갱신 이론

갱신 이론은 임의의 홀딩 시간에 대한 포아송 과정을 일반화하는 확률 이론의 한 분야다. 기하급수적으로 분산된 보유 시간 대신, 갱신 프로세스는 유한한 평균을 갖는 독립적이고 동일한 IID(분산된) 보유 시간을 가질 수 있다. 갱신 보상 프로세스는 각 보유 시간에 발생하는 보상의 무작위 순서를 추가로 가지며, 이는 IID이지만 보유 시간에 독립적일 필요는 없다.

갱신 과정은 대수의 강한 법칙과 중앙 한계 정리와 유사한 점증적 성질을 가지고 있다. 갱신 함수 $m{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle m(t)}($기대 도착 횟수)과 보상 $함수{\displaystyle }$ g${\displaystyle }$(${\displaystyle t}$) ${\displaystyle g(t)}($기대 보상 값)은 갱신 이론에서 핵심적인 중요성을 갖는다. 갱신 함수는 재귀 적분 방정식인 갱신 방정식을 만족한다. 키 갱신 방정식은 적절한 비음수 함수를 $가진$ m ${\displaystyle {\prime }^{}}$(${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle$ m$'(t)}$의 콘볼루션 한계값을 제공한다. 갱신 프로세스의 중첩은 마르코프 갱신 프로세스의 특수한 사례로서 연구할 수 있다.

공장 내 노후된 기계를 교체하기 위한 최선의 전략을 계산하고, 여러 보험의 장기적 편익을 비교하는 것이 신청서다. 점검의 역설은 시간 t에서 갱신 주기를 관찰하면 평균값의 평균 갱신 간격보다 큰 간격을 제공한다는 사실과 관련된다.

갱신 프로세스

소개

갱신 과정은 포아송 공정을 일반화한 것이다. 본질적으로 포아송 공정은 양의 $정수{\displaystyle }$(보통 0에서 시작)에 대한 연속 시간 마코프 공정으로, 다음 정수인 $i{\displaystyle +1}$ {\$displaystyle$ $i$$}$에서 독립적으로 분산된 홀딩 시간을 가지다가 다음$$ 정수인 i+1 ${\displaystyle$ i+1}으로$$진척된다$.$ 갱신 과정에서, 보유 시간은 지수 분포를 가질 필요가 없다. 오히려 보유 시간이 독립적이고 동일한 분포(IID)를 가지며 유한한 평균을 갖는 한, 보유 시간은 양수에 분포를 가질 수 있다.

형식 정의

$S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ 3,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {5\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle S_{1}, S_{2},S_{3},S_{4},S_${5},S_${5},\ldots }}$을(를) 다음과 같이 동일하게 독립적으로 분포된 임의 변수의 순서가 되게$$ 하라.

${\displaystyle 0<\operatorname {E} [S_{i}]<\infully .}$

임의 변수 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$를 "${\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$ -th$$ holding time"으로 지칭한다$$.

${\displaystyle \mathrm{E}}$ ${\displaystyle }$[${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [S_{i}]}$은(는) ${\displaystyle {Si}_{}}$ ${\$의 기대치 입니다$.$

각 n > 0 :에 대해 정의한다.

${\displaystyle J_{n}=\sum _{i=1}^{n}S_{i}}}$

각 ${\displaystyle {Jn}_{}}$ ${\$은(는$)$ "${\displaystyle }$ {\$displaystyle n}$ -th$$ jump time"이라고 하며$$$,{\displaystyle }$ [${\displaystyle {Jn}_{}}$ ${\displaystyle {Jn}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ $]{\displaystyle [J_{n},J_{n+1}]$의 간격을 "갱신 간격"이라고 한다$$.

그런 다음${\displaystyle }$( ${\displaystyle X_{}{}_{}}$t ) ${\displaystyle {t0}_{}}$ 0 ${\$ 0$}}}$ 랜덤 변수로 주어진다$$.

