에르고디시티

수학에서, 에르고디시티는 움직이는 시스템의 한 지점이 결국 시스템이 움직이는 공간의 모든 부분을 균일하고 랜덤한 의미로 방문한다는 생각을 표현한다.이는 시스템의 평균 동작을 "일반적인" 지점의 궤적에서 추론할 수 있음을 의미합니다.마찬가지로 공정에서 랜덤 표본을 충분히 많이 수집하면 전체 공정의 평균 통계 특성을 나타낼 수 있습니다.에르고디시티는 시스템의 속성입니다.이것은 시스템을 축소하거나 더 작은 컴포넌트로 분해할 수 없다는 것입니다.에르고딕 이론은 에르고딕성을 가진 시스템에 대한 연구이다.

에르고딕 시스템은 물리학과 기하학의 광범위한 시스템에서 발생합니다.이것은 일반적인 현상에 의한 것으로 대략 이해할 수 있다: 즉, 쌍곡선 다양체 위의 입자의 움직임은 발산된다; 다양체가 콤팩트할 때, 즉 유한 크기의 궤도는 결국 전체 공간을 채우고 같은 일반 영역으로 돌아온다.

에르고딕 시스템은 연기가 자욱한 방에 연기가 가득 차거나 금속 덩어리가 결국 같은 온도로 나타나거나 동전 던지기가 절반 동안 앞뒤로 올라오는 등 일상적인 무작위성의 개념을 포착합니다.에르고디시티보다 강한 개념은 혼합의 개념으로 음료나 재료의 혼합과 같은 혼합의 상식적인 개념을 수학적으로 기술하는 것을 목표로 한다.

에르고디시티의 적절한 수학적 공식은 측정 이론과 동적 시스템의 형식적 정의에 기초하고 있으며, 특히 측정 보존 동적 시스템의 개념에 기초하고 있다.에르고디시티의 기원은 루드비히 볼츠만이 에르고디 가설을 공식화한 통계 물리학에 있다.

비공식 설명

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에르고디시티는 물리학과 수학에서 광범위한 환경에서 발생한다.이러한 모든 설정은 측정 보존 동적 시스템의 공통 수학적 설명에 의해 통합됩니다.이에 대한 비공식적인 설명과 그에 대한 에르고디시티의 정의는 아래에 제시되어 있다.이것은 확률적 과정에서의 에르고디시티에 대한 설명이 뒤따른다.표기법이나 언어는 크게 다르지만, 같은 것입니다.

측정 유지 동적 시스템

에르고디시티의 수학적 정의는 무작위성에 대한 일상적인 생각을 포착하는 것을 목표로 한다.여기에는 확산이나 브라운 운동과 같은 모든 공간을 채우는 방식으로 움직이는 시스템에 대한 생각뿐만 아니라 페인트, 음료, 요리 재료, 산업 공정 혼합, 연기가 가득한 방의 연기, 토성의 고리 먼지 등과 같은 혼합에 대한 상식적인 개념이 포함됩니다.확실한 수학적 기반을 제공하기 위해 에르고딕 시스템에 대한 설명은 측정 보존 동적 시스템의 정의에서 시작한다.이것은 (${\displaystyle X}$ ,${\displaystyle A\mathcal{}}$ ,${\displaystyle \mu }$ ,${\displaystyle T}$) .$${ $displaystyle$( X , { \ $mathcal${$$A$$} , \$mu$ ,$$$T$ )${\displaystyle }$로 표시됩니다.$}$

$X는$$$믹싱볼, 스모크룸 등 총 충전공간으로 알려져 있습니다.$({displaystyle \mu})$는$$공간 X({$displaystyle$X$$})와 그 하위 공간의 자연 볼륨을 정의하는 것으로 이해됩니다.서브스페이스의 집합은 A$(\$$})$로 $표시$됩니다.또, $소정$의$A$(\$displaystyle$ $A\$$subset$ X$)$의 사이즈는${\displaystyle }$μ$($$)$입니다.사이즈는 부피입니다.순진하게도, A$(스타일)$가$$X($스타일$X$)$의 파워셋이라고 $상상$할 수 있다. 공간의 모든 서브셋에 볼륨이 있는 것은 아니기 때문에, 이것은 그다지 효과가 없다(바나흐-타르스키 패러독스이다.따라서 일반적으로$디스플레이(\$style$\mathcal$ {A$})$는 $측정{\displaystyle \mathcal{}}$ 가능한 서브셋(볼륨이 있는 서브셋)으로 구성됩니다.이 집합은 항상 보렐 집합으로 간주됩니다. 즉, 교차로, 결합 및 열린 집합의 집합 보를 취함으로써 구성될 수 있는 하위 집합 집합 집합입니다. 이러한 집합은 항상 측정 가능한 것으로 간주될 수 있습니다.

시스템의 시간 진화는 $지도{\displaystyle }$T : X ${\displaystyle \to }$$$ {\$displaystyle$ T$:X\to$X$}$로 표시됩니다. 일부 하위 $집합{\displaystyle }$ A {\$displaystyle$ A$\subset$X$\}$가 지정되면 지도 $T{\displaystyle (A)}${\$displaystyle$ T$(A)}$는 일반적으로 변형된 버전의 A$${\$displaystyle$A}$$을 접거나 늘어뜨립니다.수학적인 예로는 빵 만드는 데 영감을 받은 빵집 지도와 말굽 지도를 들 수 있다.$세트{\displaystyle }$ T$)$ {$style$ T$(A)}$의 $볼륨$은 A$(\style$ A$)$와 동일해야 합니다. 찌그러짐/늘어짐은 공간의 볼륨을 변경하지 않고 분포만 변경합니다.이러한 시스템은 "측정 보존"(면적 보존, 볼륨 보존)입니다.

지도에서 집합의 크기를 보존할 필요성과 집합의 볼륨을 조정하려고 할 때 형식적인 어려움이 발생합니다.이 문제는 일반적으로 함수 영역 내의 여러 다른 포인트가 해당 범위의 동일한 포인트에 매핑될 수 있기 때문에 발생합니다.즉${\displaystyle ,}$ T${\displaystyle (x}$)${\displaystyle }$${\displaystyle =}$ $y)$ {\$displaystyle$ T$(x$$)$ ${\displaystyle =}$$T(y$의 ${\displaystyle \mathrm{x4}}$${\displaystyle y}$$(\displaystyle$ X$(\in$) $크기$가 없을 수 있습니다.이러한 $어려움$은${\displaystyle {\mathrm{역맵}}^{}T\mathcal{}}$ - ${\displaystyle 1\mathcal{}}$ :$A$ ${\displaystyle \to }$ A ${\$mathcal {$A}}$ \ $to {\mathcal$ {A$\}\}$을(를) 사용하면 피할 수 있습니다. 이러한 어려움은 임의의 $서브셋{\displaystyle }$ A${\$ ${\displaystyle X}$(\$displaystyle$A$\subset$ X$$$)$를 만들기 위해 조립된 부품에 매핑합니다(${\displaystyle A\mathcal{}）{}^{}}$。$athcal {A$물건이 어디서 왔는지 잊어버리지 않는 중요한 특성이 있습니다.보다 강하게는 (측정값을 $보존$하는) 지도 ${\displaystyle A\mathcal{}}$ ${\displaystyle \to }$ A$$(\$displaystyle {A})$ ~ A (\$mathcal {A})$는 일부 $지도{\displaystyle }$ X$$ ${\displaystyle X}$ (\$displaystyle$X\$to$X$)$의 역수라는 중요한 특성이 있다.볼륨 보존 맵의 적절한 정의는${\displaystyle {}^{}}$μ (${\displaystyle A)}$ $=$ ($A$ ${\displaystyle {}^{}A)}$ ${\$displaystyle $\mu (A$) =\$mu$(\$mathord${\left $(T^{-1}$ ($A$${\displaystyle )\backslash }$right$}}}$ $displaystyle$ T$^{-1}$ (A)} (${\displaystyle A}$)$$}의$$$$ ${\displaystyle {\mathrm{모든}}^{}}$ 부품을 $나타내는$ $맵$입니다.

