프 프로세스의 반복 및 과도성에 대해서는 마르코프 체인의 섹션 5.3을 참조하십시오.

재발 및 일시불 조건

재발과 과도의 조건은 Samuel Karlin과 James McGregor에 의해 확립되었습니다.^[2]

출생과 사망의 과정은 다음과 같은 경우에만 반복됩니다.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty}\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}=\infty .}$

탄생과 죽음의 과정은 에르고딕(ergodic)입니다. 오직 다음과 같은 경우에만 말이죠.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}=\infty \quad {\text{and}}\quad \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\lambda _{n-1}}}<\mu _{n}}<\infty .}$

출생과 사망 과정은 오직 다음과 같은 경우에만 무효로 반복됩니다.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}=\infty \quad {\text{and}}\quad \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\lambda _{n-1}}}{\mu _{n}}=\infty .}$

Extended Bertrand의 검정(Ratio test의 섹션 4.1.4 참조)을 사용하면 재발, 과도, 에르고딕성 및 무효 재발 조건을 보다 명확한 형태로 도출할 수 있습니다.^[3]

For integer ${\displaystyle K\geq 1,}$ let ${\displaystyle \ln _{(K)}(x)}$ denote the ${\displaystyle K}$th iterate of natural logarithm, i.e. ${\displaystyle \ln _{(1)}(x)=\ln(x)}$ and for any ${\displaystyle 2\leq k\leq K}$, $ln$(${\displaystyle {}_k}$) ${\displaystyle }$ (${\displaystyle {}_{}}$x ) ${\displaystyle =}$ln ( k -${\displaystyle {}_{}}$1 ) ⁡ ${\displaystyle {(}_{}}$ ln ⁡ ( x ) {\displaystyle \ln _{(k)}${\displaystyle {}_{}}$(x) =\ln _{(k-1)} (\ln(x))}.

그렇다면 출생과 사망 과정의 재발과 과도기의 조건은 다음과 같습니다.

> 1, {\$displaystyle$ c > $1,}$ $K$≥ 1 {\$displaystyle$$K$\$geq$ ${\displaystyle 1_{}}$}$$및 n 0 {\$displaystyle$n_{0}이 존재하는 경우 출생과 사망 과정은 일시적입니다. 이는 n > n 0${\display n$ > n_{0}에 수행됩니다.

${\displaystyle {\frac {\lambda _{n}}{\mu _{n}}}\geq 1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{j=1}^{k}\ln _{(j)}(n)}}+{\frac {c}{n\prod _{j=1}^{K}\ln _{(j)}(n)}},}$

여기서 ${\displaystyle \mathrm{K}}$ = 1${\$displaystyle K = 1}의 빈 합은 0으로 가정합니다.

≥ 1 {\$displaystyle$K\$geq$ 1$}$과 n 0 {\$displaystyle$n_{0}이 존재하면 모든 n> n 0 ${\displaystyle$n> n_{0}에 출생과 사망 과정이 반복됩니다.

${\displaystyle {\frac {\lambda _{n}}{\mu _{n}}}\leq 1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{K}{\frac {1}{\prod _{j=1}^{k}\ln _{(j)}(n)}}.}$

재발과 일시성의 조건이 확립될 수 있는 더 넓은 계층의 출생과 사망 과정은 다음에서 찾을 수 있습니다.^[4]

어플

다음과 같이 정의되는 1차원 랜덤 워크 ${\displaystyle {St}_{}}$ ${\displaystyle \text{t}}$ = 0${\displaystyle ,}$ $,$ …, {\displaystyle S_{t},\t = 0,1,\ldots,}를 생각해 보십시오. Let ${\displaystyle S_{0}=1}$, and ${\displaystyle S_{t}=S_{t-1}+e_{t},\ t\geq 1,}$ where ${\displaystyle e_{t}}$ takes values ${\displaystyle \pm 1}$, and the distribution of ${\displaystyle S_{t}}$ is defined by the following conditions:

${\displaystyle {\mathsf {P}}\{S_{t+1}=S_{t}+1 S_{t}>0\}={\frac {1}{2}}+{\frac {\alpha _{S_{t}}}{S_{t}}},\quad {\mathsf {P}}\{S_{t+1}=S_{t}-1 S_{t}>0\}={\frac {1}{2}}-{\frac {\alpha _{S_{t}}}{S_{t}}},\quad {\mathsf {P}}\{S_{t+1}=1 S_{t}=0\}=1,}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 0< n< { C n/ > ${\displaystyle 0<\alpha_{n}<\min\{C,n/2\},$C >$0}$을 만족합니다

여기에 설명된 임의 보행은 출생과 사망 과정의 이산 시간 유사성(마코프 체인 참조)과 출생률.