${\displaystyle X_{t}=\sum _{n=1}^{\nft }\operatorname {\mathb {I}} _{\{J_}\leq t\}}}=\supleft\,n:J_{n}\leq t\,\right\}}$

여기서 $I{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}${ ${\displaystyle {{Jn}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {\}}_{}}$ ${\$ t$\}}}$은(는) 표시기 함수임

${\displaystyle \operatorname {\mathb {I} _{\{J_{n}\leq t\}}}={\begin{case}1,&#{\text{{}}}}}}}}}}}}{{n}\text}, {otherwise}\case{}}}}}}}}}}}}}:{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}end}}}}}$

${\displaystyle (}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}{}_{}}$) ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$ ${\displaystyle {\ge }_{}}$ 0 ${\$은 시간 t에 의해 발생한 점프 수를 나타내며$$, 갱신 과정이라고 한다.

해석

만일 어떤 사람이 임의의 시간에 발생하는 이벤트를 고려한다면$,{\displaystyle }$ 사람들은 두 개의 연속적인 이벤트 사이에 경과된$$ 무작위 시간으로 {${\displaystyle {Si}_{}}$: ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$}$${\$displaystyle$\{$S_{i}}:i\geq$ 1$\}}}}$을(를) 생각할 수 있다. 예를 들어, 갱신 프로세스가 서로 다른 기계의 고장 횟수를 모델링하는 경우, 고정 시간은 한 기계의 고장 발생 전에 한 기계의 고장 발생 간 시간을 나타낸다.

포아송 공정은 지수 분포가 무메모리 특성을 갖는 고유 연속 랜덤 변수인 만큼 마르코프 속성을 가진 고유한 갱신 공정이다.^[1]

리뉴얼 보상 프로세스

$W{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$W ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$… ${\displaystyle W_{1},W_{2},\ldots }$을(를) 만족하는 IID 랜덤 변수(후)의 시퀀스가 되도록 하십시오$$.

${\displaystyle \operatorname {E} W_{i} <\flotty .\,}$

그러면 랜덤 변수

${\displaystyle Y_{t}=\sum _{i=1}^{X_{t}}}W_{i}}$

리뉴얼 프로세스라고 한다. ${\displaystyle {Si}_{}}$ ${\$와는 달리$$각 ${\displaystyle {Wi}_{}}$ ${\$는 양의 값뿐만 아니라 음의 값도 취할 수 있다는$$ 점에 유의하십시오.

랜덤 변수 $Y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$는 홀딩 시간 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$S ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle S_{1}, S_{2},\ldots }$와 보상$$ $W{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ,${\displaystyle W_{1}, W_{2},\ldots }$의 두 시퀀스에 따라 달라진다$$$$. 특히 ${\$는 ${\$의 함수일 수 있다$$$.$

해석

위의 유지 시간을 연속적인 기계 오작동 사이의 시간으로 해석하는 맥락에서, "rewards" W ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{W\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle W_{1},W_{2},\ldots$ $$$}($이 경우 음성으로 발생함)는 연속적인 오작동의 결과로 발생하는 연속적인 수리 비용으로 볼 수 있다.

또 다른 비유는 우리가 ${\$로 유통되는 간격으로 알을 낳는 마법의 거위를 가지고 있다는 것이다$.$ 어떤 때는 무작위 중량의 황금알을 낳기도 하고, 어떤 때는 독성 알(또한 무작위 중량의 알)을 낳아서 책임감 있는(그리고 비용이 많이 드는) 처분이 필요하다는 것이다. "rewards" $W{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 연속적인 달걀(i = 1,2,3,...)으로 인한 연속적인 (랜덤) 금융 손실/지점으로, $Y{\displaystyle {}_{}}$ t ${\$는 시간 t에 총 재무 "reward"를$$ 기록한다.