사람들은 이제 그 시스템의 시간적 진화를 연구하는 데 관심이 있다.A $displaystyle$ A$\in\mathcal {A})$가 장기간에 걸쳐 X$(\displaystyle$ X$)$를 모두 채우는 경우(${\displaystyle {즉}^{}}$, T${\displaystyle {}^{}}$n ($A)\displaystyle T^{n}(A$))가 $ndisplaystyle$시스템에 $대한{\displaystyle }$ 모든$$X(\$displaystyle$ X$)$$$에 접근하는$$ $경우{\displaystyle {}^{}}$)는 다음과 같습니다.모든 $A가$이와$$ 같이 동작하는 경우, 시스템은 일부 $서브셋{\displaystyle }$A가 방황하여 다시 돌아가지 않는 소멸 시스템과는 대조적으로 배치된 보수적인 시스템입니다.예를 들어, 내리막길에서 흐르는 물이 있을 것입니다. 한 번 흘러내리면 다시는 다시 올라오지 않을 것입니다.하지만 이 강의 바닥에서 형성되는 호수는 잘 섞일 수 있다.에르고드 분해 정리는 모든 에르고드 시스템이 두 부분으로 분할될 수 있다는 것을 말한다: 보수적인 부분과 산란적인 부분.

혼합은 에르고디시티보다 더 강한 표현이다.혼합은 A(\$displaystyle$ A$}$와 X$(\displaystyle$ X$)$의 혼합뿐만 아니라 A${\displaystyle (\backslash }$$displaystyle$ A, $B$의 임의의 $2개$의 세트 사이에 이 에르고딕 속성을 유지할 것을 요구합니다.즉, A$displaystyle$ A$, B$, $in\mathcal {A$는 시스템학적으로 다음과 같습니다.$r{\displaystyle }$ N$($$모든$ $A$${\displaystyle ,}$ $,$ N$displaystyle$ A$, B$) 및$$ $(\$$displaystyle$ n$>N$에 $대해$ T ${\displaystyle n^{}A)b}$ B$display B （ A$） \ $cap$b \ $neq$\ $var$nothing$$display displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay displaydisplaydisplay 。표시 스타일 $display$ \ cap style$。$혼합의 다른 개념으로는 강한 혼합과 약한 혼합이 있는데, 이것은 혼합된 물질이 모든 곳에서 동일한 비율로 혼합된다는 개념을 설명합니다.끈적끈적한 끈적한 물질을 섞으려고 시도한 실제 경험에서 알 수 있듯이, 이것은 사소한 것일 수 있습니다.

과정

위의 논의는 볼륨의 물리적 감각에 호소합니다.볼륨은 말 그대로 3D 공간의 일부일 필요는 없습니다. 추상적인 볼륨일 수도 있습니다.이는 일반적으로 부피(측도)가 확률에 의해 주어지는 통계 시스템의 경우이다.총 부피는 확률 1에 해당합니다.이 대응은 확률론의 공리들이 측정 이론의 공리들과 동일하기 때문에 효과가 있다; 이것들은 콜모고로프 ^{[citation needed]}공리들이다.

책이라는 개념은 매우 추상적일 수 있다.예를 들어, 가능한 모든 동전 던지기 세트, 즉 앞면과 뒷면의 무한 시퀀스를 생각해 보십시오.이 공간에 볼륨 1을 할당하면 이러한 모든 시퀀스의 절반은 머리부터 시작하고 절반은 꼬리부터 시작하는 것이 분명해집니다.이 책은 다른 방법으로 나눌 수 있습니다. "$첫{\displaystyle }$ 번째$($style$$ $n-1)"$ 코인 플립은 상관없지만$,$ $n번째$n번째 $n$은 앞면이 되고, 그 다음에 무엇이 오든 상관없습니다."이것은 세트$({\displaystyle }$ ,,${\displaystyle ,,}$ ${\displaystyle ,,}$ ${\displaystyle h,}$), ), h$display,$$))$로 쓸 수 있습니다$({$displaystyle $*}$는${\displaystyle }$"Don't care",$h{\displaystyle }$$${\$displaystyle$ h$}$는 "heads").이 공간의 부피는 다시 1/2이다.

이상에서는 조치 보존 다이내믹 시스템 전체를 구축하기에 충분하다.n$(\displaystyle$ n$)$에서 발생하는 h$(\displaystyle$ h$)$ $또는$ t$(\displaystyle$ t$)$ $세트$를 실린더 세트라고 합니다.그러면 실린더 세트의 가능한 모든 교차로, 유니언 및 보완이 위에서 정의한 보렐 $세트{\displaystyle \mathcal{}}$ A$(\$를 형성합니다.공식 용어로 실린더 세트는 가능한 모든 무한 길이 코인 플립의 $공간{\displaystyle }$X(\$displaystyle$ X$)$ 상의$$ 토폴로지의 기초를 형성합니다.$측정값{\displaystyle }$μ({$displaystyle \mu})$는 m$({displaystyle$m$\})$의 위치에 h$({displaystyle$ h$})$가 있고 k$({displaystyle$k$\})$의 위치에 $t({displaystyle$t})가 있는 실린더 세트의 측정값은 명백히 1/4이 되는 등 상식적인 특성을 모두 갖추고 있습니다.이러한 상식적인 속성은 set-completment와 set-union을 위해 지속됩니다. 즉, $location{\displaystyle }$m {\$displaystyle$$$m$}$ 및$$$k{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ k$}$에 있는$$$h{\displaystyle }$ {\displaystyle h$$} 및 t$${\$displaystyle$ t$}$를 $제외$한 모든 것의 부피는 3/4입니다.이 모든 것이 시그마 가산 측정의 공리를 형성합니다. 측정 보존 동적 시스템은 항상 시그마 가산 측정을 사용합니다.동전 던지기에서는, 이 측정치를 베르누이 측정치라고 부릅니다.

코인 플립 공정의 경우, $시간{\displaystyle }$ 진화 연산자$$T(\$displaystyle$ T$$$)$는 "첫 번째 코인 플립을 버리고 나머지를 보관"하는 시프트 연산자입니다.${\displaystyle {형식적}_{}}$으로${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1, ${\displaystyle {}_{}}$ 2,${\displaystyle {}_{})}$ )$${ $displaystyle$( x$_ {1$} , x$_$ {2$}$ , \ $cdots$) } 이$$ 코인 플립의 시퀀스라면${\displaystyle }$$T{\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}{}_{}{1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$2, ${\displaystyle )}$ )$$ ( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle {}_{}}${ $displaystyle$T ( x {$1$ , x 2 , \ $cdots$ )$=$ { x $2$} , { 3 } , { x 2 } , { x 2 } } 。측정치는 분명히 시프트에 따라 달라집니다.A$세트 A에$대해 이야기하고 있는 한, 첫 번째 동전 $주조{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1 $= {\$ { $displaystyle x_{1$$}=*}$이 "상관 없음" 값인$경우$ $볼륨{\displaystyle }$${\displaystyle }$μ$A)$는 변경되지 않습니다${\displaystyle .}$$le \mu(A)=\mu(T(A$ 첫 번째 동전 교환에 대해 언급하지 않으려면 T${\displaystyle {}^{}}$-$$(\$display style$ T$^{-1})$을 첫 번째 위치에 "상관 없음" 값을 삽입하는 것으로 $정의$하는 것이 더 쉽습니다.${\displaystyle {}^{}{}_{}{}^{}}$-${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ ( ${\displaystyle {}_{}{}_{}{1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}{}_{}{2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle )}$ ) ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle ,}$ , ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$1, x ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle )}$ )$${ $display style$ T^ { - 1$$} ( x$_ {$1} , x _ {$2}$ , \ $cdots$)$$${\displaystyle =}$ display,$x _$ {1} ,$x _${2} , \ cdots ) 。이 정의에 따라 μ${\displaystyle (T{}^{}}$ ${\displaystyle {-}^{}{1}^{}}$ (${\displaystyle A)}$가 됩니다.$}}=\mu$ (A$$$)$ ($A)$ ({$displaystyle$ A$\})$에 제약이 없음) 다시한번$$T - 1 ({$displaystyle T^{-$1$$})을 정식 정의에서 사용하는 $이유$를 알 수 있습니다.

