모란법

예상값의 경우 다음과 같이 계산됩니다.p를 쓰는 것).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.m.w-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}i/N,

${\displaystyle {i}\operatorname {E}[X(t)\mid X(t-1)=i]&=(i-1)P_{i,i-1}+iP_{i,i}+(i+1)P_{i,i+1}\&=2ip(1-p)+i(p^{2}+(1-p)^{2})\&=i.\end { aligned}}$

Writing ${\displaystyle Y=X(t)}$ and ${\displaystyle Z=X(t-1)}$, and applying the law of total expectation, ${\displaystyle \operatorname {E} [Y]=\operatorname {E} [\operatorname {E} [Y\mid Z]]=\operatorname {E} [Z].$$}$ 인수를$$ $반복적$으로 적용하면 E${\displaystyle \mathrm{display}}$ [${\displaystyle X}$(${\displaystyle }$t )${\displaystyle }$] =$E$ [${\displaystyle \mathrm{X}}$( 0${\displaystyle }$)$]$ , { $\$ displaystyle$\operatorname$ {$E }$ [ X ( t$$ )${\displaystyle }$} $또는{\displaystyle \mathrm{}E\mathrm{display}}$[${\displaystyle }$X ( t )${\displaystyle ]=}$ $style$ .$}$

분산의 경우 다음과 같이 계산됩니다.${\displaystyle V_{}}$ t $=$ ${\displaystyle \mathrm{Var}}$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle X}$ (${\displaystyle t}$ )${\displaystyle (}$ ${\displaystyle X}$ (${\displaystyle 0}$ ) $=$i )$$, { $display style V_${t$}=\operatorname {Var}(X(t$)\$mid$X($0)=i$)} 라고$$ 쓰고 있습니다.

$디스플레이 스타일V_{1}&=E\left[X(1)^{2}\mid X(0)=i\right]-\operatorname {E}[X(1)\mid X(0)=i]^{2}\&(i-1)^{2}\&(i-1)^{1-p)+{1}(p+1)$

모든 t에 대해 $({\displaystyle X}$ ${\displaystyle (t}$ )${\displaystyle x}$X (${\displaystyle t}$ - ${\displaystyle 1}$)$=$ )$${$displaystyle (X(t)\mid$X($t-1$)=$i}$${\displaystyle }$및$$ (${\displaystyle \mathrm{X})}$X ($0$ $=$ ${\displaystyle i}$) {$displaystyle (X(1$)\$mid X($0)=i$}$는 동일하게 분포되어 있으므로 분산은 동일합니다.$Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle =X}$ ( $t$) $및$ Z $=$($t$$$-${\displaystyle 1}$) $이전$과 같이 쓰고 전분산의 법칙을 적용한다.

${\displaystyle {displaystyle {var}(Y)&=\operatorname {E} [\operatorname {Var}(Y\mid Z)]+\operatorname {Var}(\operatorname {E}[Y\mid Z])\\&=E\left[\left({\frac {2Z})]{N}}\오른쪽)\left(1-{\frac {Z}{N}}\오른쪽)+\operatorname {Var}(Z)\\&=\left({\frac {2\operatorname {E}[Z]}){N}}\오른쪽)\left(1-{\frac {E}[Z]}{N}}\오른쪽)+\left(1-{\frac {2}{N^{2}}\오른쪽)\operatorname {Var}(Z).\end { aligned}}$

${\displaystyle \mathrm{X}}$( 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle =}$ { $display$X ( 0 ) $=$ i $\}$일 경우 다음과 같이 됩니다.

${\displaystyle V_{t}=V_{1}+\left(1-{\frac {2}{N^{2}}}\right)V_{t-1}.}$

이 방정식을 다음과 같이 다시 씁니다.

${\displaystyle V_{t}-{\frac {1}}{\frac {2}{N^{2}}}=\left(1-{\frac {2}{N^{2}}\right)\left(V_{t-1}-{\frac {1}}-{\frac {1}}{\frac {{{}}}}}}{{{night}}}}}}}}{n}}}}}}}}}}}}}{\left}}}}}{right}}}}.$

수율

${\displaystyle V_{t}=V_{1}{\frac {1-\left(1-{\frac {2}{N^{2}}}\오른쪽)^{t}}{\frac {2}{N^{2}}}}}$

원하는 대로

상태 i에서 시작할 때 상태 j에서 보낸 평균 시간.