갱신함수

리뉴얼 함수를 최대 일정 $시간{\displaystyle }$ t ${\displaystyle t}$까지 관측된 점프 수의 예상 값으로 정의한다$.$

${\displaystyle m(t)=\operatorname {E} [X_{t}]\,}$

초등갱신정리

갱신 기능이 충족됨

${\displaystyle \lim _{t\to \flt}{1}{t}m(t)={\frac {1}{\operatorname {E}[S_{1}]}}}$

쇼프루프

대수의 갱신된 프로세스에 대해 강한 법을 의미한다. ${\displaystyle \lim _{t\t\to }{\frac {X_{t}}}={\frac {1}{\frac {1}{\opername {E}[S_{1}}}}}}}}$ 기초 갱신 정리를 증명하려면,${\displaystyle }${${\displaystyle X\frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{};}$ ${\displaystyle t}$≥ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ${\$ 0$\right\}}}}}}$이(가) 균일하게 통합할 수 있음을$$ 보여주면 충분하다. 이렇게 하려면)나는}{Sn>}{\displaystyle{\overline{S_{n}⁡}=a\operatorname{\mathbb{나는}}\{S_{n}>, a\}}이{\displaystyle}은 영점이 0<>F(를))p<1{\displaystyle 0&lt가 보유번 Sn¯에 의해 정의된다 일부 잘라낸 재생되는 과정을 고려해 보세요.F(를)=p< 1}의 모습은 모두가 존재한다. 비파생적 갱신 프로세스. This new renewal process ${\displaystyle {\overline {X}}_{t}}$ is an upper bound on ${\displaystyle X_{t}}$ and its renewals can only occur on the lattice ${\displaystyle \{na;n\in \mathbb {N} \}}$. Furthermore, the number of renewals at each time is geometric with parameter ${\dis$$놀이방식의$p$\}.$ 그래서 우리는 ${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {X_{t}}}&\leq \sum _{i=1}^{[at]}\operatorname {Geometric} (p)\\\operatorname {E} \left[\,{\overline {X_{t}}}^{2}\,\right]&\leq C_{1}t+C_{2}t^{2}\\P\left({\frac {X_{t}}{t}}>x\right)&\leq {\frac {\operatorname {E} \left[X_{t}^{2}\right]}{t^{2}x^{2}}}\leq {\frac {\operatorname {E} \left[{\overline {X_{t}}}^{2}\right]}{t^{2}x^{2}}}\leq {\frac {C}{x^{2}}}.\end{정렬}}}$

갱신 보상 프로세스를 위한 기초 갱신 정리

우리는:보상 기능을 정의한다.

${\displaystyle g(t)=\operatorname{E}[Y_{t}].\,}$

그 보상은 기능이 만족하실 정도

${\displaystyle \lim_{t\to\infty}{\frac{1}{t}}g(t)={\frac{\operatorname{E}}{\operatorname{E}[S_{1}]}}.}[W_{1}].$

리뉴얼 방정식

갱신 기능이 충족됨

${\displaystyle m(t)=F_ᆫ(t)+\int _ᆬ^ᆭm(t-s)f_ᆮ(s)\,ds}$

S1{\displaystyle S_{1}어디 FS{\displaystyle F_{S}}은 누적 분포 함수}과 S{\displaystyle f_{S}f}에서 대응하는 확률 밀도 함수.

showProof[2]

우리는 첫번째로 체공 시간에 대해:기대가 반복할 수 있다. ${\displaystyle m(t)=\operatorname{E}[X_{t}]=\operatorname{E}[\operatorname{E}(X_{t}\mid S_{1})].\,}$ 는 재생되는 과정의 정의로부터 해 주고 있습니다. ${\displaystyle \operatorname{E}(X_{t}\mid S_{1}=s)=\operatorname{\mathbb{나는}}_{){t\geq s\}}\left(1+\operatorname{E}[X_{t-s}]\right).\,}$ 그렇게 ${\displaystyle{\begin{정렬}(t)&,=\operatorname{E}[X_{t}]\\[12pt]&,=\operatorname{E}[\operatorname{E}(X_{t}\mid S_{1})]\\[12pt]&,=\int _{0}^{\infty}\operatorname{E}(X_{t}\mid S_{1}=s)[12pt]&,=\int _{0}^{\infty}\operatorname{\mathbb{나는}}_{){t\geq s\}}\left(1+\operatorname{E}[X_{t-s}]\right)f_ᆾ(s)\,ds\\는 경우.12pt]&=\int _{0}^ᆫ\left(1+m(t-s)\right)f_ᆬᆪ\,ds\\[12pt]&.=F_ᆫ(t)+\int _ᆬ^ᆭm(t-s)f_ᆮ(s)\,ds,\end{정렬}}}$ 필요한 만큼.