위의 개발은 랜덤 프로세스인 Bernouli 프로세스를 사용하여 측정을 보존하는 ${\displaystyle \mathrm{동적}}$ 시스템$({\displaystyle }$X${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \mu ,}$ T )으로 변환합니다$.\$style$(X,{\$mathcal ${A},\mu,T)$} 동일한$$ 변환(등가, 동형)을 확률적 과정에 적용할 수 있다$.$따라서 에르고디시티의 비공식적인 정의는 $시퀀스$가 모든$$X(\$displaystyle$ X$)$를 방문할 경우 에르고딕(ergodic)이라는 것입니다. 이러한 시퀀스는 프로세스에 대해 "일반"입니다.또 하나는 그 통계적 특성은 프로세스의 단일, 충분히 긴 랜덤 샘플(따라서 모든 X$(\style$ X$)$을 균일하게 샘플링)에서 추론할 수 있거나 프로세스에서 랜덤 샘플의 수집이 프로세스 전체의 평균 통계적 속성(즉, 샘플에서 균일하게 추출된 샘플)을 나타내야 한다는 것입니다.$(Displaystyle$$$X)는 X(Displaystyle X$)$ 전체를$$ $나타냅니다{\displaystyle }$.이 예에서 절반은 앞면이고 절반은 뒷면인 동전 던지기 시퀀스는 "일반적인" 시퀀스입니다.

베르누이 과정에 대해 몇 가지 중요한 요점이 있다.꼬리에는 0, 머리에는 1을 쓰면 이진수의 모든 무한 문자열 집합을 얻을 수 있습니다.이것들은 실수들의 2진수 확장에 대응합니다.명시적으로 시퀀스$({\displaystyle }$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}{}_{}}$, x$){$ $displaystyle (x_{1}, x_{2},\cdots$가 지정되면 대응하는 실수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle y=\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {x_{n}}{2^{n}}}}$

베르누이 과정이 에르고딕이라는 진술은 실수가 균일하게 분포되어 있다는 진술과 같다.이러한 모든 문자열의 집합은 다양한 방법으로 쓸 수 있습니다$.{\displaystyle }$ {${\displaystyle h}$ , ${\displaystyle t{}^{}}$}${\displaystyle {\mathrm{}}^{}=}$ {${\displaystyle h}$ , ${\displaystyle t{}^{}}$} ${\displaystyle {\omega }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ { ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1{}^{}}$} ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ $2$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {=}^{}}$ 2$$N . { $displaystyle \$ { h , t \ }^{ \ infty } = \ { h , t \ }^{ $0$, t \ = ^$2$^2 }동작

${\displaystyle C(x)=\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {x_{n}}{3^{n}}}}$

결국 이것들은 모두 같은 것이다.

칸토어 집합은 수학의 많은 분야에서 중요한 역할을 한다.레크리에이션 수학에서, 그것은 기간을 곱하는 프랙탈을 뒷받침한다; 분석에서, 그것은 매우 다양한 이론에서 나타난다.확률적 과정을 위한 중요한 것은 Wold 분해인데, 이것은 어떤 정지된 과정도 상관없는 한 쌍의 과정으로 분해될 수 있으며, 하나는 결정론적인 과정이고 다른 하나는 이동 평균 과정임을 나타낸다.

Ornstein 동형 정리는 모든 정지 확률 과정이 베르누이 체계와 동등하다고 말한다.다른 결과로는 모든 비방산 에르고드 시스템이 마르코프 주행 기록계와 동등하며, 이것은 초등학교 덧셈처럼 보이기 때문에 때때로 "추가 기계"라고 불립니다. 즉, N자리 숫자 시퀀스를 취해서 하나를 더하고, 반송 비트를 전파하는 것입니다.동등성의 증거는 매우 추상적이지만, 결과를 이해하는 것은 그렇지 않습니다. 즉, 각 시간 단계에서 하나씩 더하면 주행 기록계의 가능한 모든 상태가 확인되고, 롤오버되었다가 다시 시작됩니다.마찬가지로, 에르고딕 시스템은 모든 상태가 방문될 때까지 다음 상태로 이동하면서 각 상태를 균일하게 방문합니다.

N개의 문자의 (무한) 시퀀스를 생성하는 시스템은 기호 역학을 통해 연구된다.중요한 특수 사례로는 유한형 및 소픽 시스템의 하위 변속이 포함된다.

역사와 어원

The term ergodic is commonly thought to derive from the Greek words ἔργον (ergon: "work") and ὁδός (hodos: "path", "way"), as chosen by Ludwig Boltzmann while he was working on a problem in statistical mechanics.^[1]동시에 볼츠만이 1884년에 비교적 잘 알려지지 않은 논문에서 만든 에르고모노드의 파생물이라고 주장하기도 한다.그 어원은 다른 방법으로도 ^[2]논쟁의 여지가 있는 것으로 보인다.

에르고디시티의 개념은 기체 분자의 개별 상태를 기체 전체의 온도와 그것의 시간 진화와 연관시키는 것이 필요한 열역학 분야에서 탄생했습니다.이것을 하기 위해서, 기체가 잘 섞이는 것이 정확히 무엇을 의미하는지 진술할 필요가 있었고, 그래서 열역학적 평형이 수학적 엄격함으로 정의될 수 있었다.일단 이론이 물리학에서 잘 발전하자, 그것은 빠르게 공식화되었고 확장되었다. 그래서 에르고드 이론은 오랫동안 수학의 독립적인 영역이었다.그 진행의 일부로서, 에르고디시티의 약간 다른 정의와 다른 분야의 개념에 대한 다수의 해석이 ^{[citation needed]}공존합니다.

예를 들어, 고전 물리학에서 이 용어는 시스템이 열역학의 ^[3]에르고드 가설을 충족한다는 것을 암시한다. 즉, 관련 상태 공간은 위치와 운동량 공간이다.

동적 시스템 이론에서 상태 공간은 일반적으로 보다 일반적인 위상 공간으로 간주됩니다.반면에 코딩 이론에서 상태 공간은 종종 시간과 상태 모두에서 이산적이며, 부수적인 구조가 적다.물리학에서 앙상블 평균을 정의하는 데 사용되는 열역학적으로 관련될 수 있는 많은 분할 함수의 경우와 마찬가지로, 이러한 모든 분야에서 시간 평균과 앙상블 평균에 대한 아이디어도 추가적인 짐을 운반할 수 있다.이와 같이 개념의 이론적 공식화는 통일된 분야로서도 기능한다.1913년에 Michel Plancherel은 순수하게 기계적인 ^{[citation needed]}시스템에 대한 에르고디시티의 엄격한 불가능성을 증명했다.

발생.

물리학과 기하학에서의 에르고디시티에 대한 검토가 뒤따른다.모든 경우에, 에르고디시티의 개념은 동적 시스템의 개념과 정확히 같습니다. 전망, 표기법, 사고 스타일 및 결과가 발표되는 저널을 제외하고는 차이가 없습니다.

물리학에서

물리적 시스템은 세 가지 범주로 나눌 수 있습니다: 한정된 수의 움직이는 부품을 가진 기계를 기술하는 고전 역학, 원자의 구조를 기술하는 양자 역학, 그리고 기체, 액체, 고체를 기술하는 통계 역학; 이것은 응축 물질 물리학을 포함합니다.

