스코어 테스트

통계학에서 점수 테스트는 귀무 가설에 따라 귀무 가설에서 귀무 함수의 귀무 함수로 평가된 우도 함수의 기울기를 기반으로 통계 매개변수에 대한 제약을 평가한다.직관적으로 제한된 추정치가 우도 함수의 최대값에 가까운 경우 점수는 표본 오차 이상으로 0과 차이가 나지 않아야 합니다.점수 검정의 유한 표본 분포는 일반적으로 알려져 있지 않지만,^[1] 1948년 C. R. Rao에 의해 처음 증명된 귀무 가설 하에서 점근 δ-분포를² 가지고 있으며, 이 사실은 통계적 유의성을 결정하는 데 사용될 수 있다.

동등 제약 조건의 대상이 되는 함수 최대화는 문제의 라그랑주 식을 사용하여 가장 편리하게 이루어지기 때문에, 점수 테스트는 제약 조건과 관련된 라그랑주 승수의 크기에 대한 테스트로 동등하게 이해될 수 있습니다. 다시 말하지만, 제약 조건이 최대 가능성에서 비결합일 경우, 벡토:라그랑주 승수의 r은 표본 오차 이상으로 0과 차이가 나지 않아야 합니다.이 두 접근법의 등가성은 ^[2]1959년 S. D. Silvey에 의해 처음 제시되었으며, 이는 특히 브루쉬와 파간의 1980년 ^[3]논문 이후 계량경제학에서 더 일반적으로 사용되는 라그랑주 승수 검정이라는 이름으로 이어졌다.

Wald 검정 및 우도비 검정보다 점수 검정의 주요 장점은 점수 검정이 제한된 ^[4]추정기의 계산만을 필요로 한다는 것이다.따라서 제약되지 않은 최대우도 추정치가 모수 ^{[citation needed]}공간의 경계점일 때 검정을 수행할 수 있습니다.또한 점수 검정은 귀무 가설에서 우도 함수의 추정만 필요하므로 대립 ^[5]가설에 대한 우도 비율 검정보다 구체적이지 않습니다.

단일 모수 검정

통계 정보

L $(\displaystyle$ L $)$ 을 $L$ 일변량 파라미터 $\theta$ {\(\ $displaystyle \theta)$ 에 $\theta$ 의존하는 우도함수로 하고 x $(\displaystyle$ x $)$ 를 $x$ 데이터로 $합니다$ . $U(\theta )$ U ${\$ ) { $style$ U $(\theta)}$ 는 $U(\theta )$ 다음과 같이 정의됩니다.

U(\theta)=sysfrac {\log L(\theta \mid x)}{\sysata }.

피셔 정보는^[6]

{\displaystyle I(\theta)=-\operatorname {E}\left[\left].\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}\log f(X;\theta ),\right \theta \right,},

여기서 θ는 확률 밀도입니다.

${\mathcal {H}}_{0}:\theta =\theta _{0}$ 0 ${\mathcal {H}}_{0}:\theta =\theta _{0}$ : ${\mathcal {H}}_{0}:\theta =\theta _{0}$ ${\mathcal {H}}_{0}:\theta =\theta _{0}$ ${\mathcal {H}}_{0}:\theta =\theta _{0}$ 0({ $displaystyle {H}}_{0}):\theta$ =\ $theta$ _ ${0})$ 을 ${\mathcal {H}}_{0}:\theta =\theta _{0}$ 검정하는 통계량은 S $S(\theta _{0})={\frac {U(\theta _{0})^{2}}{I(\theta _{0})}}$ ) $=$ $S(\theta _{0})={\frac {U(\theta _{0})^{2}}{I(\theta _{0})}}$ $S(\theta _{0})={\frac {U(\theta _{0})^{2}}{I(\theta _{0})}}$ 0) $S(\theta _{0})={\frac {U(\theta _{0})^{2}}{I(\theta _{0})}}$ I $S(\theta _{0})={\frac {U(\theta _{0})^{2}}{I(\theta _{0})}}$ 0 $)$ {\ $displaystyle S(\$ ta $_0} {{2})이다.$