${\displaystyle \lambda_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {\alpha_{n}}}}$

그리고 사망률은

${\displaystyle {\mu }_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ = ${\displaystyle 12}$- α n {\displaystyle \mu${\displaystyle {\_}_{}}${n} = {\frac {1}{2}-{\frac {\alpha_{n}}{n}}.

따라서 임의 보행의 재발 또는 일시성은 출생과 사망 과정의 재발 또는 일시성과 관련이 있습니다.^[3]

워크는 c> ${\displaystyle$ c$>1$ $K$≥ $1$ {\$displaystyle$K\geq ${\displaystyle 1_{}}$}$$및 n 0 {\$displaystyle$n_{0}이 존재하면 일시적이므로 모든n > n 0 ${\displaystyle n>$ n_{0}입니다

${\displaystyle \alpha _{n}\geq {\frac {1}{4}}\left(1+\sum _{k=1}^{K-1}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{\ln _{(j)}(n)}}+c\prod _{j=1}^{K}{\frac {1}{\ln _{(j)}(n)}}\right),}$

여기서 ${\displaystyle \mathrm{K}}$ = 1${\$displaystyle K = 1}의 빈 합은 0으로 가정합니다.

$$≥ 1 {\displaystyle K\geq$$1} 및 ${\displaystyle n_{}}$ 0$${\$displaystyle n_${0}이 존재하는 경우 랜덤 워크는 모든n > n > n 0 ${\displaystyle$n> n_{0}에 반복됩니다.

${\displaystyle \alpha _{n}\leq {\frac {1}{4}}\left(1+\sum _{k=1}^{K}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{\ln _{(j)}(n)}}\right).}$

정지해

If a birth-and-death process is ergodic, then there exists steady-state probabilities ${\displaystyle \pi _{k}=\lim _{t\to \infty }p_{k}(t),}$ where ${\displaystyle p_{k}(t)}$ is the probability that the birth-and-death process is in state ${\displaystyle k}$ at time ${\displaystyle t.}$${\displaystyle t.}$$$ 한계는 초기 값 ${\displaystyle {pk}_{}0),}$ ${\displaystyle p_{k}(0),}$와 무관하게 존재하며$$ 다음 관계에 의해 계산됩니다.

${\displaystyle \pi_{k}=\pi_{0}\prod _{i=1}^{k}{\frac {\lambda _{i-1}}{\mu _{i}}}\quad k=1,2,\ldots,}$

${\displaystyle \pi _{0}={\frac {1}{1+\sum _{k=1}^{\infty }\prod _{i=1}^{k}{\frac {\lambda _{i-1}}{\mu _{i}}}}}.}$

$이러한{\displaystyle {}_{}}$ 제한 확률은 ${\displaystyle {pk}_{}t)}$에 대한 미분 방정식의 무한 체계로부터 얻어집니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle p_{k}(t):}$

${\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=\mu _{1}p_{1}(t)-\lambda _{0}p_{0}(t)\,}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda _{k-1}p_{k-1}(t)+\mu _{k+1}p_{k+1}(t)-(\lambda _{k}+\mu _{k})p_{k}(t),k=1,2,\ldots ,\,}$

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{초기}}}$ 조건 ∑ ${\displaystyle k_{}}$ =$0$∞ p k ( $t$) = 1. {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}(t) = 1.}