고전 역학의 경우는 기하학의 에르고디시티에 관한 다음 섹션에서 논의된다.양자역학에 관해서는 에르고도시티나 혼돈에 대한 보편적인 양자 정의는 없다.^[4]그러나, 연산자의 기대값이 반고전적 한계 ${\displaystyle \mathrm{\theta }}$ ${\displaystyle \to }$ 0$${\$displaystyle \hbar \rightarrow$ 0$\}$에서 대응하는 마이크로캐논ical 고전적 평균으로 수렴된다는 양자 에르고디시티 정리가 있다. 그럼에도 불구하고, 이 정리는 고전적 상대인 하밀티온의 모든 고유 상태가무질서한 것은 특징과 랜덤입니다.예를 들어 양자 에르고디시티 정리는 양자 흉터와 같은 비작동 상태의 존재를 배제하지 않는다.기존의 ^[5][6][7][8]흉터 외에 양자 흉터에는 두 가지 다른 유형의 양자 흉터가 있는데, 이는 양자 혼돈 시스템의 약한 알레르기 파괴를 더욱 잘 보여준다: 섭동^{[9][10][11][12][13]} 유도 및 다체 양자 흉터.^[14]

이 섹션에서는 통계역학의 에르고디시티를 검토한다.물리학의 에르고디시티의 정의를 위한 적절한 설정으로서 위의 추상적인 볼륨의 정의가 필요하다.액체, 가스, 플라즈마 또는 기타 원자 또는 입자의 집합이 들어 있는 용기를 생각해 보십시오.각 $입자{\displaystyle {}_{}}$ $(\$})는$$$$ 3D 위치와 3D 속도를 가지므로 6차원 $공간{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$점으로 표현됩니다$.\$$displaystyle$$$\$mathbb {R} ^{6}$ 시스템에$$ $N개의$입자가 있는 $경우{\displaystyle }$ 완전한 설명은$$가 $필요$합니다.$레이스타일 6N}$ 번호$$어떤 시스템도 ${\displaystyle {\mathrm{R6N}}^{}}$의$단일{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 포인트일 뿐입니다$.물리$ 시스템이 $R6N인 것은 아닙니다$$.$물리 $시스템$이 폭${\displaystyle ,}$ 높이 및 길이 $×$ $디스플레이 W\times$의 박스일 경우$.$$.$ {{$displaystyle \left(W\times$ H$\times$ L\times $\mathbb {R}$^{$3}\right)^{N}$ 속도도$$ 무한할 수 없습니다. 예를 들어, Boltzmann-Gibbs 측정값에 의해 스케일링됩니다.물론 아보가드로의 숫자에 가까운 N$(\displaystyle$ N$)$에게는 매우 넓은 공간입니다.이 공간을 정준형 앙상블이라고 합니다.

물리 시스템은 시스템의 대표점 중 하나가 최종적으로 시스템의 전체 볼륨을 방문하게 되면 에르고딕하다고 한다.$위$의 예에서 이는 ${\displaystyle \mathrm{주어진}}$원자가 균일한 $확률$로 ${\displaystyle \mathrm{상자}}$의$$모든 부분을 방문할 뿐만 아니라 가능한 모든$속도$에서 균일한 확률로 방문한다는 것을 의미합니다($따라서$ 측정과 관련하여 균일한 볼츠만 분포에 의해 주어진 확률).에르고드 가설은 물리 시스템이 실제로 에르고드라는 것을 말한다.여러 시간 척도가 작용하고 있습니다. 가스와 액체는 짧은 시간 척도에 걸쳐 에르고틱한 것으로 보입니다.고체 내의 에르고디시티는 진동 모드나 포논의 관점에서 볼 수 있는데, 이는 고체 내의 원자가 위치를 교환하지 않기 때문입니다.안경은 에르고드 가설에 대한 도전을 제시한다. 시간 척도는 수백만 년 이내라고 가정하지만 결과는 논란의 여지가 있다.스핀 글라스는 특별한 어려움을 일으킨다.

통계 물리학에서 에르고디시티의 공식적 수학적 증명은 얻기 어렵다; 대부분의 고차원 다체계는 수학적 증명 없이 에르고딕한 것으로 가정된다.이상적인 기체나 플라즈마에서 원자의 당구공 형태의 충돌을 모델링하는 동적 당구도 예외입니다.첫 번째 하드-스피어 에르고디시티 정리는 시나이의 당구를 위한 것으로, 두 개의 공을 원점에서 정지된 것으로 간주한다.두 번째 공은 충돌하면서 멀어지고, 주기적인 경계 조건을 적용하면 다시 충돌합니다.동질성에 호소함으로써, "두 번째" 공의 귀환은 대신 사정권에 들어와서 원점에서 원자와 충돌하는 "다른 원자"로 간주될 수 있다.이는 존재하는 몇 안 되는 공식 증거 중 하나이며, 예를 들어 액체의 원자에 대해 판 데르 발스 힘을 통해 상호작용하는 동등한 진술은 없다. 그러한 시스템이 에르고딕(및 혼합)이라고 믿는 것이 상식일지라도 말이다.하지만 좀 더 정확한 물리적 논거를 만들 수 있다.

기하학에서

에르고디시티는 리만 다양체 연구에서 널리 퍼진 현상이다.간단한 예부터 복잡한 예까지 이 점을 잘 보여줍니다.

어떤 비합리적인 방향을 따르는 평탄한 토러스의 측지학적 흐름은 에르고딕이다; 비공식적으로 이것은 정사각형에서 직선을 그릴 때, 그리고 변에 대한 비합리적인 각도로, 만약 한 변을 만날 때마다, 그 선이 같은 각도로 반대 변에서 다시 시작한다면, 결국 이브와 만날 것이다.양의 측정값의 ry 부분 집합.보다 일반적으로 평탄한 표면에는 측지선 흐름에 대한 많은 에르고드 방향이 있습니다.

음의 곡면 콤팩트 리만 표면에도 유사한 결과가 있다. 이 경우 평탄하지 않은 표면에는 일정한 방향의 개념이 없기 때문에 측지선 흐름의 정의가 훨씬 더 많이 관여한다.보다 일반적으로 음의 곡면 콤팩트 리만 다양체상의 측지학 흐름은 에르고딕이며, 사실 그것은 아노소프 흐름이라는 더 강한 특성을 만족시킨다.

재무 부문

에르고디시티는 금융과 투자에서 널리 관찰되며, 이러한 분야의 많은 이론들은 명시적 또는 암묵적으로 에르고디시티를 가정한다.현대 포트폴리오 이론, 할인현금흐름(DCF) 모델, 거시경제학을 주입하는 종합지표 모델 등에 에르고딕 가정이 널리 퍼져 있다.

이러한 이론으로 본뜬 상황은 유용할 수 있다.그러나 종종 그것들은 연구 중인 특정 기간 동안만 유용하지만 전부는 아닙니다.따라서 그들은 금융 위기, 채무 위기 및 은행 시스템의 시스템 위험과 같은 표준 모델에서 가장 큰 이탈을 놓칠 수 있습니다.

Nassim Nicholas Taleb는 금융과 투자에서 경험적 현실의 매우 중요한 부분은 비작동적이라고 주장해^{[citation needed]} 왔다.시스템이 가능한 모든 상태로 무한히 돌아가는 균등한 확률의 통계적 분포는 단순히 우리가 "흡수 상태"에 도달한 상황, 즉 파멸이 보이는 상황에서 관찰되는 경우가 아니다.개인의 죽음이나 모든 것의 완전한 손실, 국가나 그에 수반되는 법체제의 붕괴나 분열은 모두 흡수하는 상태입니다.따라서 금융에서는 경로 의존성이 중요합니다.개인, 기업 또는 국가가 "정지"에 도달하는 경로로, "게임에서 피부가 있는 사람이 나오지 못하게 하는 모든 것"이며, 시스템이 항상 이를 따르게 됩니다.이러한 상황을 파멸이라고 부르자.실체가 그 상태에서 벗어날 수 없기 때문이다.가장 중요한 문제는 파괴 가능성이 있는 경우 비용 편익 분석이 더 이상 가능하지 않다는 것이다."—^[15]작동하지 않습니다.표준 확률적 통계에 기초한 모든 기존 모델은 이러한 극단적인 상황에서 분해된다.

