출생 과정

확률론에서 출생과정이나 순수출산은^[1] 연속시간 마르코프 과정과 포아송 과정의 일반화의 특수한 경우다. 자연수에서 값을 취하여 1("출산")만 증가하거나 변하지 않는 연속적인 과정을 정의한다. 이것은 사망자가 없는 출생-사망 과정의 일종이다. 출산의 비율은 공정의 현재 값에만 의존하는 지수 랜덤 변수에 의해 주어진다.

정의

출생률 정의

A birth process with birth rates ${\displaystyle (\lambda _{n},n\in \mathbb {N} )}$ and initial value ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ is a minimal right-continuous process ${\displaystyle (X_{t},t\geq 0)}$ such that ${\displaystyle X_{0}=k}$ and the interarrival times ${\displaystyle T_{i}=\inf\{t\geq 0:X_{t}=i+1\}-\inf\{t\geq 0:X_{t}=i\}}$ are independent exponential random variables with parameter ${\displaystyle \lambda _{i}}$.^[2]

최소 정의

비율$lambda$의$\displaystyle)(\$lambda _{n$}n\in$ \$mathb$ {$N$$})$ 및 초기$$ $값{\displaystyle }$ k${\displaystyle n\mathbb{}}$ N$${\$displaystyle$ $k\in$${\displaystyle \backslash }$$mathb${$}}}$을($X_{t},t}t\geq)$로 구성된 출생 프로세스$$$:\}:{\displaystyle }$

• ${\displaystyle X_{0}=k}$
• ${\displaystyle \all s,t\geq 0:s<t\t\implies X_{s}\leq X_{t}}}$
• ${\displaystyle \mathb {P}(X_{t+h}=X_{t}+1)=\lambda _{X_}{t}h+o(h)}$
• ${\displaystyle \mathb {P}(X_{t+h}=X_{t}=o(h)}$
• s , 0 : X t- s ${\$ 0$:s<t\implies X_{t}-X_{s}}}}}$은 ,< ${\displaystystystyle(X_{u}$u}u}u$}u)})})})$와 독립적이다.

(세 번째와 네 번째 조건은 o 표기법을 거의 사용하지 않는다.)

이러한 조건은 $공정$이 i$${\$displaystyle i$에서 시작됨을 보장하며 $공정$에$$값이$$$n$ {\$displaystyle \lambda_$$n$$}$인 비율에서 $지속적$으로 $독립$된 단일 출산이 있음을 보장한다$.$^[3]

연속 시간 Markov 체인 정의

A birth process can be defined as a continuous-time Markov process (CTMC) ${\displaystyle (X_{t},t\geq 0)}$ with the non-zero Q-matrix entries ${\displaystyle q_{n,n+1}=\lambda _{n}=-q_{n,n}}$ and initial distribution ${\displaystyle i}$ (the random variable which tak$es{\displaystyle }$ 값 i ${\displaystyle i}$^[4] 확률$$ 1).

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}-\lambda _{0}&\lambda _{0}&0&0&\cdots \\0&-\lambda _{1}&\lambda _{1}&0&\cdots \\0&0&-\lambda _{2}&\lambda _{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \ddots \end{pmatrix}}}$

변형

어떤 저자는 생년월 과정이 0(${\displaystyle \mathrm{즉}}$, ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$= 0 ${\displaystyle X_{0}=0$^[3]부터 시작하도록 요구하는 반면, 다른 저자는 자연수에 대한 확률 분포에 의해 초기 값이 주어지도록 허용한다.^[2] 폭발적 탄생 과정의 경우 주 공간에는 무한대가 포함될 수 있다.^[2] 출생률은 강도라고도 불린다.^[3]

특성.

CTMCs의 경우, 출생 과정은 마르코프 속성을 가지고 있다. 의사소통 클래스, 재확정성 등을 위한 CTMC 정의는 출생 프로세스에 적용된다. 출생-사망 과정의 재발과 과도성의 조건에 의해,^[5] 모든 출생 과정은 일시적이다. 출생 과정의 전이$$ 행렬$({\displaystyle }$ ${\displaystyle (p}$ ${\displaystyle i_{}}$, ${\displaystyle j_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$t${\displaystyle }$)${\displaystyle {}_{}}$i${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{N}{}_{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle {0\mathbb{}}_{}}$) ${\displaystyle (p_{i,j}(t)_{i,j\in \mathb {N}),t\geq$ 0$)$은 Kolmogorov 앞뒤 방정식을 만족한다.