차례로, 미분 방정식의 마지막 시스템은 작은 시간$$δ t {\displaystyle$\Delta$ 시스템의 동적을 설명하는 미분 방정식 시스템에서 파생됩니다. 이 $작은$ δ t${\displaystyle$ \Delta} 동안 세 가지 유형의 전이만 한 죽음 또는 한 탄생으로 간주됩니다. 출생이나 사망이 없는 경우. 이 전환 중 처음 두 전환의 확률은$$δ t {\displaystyle$$\$Delta$} 정도입니다. 이 작은$$ 동안의 다른 전환은 한 번 이상의 출생 또는 한 번 이상의 사망과 같은${\displaystyle$ \Delta} δ t입니다. 또는 적어도 하나의 출생과 적어도 하나의 사망은$$δ t ${\displaystyle$\$Delta$}보다 작은 차수의 확률을 가지므로 파생은 무시할 수 있습니다. 시스템이 k 상태인 경우 간격$$δ {\displaystyle$$\${\displaystyle {Delta}_{}}$ t} 동안 출생할 ${\displaystyle \mathrm{확률}}$은$$λ${\displaystyle }$K$$δ t + o (δ t) ${\displaystyle$\lambda _{k}\Delta t+$(\$Delta$$t)},$$할${\displaystyle \mathrm{확률}}$은 $μK$δ t + $o ($δ t$)$ {\displaystyle \mu _{k}\Delta t+o(\Delta t)}, 그리고 출생하지 않을 확률과 사망하지 않을 $확률$은 1 -${\displaystyle }$λ K${\displaystyle }$δ${\displaystyle }$t - μk$$δ t + o $($δ t)${\displaystyle$1-$\lambda$ _${k$}\$Delta$t -\mu _{k}\Delta t+o(\Delta t)}입니다. 인구 과정에서 "출산"은 인구 규모를 1명 늘리는 방향으로, "사망"은 인구 규모를 1명 줄이는 방향으로 전환됩니다.

출생-사망 과정의 예

순수 출생 과정은 모든 i ≥ 0 {\style i\geq 0}에 $대해$ ${\displaystyle {\mu i}_{}}$ = ${\$$style$\mu _{i} = $0$을 표시하는 출생-사망 과정입니다.

순수 사멸 과정은 모든 $i$ ≥$0$ $style$ i\geq 0}에 대해 λ i = 0 $style$ \lambda _{i$}$=$0$}을$$표시하는 출생-사멸 과정입니다.

대기열 이론에서 사용되는 M/M/1 모델과 M/M/c 모델은 무한 대기열에 있는 고객을 설명하는 데 사용되는 출생-사망 프로세스입니다.

계통역학에서 사용

출생-사망 과정은 계통발생학의 사전 분포, 즉 출생 사건이 나무의 가지에 해당하고 사망 사건이 잎 마디에 해당하는 이진 트리로 계통역학에서 사용됩니다.^[5] 특히, 바이러스^[6] 계통역학에서는 전염 과정과 시간에 따라 감염된 사람의 수가 어떻게 변하는지를 이해하는 데 사용됩니다.^[7]

계통역학에서 일반화된 출생-사망 과정의 사용은 데이터로부터 출생과 사망의 비율을 식별할 수 있는 정도에 대한 조사를 자극했습니다.^[8] 일반적으로 모형은 식별할 수 없지만 일반적으로 사용되는 모형의 부분 집합은 식별할 수 있습니다.^[9]

대기열 이론에 사용

대기열 이론에서 출생-사망 과정은 대기열 모델인 M/M/C/K/ ∞ ${\displaystyle$\infty} /FIFO$($완전한 켄달 표기법) 대기열의 가장 기본적인 예입니다. 이는 무한 모집단에서 추출된 포아송 도착이 있는 큐이며, K개의 위치가 있는 기하급수적으로 분포된 서비스 시간이 있는 C 서버입니다. 무한한 인구라는 가정에도 불구하고 이 모델은 다양한 통신 시스템에 좋은 모델입니다.

M/M/1 큐

M/M/1은 버퍼 크기가 무한대인 단일 서버 대기열입니다. 랜덤이 아닌 환경에서 대기열 모델의 출생-사망 과정은 장기 평균인 경향이 있으므로 평균 도달률은$$λ {\displaystyle$$\lambda}, 평균 서비스${\displaystyle }시간$은$$1/μ {\$displaystyle$1/\mu}로 제공됩니다. 출생-사망 과정은 M/M/1 대기열입니다.