이산 시간 시스템의 정의

형식적 정의

$({\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$,${\displaystyle B\mathcal{}}$) { $style$( X , { \ $mathcal${ $B$} } } } 에는$$ 측정 가능한 공간을 지정합니다.$(\displaystyle$ T$)$가 X$(\displaystyle$ X$)$에서 자체까지의 측정 가능한 $함수$이고, ($B)$의 확률${\displaystyle }$측도$$$(\$$displaystyle {$$B})$인 경우$$T(\$displaystyle$ T)는$$μ(\$displaystyle$\mu$)$ $또는$ erg(\displaystyle {$B$$})$라고 합니다$.$c T$${\$displaystyle$ T$}$가$$μ {\$displaystyle \mu}$를 $유지$하고 다음 조건이 유지되는 $경우{\displaystyle }$ T$${\$displaystyle$ T$}$에 $대한{\displaystyle }$ 측정값:

$A$ ${\displaystyle \in }$ $∈ 1$${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle A}$ )$$ A ( A ) \ $display$ $style$ T^ { -$1$ ( A ) \ $subset$ A $}$ ${\displaystyle \mathrm{\mu <img\; alt="\{\backslash displaystyle\; T^\{-1\}(A)\backslash subset\; A\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/0ab8209c5b92c0501d51ce6fe5722c5061db26b6"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:12.447ex;\; height:3.176ex;">}}$($A$ ) ${\displaystyle =}$ 0 ($$A${\displaystyle }$) ${\displaystyle =}$ $0$$$( A )$$$=$ 1 \ $mu$ style = 1$$( ${\displaystyle A}$$$)

즉, 0까지 T$\displaystyle$T-불변$$ 서브셋은 존재하지 $않습니다{\displaystyle }$($\displaystyle\mu$에 대하여$).$μ$(또는$$$μ(디스플레이 $스타일{\displaystyle }$ T)를$보존$하는 T$$$(또는$ μ$(디스플레이$ $스타일$ $T$$))$는${\displaystyle }$μ(${\displaystyle T{}^{}}$ ${\displaystyle {-}^{}}$ ${\displaystyle 1^{}A)}$ ${\displaystyle =\mu }$($)$ {\$displaystyle \mu($T^{-1)(A)\right)를 의미합니다$.$$}}=\mu$(A$$$)})$로 모든 A${\displaystyle }$∈ $B${\$displaystyle A\in {\mathcal${B}}$$에 대해 선택합니다(측정-보존 동적 시스템 참조).

예

가장 간단한 예는 X$(\displaystyle$ X$)$가 유한 $집합$이고$$μ(\$displaystyle \mu)$ 카운트 측정인 $경우$입니다.다음으로$X의$셀프맵은 분사가 존재하는 경우에만 μ${displaystyle \mu}$를 $유지$합니다.또한 T$(\displaystyle$ T$)$가 하나의 궤도(즉, $모든{\displaystyle }$${\displaystyle }x{\displaystyle }$, y, in $X)$에 대해${\displaystyle }$k $every N$$displaystyle \mathbbbn이 존재$하는 $경우$에만 에르고틱합니다$.$${\displaystyle k^{}}$ ${\displaystyle {}^{}x}$) { $displaystyle$ y =$T^ {$k$（$ x $$） } 。$예$를 들어 X ${\displaystyle =}$ {${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle ...}$ , $}$ { $displaystyle$ X = \ ${ 1$, 2$,$ $\ldots$ ,$$$n$ \ } { $display$( $1$, $2$, \ $cdots$ )$$}의$$$$ 사이클$({\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$${\displaystyle }$) ( 3 ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 、}$ $cdots 、$ n )는 에르고딕하지만, 치환$2$ ) ( $3$、 $4$、 $cdots 、 cdots$ )${\displaystyle \{3}$,${\displaystyle 4}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle n}$ $}$ { $displaystyle$\ {$3$, 4$,$ $\ldots$,$n$\ $$} 。

등가 제제

위에 제시된 정의는 다음과 같은 즉각적인 개혁을 허용한다.

• $모든{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 대해$$μ${\displaystyle (T{}^{}}$ ${\displaystyle {-}^{}{1}^{}}$ (${\displaystyle A}$)${\displaystyle △}$ ${\displaystyle A}$ )$$ ${\displaystyle 0}$(\$style\mu\left(T^{-1}(A)\big triangleup$ A$\오른쪽)$로 A$\style$ A$\display$$}=0$}은${\displaystyle (}$는) ${\displaystyle \mathrm{\mu }}$ (A$) =$ 0$$ ($A)$ ${\displaystyle \mathrm{또는}\mu }$ (A${\displaystyle )}$ $=$ $1$($여기서 △$ {$displaystyle \mu$ ($A)=$1,})$$이 있습니다(여기서 △ {displaystyle \$bigtriangleup$}은$$ 대칭 차이를 나타냅니다.)
• $모든{\displaystyle }$ A ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle B\mathcal{}}${\$style$ A$\in$ {\$mathcal {B}}}$에 대해 양의 측정값을 $갖는$ μ$(\underset{n}{\overset{}{}}$ n $\underset{}{\overset{}{=}}$ $\underset{}{\overset{}{1}}{}^{}$T -${}^{}{n}^{}$ ($A$) $=$ $1${ $textstyle \ mu$ { n = 1 left ( \ $bigcup$_ { n$$=$1$}^{ - $n$} (A$$) \ $infty$） $T^{$ - n （ A } \ right$$} ） ） ） ） ( 。$}}=1$
• A${\displaystyle ,}$ B${\displaystyle b}$ $({$의 $2세트$마다 0({$displaystyle$ $n$$})$의 플러스 측정값에는 0$T$- $A$ B$)$0$({displaystyle n})$이 합니다.$}>0$
• f${\displaystyle t}$ T ${\displaystyle =}$ {\$displaystyle$ f$\displaystyle$ T$=f}$인 모든 측정 가능 $함수{\displaystyle }$f : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$f:$X\$$to$ \$mathbb {R}}$은 완전 측정 부분 집합에서 일정합니다.

애플리케이션에 있어서 중요한 것은, 마지막 특성화의 조건은 정사각형 적분 가능한 기능만으로 제한될 수 있다는 것입니다.

• f ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$2 (${\displaystyle X}$ ,${\displaystyle \mu }$) { \ $displaystyle f$ \ $in L^${ 2$$（ X , \ $mu$） } $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ f { $displaystyle f =$f }이면$$f { $displaystyle$ f$$}는 거의 모든 장소에서 일정합니다.

기타 예

베르누이 이동 및 하위 이동

S$(\displaystyle$ S$)$를 유한 집합으로 ${\displaystyle {}^{}}$ X $=$ ${\displaystyle {S\mathbb{}}^{}}$ Z(\$displaystyle X=S^{\mathbb${Z$$}})를$$μ$(\displaystyle$ \mu$$$})$로 하자(각 요소$S{\displaystyle }$(\$displaystyle$ S$)$에 계수 측정이 부여됨).다음으로 T${\displaystyle }$(${\displaystyle }$( s${\displaystyle {}_{}{}_{}{k}_{}}$ ) ${\displaystyle {kz\mathbb{}}_{}}$Z${\displaystyle }$)로 정의되는 시프트 $연산자{\displaystyle }$T {\$displaystyle$ T$$} ${\displaystyle =}$ (${\displaystyle s_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{k}}_{}}$ +$1$) ${\displaystyle {kz\mathbb{}}_{}}$Z {\$display$ T $\left$( $s$_ { $k$} ) $_ { k$ \$in$\ $mathbb${$Z }$ \ $right$ )$=$( $s$_ k + $1$ \ $display tyleft }$ $\mu b$ $}$

X$${\$displaystyle$ X$\}$의 시프트 맵$T{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ T$}$에는 더 많은 에르고딕 측정이 있습니다. 주기적인 시퀀스는 최종적으로 지원되는 측정값을 제공합니다.더 흥미로운 것은 무한히 지원되는 유한형 서브시프트가 있다는 것입니다.