키 갱신 정리

갱신 기능 m(t){\displaystyle m(t)}과interrenewal 말μ{\displaystyle \mu}과 X는 갱신 절차를 할게. g:[0, ∞)→ -LSB- 0자, ∞){\displaystyle g:-LSB- 0,\infty)\rightarrow는 경우에는 0,\infty)} 기능 만족:.

• ${\displaystyle \int _{0}^{\\infully }g(t)\,dt<\infully }$
• g는 단조롭고 증가하지 않는다.

키 리뉴얼 정리에서는${\displaystyle }t{\displaystyle }$ → ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle t\rightarrow \infit$^[3]}:

${\displaystyle \int_{0}^{t(t-x)m'(x)\,dx\오른쪽 화살표 {\frac {1}{\mu }}\int_{0}^{0}{\inflt }g(x)\,dx}$

갱신정리

$g$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$[ ${\displaystyle 0_{}}$, ${\displaystyle h_{}}$ ${\displaystyle {]}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}x}$) ${\$$displaystyle$ $g(x)=\mathb {I} _{[0$$,$$h$$]}(x)}$을(를) 고려할 때 특별한 경우로서 갱신 정리를 제공한다.^[4]

${\displaystyle m(}$ ${\displaystyle t}$+ ${\displaystyle h}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle m}$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle h\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mu }{}}$ ${\$)-m(t$)\rightarrow {\frac {h}{\mu }}}}$ $as$ t → t$$→ $displaysty$ t$\rightarrow \infit }}}$

결과는 적분 방정식 또는 결합 인수를 사용하여 증명할 수 있다.^[5] 키 갱신 정리의 특수한 경우지만, 스텝 기능을 고려한 다음 스텝 기능의 순서를 늘려 전체 정리를 추론하는 데 사용할 수 있다.^[3]

점근성

갱신 과정과 갱신-보전 과정은 대수의 강한 법칙과 유사한 속성을 가지고 있는데, 이는 동일한 정리로부터 파생될 수 있다. $({\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}{}_{}}$) ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$ ${\displaystyle {\ge }_{}}$ 0 ${\$t}_{$t\geq$ $0$$}}$이(${\displaystyle {}_{}}$) 갱신 프로세스이고${\displaystyle }$( Y ${\displaystyle t_{}{}_{}}$) ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$ ${\displaystyle {\ge }_{}}$ 0 ${\$}_{t$\geq$ 0$})$이 갱신 보상 프로세스인$$ 경우:

${\displaystyle \lim _{t\to \flt}{1}{t}={\frac {1}{1}{\frac {1}{1}{\operatorname {E}[S_{1}}}}}}}}}}}}}}}$^[6]

${\displaystyle \lim _{t\to \inflt}{\frac {1}{t}}}Y_{t}={\frac {1}{\operatorname {E} [S_{1}]}}\operatorname {E} [W_{1}]}$