${\displaystyle k_{i}^{j}=\display_{ij}+P_{i,i-1}k_{i-1}^{j}+P_{i,i}k_{i}^{j}+P_{i,i+1}k_{i+1}^{j}$

여기서 θ는_ij 크로네커 델타이다.${\displaystyle {이}_{}}$ 재귀 방정식은 Pi_i, ${\displaystyle i_{}}$ -${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Pi,i}_{}}$ + ${\displaystyle 1_{}}$ $=$ ${\displaystyle q_{}}$i {$i, i-1$} = $P_{i, i+$1} =$q_$${i$} and$$ ${\displaystyle {\mathrm{thus}}_{}}$ 、${\displaystyle {}_{}\mathrm{i}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1}$ - ${\displaystyle {}_{}}$ $qi,$ i = 1 - ${\displaystyle 2_{}}$ q_i 、 {i } $_$$$$\_{\displaystyle {}_{}}$ _ _ _ and and and and and and and and and and and and and and and and so and this and this this this this so this this this this

${\displaystyle k_{i+1}^{j}=2k_{i}^{j}-k_{i-1}^{j}-{\frac {ij}{q_{i}}}$

$변수{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle y_{}^{}}$ i ${\displaystyle {}_{}^{}}$ $=$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ i${\displaystyle {}_{}^{}}$- k ${\displaystyle i_{}^{}}$- ${\displaystyle {}_{}^{}}$j ({$displaystyle y_{$i}^{j}=$k_{i}^j}-k_{i-1}^{j})$를 사용하고 방정식을 다음과 같이 한다.

${\displaystyle\signed}y_{i+1}^{j}&=y_{i}^{j}-{\frac {{ij}{q_{i}}\\sum _{i=1}^{m}^{j}&=(k_{1}^{j}-k_{0}^{j}+(k_{2}^{j}-{k_{1}^{cdots})+cdots}^{j}\cdots}^{i}{i}}\s}}}}1}^{i-1}{\frac{\delta_{rj}}{q_{r}}=param {case}k_{1}^{j}-{\frac {1}{q_{j}}-{\leq i\end{cases}\\\k_{i}^{j}&=\sum_m=^{j}y{j}^{j}}y_m}^{j}}}}y_j}}}y_j}}}}{caram}}}}}{{caram}}}}}}y}}{caram}y}}}}}}y}y}$

${\displaystyle k_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ j $=$ { $display$ style $k_{N}^{j$}=$0$$}$ 및

${\displaystyle q_{j}=P_{j,j+1}=param frac {j}{N}}{\frac {N-j}{N}}}$

${\displaystyle {}_{}^{}}$j({$displaystyle k_{1}^{j$를 $계산$할 수 있습니다.

${{displaystyle {begin}k_{N}^{j}=\sum _{i=1}^{m}y_{i}=N\cdot k_{1}^{j}&-{\frac {N-j}{q_{j}=0\k_{1}^{n}{n}{j}{j}}{\sum}{n}{j}}}{n}}}{n}}}}{sum}}{n}}{n}}}}}{sum}}{n}}{n}}}}{$

그러므로

${\displaystyle k_{i}^{j}=cdot k_{j}^{j}&j\geq i\{\frac {N-i}{N-j}\cdot k_{j}^{j}&j\leq i\end cases}$

${\displaystyle k_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ j $=$ {$style k_{j}^{j$}=$N$인 경우. 이제_i k는 상태 i에서 시작하여 고정될 때까지의 총 시간을 계산할 수 있습니다.

${{displaystyle {displaystyle}k_{i}=\sum _{j=1}^{j}^{i}k_{j}+\sum _{j=i}^{j+1}^{N-1}k_{i}\sum_{i}^{i}^{n}^{i}^{i}^{j={i}^{n}^{i}^{i}^{disma}^{dism_{n}^{n}^{n}^{i}^{n}^{n}^{$

또한 이 경우 고정 확률을 계산할 수 있지만 전이 확률은 대칭이 아닙니다.$표기법{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Pi,i}_{}}$ + ${\displaystyle 1_{}}$ $=$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$i, ${\displaystyle {Pi,i}_{}}$ - ${\displaystyle {}_{}}$ $=$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$i, ${\displaystyle {Pi,}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ $= 1$-${\displaystyle {}_{}{\beta }_{}}$i { $style$ P_${i,i+1$}=\$alpha$ _${i,i-1$}=\$beta$_{$i,P_{i,$i}=$1-alpha$_${i}$ _{i}_i}_i}_i_i_i_i_i_i_i_i_i_i_i_i_i_i_i_i_i_i_i_i_i_i_i_i_i_고정확률을 재귀적으로 정의할 수 있으며, $새로운{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {변수}_{}}$ y $=$ ${\displaystyle {}_{}}$ -${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{i}}_{}}$ - 1$({$}=$x_{i}-x_{i-1})$이 도입되었다.