불합리한 회전

X$(\displaystyle$ X$)$를 단위${\displaystyle }$원 {$z$${\displaystyle c\mathbb{}}$ C${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle =}$ $}({style \{z\in$ \$mathbb$ ${C$$},,,$z$$=$1$로 $하고{\displaystyle }$, 그 Lebegue $측정값$은$$μ(\$displaystyle$ $\theta \mu$$\})$입니다$.$ X $회전$의 ${\displaystyle 단위\mathbb{}}$ 원${\displaystyle }$에 대하여en ${\displaystyle {by}_{}}$ T${\displaystyle {}_{}}$( (${\displaystyle z}$ ) $=$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ i ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle z^{}}$\ $displaystyle T_{\theta$}(z)=$e^{2i\pi \theta }z$ ${\displaystyle by\mathbb{}}$Q \ $displaystyle \theta \in \mathbb {Q }$인 $경우{\displaystyle {}_{}}$ T$$ \ $displaystyle T_{\ta }$는 에르고딕이 아닙니다.$한편{\displaystyle }$, $【{$ $display$style \$theta$}】가$$ 비이성적인 경우, T$【{\$}】는 ^[17]에르고딕입니다.

아놀드의 고양이 지도

X $=$ ${\displaystyle {}^{}}$2 / ${\displaystyle Z{\mathbb{}}^{}}$ {\$displaystyle$ X=\$mathbb {R}$^{$2}/\mathbb {Z}$^{$2}}$를 2-토러스라고 $하자{\displaystyle }$.언제 g)(2111){\textstyle g=\left({\begin{배열}{cc}2& 그리고 다른어떤 원소 g∈ SL2(Z){\displaystyleg\in \mathrm{SL}_ᆮ(\mathbb{Z})}}.;X{X\displaystyle}의 g(Z2)부터 Z2{\displaystyle g\left(\mathbb{Z}^{2}\right)=\mathbb{Z}^{2}한 self-map을 정의합니다.1\\$1&1\end{array}}\$right$}$는 토러스 상의 르베그 측도에 대해 에르고딕한 이른바 아놀드의 고양이 맵을 얻는다.

에르고딕 정리

μ$${\$displaystyle \mu}$가 $변환{\displaystyle }$ T$${\$displaystyle$ T$}$에 대해 에르고딕한 $공간{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle$ X$}$에 대한 확률 $측도$인 경우, G. Birkhoff의 점별 에르고딕 정리에는 모든 측정 $가능$한${\displaystyle }$함수 ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle X\mathbb{}}$ $→$R {\$displaystyle f:X\to$ \$mathbbr$$} 및$$}$에 대해 다음과 같이 기술되어 있습니다.ost every $point{\displaystyle }$ x$$X$$( x )의 궤도에서의 시간 평균은$f$ ($x$$$)의 공간 평균으로 수렴됩니다$$.$정식적$으로는 다음과 같습니다.

J. von Neumann의 평균 에르고드 정리는 제곱적분함수의 평균 번역에 대한 유사하고 약한 진술이다.

관련 속성

고밀도 궤도

에르고디시티 정의의 직접적인 결과는 위상 $X$에서 B$($$스타일${$B$})가 보렐 집합의 δ 대수이고$,$ $T($$디스플레이$ 스타일 \mu})가$$μ({디스플레이 스타일 \mu$})$이면$$T $궤도$의 거의 모든 궤도에서$μ($$디스플레이$스타일 \$mu})$가 $나타난다$.$tyle$ T는$$μ ${\displaystyle$ \$mu$를 $지원$하는 밀도입니다.

이는 고유 에르고딕은 아니지만 완전한 지원 ${\displaystyle {\mu \mathrm{}}_{}}$0(\$displaystyle$ \$mu_{0$을 갖는 에르고딕 측정치가 있는 변환에 대해 동등하지 않습니다. $다른$ 에르고딕 $측정치{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu \mathrm{}}_{}}$1$(\displaystyle$ \$mu_$${1})$은 $textstyle \frac{0+mu$$mu)이다.$$))$는$$T(\$style$ T$$$)$에 대해 에르고딕은 아니지만 궤도는 지지대로 조밀하다.명시적 예는 시프트 불변 ^[18]측도를 사용하여 구성할 수 있습니다.

믹싱

확률 측정 공간$({\displaystyle X,}$μ$)$의 $변환{\displaystyle }$ T$({displaystyle$$(X,\mu))$는 측정 가능한 $집합{\displaystyle }$ A${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle †}$({$displaystyle$ A,$B\subset$ X$}$에 대해 다음과 같은 값이 유지되는 경우 $측정{\displaystyle }$μ$({displaystyle$ \$mu})$에 대해 혼합되어 있다고 합니다.

혼합 변환도 에르고딕(A$\displaystyle$A를 T$$$\displaystyle$ T$\$stable$$ 서브셋으로 $하고{\displaystyle }$ $\displaystyle$B를$$ 그 보완으로 $함{\displaystyle }$)인 것이 매우 중요합니다.예를 들어, 원의 비합리적인 각도를 가진 회전(위의 예에 따르면 에르고딕)은 혼합되지 않습니다(충분히 짧은 간격 동안 연속되는 이미지는 대부분의 시간 동안 자신을 교차하지 않습니다).베르누이의 교대 근무가 엇갈리고 있고 아놀드의 고양이 지도도 마찬가지야

이러한 혼합의 개념은 때때로 강한 혼합이라고 불리며, 이것은 다음을 의미하는 약한 혼합과 반대됩니다.

적절한 에르고디시티

$변환{\displaystyle }$T {\$displaystyle$ T$}$는 완전한 측정 궤도를 가지지 않으면 적절히 에르고틱하다고 합니다.이산적인 경우, 이는 $측정{\displaystyle }$μ {\$displaystyle$ $\mu}$이$($가) T {\$displaystyle$ T$\}$의 유한 궤도에서 지원되지 않음을 의미합니다.

연속 시간 동적 시스템 정의

이 정의는 연속 시간 동적 시스템에 대해 단일 변환과 기본적으로 동일합니다.$({\displaystyle }$ X${\displaystyle }$,${\displaystyle B\mathcal{}}$) {$style$( X , { \ $mathcal${ $B$${\displaystyle \}}$ ) } ${\displaystyle {}_{}}$ $R{\displaystyle }$+ { \ $displaystyle$$$t \$in$ \ $mathbb${ $R$$$}$$_ {$$+$$} } each$$$$ $each{\displaystyle {}_{}}$ each each$$each each each each each each each each let $let{\displaystyle }$$$let let r${\displaystyle }$r r ${\displaystyle r_{}}$ r r r ∈ ∈ {\ {\ ${\displaystyle \mathrm{each}}$ each $each$ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\$${\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\$laystyle$ t$,s\in \mathbb {R} _{+}$ $관계$ ${\displaystyle T_{}}$+ ${\displaystyle t_{}}$ $=$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$ \ $displaystyle T_{s$+$$t} =$T_{s}\circ T_{t}$ holds$$(${\displaystyle \mathrm{일반적}}$으로 R${\displaystyle {}_{}}$+ X ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle \mathbb {R}$ _${+}\times$X\$to$ X$}$로부터의 궤도 맵도 측정할 수 있어야 합니다).μ$({displaystyle \mu})$가 (${\displaystyle X,}$ $)$에${\displaystyle }$대한 확률 측도인 $경우{\displaystyle }$({displaystyle (X, ${\mathcal$$${B$$$}})$ $T$는$$$μ$({$displaystyle$$\mu})$ -ergodic$$ $또는{\displaystyle }$μ({$displaystyle$ \muyle \$mu})$ $T$는 $각각에$ $대한{\displaystyle }$ 에 대한 에르고딕 측도라고 $합니다{\displaystyle {}_{}}$.μ${\displaystyle$ \mu$}$는 $유지$되며 다음 조건이 유지됩니다.