${\mathcal {H}}_{0}$ 값은 H 0 {\ $displaystyle {H}}_{0}$ 일 $\mathcal{H}_0$ ${\mathcal {H}}_{0}$ 점근 $\chi _{1}^{2}$ 가 ≤ $\chi _{1}^{2}$ ${{$ _ ${1$ }^2 $}$ 이다.점근적으로 동일하지만 Fisher 정보 행렬의 외부 경사곱 추정기를 사용하여 LM 통계량을 계산하면 작은 ^[7]표본에 치우침이 발생할 수 있습니다.

표기법에 관한 주의사항

일부 텍스트는 통계 $S^{*}(\theta )={\sqrt {S(\theta )}}$ $S^{*}(\theta )={\sqrt {S(\theta )}}$ ( $S^{*}(\theta )={\sqrt {S(\theta )}}$ ) $S^{*}(\theta )={\sqrt {S(\theta )}}$ ( $S^{*}(\theta )={\sqrt {S(\theta )}}$ ) $S^{*}(\theta )={\sqrt {S(\theta )}}$ （ \ $displaystyle$ S $^{*}(\theta$ ) } = $isrt {S(\theta)}}}$ 를 $S^{*}(\theta )={\sqrt {S(\theta )}}$ 정규 분포와 비교하여 시험하는 대체 표기법을 사용한다.이 접근방식은 동등하며 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.

작은 편차에 대한 가장 강력한 검정으로서

\leftfrac \log L(\theta \mid x)}{\theta =\theta _{0}}\geq C

$L$ 서 L $(\displaystyle$ L $)$ 은 $L$ 우도함수이고, $\theta _{0}$ displaystyle \ $theta _{$ 0 $\theta _{0}$ })은 귀무 가설에서 관심 있는 파라미터 $C$ 이며 $,$ C(\ $displaystyle$ C)는 $C$ 원하는 테스트의 크기에 따라 상수 집합(즉, $(\displaystyle H_0})$ 이 $H_{0}$ $H_{0}$ 될 확률)이다. $({$ 이 $H_{0}$ 참입니다.타입 I 에러를 참조해 주세요.

점수 테스트는 $H_{0}$ 0 $(\$ 에서 작은 편차를 나타내는 가장 강력한 테스트입니다.이것을 확인하려면 , 「 $=$ 」= 「 $\theta =\theta _{0}+h$ $」(<$ =\ $theta$ _ ${0$ 대 $displaystyle \theta$ =\ $theta$ _ ${0}+h$ 의 테스트를 검토해 주세요.네이만-피어슨 보조군(Neyman-Pearson lema)에 따르면 가장 강력한 테스트는 다음과 같은 형태를 가진다.

{L(\theta _{0}+h\mid x)}{L(\theta _{0}\mid x)}}\geq K;

양쪽의 로그를 취하면 수율이 높아진다.

\displaystyle \log L(\theta _{0}+h\mid x)-\log L(\theta _{0}\mid x)\geq \log K.}

점수 테스트는 (Taylor 시리즈 확장에 의한) 치환에 따라 이루어집니다.

\displaystyle \log L(\theta _{0}+h\mid x)\about \log L(\theta _0}\mid x)+h\times\frac {\theta \log L(\theta \mid x)}{\theta =\right}

로그 $\log(K)$ ( $K$ ) \ $displaystyle$ \ $log$ ( K )로 위의C { $\log(K)$ $displaystyle$ C $\log(K)$ }를 $C$ $C$ 합니다.

다른 가설 검정과의 관계

귀무 가설이 참이면 우도비 검정, Wald 검정 및 점수 검정은 가설을 ^[8]^[9]점근적으로 동등한 검정입니다.내포 모형을 검정할 때 각 검정의 통계량은 두 모형의 자유도와 동일한 자유도를 갖는 카이 제곱 분포로 수렴됩니다.그러나 귀무 가설이 참이 아닌 경우 통계량은 서로 다른 비중심 모수를 사용하여 비중심 카이 제곱 분포로 수렴됩니다.