역 방정식은 다음과 같다.^[6]

${\displaystyle p'_{i,j}(t)=\lambda _{i}(p_{i,j+1}(t)-p_{i,j}(t))}$ (for ${\displaystyle i,j\in \mathbb {N} }$)

전진 방정식은 다음과 같다.^[7]

${\displaystyle p_{}^{}}$ ${\displaystyle {i,}_{}^{}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= -${\displaystyle {\lambda }_{}}$ i ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {i,}_{}}$ ${\displaystyle i}$ (${\displaystyle {}_{}}$t${\displaystyle }$) ${\displaystyle p'_{i,}(t)=-\lambda$ $_$${i}p_{i,i}(t)}($$i{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\in \mathb {N})$의 경우 $)$

${\displaystyle p'_{i,j}(t)=\lambda _{j-1}p_{i,j-1}(t)-\lambda _{i}p_{i,j}(t)}$ (for ${\displaystyle j\geq i+1}$)

전진 방정식에서 다음과 같이 한다.^[7]

${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {i,}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= e -${\displaystyle {{\lambda }_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\$$i{\displaystyle }$n ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\\$ i$\in \mathb {N$

${\displaystyle p_{i,j}(t)=\lambda _{j-1}e^{-\lambda _{i}t}\int _{0}^{t}e^{\lambda _{j}s}p_{i,j-1}(s)\,ds}$ (for ${\displaystyle j\geq i+1}$)

는 푸아송 과정과 달리 출생 과정 시간의 유한한 양의 무한히 많은 출산율을 가질 수 있다. 우리는)식사{T∞{Tn:n∈ N}{\displaystyle T_{\infty}=\sup\을 정의한다.T_{n}:n\in \mathbb{N}\와 같이}}그리고 만약 T{\displaystyle T_{\infty}∞은 분만 중 폭발}유한 사람이라고 말한다. 만약∑ nx0∞ 1λ n<>∞{\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{\lambda_{n}}}<>\infty}다음 과정은 폭발과 확률 1, 그렇지 않으면, 그것은non-explosive과 확률 1("정직한").[8][9]

예

일부 λ 을을 위한 곳이 출산율λ nxλ{\displaystyle \lambda_{n}=\lambda 즉은 변함 없다 A포아송 과정은 출생 과정};0{\displaystyle \lambda>0}.[3].

단순출생과정

율로 단순한 출산 과정은 출생 과정λ nxn({\displaystyle \lambda_{n}=n\lambda}은 각 개인의 반복적으로 그리고 독립적으로 비율λ{\lambda\displaystyle}에 낳게 되면 그것은 인구들을 모델링 해. 그래서 그들은 율 과정으로 잘 알려 져 있어 Udny 율, 그 과정을 공부했다 .[10].[11]

$모집단{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n$}의 단순 출생 프로세스에서$$ $시간{\displaystyle }$ t ${\displaystyle t}$의 출생아 수는 다음과 같이 지정된다$$.^[3]

${\displaystyle p_{n,n+m}(t)={\binom {n}{n}{m}(\lambda t)^{m}(1-\lambda t)^{n-m}+o(h)}$

정확한 형태에서 출생아 수는 $매개변수{\displaystyle }$ n$${\$displaystyle n}$과 e -${\displaystyle t^{}}$ t$${\$displaystyle$ e$^{-\lambda t}}$을(를) 갖는 음이항 분포로$,$ $특별$한${\displaystyle \mathrm{경우}}$ n =$$1 {\$displaystyle n=$1$\}$의 경우, 이것은 ${\displaystyle {\mathrm{성공률}}^{}}$ e ${\displaystyle {-}^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$t {\$displaystystylease$ e$^{-$laba 스타일 e^{-$lamba t}$을 가진 기하 분포이다$.$^[12]

${\displaystyle {프로세스}_{}}$에 대한 기대치는 기하급수적으로 증가한다. 특히 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0{}_{}}$= 1 ${\displaystyle X_{0}=1}$인 경우$$ $E{\displaystyle \mathbb{}(}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= e ${\displaystyle {\lambda }^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$ ${\$^[10]

이민을 수반하는 간단한 출생 절차는 이 과정을 수정하는 것으로 ${\displaystyle {\lambda n}_{}}$= ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda }$+ ${\displaystyle \nu }$ { { $\displaystyle \lambda _{n}=n\lambda +\nu }}}.$ 이것은 시스템에의 일정한 이민률 외에 각 인구 구성원에 의한 출생인구를 모델한다$.$^[3]

메모들

참조

• Grimmett, G. R.; Stirzaker, D. R. (1992). Probability and Random Processes (second ed.). Oxford University Press. ISBN 0198572220.
• Karlin, Samuel; McGregor, James (1957). "The classification of birth and death processes" (PDF). Transactions of the American Mathematical Society. 86 (2): 366–400.
• Norris, J.R. (1997). Markov Chains. Cambridge University Press. ISBN 9780511810633.
• Ross, Sheldon M. (2010). Introduction to Probability Models (tenth ed.). Academic Press. ISBN 9780123756862.
• Upton, G.; Cook, I. (2014). A Dictionary of Statistics (third ed.). ISBN 9780191758317.