$임의$의 A ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle B\mathcal{}}${ $style A$$$$\}$ \$$$display style$ t \ $in$\$mathbb${$R$} _ { +$$}의 경우${\displaystyle {\mathrm{T}}_{}^{}}$- ${\displaystyle 1}$( A )display$$A \ $display style$T _ { t $}^{$ -$1$ ( A$)\ subset$ A$$${\displaystyle \mathrm{either<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; T\_\{t\}^\{-1\}(A)\backslash subset\; A\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/82012715743c01811776ec2c37fe4da514b5c2ac"\; style="vertical-align:\; -1.005ex;\; width:12.447ex;\; height:3.343ex;">}}$ ( 0$$ ${\displaystyle \mathrm{A}}$。

예

이산 사례와 같이 가장 간단한 예는 전이 작용의 경우이며, 예를 들어 ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle t{}_{}}$(${\displaystyle }$z ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {e\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {\pi }^{}}$ t$$ { $display style$ T_${t}(z$) =$e^{2i\pi t}z$}에$$ $의해{\displaystyle {}_{}}$ 주어진 원에 대한 작용은 르베그 측정에 대해 에르고딕한 것이다.

무한히 많은 궤도를 갖는 예는 토러스 상의 불합리한 기울기를 따라 흐르는 흐름으로 제시된다. $X{\displaystyle }$ $=$ ${\displaystyle {}^{}}$1 × ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ (\$style$ X =\$mathbb {S}$^{$1}\times$ \$mathbb${S$}$^{$1}$ $및$ α${\displaystyle \delta \mathbb{}}$R \$displaystyle \alpha \in \mathbb {R$} }${\displaystyle {}_{}}$^{${\displaystyle R_{}}$$}$ ) ${\displaystyle {Z\mathrm{}}_{}{}_{}{}_{}}$.$)({$ t$}z_{1},e^{2\alpha$ i$\pi$ t$}z_{2}\right$ ${\displaystyle \alpha \mathbb{}}$ Q \ $displaystyle \not \in \mathbb {Q}$이면 이 에르고딕 측정값입니다.

에르고딕 흐름

에르고딕 흐름의 다른 예는 다음과 같습니다.

• 볼록한 유클리드 영역의 당구
• 유한 부피의 음의 곡선 리만 다양체의 측지학적 흐름은 (정규화된 부피 측정의 경우) 에르고딕이다.
• 유한 체적의 쌍곡선 다양체 상의 호로사이클 흐름은 에르고딕(정규화된 체적 측정용)이다.

콤팩트 메트릭 공간에서의 에르고디시티

X$(\displaystyle$ X$)$가 콤팩트 메트릭 공간인 경우 $당연히{\displaystyle }$ 보렐 집합의 θ-대수가 부여됩니다.그러면 토폴로지에서 나오는 추가 구조에 의해 X$(\displaystyle$ X$)$에 $대한{\displaystyle }$ 에르고딕 변환 및 측정에 대한 훨씬 더 자세한 이론이 가능해집니다.

기능 분석 해석

에르고드 측정의 매우 강력한 대체 정의는 바나흐 공간의 이론을 사용하여 제공될 수 있다.$X에$$대한{\displaystyle }$ 라돈 측도는$X$에 대한 확률 측도의 $집합{\displaystyle \mathcal{}}$ P$)\$$displaystyle${$P}}(X)$가 볼록 부분 집합인 바나흐 공간을 형성한다.$연속$ $변환{\displaystyle }$$$T ${\$$displaystyle$ X$}$$${\displaystyle$$ T} $displaystyle}$ T {\displaystyle$}$ {$P}}(X)^$T$${\$displaystyle$ T$}$의 {$T}$은(는$$) 닫힌 볼록 부분집합이며,^[19]$$T {\$displaystyle$ T$}$에 대한 $측정$은 볼록의 극점일 경우에만 에르고딕하다$.$

에르고드 측정의 유무

위의 설정에서는 P${\displaystyle (X^{}}$T(\$displaystyle\mathcal {P}}(X)^$에는 항상 극점이 존재한다는 바나흐-알라오글루 정리에 따른다.${T$ 따라서 콤팩트 메트릭 공간의 변환은 항상 에르고드 측도를 허용합니다.

에르고딕 분해

일반적으로 불변 측도는 에르고드일 필요는 없지만, 초케 이론의 결과로서 에르고드 측도의 집합에 대한 확률 측도의 중심으로서 항상 표현될 수 있다.이를 ^[20]측정값의 에르고딕 분해라고 한다.

예

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ {${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle ...}$ , $}$ { $displaystyle$ X = \ {$1$ , $\ldots$ , $n{\displaystyle }$$$\ } 및$$ T${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle 1\mathrm{}2}$ ) ( ${\displaystyle 3\mathrm{}}$ 4 ${\displaystyle †}$n ) { $displaystyle$ T= ($1, 2$ ) ( 3, 4 , \ $cdots 、 n$ ) }의 경우 카운트 척도는 에르고딕하지 않습니다.T$${\$displaystyle$ T$}$의 에르고드 측도는 {${\displaystyle 1,}$${\displaystyle {}_{}{}_{}}$$}({displaystyle$\$1$$,$$2$$\})$ ${\displaystyle \mathrm{서브셋}}$과${\displaystyle }${$…,$ n}({displaystyle $\3,\ldots,$n\}) 및 $모든{\displaystyle }$T(\$displaystyle$\{$3$$$$,\$dots$,$ n})에서$$ 지원되는 ${\displaystyle {균일}_{}}$한 ${\displaystyle {측도}_{}}$입니다.$형식{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle }$+ (${\displaystyle 1}$ -${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle {\mu \mathrm{}}_{}}$2 ( \ $displaystyle$t \ $mu$_ { $1$} + ( 1 - $t$)\ $mu$$$_ {$2$} ( 일부$$ $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle [}$ [${\displaystyle 0}$ , 1$]{$ $displaystyle$ t$\$$in$ $[ 0$ , $1$ ). $특히\frac{\mathrm{}}{}$ $\frac{2}{}$ $n{}_{}$ ${\mu \mathrm{}}_{}$1 + $\frac{}{}$2 \ $textstyle${ $frac${ $frac$} { $1$}

연속 시스템

이 섹션의 모든 내용은 콤팩트 메트릭 공간에서 R$(\$ $또는$ R +(\$displaystyle \mathbb {R}$ _${+})$의 연속 동작으로 문자 그대로 변환됩니다.

독특한 에르고디시티

변환$T{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ T$\}$는 X$${\$displaystyle$ X$}$에 고유한 보렐 확률 $측도{\displaystyle }$μ {\$displaystyle \mu}$가 있으면 고유 에르고틱이라고 합니다.

위에서 검토한 예에서 원의 비합리적인 회전은 고유하게 ^[21]에르고딕하지만 시프트 맵은 그렇지 않습니다.

확률론적 해석: 에르고딕 프로세스

( ${\displaystyle {X_{}}_{}}$n ) ${\displaystyle 1_{}}$1 { $displaystyle \$left ( $X _$ { $n$} \ $right ) _$ {$n$ \ $geq$ 1$}$ 이 $공간{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$ { \ $displaystyle \$ Omega $\}$ 위의 이산 시간 확률 과정일 경우$,{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\omega \mathbb{}}^{}}$N { $displaystyle$ \ Omega ^ { $mathBB}} 위$의 변수의 합동 분포가 불변수인 경우 에르고틱한 것으로 한다$.$${\displaystyle {}_{}{{}_{}}_{}}$(${\displaystyle {{}_{}}_{}}$x ${\displaystyle {{\mathrm{n}}_{}}_{}}$ + 1) ${\displaystyle {}_{}}$ 1 \$displaystyle$ \$left$ ( x _ { $n }$ \ $right )_${ n \ $geq$1 } \ $map$to \$left$ ( x $_${ n + 1$}$ \ $right )_${ n \ $geq$1 } ${\displaystyle 。}$이것은 위에서 논의한 개념의 특별한 경우이다.

가장 간단한 경우는 위에서 설명한 시프트 맵에 대응하는 독립적이고 균등하게 분산된 프로세스입니다.또 다른 중요한 사례는 아래에서 자세히 논의되는 마르코프 연쇄의 경우이다.

동작의 측정 가능한 구조의 구축이 더 복잡하지만 연속 시간 확률 프로세스에 대해서도 유사한 해석이 적용된다.