${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda {\text{ and }}\mu _{i}=\mu {\text{ for all}}i.\,}$

시간 t에서 계가 k 상태에 있을 확률에 대한 미분방정식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle p_{0}^{\prime}(t)=\mup_{1}(t)-\lambda p_{0}(t),\,}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +\mu )p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=1,2,\ldots \,}$

M/M/1 큐와 관련된 순수 출생 프로세스

λ${\displaystyle {}_{}k}$≡ λ${\$displaystyle \lambda _{k}\equiv \lambda }를 사용하는 순수 출생 프로세스는 M/M/1 대기열 프로세스의 특정 경우입니다. 우리는 다음과 같은 미분 방정식 체계를 가지고 있습니다.

${\displaystyle p_{0}^{\prime}(t)=-\lambda p_{0}(t),\,}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime}(t)=\lambda p_{k-1}(t)-\lambda p_{k}(t)\quad {\text{for}k=1,2,\ldots \,}$

${\displaystyle \mathrm{초기}}$ 조건 $p$ ${\displaystyle 0_{}0)}$ = 1${\$${\displaystyle displaystyle}$ $p_{0$}(0) = 1} 및 p(0) = 0, k = 1, 2, … {\displaystyle p_{k}(0) = 0,\ k = 1, 2,\ldots }에서 시스템의 솔루션은

${\displaystyle p_{k}(t)={\frac {(\lambda t)^{k}}{k!}}\mathrm {e} ^{-\lambda t}.}$

즉, (동차적인) 포아송 과정은 순수한 출생 과정입니다.

M/M/c 큐

M/M/C는 C 서버와 무한 버퍼가 있는 다중 서버 큐입니다. 다음과 같은 출생 및 사망 파라미터를 특징으로 합니다.

${\displaystyle \mu _{i}=i\mu \quad {\text{ for }}i\leq C-1,\,}$

그리고.

${\displaystyle \mu _{i}= C\mu \ quad {\text{ for }}i\geq C,\,}$

와 함께

${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda \quad {\text{ for all}}i.\,}$

이 경우 미분 방정식 체계는 다음과 같은 형태를 갖습니다.

${\displaystyle p_{0}^{\prime}(t)=\mup_{1}(t)-\lambda p_{0}(t),\,}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+(k+1)\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +k\mu )p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=1,2,\ldots ,C-1,\,}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+C\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +C\mu )p_{k}(t)\quad {\text{for }}k\geq C.\,}$

M/M/C 큐와 관련된 순수 사멸 프로세스

${\displaystyle {\mu k}_{}}$ = ${\displaystyle k}$ ${\$displaystyle \mu _{k} = k\mu}를 사용하는 순수 사멸 프로세스는 M/M/C 큐잉 프로세스의 특정 경우입니다. 우리는 다음과 같은 미분 방정식 체계를 가지고 있습니다.

${\displaystyle p_{C}^{\prime }(t)=-C\mu p_{C}(t),\,}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=(k+1)\mu p_{k+1}(t)-k\mu p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=0,1,\ldots ,C-1.\,}$

초기 조건 $p$ ${\displaystyle C_{}}$(${\displaystyle 0)}$ = 1 ${\$${\displaystyle displaystyle}$ $p_{C$}(0) = $1}$ 및 p (0) = 0, k = 0, 1, …, C - 1, {\displaystyle p_{k}(0) = 0,\ k = 0, 1,\ldots, C-1,}에서 해를 얻습니다.

${\displaystyle p_{k}(t)={\binom {C}{k}}\mathrm {e} ^{-k\mu t}\left(1-\mathrm {e} ^{-\mu t}\right)^{C-k},}$

는 시간 파라미터 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ t$}$에 따라 이항 분포의 버전을 나타냅니다($$이항 공정 참조).

M/M/1/K queue

M/M/1/K 큐는 크기가 K인 버퍼가 있는 단일 서버 큐입니다. 이 대기열은 인구가 용량 제한을 가질 때 생물학뿐만 아니라 통신 분야에도 적용됩니다. 전기 통신에서는 다시 M/M/1 큐의 파라미터를 사용합니다.

${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda \quad {\text{ for }} 0\leqi<K,\,}$

${\displaystyle \lambda _{i}=0\quad {\text{ for }}i\geq K,\,}$

${\displaystyle \mu _{i}=\mu \quad {\text{ for }}1\leqi\leq K.\,}$

생물학에서, 특히 박테리아의 성장은 인구가 0일 때 성장할 수 있는 능력이 없습니다.