거의 틀림없이

쇼프루프

${\displaystyle {\mathrm{먼저}}_{}}{\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}{}_{}}$) ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {\ge }_{}}$ 0 ${\$을(를) 고려하십시오$.$ 정의상으로는 다음과 같다. ${\displaystyle J_{X_{t}}\leq t\leq J_{X_{t}+:1}}$ $모든{\displaystyle }$ t${\displaystyle 0}$ 0 ${\displaystyle t\geq$ 0$}$ 등에$$ 대해 ${\displaystyle {{J_{X_{t}}{X_{t}}}{X_{t}}}\leq {\frac {\j_{X_{t}}}}}}{X_{t}}}}}}}}}\frac {J_{X_}+1}{t}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ 모든 t ≥ 0에 대하여. 0< [ S <{{\$displaystyle$ 0$<\\operatorname {E}$ [$S_{i}]<\fty }}$ 이후로는 다음과 같은 결과가 나왔다. $\displaystyle X_{t}\to \ft}$ $t{\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{▼}}$ ${\displaystyle t\to \potto$ \forty$}$에 거의$$ 확실(확률 1 포함) 따라서 다음과 같다. ${\displaystyle {\frac {J_{X_{t}}}{X_{t}}}}={\frac {J_{n}}}}}}={\frac {1}{n}}}\sum _{i=1}^{n}}\operatorname {E}[S_{1}]}}}}}}}}}}}}}}}$ 거의 확실히(대수의 강한 법칙을 사용); 유사하게: ${\displaystyle {\frac {J_{X_{t}+1}}{X_{t}}}={\frac {J_{X_{t}+1}}{X_{t}+1}}{\frac {X_{t}+1}{X_{t}}}={\frac {J_{n+1}}{n+1}}{\frac {n+1}{n}}\to \operatorname {E} [S_{1}]\cdot 1}$ 거의 틀림없이 따라서 ($t{\displaystyle }$/ ${\displaystyle X{}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$이(가) 두 용어 사이에 끼어 있으므로$$) ${\displaystyle {\frac {1}{t}X_{t}\to {\frac {1}{\frac {1}{\opername {E} [S_{1}}}}}}}}}$ 거의 [3]틀림없이 다음으로${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}{}_{}}$) ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {\ge }_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\$ 0$}}$을(를) 고려하십시오$.$ 우리는 가지고 있다. ${\displaystyle {\frac {1}{t}}Y_{t}={\frac {X_{t}}{t}}{\frac {1}{X_{t}}}}Y_{t}\to {\frac {1}{\operatorname {E} [S_{1}]}\cdot \operatorname {E} [W_{1}]}$ 거의 확실하다(첫 번째 결과 $사용{\displaystyle {}_{}}$ 및 ${\displaystyle Y_{}}$ t$${\$displaystyle Y_{$t}}).$$

갱신 프로세스는 중앙 한계 정리(central limit organization)와 유사한 속성을 추가로 갖는다.^[6]

${\displaystyle {\frac {X_{t}-t/\mu }{\sqrt {t\sigma ^{2}/\mu ^{3}}}}}}$

검사 역설

리뉴얼 프로세스의 특이한 특징은 미리 정해진 시간 t를 기다렸다가 t를 포함하는 리뉴얼 간격이 얼마나 큰지 관찰할 경우 일반적으로 평균 크기의 리뉴얼 간격보다 클 것으로 예상해야 한다는 것이다.

수학적으로 검사 역설이 명시되어 있다: t > 0에 대해 t를 포함하는 갱신 구간은 첫 번째 갱신 구간보다 확률적으로 더 크다. 즉, 모든 x > 0에 대해 그리고 모든 t > 0에 대해:

${\displaystyle \operatorname {P}(S_{X_{t}+1}>x)\geq \operatorname {P}(S_{1}>x)=1-F_{S}(x)}$

여기서 F는_S IID 고정 시간 S의_i 누적 분포 함수다.

역설의 해결은 시간 t에서의 표본 분포가 크기 편향적이라는 것이다. 즉, 구간이 선택될 가능성은 그 크기에 비례한다는 것이다. 그러나 평균 크기의 갱신 간격은 크기 편향이 아니다.