다중 파라미터

파라미터가 여러 개일 경우 보다 일반적인 점수 테스트를 도출할 수 있습니다. ${\widehat {\theta }}_{0}$ ${\widehat {\theta }}_{0}$ $({$ displaystyle $\widetheta$ }) $H_{0}$ ${0})$ 이 $귀무$ 가설 H 0({ $displaystyle H_{0})$ 에서 $H_{0}$ $^$ 0({displaystyle $\theta})$ 의 $\theta$ 최대우도 추정치인 $반면$ U({ $displaystyle$ U $})$ 와 I $({displaystyle$ I $)$ 는 $I$ 각각 점수 및 피셔 정보 매트릭스 Undisplaystyle 매트릭스 Undisplaystyle Matrix underyle Matrix un ${\widehat {\theta }}_{0}$ undismatrix un un undr 대립 가설그리고나서

{\widehat {\theta }}_{0} 표시 스타일 U^{T}I^{-1}({\widehat {theta }}}_{0})U({\widehat {theta }}_{0})\sim \chi _{k}^2})

점근적으로 $H_{0}$ 0 $({$ $H_{0}$ . $k$ 서 k $({displaystyle$ k})는 $k$ 귀무 가설에 의해 부과된 제약 조건의 수이며,

U({\widehat {theta }}_{0}) = frac({\widehat {theta }}_{0}\mid x}) {\display \theta }

그리고.

({\widehat {\theta }}_{0})=-\operatorname {E}\frac {\log L({\widehat {theta }}_{0}\mid x)}{\widehat \theta },\mid x}\light}.}

$H_{0}$ 은 H 0 $(\$ 0 $H_{0}$ $H_{0}$ 에 사용할 수 있습니다.

검정 통계량의 실제 공식은 사용되는 ^[10]Fisher 정보 행렬의 추정기에 따라 달라집니다.

특수한 경우

대부분의 경우 점수 통계는 일반적으로 사용되는 다른 ^[11]통계로 감소합니다.

선형 회귀 분석에서 라그랑주 승수 검정은 F-검정의 ^[12]함수로 표현될 수 있습니다.

데이터가 정규 분포를 따르는 경우 점수 통계량은 t ^{[clarification needed]}통계량과 동일합니다.

데이터가 이항 관측치로 구성된 경우 점수 통계량은 Pearson의 카이 제곱 검정의 카이 제곱 통계량과 동일합니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Rao, C. Radhakrishna (1948). "Large sample tests of statistical hypotheses concerning several parameters with applications to problems of estimation". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 44 (1): 50–57. doi:10.1017/S0305004100023987.
^ Silvey, S. D. (1959). "The Lagrangian Multiplier Test". Annals of Mathematical Statistics. 30 (2): 389–407. doi:10.1214/aoms/1177706259. JSTOR 2237089.
^ Breusch, T. S.; Pagan, A. R. (1980). "The Lagrange Multiplier Test and its Applications to Model Specification in Econometrics". Review of Economic Studies. 47 (1): 239–253. JSTOR 2297111.
^ Fahrmeir, Ludwig; Kneib, Thomas; Lang, Stefan; Marx, Brian (2013). Regression : Models, Methods and Applications. Berlin: Springer. pp. 663–664. ISBN 978-3-642-34332-2.
^ Kennedy, Peter (1998). A Guide to Econometrics (Fourth ed.). Cambridge: MIT Press. p. 68. ISBN 0-262-11235-3.
^ 레만과 카셀라, (2.5.16)
^ Davidson, Russel; MacKinnon, James G. (1983). "Small sample properties of alternative forms of the Lagrange Multiplier test". Economics Letters. 12 (3–4): 269–275. doi:10.1016/0165-1765(83)90048-4.
^ Engle, Robert F. (1983). "Wald, Likelihood Ratio, and Lagrange Multiplier Tests in Econometrics". In Intriligator, M. D.; Griliches, Z. (eds.). Handbook of Econometrics. Vol. II. Elsevier. pp. 796–801. ISBN 978-0-444-86185-6.
^ Burzykowski, Andrzej Gałecki, Tomasz (2013). Linear mixed-effects models using R : a step-by-step approach. New York, NY: Springer. ISBN 1461438993.
^ Taboga, Marco. "Lectures on Probability Theory and Mathematical Statistics". statlect.com. Retrieved 31 May 2022.
^ Cook, T. D.; DeMets, D. L., eds. (2007). Introduction to Statistical Methods for Clinical Trials. Chapman and Hall. pp. 296–297. ISBN 1-58488-027-9.
^ Vandaele, Walter (1981). "Wald, likelihood ratio, and Lagrange multiplier tests as an F test". Economics Letters. 8 (4): 361–365. doi:10.1016/0165-1765(81)90026-4.