${\displaystyle \lambda _{0}=0.\,}$

추가적으로 개인이 인구 과잉으로 사망하는 한계를 나타내는 능력이라면,

${\displaystyle \mu_{K}=0.\,}$

시간 t에서 계가 k 상태에 있을 확률에 대한 미분방정식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle p_{0}^{\prime}(t)=\mup_{1}(t)-\lambda p_{0}(t),}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +\mu )p_{k}(t)\quad {\text{ for }}k\leq K-1,\,}$

${\displaystyle p_{K}^{\prime }(t)=\lambda p_{K-1}(t)-(\lambda +\mu )p_{K}(t),\,}$

${\displaystyle p_{k}(t)=0\quad {\text{ for }}k>K.\,}$

평형

정상 상태 ${\displaystyle {확률}_{}}$이 ${\displaystyle \underset{}{k}}$ = ${\displaystyle \text{lim}}$ → ∞ p k ( ${\displaystyle \mathrm{t}}$ ${\displaystyle ),}$ k = $0,$ 1, …,${\displaystyle$ \pi _{k} =\lim _{t\to \infty }p_{k}(t),\k = 0,1,\ldots,}인 경우 큐가 평형 상태에 있다고 합니다. M/M/1 큐의 경우 이러한 정상 상태 확률의 존재 조건은ρ =λ / μ < 1 ${\$displaystyle \rho =\lambda /\mu < 1}이고 M/M/C 큐의 경우 ρ = λ / (C μ) < 1 {\displaystyle \rho =\lambda / (C\mu ) < 1}입니다. 파라미터$$ρ {\displaystyle$$\rho}는 일반적으로 로드 파라미터 또는 사용률 파라미터라고 합니다. 때때로 그것은 교통 강도라고도 불립니다.

M/M/1 큐를 예로 들어 정상 상태 방정식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \lambda \pi_{0}=\mu \pi_{1}\,}$

${\displaystyle (\lambda +\mu )\pi _{k}=\lambda \pi _{k-1}+\mu \pi _{k+1}\,}$

이는 다음으로 줄일 수 있습니다.

${\displaystyle \lambda \pi _{k}=\mu \pi _{k+1}{\text{ for }k\geq 0.\,}$

${\displaystyle {따라서}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$π${\displaystyle }$0 + π$$1 + … =$1${\displaystyle \pi _{0}+\pi _{1}+\ldots = 1}인 것을 고려하면, 우리는 다음을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle \pi _{k}=(1-\rho )\rho ^{k}.}$

양자간의 출생과 죽음의 과정

양자 출생 및 사망 과정은 출생 및 사망률$$λ i ${\displaystyle \$lambda _{i${\displaystyle {\}}_{}}$ 및 $μi {\displaystyle$ \mu _{i}}가 인덱스 $매개변수$ i =${\displaystyle 0}$,$$± 1, ± 2, … {\displaystyle i=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }의 값에 대해 정의된다는 유일한 차이점과 함께 표준과 유사하게 정의됩니다. 이에 따라 양쪽의 출생과 사망 과정은 다음과 같은 경우에만 반복됩니다.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}=\infty \quad {\text{and}}\quad \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\lambda _{-n}}{\mu _{-n}}}=\infty .}$

에르고딕성과 무효 반복의 개념은 표준 출생과 사망 과정의 해당 개념을 확장하여 유사하게 정의됩니다.

참고 항목

• 에를랑단위
• 대기열 이론
• 대기열 모델
• 준생사과정
• 모란과정

메모들

참고문헌

• Latouche, G.; Ramaswami, V. (1999). "Quasi-Birth-and-Death Processes". Introduction to Matrix Analytic Methods in Stochastic Modelling (1st ed.). ASA SIAM. ISBN 0-89871-425-7.
• Nowak, M. A. (2006). Evolutionary Dynamics: Exploring the Equations of Life. Harvard University Press. ISBN 0-674-02338-2.
• Virtamo, J. "Birth-death processes" (PDF). 38.3143 Queueing Theory. Retrieved 2 December 2019.