코시 공정

확률론에서 코치 과정은 확률적 과정의 한 유형이다. 카우치 과정에는 대칭적이고 비대칭적인 형태가 있다.^[1] 지정되지 않은 용어인 "코치 프로세스"는 대칭 코치 프로세스를 가리키는 말로 자주 사용된다.^[2]

Cauchy 프로세스에는 다음과 같은 많은 속성이 있다.

1. 그것은 레비^[3][4][5] 과정이다.
2. 그것은 안정된^[1][2] 과정이다.
3. 그것은 순전히 점프 과정이다^[6].
4. 그 순간은 무한하다.

대칭 코치 공정

대칭 코치 프로세스는 레비 후순위자에 의거한 브라운 운동 또는 위너 공정에 의해 설명될 수 있다.^[7] 레비 후순위자는 위치 매개변수가 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$이고 척도 매개변수가 ${\displaystyle {t\mathrm{}}^{}}$ $2{\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle t^{2}/2}$인 레비 분포와 관련된 과정이다$.$^[7] 레비 분포는 역감마 분포의 특별한 경우다. 따라서 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$은(는) Cauchy 프로세스를 $나타내며{\displaystyle }$ L ${\displaystyle L}$은(는) 레비 후순위자를 나타내며 대칭 Cauchy 프로세스는 다음과 같이 설명할 수 있다.

${\displaystyle C(t;0,1)\;:=\;W(L(t;0,t^{2}/2)).}$

레비 분포는 브라운 모션의 첫 번째 타격 시간의 확률이며, 따라서 카우치 프로세스는 본질적으로 두 개의 독립적인 브라운 모션 프로세스의 결과물이다.^[7]

The Lévy–Khintchine representation for the symmetric Cauchy process is a triplet with zero drift and zero diffusion, giving a Lévy–Khintchine triplet of ${\displaystyle (0,0,W)}$, where ${\displaystyle W(dx)=dx/(\pi x^{2})}$.^[8]

대칭 Cauchy 공정의 한계 특성 함수는 다음과 같은 형태를 가진다.^[1][8]

${\displaystyle \operatorname {E} {\Big [}e^{i\ta X_{t}}}{\Big ]}=e^{-t \ta }}}$

대칭 Cauchy 공정의 한계 확률 분포는 밀도가 다음과^[8][9] 같은 Cauchy 분포이다.

${\displaystyle f(x;t)={1 \over \pi }\왼쪽[{t \over x^{2}+t^{2]}}}\오른쪽.}$

비대칭 코치 공정

비대칭 Cauchy 프로세스는 파라미터 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$의 관점에서 정의된다. 여기서$$$\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$은(는) 왜도 파라미터로$$, 절대값은 1보다 작거나 같아야 한다.^[1] ${\displaystyle \beta }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \beta =1}$인 경우 이$$ 프로세스는 완전히 비대칭 Cauchy 프로세스로 간주된다.^[1]

레비-킨친치네 트리플릿은${\displaystyle }$(${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle W}$) ${\displaystyle (0,0,W)}$의 형태를 가지고 있는데$,$ 서W x) ={ 가 이라면 - dx$)={\displaystystyle w(dx$)={$be{$be{$case}$$Ax^{-2}\,dx&{\text{if }}x>0\\Bx^{-2}\,dx&{\text{if }}x<0\end{cases}}}$, where ${\displaystyle A\neq B}$, ${\displaystyle A>0}$ and ${\displaystyle B>0}$.^[1]

이를 감안할 때 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta$}은$($는) A ${\displaystyle A}$ 및 B ${\displaystyle B}$의 함수다$.$

비대칭 Cauchy 분포의 특성 함수는 다음과 같은 형태를 가진다.^[1]

${\displaystyle \operatorname {E} {\big [}e^{i\ta X_{t}}}}}=e^{-t(\teta +i\beta \ln \lta /(2\pi )}.}$

비대칭 Cauchy 공정의 한계 확률 분포는 안정성 지수(즉, α 매개변수)가 1과 같은 안정적인 분포다.

참조