추가 정보

Buse, A. (1982). "The Likelihood Ratio, Wald, and Lagrange Multiplier Tests: An Expository Note". The American Statistician. 36 (3a): 153–157. doi:10.1080/00031305.1982.10482817.
Godfrey, L. G. (1988). "The Lagrange Multiplier Test and Testing for Misspecification : An Extended Analysis". Misspecification Tests in Econometrics. New York: Cambridge University Press. pp. 69–99. ISBN 0-521-26616-5.
Rao, C. R. (2005). "Score Test: Historical Review and Recent Developments". Advances in Ranking and Selection, Multiple Comparisons, and Reliability. Boston: Birkhäuser. pp. 3–20. ISBN 978-0-8176-3232-8.

[1] Rao, C. Radhakrishna (1948). "Large sample tests of statistical hypotheses concerning several parameters with applications to problems of estimation". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 44 (1): 50–57. doi:10.1017/S0305004100023987.

[2] Silvey, S. D. (1959). "The Lagrangian Multiplier Test". Annals of Mathematical Statistics. 30 (2): 389–407. doi:10.1214/aoms/1177706259. JSTOR 2237089.

[BP-3] Breusch, T. S.; Pagan, A. R. (1980). "The Lagrange Multiplier Test and its Applications to Model Specification in Econometrics". Review of Economic Studies. 47 (1): 239–253. JSTOR 2297111.

[4] Fahrmeir, Ludwig; Kneib, Thomas; Lang, Stefan; Marx, Brian (2013). Regression : Models, Methods and Applications. Berlin: Springer. pp. 663–664. ISBN 978-3-642-34332-2.

[5] Kennedy, Peter (1998). A Guide to Econometrics (Fourth ed.). Cambridge: MIT Press. p. 68. ISBN 0-262-11235-3.

[6] 레만과 카셀라, (2.5.16)

[7] Davidson, Russel; MacKinnon, James G. (1983). "Small sample properties of alternative forms of the Lagrange Multiplier test". Economics Letters. 12 (3–4): 269–275. doi:10.1016/0165-1765(83)90048-4.

[8] Engle, Robert F. (1983). "Wald, Likelihood Ratio, and Lagrange Multiplier Tests in Econometrics". In Intriligator, M. D.; Griliches, Z. (eds.). Handbook of Econometrics. Vol. II. Elsevier. pp. 796–801. ISBN 978-0-444-86185-6.

[9] Burzykowski, Andrzej Gałecki, Tomasz (2013). Linear mixed-effects models using R : a step-by-step approach. New York, NY: Springer. ISBN 1461438993.

[10] Taboga, Marco. "Lectures on Probability Theory and Mathematical Statistics". statlect.com. Retrieved 31 May 2022.

[11] Cook, T. D.; DeMets, D. L., eds. (2007). Introduction to Statistical Methods for Clinical Trials. Chapman and Hall. pp. 296–297. ISBN 1-58488-027-9.

[12] Vandaele, Walter (1981). "Wald, likelihood ratio, and Lagrange multiplier tests as an F test". Economics Letters. 8 (4): 361–365. doi:10.1016/0165-1765(81)90026-4.

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