마르코프 사슬의 에르고디시티

마르코프 연쇄와 관련된 동적 시스템

S$(\displaystyle$ S$)$를 유한 집합으로 $합니다{\displaystyle }$.$S${$displaystyle$ S$}$ 위의$$ $마르코프{\displaystyle }$ 체인은 $행렬{\displaystyle }$ P${\displaystyle }$[ [${\displaystyle 0}$ , ${\displaystyle 1{}^{}}$]${\displaystyle S^{}}$ × ${\displaystyle S^{}}$ ${\$ P$\in [ 0$ , $1$]^로 정의된다.${S\times$S$\}:$ 여기서$$ $($ 1${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle {}_{}}${$displaystyle$ P$(s_{$$1},$ $s_{2})$는 ${\displaystyle \mathrm{s1}}$에서$$$({$로의 이행 확률입니다.따라서 s$(\displaystyle$ s$\in$S)마다$\underset{}{}$S$(\backslash \underset{}{displaystyle{}^{}}$ S)가 됩니다.$P의$ary 측도$({$$displaystyle$P})는 ${\displaystyle S}$의 $확률{\displaystyle }$ $({$$displaystyle$$$$\nu$$$P$=\nu},$ $즉\underset{}{}$s${}^{}\underset{}{text{}^{}}$ s${}^{}$ s $\underset{}{、}$ ${}^{}$ $、$ s$$）$sum$style$$s $）$ ${。}^{}$$$를 클릭합니다.

이 데이터를 사용하여 다음과 같이 실린더의 측정값을 주어 X ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {S\mathbb{}}^{}}$ Z$(\$ X$=S^{\mathbb {Z}})$ $세트$에 확률 $측도{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$† {\displaystyle $\mu$ _${\nu}}}$를 곱으로 정의할 수 있습니다.

${\$ { $displaystyle \nu$}의$$ $정상성$은 시프트 맵${\displaystyle }T{\displaystyle {}_{}}$( ( ${\displaystyle {s_{}}_{}{k_{}}_{}}$ ) ${\displaystyle {z\mathbb{}}_{}}$Z )${\displaystyle {}_{z\mathbb{}}}$( \ $displaystyle$ T $\ left$ ( \ left ($s _${ k$$} \$$$right$ )에서 $ν$ { \ displaystyle \ $mu$ _ { { \ nu$$}}}}가$$ 불변함을 의미합니다.$_{k\in \mathbb {Z}}\right)=\left(s_{k+1}\right)$$_{k\in \mathbb {Z$

에르고도 기준

$연관$된 마르코프 체인이 축소할 수 없는 경우 측정값 μ$$ {\$displaystyle \mu$ _${\nu$}}는$$ 항상 시프트 맵에 대해 에르고딕(ergodic)입니다(어떤 상태든 유한한 수의 ^[22]스텝으로 다른 상태에서 양의 확률로 도달할 수 있습니다).

위의 가설은 마르코프 사슬에 대한 독특한 정상 측도가 있음을 암시한다.$행렬{\displaystyle }$ P$(\displaystyle$ P$)$에 관해서는 행렬 $(\displaystyle$ P$)$의 단순한 고유값 1과$$그 외의 $모든{\displaystyle }$ P(\$displaystyle \mathbb {C$의 고유값이 계수 1보다 작으면 충분합니다.

확률론에서 마르코프 사슬은 추가로 각 상태가 비주기적인 경우 에르고딕이라고 불린다(귀환 확률이 양수인 시간은 단일 정수 >1의 배수가 아니다).이것은 불변 측도가 에르고딕일 필요는 없다.따라서 마르코프 사슬에 대한 "ergodicity"와 연관된 시프트 불변 측도의 개념은 다르다(사슬에 대한 것은 엄격히 ^[23]더 강하다).

또한 체인의 모든 통신 클래스가 반복되고 모든 고정 조치를 고려하는 경우 기준은 "if and only if"이다.

예

계수측도

$P{\displaystyle }$(${\displaystyle }$${\displaystyle {}^{}}$ , ${\$ )${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1}$/${\displaystyle S}$ ( \ $displaystyle$$$P ($s$ , $s$ , $s$) $= 1$ / $S$$$$}$ 의$$ 경우$$, $정상{\displaystyle }$ 측정치는 계수 $측정치$이고, ${\displaystyle {\mu }_{}}$P ( \ $displaystyle$\ $mu$$_$ {$P$ })는 계수 측정치입니다.마르코프 사슬은 에르고딕이기 때문에 위에서부터의 시프트 예는 기준의 특별한 경우입니다.

비작동 마르코프 연쇄

반복 통신 클래스가 환원 불가능한 마르코프 사슬은 에르고딕이 아니며, 이는 다음과 같이 즉시 볼 수 있다.${\displaystyle {S1\mathrm{}}_{}s}$ S$\$$displaystyle$$$$S_{1}\subsetneq$S가$$ 2개의$$서로 다른 반복 통신 클래스인 $경우{\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$${\displaystyle {}_{}{S1\mathrm{}}_{}}$$,$ $S2$ \$displaystyle S_{1}, S_{$2} 및$$$$ ${\displaystyle {Sets\mathrm{}}_{}^{}}$에서 $지원$되는 0 이외의 고정 측도가 ${\displaystyle {있습니다\mathrm{}}_{}}$.${Z}}}$ $및$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$Z {{$displaystyle S_{2}^{\mathbb {Z}}}$은 모두 시프트$$ 등가이며 불변확률 $측도\frac{\mathrm{}}{}$ $\frac{1}{}$ 2$($+ 1 + ${2\mathrm{}}_{}$2)의 $측정값$ 1.2$({textstyle$ {$1}{2}})(nu _1+\nu{2$의 예는 매우 단순합니다.trix( $){$ $textstyle \ left$ spec \ $spec$ {$array$} { $cc } 1$ &$0$\ \$1$ \$end$ { array } \right } 。 (두 상태는 모두 정지 상태입니다).

주기 사슬

${\displaystyle =}$ {${\displaystyle 1}$, 2 $}$ { $displaystyle$ S = \ {$1$, $2$\ }（ $0$ 1 0 ） { textstyle \ $left sparray$ { cc$} 0$ &$1$ \$1$ & 0 \$end$ { array } \ right} 에서의 마르코프 사슬은 축소할 수 없지만 주기적이다.${\displaystyle \mathrm{따라서}}$ {1,${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {}^{}}$의${\displaystyle }$관련 $({$$displaystyle$\{$1,2\}^{\mathbb {Z}}})$는 시프트 맵에 대해 에르고틱하지만 마르코프 연쇄의 의미에서는 에르고틱하지 않다.그러나 이 측정의 경우 세트의 경우 시프트가 혼합되지 않습니다.

그리고.

μ$$($A)$ $=$ $1\frac{\mathrm{}}{}$ $\frac{2}{}$ $=\mu$ ($)$ {$textstyle \mu ($A) =$specfrac {1}{2$} = \$mu (B)}$입니다만,

일반화

에르고디시티의 정의는 그룹 액션에도 타당합니다.고전 이론(역변환의 경우)은 Z$(\$ $또는$ R$(\$의 작용에 해당합니다.

비벨 그룹의 경우, 콤팩트 메트릭 공간에서도 불변 측도가 존재하지 않을 수 있다.그러나 불변측정을 준불변측정으로 대체하면 에르고디시티의 정의는 변경되지 않는다.

중요한 예로는 Furstenberg 경계에 대한 반단순 Lie 그룹(또는 그 안에 격자)의 작용이 있다.

측정 가능한 등가관계는 모든 포화 서브셋이 null 또는 conull일 경우 에르고딕이라고 합니다.

메모들

레퍼런스

• Walters, Peter (1982). An Introduction to Ergodic Theory. Springer. ISBN 0-387-95152-0.
• Brin, Michael; Garrett, Stuck (2002). Introduction to Dynamical Systems. Cambridge University Press. ISBN 0-521-80841-3.

외부 링크

• 카르마 다자니와 스조어드 더크신, "에르고딕 이론의 간단한 입문"