쇼프루프

t 이전의 마지막 점프 시간이 J ${\displaystyle {X_{}}_{}}$ ${\displaystyle {t{}_{}}_{}}$ ${\$이고 t를 포함하는 갱신 간격이 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {X_{}}_{}}$ t${\displaystyle {{}_{}}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$인 것을 관찰하십시오$.$ 그러면 ${\displaystyle {\begin}\operatorname {P}(S_{X_{t}+1}x)&#{{0}^{\int _{0}{0}^{\infit }\operatorname {P}(S_{X_{t}+1})}x\mid J_{X_{{t=}=}f_{{{{{{t=}f_{t=s)_{{{{{{{{p_{{{{p)_{{{{p_{{p_{J_{X_{t}}\,ds\[12pt]&{}=\int _{0}^{\infit }\operatorname {P}(S_{X_{t}+1})>x S_{X_{t}+1}>t-s)f_{{J_{X_{t}}\,ds\[12pt]&{}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {P} (S_{X_{t}+1}>x\,,\,S_{X_{t}+1}>t-s)}{\operatorname {P} (S_{X_{t}+1}>t-s)}}f_{J_{X_{t}}}(s)\,ds\\[12pt]&{}=\int _{0}^{\inflit }{\frac {1-F(\max\{x,t-s\}}}}{1-F(s)}f_{J_{X_{t}}}}\,ds\\[12pt]>{}=\int _{0}^{\infty }\min \left\{{\frac {1-F(x)}{1-F(t-s)}},{\frac {1-F(t-s)}{1-F(t-s)}}\right\}f_{J_{X_{t}}}(s)\,ds\\[12pt]&{}=\int _{0}^{\infty }\min \left\{{\frac {1-F(x)}{1-F(t-s)}},1\right\}f_{J_{X_{t}}}(s)\,ds\\[12pt]&{}\geq \int _{0}^{\infty }(1-F(x))f_{J_{X_{t}}}\,ds=1-F(x)=\operatorname {P}(S_{1}>x),\[12pt]\end{aigned}}}}}$ $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{F}{}}$( x${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$- F${\displaystyle \frac{}{}}$( t${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{s}{}}$) ${\$ 및$$ $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$1}이$($가$$) s의 모든 값에 $대해$ 1${\displaystyle }$- ${\displaystyle F(}$ ${\displaystyle x}$) ${\displaystystyle 1-F(x)$보다 크거나 같으므로

중첩

갱신 과정이 포아송 과정이 아니라면, 두 개의 독립적인 갱신 과정의 중첩(합)은 갱신 과정이 아니다.^[7] 그러나 이러한 프로세스는 마르코프-갱신 프로세스라고 하는 더 큰 종류의 프로세스 내에서 설명할 수 있다.^[8] 그러나 중첩 공정에서 첫 번째 사건 간 시간의 누적 분포 함수는 다음과^[9] 같다.

${\displaystyle R(t)=1-\sum _{k=1}^{K}{\frac {\alpha _{k}}{\sum _{l=1}^{K}\alpha _{l}}}(1-R_{k}(t))\prod _{j=1,j\neq k}^{K}\alpha _{j}\int _{t}^{\infty }(1-R_{j}(u))\,{\text{d}}u}$

여기서 R_k(t)과 α_k > 0은 사건 간 시간 및 프로세스 k의 도착률의 CDF이다.^[10]

적용 예

기업가인 에릭은 기계가 없고 각각 0년에서 2년 사이에 균일하게 분포된 운영 수명을 가지고 있다. 에릭은 교체 비용 €2600으로 고장날 때까지 각 기계를 작동하게 할 수 있다. 그렇지 않으면, 200 €의 비용으로 여전히 작동하는 동안 언제라도 기계를 교체할 수 있다.

그의 최적의 교체 정책은 무엇인가?