${\displaystyle {displaystyle {i}x_{i}+(1-\alpha _{i}-\alpha _{i}x_{i+1}\\\alpha _{i}(x_{i}-x_{i-1})=_alpha _{i}\\\cdot _{i}\cdot y_{i}&=y_{i+1}\end{aligned}}$

변수_i y의 정의에서 두 가지 속성을 사용하여 고정 확률에 대한 닫힌 형식 솔루션을 찾을 수 있습니다.

$({displaystyle {displaystyle {aligned}\sum _{i}^{m}&=x_{i}&=x_{1}\cdot \cdot _{l=1}^{k-1}\cdisplaystyle _{l}&2\rightarrow \sum _m={m=1}^{m_i}_i})}\sum _{j=1}^{i-1}\sum _{k=1}^{j}\sum _{k}=x_{i}&3\end{aligned}}$

(3)과_N x = 1의 조합:

${\displaystyle x_{1}\left(1+\sum_{j=1}^{N-1}\prod_{k=1}^{j}\pad_{k}\right)=x_{N}=1.}$

그 의미는 다음과 같습니다.

${\displaystyle x_{1}=black {1}{1+\sum _{j=1}^{N-1}\prod _{k=1}^{j}\prod _{k}}}$

그 결과, 다음과 같은 이점이 있습니다.

$\displaystyle x_{i}={displayfrac 1+\sum _{j=1}^{i-1}\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{N-1}\prod _{k=1}^{j}\displaystyle _{k}}}$

예상값의 경우 다음과 같이 계산됩니다.

$\ displaystyle { arigned } \operatorname { E } [ \ Delta (1) \ mid X ( 0 ) = i ] = ( i - i ) \ cdot P _ { i , i } + ( i - i ) \ cdot P _ { i , i } + ( i + 1 - i = 1 }N}}+{\frac {ri}{ri+N-i}}{\frac {N-i}{N}}\&=-{\frac {(N-i)i}{(ri+N-i)N}}+{\frac {i(N-i)}{(ri+N-i)N}}+{\frac {si(N-i)}{(ri+N-i)N}}\&=ps{\dfrac {1-p}{ps+1}}\\operatorname {E}[X(t)\mid X(t-1)=i]&=ps{\dfrac {1-p}{ps+1}+i\end{aligned}$

분산의 경우 단일 단계의 분산을 사용하여 다음과 같이 계산이 실행됩니다.

${\displaystyle {displaystyle {var}(X(t+1)\mid X(t)=i)&=\operatorname {Var}(X(t)+\operatorname {Var}(\Delta(t+1)\mid X(t)=i)\\&=0+E\left[\Delta (t+1)^{2}\mid X(t)=i\right]-\operatorname {E}[\Delta (t+1)\mid X(t)=i]^{2}\&=(i-1-i)\cdot p_{i},i}^{2}\cdot P_{i,i+1}-\operatorname {E}[\Delta (t+1)\mid X(t)=i]^{2}\&=P_{i,i-1}+P_{i,i+1}-\operatorname {E}[\Delta(x1)]N}}+{\frac {(N-i)i(1+s)}{(ri+N-i)N}}-\operatorname {E} [\Delta (t+1)\mid X(t)=i] {{2}\&=i(N-i){\frac {2+s}{(ri+N-i)]N}}-\operatorname {E} [\Delta (t+1)\mid X(t)=i] {{2}\&=i(N-i){\frac {2+s}{(ri+N-i)]N}}-\left(ps {\dfrac {1-p}{ps+1}}\\&=p(1-p){\frac {2+s(ps+1)}{(ps+1)}-p(1-p){\frac {ps^{2}(1-p){ps+1}(ps+1)^{2}(ps+2)}}}\&=p(1-p){\dfrac {2+2ps+s+p^{2}s^{2}}{(ps+1)^{2}}\end {aligned}}$