쇼솔루션

n 기계의 수명은 n개의 독립적인 동시 갱신 보상 프로세스로 모델링할 수 있으므로, 사례 n=1을 고려해도 충분하다. $({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}{}_{}}$) t${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$ 0 ${\$을(를) 기준으로 이 프로세스를 표시하십시오$.$ 교체기기의 연속 수명 S는 독립적이고 동일한 분포를 따르므로, 최적의 정책은 프로세스 내 모든 교체기기에 대해 동일하다. 만약 에릭이 기계의 수명을 시작할 때 기계의 수명을 0 < t < 2>로 바꾸기로 결정하지만 그 전에 기계의 수명을 바꾸기로 결정한다면 기계의 수명 S는 [0, t]에 균일하게 분포되어 기대 0.5t이 된다. 따라서 기계의 전체 예상 수명은 다음과 같다. ${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [S]&=\operatorname {E} [S\mid {\text{fails before }}t]\cdot \operatorname {P} [{\text{fails before }}t]+\operatorname {E} [S\mid {\text{does not fail before }}t]\cdot \operatorname {P} [{\text{does not fail before }}t]\\[6pt]&=0.5t({\frac {t}{2}})+t({\frac {2-t}{2}})\end{aigned}}}}$ 시스템당 예상 비용 W: ${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [W]&=\operatorname {E} [W\mid {\text{fails before }}t]\cdot \operatorname {P} ({\text{fails before }}t)+\operatorname {E} [W\mid {\text{does not fail before }}t]\cdot \operatorname {P} ({\text{does not fail before }}t)\\[6pt]&=2600({\frac {t}{2}})+200({\frac {2-t}{2}})=1200t+200.\end{정렬}}}$ 따라서 대수의 강력한 법칙에 의해 그의 단위 시간당 장기 평균 비용은 다음과 같다. ${\displaystyle {\frac {1}{t}}Y_{t}\simeq {\frac {\operatorname {E}[W]}{\operatorname {E}]}}}={\frac {4(1200t+200)}}{t^{2}+4t-2t^{2}}:$ t:에 대해 차별화: ${\displaystyle {\frac {\frac {\reason t}{\fract t}{\fract t}{\frac {4(htt+200)}}{t^{2}+4t-2t^{2}}:}=4{\frac {(-4t-^{2})(4-2t){{{2}}}{(t^{2}+4t-2t^{2}}}}}}},}$ 이는 전환점이 다음을 만족한다는 것을 의미한다. ${\displaystyle {\displaysty}0&=(4t-t^{2})(ft+200)=4800t-ft^{2}-4800t-800+2400t^{2}+400t\[6pt]&=-800+400t+ft^{2}, ended}}}}}}$ 따라서 ${\displaystyle 0=3t^{2}+t-2=(3t-2)(t+1)}$ [0, 2]의 유일한 솔루션 t: t = 2/3을 사용한다. 이는 단위 시간당 비용이 0이 되는 경향이 있기 때문에 최소(최대가 아님)이며, 이는 t가 증가하기 시작하는 지점 2/3까지 증가함에 따라 비용이 감소한다는 것을 의미한다.

참고 항목

• 캠벨의 정리(확률)
• 복합 포아송 공정
• 연속 시간 마르코프 프로세스
• 리틀 보조정리
• 팜-킨친치네 정리
• 포아송 공정
• 큐잉 이론
• 잔차시간
• 파멸 이론
• 세미 마코프 프로세스

메모들

참조

• Cox, David (1970). Renewal Theory. London: Methuen & Co. p. 142. ISBN 0-412-20570-X.
• Doob, J. L. (1948). "Renewal Theory From the Point of View of the Theory of Probability" (PDF). Transactions of the American Mathematical Society. 63 (3): 422–438. doi:10.2307/1990567. JSTOR 1990567.
• Feller, William (1971). An introduction to probability theory and its applications. 2 (second ed.). Wiley.
• Grimmett, G. R.; Stirzaker, D. R. (1992). Probability and Random Processes (second ed.). Oxford University Press. ISBN 0198572220.
• Smith, Walter L. (1958). "Renewal Theory and Its Ramifications". Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 20 (2): 243–302. JSTOR 2983891.
• Wanli Wang, Johannes H. P. Schulz, Weihua Deng, and Eli Barkai (2018). "Renewal theory with fat-tailed distributed sojourn times: Typical versus rare". Phys. Rev. E. 98 (4): 042139. arXiv:1809.05856. Bibcode:2018PhRvE..98d2139W. doi:10.1103/PhysRevE.98.042139.